函数的弹性课件.ppt
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- 函数 弹性 课件
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1、湘潭大学数学与计算科学学院1 2.7 函数的弹性一、函数弹性的定义二、 弹性在经济分析中的应用三、小结湘潭大学数学与计算科学学院21. 函数的绝对变化率与相对变化率前面讨论的函数改变量与函数变化率为绝对改变量与绝对变化率. 但从实践中得知, 仅仅研究函数的绝对改变量与绝对变化率是很不够的, 还需要研究函数的相对改变量与相对变化率.一、函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院3101例如,每单位价格元,种商品涨价甲元;10001乙种商品每单位价格元,也涨价 元。1绝对改变则两种商品价的量格都是 元,但各与其原来的价格相比,两者涨价的10%却有很大的不同,甲种商品涨了幅度,0.1%而乙种商品价格只
2、涨了.因此我们很有必要研究函数的相对改变量与相对变化率.湘潭大学数学与计算科学学院4设函数 y = f (x)可导,当自变量 x 在 x0处给以增量 x 时,相应地,函数 y 有增量 00()().yf xxf x 称 , xy 为函数自变量与因变量的绝对改变量, 而称 00,xyxy 为自变量与因变量的相对改变量000000/()(),/()y yf xxf xxx xxf x 称为函数从 的相对变化率00 xxx 到到湘潭大学数学与计算科学学院5如 2yx 当 x 由10变到12时, y 由100变到144. 此时,绝对改变量为 2,44,xy 而相对改变量为20%,44%.xyxy表示当
3、 x 由10变到12时,x 产生了20%的改变, 而y产生了44%的改变湘潭大学数学与计算科学学院644%2.2%2.2(),20%1%yyxx 表示在(10, 12)内, x 从 x=10, 每改变 1%时, y平均改变了2.2%,它为从 x=10 到 x=12时, 函数 y = x2 的相对变化率且湘潭大学数学与计算科学学院7定义2.7.1 设函数 y = f (x) 在点 x = x0处可导,函数的相对改变量0000()(),()f xxf xyyf x 与自变量的相对改变量 0 xx 之比000000/()(),/()yyf xxf xxxxxf x 称为 f (x) 在点 x = x
4、0 到 0 xxx 两点间的相对2. 函数弹性的定义湘潭大学数学与计算科学学院8变化率,或称为从x = x0到 0 xxx 两点间的弹性 而当 0 x , 两点间相对变化率的极限 000/lim/xyyxx 称为 f(x)在点 x = x0的相对变化率,也称为f(x)在x0的弹性. 记作 0000000lim().()xx xxxyyfxxxyf x 0,x xyx 且湘潭大学数学与计算科学学院9一般的,如果 y = f (x) 可导,称0/lim( )/( )xyyyxfxxxxf x 为f (x) 的弹性函数 函数 f (x) 在点 x的弹性 yx 反映了函数 f (x) 随自变量的变化而
5、变化的幅度大小(灵敏度):当 x 变化1%时,函数 y 变化了 %.yx 湘潭大学数学与计算科学学院10由ydyxdyydxxxdxy 边际函数 平均函数 即,弹性可理解为边际函数与平均函数之商注意 两点间的弹性是有方向性的, 因为“相对性”是对初始值而言的.也就是说: 1221xxxx与与到到到到两点间的弹性是不同的.湘潭大学数学与计算科学学院11即指数函数的弹性为线性函数例2 求函数 xyae 的弹性函数 (0).a 解 .xxyxxya exxyae 例1 求函数 byax 的弹性函数(0).ab 解 1,bbyxxyabxbxyax 即幂函数的弹性为其幂指数b. 湘潭大学数学与计算科学
6、学院12二、弹性在经济分析中的应用1. 需求弹性与供给弹性定义2.7.2 设某商品的需求函数为 Q = f (P), 在 0PP 处可导,称000000/()()/()Q Qf PPf PPPPPf P 为需求函数Q=f(P) 在P=P0与 0PPP 两点间 的需求价格弹性, 记作 (2.7.3)00(,).P PP 湘潭大学数学与计算科学学院13而称000000/lim()()/()PQ QPfPPPf P 为需求函数Q=f(P) 在P=P0处的需求(价格)弹性, 记作 0().P (2.7.4)价格从 000000/()()/()Q Qf PPf PPPPPf P 0PP 每 湘潭大学数学
7、与计算科学学院14表示: 当商品价格为P0时, 若价格上涨(下降)1%时, 当把定义中的 P0 换成 P 时,所得结果分别称为需及需求的(价格)弹性函数 .( )P 000000/lim()()/()PQ QPfPPPf P 湘潭大学数学与计算科学学院15说明 需求弹性是刻画当商品价格变动时, 需求 变动的强弱. 由于需求函数 Qf (P) 是单调减少函数, 则P 与 Q 异号, 而P0, Q0 是正数, 于是00/,/Q QPP 000()PfPQ 都是负数.为了用正数表示需求弹性, 于是采用需求函数相对变化率的反号来定义需求弹性.湘潭大学数学与计算科学学院16例3 某商品的需求函数为 12
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