分析力学第二章课件.ppt

1、第二章：动力学普遍方程和拉格朗日方程达朗伯原理达朗伯原理：用静力学平衡问题的方法解决动力学问题拉格朗日方程拉格朗日方程：用虚位移描述的动力学普遍方程，不出现约束反力，但虚位移之间不独立，将动力学普遍方程用广义坐标来表示，就可推出拉格朗日方程。2.1 动力学普遍方程设一质点系由设一质点系由n各质点组成，第各质点组成，第i个质点的个质点的质量质量mi，作用在其上的主动力，作用在其上的主动力Fi，约反力，约反力合力合力FNi，惯性力，惯性力Fgi=-miai,由达朗伯原理：由达朗伯原理：000000.iiiiiiiiiiiiiiiigiiiNiigiNiiigiNiizzmZyymYxxmXramF

2、rFFrFrFFFrFFF写成标量形式：或：因此：对于理想约束：，由虚功原理：假设质点虚位移上式称之为动力学普遍方程。在理想约束上式称之为动力学普遍方程。在理想约束下，作用在质点系上的主动力和惯性力在下，作用在质点系上的主动力和惯性力在任意虚位移上所作虚功之和为零任意虚位移上所作虚功之和为零例题：离心调速器如图所示，已知mA=mB=m=15kg,套筒mC=10kg，杆长l=0.25m，e=0.03m,弹簧刚度k=14700N/m，正常角速度时=30，弹簧不受力。试求 =60 时的角速度。sradglmlllhylexlexyPxFFxFFlemFFNklFFFFFFPPcCBACCBgBBAg

3、AAgBgABAgBgABACBA/65.1900sincos13452cos7 . 32cos2sinsin07 . 360sin134530sin60sin,;,P222：本系统为单自由度系统由动力学普遍方程：惯性力：弹性力：重力：系统上的主动力：sincoscoslylxlxCBA例题：如图所示，质量m1的匀质圆柱A与质量为m2的物体B相连，物体B与水平面间的摩擦系数fs，忽略滑轮质量，开始式系统处于静止状态，求A,B两物体质心的加速度a1,a2该系统为两自由度系统：广义坐标：x, 211221112121;,ArmMxmFrxmsmFgfmgmrxsxBgggs系统所受惯性力：系统所受

4、主动力：的质心速度物体的质心速度物体gmmmmfrxagmmmfmaxrmrxmgmrxmgmxmgfmrxsrmsrxmgmxxmgfmssss21121212122111112221112232330210021 代入：由动力学普遍方程：例题 图所示，水平杆AB两端各系一根绳索，绳索绕过定滑轮C,D,在自由端分别悬挂重物E（m2)和F(m1),令系统无初速度释放，试求重物F的初加速度。已知杠杆臂长比：AO:OB=k，杠杆初时水平，杆与滑轮质量忽略不计sinsin21BOSEAOSF的上升距离重物的下降距离重物，广义坐标该系统为单自由度系统kgmkmkmkmAOAOsakBOAOgBOmAO

5、mBOmAOmSamgmSamgmBOsaAOsaBOSAOS2212212112221212222111122221121sincos00;00sincossincoscos;cos ；初始时，由于系统动力学普遍方程：系统虚位移：设质点系有n个质点，受s个完整非定长约束，系统有N=3n-s个自由度，用N个广义坐标 表示质点系位置，则质点系位置可表示为：Nqqq,21下面来推导拉格朗日方程：证明（1）2.2 拉格朗日方程tqqqrrNii;,21kikiqrqrt ;q ,q ,qrrNii21对下式两边求导：kikiikikiNkkkiiNNiiiiqrqrtrqrqtrqqrtrqqrqq

6、rqqrr数与广义速度无关是广义坐标和时间的函和称之为广义速度其中：12211证明（2）kikiiNkkkiiNNiiiiiNNiiikkiNkiNkikikikikiqrqrdtdtrqqrtrqqrqqrqqrrtrqqrqqrqqrqqrtqqrqqqrqqqrqqrdtdqrqrdtd1221122112211NknikkiiikNkkiniiiiniiikNkkiniiiniiiiniiqqramqqramramqQrFramrF1111111110用广义力形式描述：将系统主动力所做虚功由动力学普遍方程：NkQqTqTdtdqQqTqTdtdqqTqTdtdqqramqqramvmq

