江苏版高考数学一轮复习专题7.4基本不等式及其应用讲.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 专题 7.4 基本不等式及其应用 【考纲解读】 内 容 要 求 备注 A B C 集合 一元二次不等式 对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在表中分别用 A、 B、 C表示） . 了解： 要求对所列知识的含义有最基本的认识，并能解决相关的简单问题 . 理解： 要求对所列知识有较深刻的认识，并能解决有一定综合性的问题 . 掌握： 要求系统地掌握知识的内在联系，并能解决综合性较强的或较为困难的问题 . 线性规划 基本不等式 【直击考点】 题组一 常识题 1 函数 y x 4x(x 0)的最小值为 _ 【解析】 x 0， y x 4x 4，当且仅当 x

2、 4x，即 x 2时取等号，故函数 y x 4x(x 0)的最小值为 4. 2 一段长为 40 m的篱笆围成一个矩形菜园，则菜园的最大面积是 _ 【解析】 设矩形菜园的长为 x m，宽为 y m，则 2(x y) 40，即 x y 20， 矩形的面积 S xy ? ?x y22 100，当且仅当 x y 10 时，等号成立，此时菜园的面积最大，最大的面积是 100 m2. 3 将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m2、形状为直角三角形的框架，选用最合理 (够用且浪费最少 )的铁丝的长为 _m. 【解析】 设两直角边长分别为 a m， b m，直角三角形的框架的周长为 l，则 12ab 2，即

3、 ab 4， l a b a2 b2 2 ab 2ab 4 2 2，当且仅当 a b 2时取等号，故选用最合理 (够用且浪费最少 )的铁丝的长为 (4 2 2)m. 4 建造一个容积为 8 m3，深为 2 m的长方体 无盖水池，若池底 的造价为每平方米 120元，池壁的造价为每平方米 80 元，则这个水池的最低造价为 _元 =【 ;精品教育资源文库 】 = 【解析】 设水池的总造价为 y元，池底长为 x m，则宽为 4x m，由题意可得 y 4120 2? ?2x 8x 80 480 320? ?x 4x 480 3202 x 4x 480 3202 4 1760，当且仅当 x 4x，即 x

4、2时， ymin 1760. 故当池底长为 2 m时，这个水池的造价最低，最低造价为 1760元 题组二 常 错 题 5 若 x 1，则 x 4x 1的最小值为 _ 【解析】 x 4x 1 x 1 4x 1 1 4 1 3，当且仅当 x 1 4x 1，即 x 1 时等号成立 6 已知 00. y lg x 4 lg x 2 （ lg x） 4 lg x 4， 当且仅当 lg x 4 lg x，即 x 1100时，等号成 立， ymax 4. 7. 函数 y sin x 4sin x， x ? ?0， 2 的最小值为 _. 【解析】 当 sin x 4sin x时， sin x 2 ，显然等号取

5、不到，事实上，设 t sin x，则 t(0 ， 1，y t 4t在 (0， 1上为减函数，故当 t 1时， y取最小值 5. 题组 三 常 考 题 8 设 a 0， b 0.若关于 x， y的方程组?ax y 1，x by 1 无解，则 a b的取值范围是 _ 【解析 】 将方程组中的第一个方程化为 y 1 ax，代入第二个方程整理得 (1 ab)x 1 b，由方程组无解 得 1 ab 0 且 1 b0 ，所以 ab 1 且 b1. 由基本不等式得 a b2 ab 2，故 a b 的取值范围是 (2， ) 9 若直线 xa yb 1(a0， b0)过点 (1， 1)，则 a b 的最小值等于

6、 _ 【解析】 依题意有 1a 1b 1，所以 a b (a b) 1a 1b 1 ab ba 12 2 ab ba 4，当且仅当a b 2时等号成立 10 已知 a0， b0， ab 8，则当 a的值为 _时， log2a log2(2b)取得最大值=【 ;精品教育资源文库 】 = 【知识清单】 考点 1利用基本不等式证明不等式 如果 ,Rab? ，那么 222a b ab? （当且仅当 ab? 时取等号 “=” ） 如果 0a? ， 0b? ,则 2a b ab? ，（当且仅当 ab? 时取等号 “=” ） . 考点 2 利用基本不等式求最值 常见结论： 1、 如果 ,Rab? ，那么 2

7、22a b ab? （当且仅当 ab? 时取等号 “=” ） 推论： 22ab 2ab? （ ,Rab? ） 2、 如果 0a? ， 0b? ,则 2a b ab? ，（当且仅当 ab? 时取等号 “=” ） . 推论： 2ab ( )2ab? （ 0a? ， 0b? ）； 22 2()a b a b? 3、 222 ( 0 , 0 )11 22a b a ba b a bab? ? ? ? ?考点 3 基本不等式的实际应用 利用基本不等式求解实际应用题的方法 (1)问题的背景是人们关心的社会热点问题，如 “ 物价、销售、税收、原材料 ” 等，题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息

