江苏专版2019版高考数学大一轮复习第七章不等式第41讲简单的线性规划学案（理科）.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 41 讲 简单的线性规划 考试要求 1.从实际情境中抽象出二元一次不等式 (组 )， 二元一次不等式的几何意义 (A 级要求 )； 2.用平面区域表示二元一次不等式组 (A 级要求 )； 3.从实际情况中抽象出一些简单的线性规划问题 ， 并加以解决 (A 级要求 ). 诊 断 自 测 1.(教材改编 )已知点 A(1， 0)， B( 2， m)， 若 A， B 两点在直线 x 2y 3 0 的同侧 ， 则 m的取值集合是 _. 解析 因为 A， B 两点在直线 x 2y 3 0 的同侧 ， 所以把点 A(1， 0)， B( 2， m)代入可得x 2y 3

2、的符号相同 ， 即 (1 20 3)( 2 2m 3)0， 解得 m 12. 答案 ? ?m|m 12 2.(教材改编 )如图所示 ， 表示阴影部分的二元一次不等式组是 _. 解析 不等式 y2 x 1 表示直线 y 2x 1 下方的平面区域及直线上的点 ， 不等式 x 2y4表示直线 x 2y 4 上方的平面区域 ， 所以这两个平面区域的公共部分就是?y2 x 1，x 2y4 所表示的 平面区域 . 答案 ?y 2x 1，x 2y4 3.(2017 全国卷 ) 设 x， y 满足约束条件?2x 3y 30 ，2x 3y 30 ，y 30 ，则 z 2x y 的最小值是_. 解析 可行域如图阴

3、影部分所示 ， 当直线 y 2x z 取到点 ( 6， 3)时 ， 所求最小值为 15. =【 ;精品教育资源文库 】 = 答案 15 4.(必修 5P95 习题 11 改编 )若实数 x， y 满足不等式组?x 1x y 102x y 20则 z x2 y2的最小值是_. 解析 作出可行域如图中阴影部分所示 ， z x2 y2 的最小值表示阴影部分 (包含边界 )中的点到原点的距离的最小值的平方 ， 由图可知直线 x y 1 0 与直线 x 1 的交点 (1， 2)到原点的距离最近 ， 故 z x2 y2的最小值为 12 22 5. 答案 5 知 识 梳 理 1.二元一次不等式表示的平面区

4、域 (1)一般地 ， 二元一次不等式 Ax By C0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax By C 0 某一侧所有点组 成的 平面区域 .我们把直线画成虚线以表示区域 不包括 边界直线 .当我们在坐标系中画不等式 Ax By C0 所表示的 平面区域时 ， 此区域应 包括 边界直线 ， 则把边界直线画成 实线 . (2)由于对直线 Ax By C 0 同一侧的所有点 (x， y)， 把它的坐标 (x， y)代入 Ax By C，所得的符号都 相同 ，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 (x0， y0)作为测试点 ， 由 Ax0 By0 C 的 符号 即可判断 Ax By C0 表示的直线是

5、Ax By C 0 哪一侧的平面区域 . 2.线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x， y 组成 的不等式 (组 ) 线性约束条件 由 x， y 的 一次 不等式 (或方程 )组成的不等式组 =【 ;精品教育资源文库 】 = 目标函数 欲求 最大值 或 最小值 的函数 线性目标函数 关于 x， y 的 一次 解析式 可行解 满足 线性约束条件 的解 可行域 所有 可行解 组成的集合 最优解 使目标函数取得 最大值 或 最小值 的可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数的 最大值 或 最小值 问题 3.重要结论 画二元一 次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (

6、1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线 ， 有等号时直线画成实线； (2)特殊点定域：若直线不过原点 ， 特殊点常选原点；若直线过原点 ， 则特殊点常选取 (0，1)或 (1， 0)来验证 . 4.判断区域方法 (1)利用 “ 同号上 ， 异号下 ” 判断二元一次不等式表示的平面区域： 对于 Ax By C0 或 Ax By C0 时 ， 区域为直线 Ax By C 0 的上方； 当 B(Ax By C)0， x， y满足约束条件?x 1，x y3 ，y a（ x 3） ，若 z 2x y的最小值为 1， 则 a _. 解析 (1)不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示 . 易知 A(2，

7、 0)， 由?x y 0，x y 2， 得 B(1， 1). 由 z ax y， 得 y ax z. 当 a0 时 ， z ax y 在 A(2， 0)或 B(1， 1)处取得最大值 ， 2a 4 或 a 1 4， a 2， a 3(经检验舍去 )， 则 a 2 满足题意 . (2)作出不等式组表示的可行域 ， 如图 (阴影部分 ). 易知直线 z 2x y 过交点 A 时 ， z 取最小值 ， 由?x 1，y a（ x 3） ， 得 ?x 1，y 2a， zmin 2 2a 1， 解得 a 12. 答案 (1)2 (2)12 规律方法 (1)先准确作出可行域 ， 再借助目标函数的几何意义求目

8、标函数的最值 . (2)当目标函数是非线性的函数时 ， 常利用目标函数的几何意义来解题 ， 常见代数式的几何意义： x2 y2表示点 (x， y)与原点 (0， 0)的距离 ， （ x a） 2（ y b） 2表示点 (x， y)与点 (a，=【 ;精品教育资源文库 】 = b)的距离； yx表示点 (x， y)与原点 (0， 0)连线的斜率 ， y bx a表示点 (x， y)与点 (a， b)连线的斜率 . (3)当目标函数中含有参数时 ， 要根据临界位置确定参数所满足的条件 . 【例 2 2】 已知变量 x， y 满足约束条件?x 4y 3，3x 5y 25，x 1，试求解下列问题 .