7、vmqdtdqrvmqrvmdtdqrdtdvmqrvmdtdqramkkkkNkkkkkNkkkkNknikiiiNknikkiiiiikiikkiiikiiikiiikiiikiii10212111111122Lagrangri方程它是N个二阶常微分方程，初始条件为t=0时刻的广义坐标和广义初速度举例：如图所示，轮系，已知r2=1.5r1，曲柄OA质量m，齿轮的质量分别为m1和m2，齿轮视为匀质圆盘，在曲柄上作用一力矩M1，求系统的运动方程。该系统为单自由度系统，取广义坐标系统动能：2222221122121212121轮轮曲柄轮轮杆JvmJJTTTTA速度分析：515 . 222355

8、. 15 . 2112221rvrvlrrvAAA22212222222211222222221122143613521212152121312121212121lmmmrmlmrmmlJvmJJTTTTA轮轮曲柄轮轮杆2211122122122111123231552323123231232310555lmmmMMMMlmmmlmmmTdtdlmmmTTMMQMMMMw 根据拉格朗日方程：虚功：002221123231521ttlmmmMM两种不同主动力下的拉格朗日方程（1）主动力为有势力当主动力为有势力时，广义力可由势能函数确定：NkqLqLdtdVTLqVTqVTdtdqVqVqTqTd

9、tdqVQkkkkkkkkkk1000令：由于：代入到拉格让日方程（2）主动力为有势力和非有势力NkQqLqLdtdQqVQkkkkk1代入到拉格让日方程例题：如图所示，物块重m弹簧系数k，定滑轮质量M,均匀分布在轮缘上，摩擦忽略，求重物的振动周期。系统动能：该系统为单自由度系统，取滑轮转角未广义坐标kmMTmMkkmMqLqLdtdkRmMRVTLkRmgRRkVkmgmMRRmRMTkkststst2000212121212121212222222222222振动周期：系统平衡时： 例题：设有一与弹簧相连滑块A，质量m1，弹簧系数k，下面挂一摆长度l，质量m2，求系统运动微分方程。0cos

10、2121cos21cos2121cos21sincos212122122212212122122212212122122111kkqLqLdtdglmkxlmlxmxmmVTLglmkxVlmlxmxmmllxmxmTxA系统动能：为广义坐标和摆的摆角的水平位移设滑块：该系统为两自由度系统2.3 动能的广义速度表达式0sincos0sincos11222121glxkxlmlmxmm NkNjNkiikikijkjikiniiNjijjiNkikkiniiiiniiiniitrtrqtrqrqqqrqrmtrqqrtrqqrmvvmvmT1111111121221212121012012111

11、2121TTTTcTqbTqqaTtrtrmctrqrmbqrqrmakkjkkjiiniiikiniikjikiniikj令：例题：质量为M的质点沿光滑斜面运动，而斜面又沿水平面以速度v匀速运动，求质点的动能表达式20122222221;cos;21cos22121sintancosmvTsmvTsmTvsvsmyxmTslysvtxs标：为广义坐标，质点的坐取2.4 拉格朗日方程的初积分012001122012LLLLVTLTLTLVTTTVTL；设：拉格朗日函数：广义能量积分010kkkkkkqqLqqLdtdNkqLqLdtdELLLLLLLqqLqqLqqLqqLLLLLELqqLL

12、qqLdtdqqLqqLdtdLqqLLqqLqqLqqLdtdqqLqqLdtdqqLdtdkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkk012121201201222(0,0 积分常数）如果010kkkkkkqqLqqLdtdNkqLqLdtd则系统能量守恒速度的一次项，格朗日函数不包括广义对于保守系统，如果拉系统机械能量守恒对于定常系统：系统机械能量不守恒对于非定常系统：EVTTTTTtrTtrEVTTELLELLLLLii20100202012120; 00002例题：如图所示，匀质杆质量m长度l，与质量m1匀质圆盘在中心铰接，圆盘在水平导轨上无摩擦滚动，其中心通过弹性系