8、，建立数学模型，转化为数学问题求解 (2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此 时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解 【考点深度剖析】 江苏新高考对不等式知识的考查要求较高，整个高中共有 8 个 C 能级知识点，本章就占了两个，高考中以填空题和解答题的形式进行考查，涉及到数形结合、分类讨论和等价转化的思想，着重考查学生基本概念及基本运算能力 .经常与其它章节知识结合考查，如与函数、方程、数列、平面解析几何知识结=【 ;精品教育资源文库 】 = 合考查 . 基本不等式及其应用在高考中是一个必考的知识点，在处理最值时是一种非常行 之有效的工具

9、，在使用时一定多观察所给代数式的形式，和基本不等式成立的条件 . 【重点难点突破】 考点 1利用基本不等式证明不等式 【 1-1】不 已知 a 、 b 、 c 都是正数，求证： ( ) ( ) ( ) 8a b b c c a abc? ? ? ? 【答案】 a 0， b 0， c 0， 222bc ac abc ca b ab? ? ?， 222ac ab a bc ab c bc? ? ?， 222bc ab ab c ba c ac? ? ?. bc ca ab abca b c? ? ? ? ?. 【 1-2】 已知 a 0， b 0， c 0，求证： bc ca ab abca b

10、c? ? ? ? ?. 【 1-3】 已知 a0， b0， a b 1，求证： 111 1 9ab? ? ? ? ? ? ? ? ?. 【解析】 0a? ， 0b? ， 1ab ， 11 + = 1 + = 2 +a b baaa? .同理， 11+ =2+abb. 111 1 2 2baa b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5 + 2 5 + 4 = 9baab?，当且仅当 baab? ，即 1a=b=2 时取 “ ” =【 ;精品教育资源文库 】 = 111 1 9ab? ? ? ? ? ? ? ? ?，当且仅

11、当 1a=b=2 时等号成立 【思想方法】 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过 “ 变形 ” 来转换，常见 的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数， “1” 的代换法等 【 温馨提醒 】 1. 在运用 abba ?2 时，注意条件 a 、 b 均为正数，结合不等式的性质，进行变形 . 2. 三个式子必须都为非负且能同时取得等号时，三个式子才能相乘，最后答案才能取得等号 . 3. 在利用基本不等式证明的过程中，常常要把数、式合理的拆成两项或多项或恒等地变形配凑成适当的数、式，以便于利用基本不等式 考

12、点 2 利用基本不等式求最值 【 2-1】 若 log2x 1og2y 1，则 x 2y的最小值是 _ 【答案】 4 【解析】 因为 log2x log2y 1，即 log2xy 1，所以 xy 2 且 x 0， y 0，于是 x 2y2 x2 y 4，当且仅当 x 2y，即 x 2， y 1时取等号，所 以 x 2y的最小值为 4. 【 2-2】 设 01x?，函数 411y xx?的最小值为 【 答案 】 9 【 2-3】 已知 0 , 0 , lg 2 lg 8 lg 2xyxy? ? ? ?， 则 113xy?的 最小值是 【 答案 】 4 【解析】由 lg 2 lg 8 lg 2xy

13、?，得 ? ?lg 2 8 lg 2xy?，即 322xy? ? ，亦即 31xy?,且 0, 0xy?，从而 ? ?1 1 1 1 3323 3 3yxxyx y x y x y? ? ? ? ? ? ? ? 32 2 43yxxy? ? ? ?，当且仅当 33yxxy?，又 31xy?，=【 ;精品教育资源文库 】 = 即 12x? ， 16y? 时， 113xy?取得最小值 4 ，注意乘“ 1”法技巧的使用 . 【 2-4】 若 a0， b0，且 a b 2，则 ab 1ab 的 最小值为 【答案】 2 【解析】由 2 a b2 ab 得 00， y0，且 x 4y 40，则 lgx l

14、gy的最大值是 【答案】 2 【思想方法】 基本不等式具有将 “ 和式 ” 转化为 “ 积式 ” 和将 “ 积式 ” 转化为 “ 和式 ” 的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直 接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解 注意：形如 y x ax(a0)的函数求最 值时，首先考虑用基本不等式，若 等号取不到，再利用该函数的单调性求解 【 温馨提醒 】 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等 . 一正：函数的解析式中，各项均为正数； 二定：函数的解析式

15、中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 若使用基本不等式时，等号取不到，可以通过“对勾函数”，利用 单调性求最值 . 考点 3 基本不等式的实际应用 【 3-1】 要制作一个容器为 4 3m ，高为 m1 的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米 20元，侧面造价是每平方米 10元，则该容器的最低总造价是 _（单位：元） . 【答案】 88 【解析】假设底面长方形的长宽分别为 x , 4x . 则该容器的最低总造价是 808 0 2 0 1 6 0yx x? ? ? ?.当且仅当 2x? 的时区到最小值 . 【 3-2】 如图，在三棱锥 PABC中， PA， PB， PC 两两垂直，且 PA 3， PB 2， PC 1.设 M是底面 ABC内一点，定义 f(M) (m， n， p)，其中 m， n， p分别是三棱锥 M