9、(1)z x2 y2的最大值和最小值； (2)z yx 2的最大值和最小值； (3)z |3x 4y 3|的最大值和最小值 . 解 作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示 ， 易得 A(1， 1)， B(5， 2)， C? ?1， 225 . (1)z x2 y2表示 的几何意义是可行域中的点 (x， y)到原点 (0， 0)的距离 ， 如图所示 ， zmax 29， zmin 2. (2)z yx 2表示区域中的点 (x， y)与点 M( 2， 0)连线的斜率 ， 如图所示 .zmax kMC 2215， zmin kMB 27. (3)z |3x 4y 3| 5 |3x 4y 3|5

10、， 而 |3x 4y 3|5 表示区域中的点 (x， y)到直线 3x4y 3 0 的距离 ， 如图所示 ， zmax 26， zmin 10. 规律方法 (1)此题中与 z 有关量的几何意义不再是纵截距 ， 而是点到点的距离、斜率、点到直线的距离 .(2)在第 (3)问中 z5才是点到直线的距离 . 考点三 可转化线性规划的问题 【例 3】 已知正数 a， b， c 满足?5c 3a b4 c a，cln b a cln c， 则ba的取值范围是 _. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 条件?5c 3a b4 c a，cln b a cln c 可化为?3 ac bc5 ，acbc4

11、，bc eac，设 ac x， bc y， 则题目转化为：已知变量 x， y 满足?3x y5 ，x y4 ，y ex，x0， y0，求 yx的取值范围 . 作出 (x， y)所在的平面区域如图中阴影部分所示 . 假设在 y ex上一点 P(x0， y0)处 yx取得最小值 . 则 y0x0 ex0x0， 设 g(x)exx， g (x)（ x 1） exx2 ， 易知 x 1 时 ， g(x)取得最小值 ， 故此时y0x0e， 当 (x， y)对应点 C 时 ， yx取得最大值 7， 所以 yx的取值范围为 e， 7， 即 ba的取值范围是 e，7. 答案 e， 7 【训练 2】 若变量 a

12、， b 满足约束条件?a 1，ab3 81，a3b 81，求 u a2b的最大值 . 解 将不等式组中各不等式两边同时取以 3 为底的对数得?log3a0 ，log3a 3log3b 4，3log3a log3b 4，再令 xlog3a， y log3b， 得?x 0，x 3y4 ，3x y4 ，同时令 z log3u 2log3a log3b 2x y， 题目就转化为：若 x， y 满足约束条件?x 0，x 3y4 ，3x y4 ，求 z 2x y 的最大值 . 作出可行域如图中阴影部分所示 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 将 z 2x y 化为 y 2x z， 平移直线 y 2x z

13、， 当直线过点 A 时 ， z 取得最大值 ， 联立?x 3y 4，3x y 4， ， 解得 A(1， 1)， 此时 zmax 21 1 1， umax 3. 考点四 线性规划的实际应用问题 【例 4】 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个 ， 生产一个卫兵需 5 分钟 ， 生产一个骑兵需 7 分钟 ， 生产一个伞兵需 4 分钟 ， 已知总生产时间不超过10 小时 .若生产一个卫兵可获利润 5 元 ， 生产一个骑兵可获利润 6 元 ， 生产一个伞兵可获利润 3 元 . (1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 (元 )； (2)怎样分配生产

14、任务才能使每天的利 润最大 ， 最大利润是多少？ 解 (1)依题意每天生产的伞兵个数为 100 x y， 所 以利润 5x 6y 3(100 x y) 2x 3y 300. (2)约束条件为 ?5x 7y 4（ 100 x y） 600 ，100 x y0 ，x 0， y 0， x、 y N.整理得?x 3y200 ，x y100 ，x 0， y 0， x、 y N.目标函数为 2x 3y 300， 作出可行域 ， 如图所示 ， 作初始直线 l0： 2x 3y 0， 平移 l0， 当 l0经过点 A 时 ， 有最大值 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 由?x 3y 200，x y 100，

15、 得 ?x 50，y 50. 最优解为 A(50， 50)， 此时 max 550 元 . 故每天生产卫兵 50 个 ， 骑兵 50 个 ， 伞兵 0 个时利润最大 ， 且最大利润为 550 元 . 规律方法 解线性规划应用问题的一般步骤 (1)审题：仔细阅读材料 ， 抓住关键 ， 准确理解题意 ， 明确有哪些限制条件 ， 借助表格或图形理清变量之间的关系 . (2)设元：设问题中起关键作用 (或关联较多 )的量为未知量 x， y， 并列出相应的不等式组和目标函数 . (3)作图：准确作出可行域 ， 平移找点 (最优解 ). (4)求解：代入目标函数求解 (最大值或最小值 ). (5)检验：根据结果 ， 检验反馈 . 一、必做题 1.若点 (m， 1)在不等式 2x 3y 50 所表示的平面区域内 ， 则 m 的取值范围是 _. 解析 由 2m 3 50， 得 m1. 答案 (1， ) 2.(2017 北京卷 )若 x， y 满足?