13、数k的弹簧固定在墙上，用拉格朗日推导运动微分方程，写出能量积分。该系统为两自由度系统，圆盘中心水平位移x和摆角为广义坐标cos21612321121214cos222121212122212222222121xmlmlxmmmllxlxmrxrmxmT 系统动能：ElmglxkxmlmlxmmVTTTTTLgxllxkmlmlxmmkqLqLdtdVTLlmglxkVkkcos221cos216123210; 0;0sin3cos3202sincos32210cos22120222101202120 中可以看出：从系统势能：循环积分：）称之为广义动量（守恒不显含广义速度称之为循环积分循环坐标不

14、出现，则该坐标称为如果某个广义坐标通常情况下：jjjjjjjjjjkkCpqTqLqV;VTLCqLqLdtdqLqNkt ,q ,qLL001例题1，质量m的质点在重力场中运动，取直角坐标x,y,z为广义坐标,质点动能：yxzyxCymCxmyxLmgzzyxmVTLmgzVzmzTpymyTpxmxTpzyxmT;,21;21222222中不显含动量：对于各广义坐标的广义例题2，质量m的质点在有心力作用下运动，运动轨迹是一平面曲线，取平面极坐标，为广义坐标,质点动能：动量矩守恒因此中不显含势能：，质点在有心力场中运动CmLpLfMmmVTLfMmVmT22222222121例3：如图所示，

15、置于水平面上的薄球壳只滚不滑，质量M，半径a，内放一质量m的匀质杆，该系统由静止开始运动，开始瞬间棒与水平成角，试证明棒与水平线夹角满足下列关系：221222222121,coscoscos356coscos9sincos335ccImvTxmMgammM杆的动能：广义坐标：该系统为两自由度系统2222222222122222222221222222121cos61coscos2cos2cos31cos2121coscos2cos2121,coscoscos356coscos9sincos335ooccccIMvTmaaxaxmTmaamIaxaxvImvTxmMgammM球壳动能：杆的动能：

16、广义坐标：该系统为两自由度系统xooCxMmaxmxLxVTLEmgaIMvmaaxaxmEVTTTmgaVxMaxMaxM35coscoscoscos2121cos61coscos2cos2coscos6532212122222222222222坐标不显含系统势能coscoscosmMgacoscosmsincosmMEcoscosmgacoscosMmmaxCxx356933553300022222整理：由初始条件：，有初始条件：2.5 碰撞问题的拉格朗日方程方程）（碰撞问题的拉格朗日（广义冲量）是广义动量）（积分：两边对时间拉格朗日方程：jjtjjtjtjtjjjtjjttjtjjtjj

17、jQppQt dQtMt dqTt dqTqTqTqTqTdt dQt dqTqTdtQqTqTdtd0000000000例题：如图所示结构。两匀质杆OA和AB质量均为m，长均为l，铰接于A处。开始时两铅垂杆静止，今在AB杆中点D作用与杆垂直的水平冲量，求冲击后两杆的角速度。取sinlsinlycoslcoslycoslcoslxsinlsinlxmlJ;yxv;mlJJmvJTTTABOADCDDDDDDDDODDOABOA2222121312122222222其中：系统动能：杆的质心和分别为和为系统的广义坐标，设，取2131021340002131213421613200216132222

18、2222222mlpmlpppmlTpmlTpmlTcosmlT；：冲击后，系统动量增加；初始动量：冲击前，系统静止，广义动量：；即：于铅垂，冲击过程两杆始终处冲击过程位移忽略不计mlImlIlImlIlmlblIlIQcIlIlQ76732213121342222；解：根据拉格朗日方程：）（如图）（如图广义冲量：2.6 拉格朗日方程的应用举例间夹角）为两圆柱连心线与垂线为两圆柱轴线间距离，（式中标为：的重心在任意时刻的坐原点，试证明圆柱体坐标系定的重心的初始位置为固若以圆柱开始时系统是静止的，心在同一铅垂面上，不滑，已知两圆柱的重放在粗糙的地面上只滚而上滚动不滑动，的圆柱体放在质量为的圆柱体

19、如图所示，质量c353 BBcoscymMsinmMmxAOxyBMAm2222222222222121cos2214321212121mabccbmTAMbMbbMTBabacabacababaabAB动能：圆柱动能：圆柱动不滑动，因此：为广义坐标，由于是滚和，取该系统为两自由度系统coscymMsinmMmcxsincbxmMsinmcmcbCCsinmcmcmMbcosmcmcmMbCCbcmbcosbcbmMbLcosmgcabacmacosbccbmMbVTLcosmgcV353320002323000212341221432222222222；初始条件：积分得：；开始时系统静止，为

20、循环坐标拉格朗日函数：系统势能：例题：如图所示，质量m1半径R的匀质圆柱沿水平面纯滚动，上面作用以力矩M=Mocost的力偶，轴上装一物理摆，摆对轴的转动惯量JO，摆的质心在点A，OA=h，点O通过水平弹簧连接在固定的支座上，弹簧系数k，初始时系统静止，弹簧无变形， =0，试推出系统运动微分方程，并求出初始时刻铰链O的反力，设m1=40kg,摆的质量m2=0.25m1；MO=m1gR， JO =0.1m1R2，h=0.6RQLLdtdQxLxLdtdRMxRxMQ;QcosghmkxVcoshxmJxmThmJJcoshxhxvJvmTxmRxRmxmTTTTxxxOO由拉格朗日方程：系统广义

21、力：系统势能：摆对质心的动量矩：摆的质心速度：摆的动能：圆柱动能：系统的动能：为系统广义坐标和，取该系统为两自由度系统02121212212143212121222222222222222222222122121121NgmFNhxmFgxFhxmFgxOFFOgRgxxtghmxhmJkxtRMhmhmxmmoyoxgOO81. 943. 601 . 661 . 640; 0; 0; 00sincoscossincos232222222221 点的惯性力：初始时刻铰链点，由达朗伯原理：对于铰链；初始时刻：系统运动微分方程：例题：如图所示，在光滑的水平桌面上有一小孔，长度为l的质量不计的细绳穿

22、过，一端系质量m的小球A，另一端系相同质量的小球B，OA长度用计，当OA=a时，给小球A大小为v0，垂直于OA的初速度，OA与x轴夹角计，试（1）列出以表示小球A的运动微分方程；（2）求小球A在任意位置的速率。020020021212121320202002222222222222gvaavCavv,aCgLLdtd;LLdtdlmgmmVTLlmgVmmmmTTTBA 当根据拉格朗日方程：拉格朗日函数：系统势能：系统动能：和广义坐标系统为两自由度系统，gavadgvagvadddda22032022320222221 对上式积分：小球的速率：例题 如图所示两个半径为R的匀质圆柱共重P1，刚性

23、地固连在无重的细轴上，组成车轮，重量为P2的重物A连在长度l的细杆上，另外一端装在轮轴上，质量不计，假定摆离铅垂线的夹角很小，节点C处无摩擦，圆柱纯滚动，试求该系统运动00510022143V-T22143T22121432122212222221222222122222222122112121singcosxlsincoslmxmm.LLdtdxLxLdtdlagelangricosglmcosl xlxmxmLcosglmVcosl xlxmxmcosl xlxmvmTxmJvmTTTTmmxAcc ；方程：根据拉格朗日函数：系统势能：系统动能：圆柱动能：系统动能：为重物的质量为圆柱的质量

24、，为广义坐标和，取该系统为两自由度系统tcosCtsinCtsinCtcosClgmmlgmmCtCmm.lmxCmm.lmxgxlmm.lmxlmxmm.;cos;sinsingcosxlsincoslmxmm.nnnnnnnn434322121221212121221222122210321032151510510510100051 ）（二阶奇次常微分方程时，tcosmm.lmxtcosC;C;mm.lmC;C;x;x;tnn15105100000021020403210221如图所示，质量为m的小球在质量不计的光滑杆上自由滑动，杆OA铰接在匀角速度转动的圆盘上，并以匀角速度 =k向下倾斜

25、，试推导系统运动微分方程，并求出维持和k为常数时所需加在铅直轴上的力矩M MMQcosmgrVrsinrrmT, r系统广义力：系统势能：小球的动能为广义坐标，取本系统三个自由度，选22221 cossinkrmsinr rmMk;singcossinr rrcosgrsinrrMcossinrmsinr rmsinrmQrLrLdtd;QLLdtd;QLLdtdcosmgrrsinrrmVTLMMQcosmgrVrsinrrmT, rr22222222222222222222222121 代入：拉格朗日方程：系统广义力：系统势能：小球的动能为广义坐标，取本系统三个自由度，选例题：两轮用匀质杆连接，两轮只滚动不滑动，杆重P，轮重不计；弹簧系数k弹簧在=0未伸长，求系统平衡位置。