总体标准差的置信区间为课件.ppt

1、区间估计的具体做法是，构造两个统计量区间估计的具体做法是，构造两个统计量 及及 且且 ，用区间，用区间 来估计未来估计未知参数知参数 的可能取值范围，要求的可能取值范围，要求 落在区间落在区间 的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小的概率尽可能的大。通常，我们事先给定一个很小的数的数 按概率按概率 估估计总体参数计总体参数 可能落入区间可能落入区间 的概率。的概率。 称为置信度或置信水平称为置信度或置信水平, 称为检验水平称为检验水平(估计不成估计不成功的概率功的概率),区间区间 称为置信度为称为置信度为 的置信的置信区间。区间。%)1%5, 10(或或常常取取 1 ),(21 1 ),

2、(21 1),(21 ),(21 212( ,)nx XX，),(211nXXX 12121标准差标准差 已知时，均值已知时，均值 的区间估计的区间估计一、正态总体数学期望的区间估计一、正态总体数学期望的区间估计对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量对于正态分布总体（对其他分布的总体，当容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知总体时，可近似看成正态分布）如果已知总体标准差为标准差为 ，样本均值为，样本均值为 ，则在置信度，则在置信度 下总体均值下总体均值 的置信区间为的置信区间为 （8.16）其中：其中： 为样本容量，为样本容量， 为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧 分位点，即分位

3、点，即 X1 nUXnUX 22, 2Uan21/XPUn 中心中心在置信区间中，在置信区间中， 为点估计值。置信区间实际上是为点估计值。置信区间实际上是以以 为中心，以为中心，以 为半径的区间。我们为半径的区间。我们将将 称为称为边际误差边际误差。XX2Un 2Un nUXnUX 22,边际误差边际误差案例案例8.3 CJW公司是一家专营体育设备和器材的公司是一家专营体育设备和器材的邮购公司邮购公司.为了跟踪服务质量为了跟踪服务质量,CJW每个月选取每个月选取100位顾客的邮购订单组成简单随机样本位顾客的邮购订单组成简单随机样本.每位顾客对每位顾客对公司的服务水平在公司的服务水平在0(最差等

4、级最差等级)到到100(最好等级最好等级)间间打分打分,然后计算样本平均值然后计算样本平均值. 根据以往的资料显示根据以往的资料显示,每个月顾客满意得分的平均值都在变动每个月顾客满意得分的平均值都在变动,但满意得但满意得分的样本标准差趋于稳定的数值分的样本标准差趋于稳定的数值20附近附近.所以我们所以我们假定总体标准差为假定总体标准差为20.又最近一次顾客对又最近一次顾客对CJW满满意程度的平均值为意程度的平均值为82.试求置信度为试求置信度为95%的总体均的总体均值的置信区间。值的置信区间。 样本容量大于样本容量大于30，近似按正态分布处理。总体，近似按正态分布处理。总体方差方差 ，样本均值

5、，样本均值 。置信度为。置信度为 ，则，则 。通过查正态分布。通过查正态分布表得表得 ，代入公式（，代入公式（10.1）得置信度）得置信度为为95%时，顾客满意度的边际误差时，顾客满意度的边际误差为为 ，所以置信区间为，所以置信区间为即即 。即有。即有95%的把握认为顾客的满的把握认为顾客的满意分数落在区间意分数落在区间 内。内。20 82X 10.95 0.0252 0.0251.96U 201.963.92100 823.92,823.92 78.08, 85.92 78.08, 85.92解：解：案例案例8.4 在一批包装商品中，抽取在一批包装商品中，抽取100个小包装袋，个小包装袋，已

6、知样本的质量平均数是已知样本的质量平均数是21克，总体标准差为克，总体标准差为6克，克，在置信度为在置信度为95%的要求下，计算置信区间。的要求下，计算置信区间。解：解：计算平均误差：计算平均误差： 60.6100n05. 0,95. 01 025. 02 ,975. 021)(2 u由由96. 12 u查查表表得得置信区间的上限是：置信区间的上限是： 18.226 . 096. 12110096. 1 X置信区间的下限是置信区间的下限是： 82.196 . 096. 12110096. 1 X 即这批小包装的质量平均在即这批小包装的质量平均在22.18至至19.82之间，可之间，可信度为信度

7、为95 %。 2标准差标准差 未知时，均值未知时，均值 的区间估计的区间估计对于正态分布总体（对其它分布的总体，当样本对于正态分布总体（对其它分布的总体，当样本容量容量 30时，可近似看成正态分布）如果已知样时，可近似看成正态分布）如果已知样本均值为本均值为 ，但总体标准差，但总体标准差 为未知，则总为未知，则总体均值体均值 在置信度在置信度 下的置信区间为下的置信区间为 （8.17）其中，其中， 为自由度为为自由度为 的的 分布的双分布的双侧侧 分位点，分位点， 为样本容量，为样本容量， 为样本标准为样本标准差即差即 。 X 1 22(1),(1)SSXtnXtnnn 2(1)tn 1n t

8、 nS211()1niiSXXn （8.17）式说明，总体标准差）式说明，总体标准差 为未知时，总为未知时，总体均值的置信区间为以体均值的置信区间为以 为中心，以为中心，以 为边际误差的区间。为边际误差的区间。 X2(1)Stnn 22(1),(1)SSXtnXtnnn 中心中心边际误差边际误差案例8.5 斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅斯切尔公司对培训企业维修工的计算机辅助程序感兴趣助程序感兴趣.为了了解这种计算机辅助程序能缩为了了解这种计算机辅助程序能缩短多少培训时间短多少培训时间,需要评估这种程序在需要评估这种程序在95%置信水置信水平下培训时间平均值的置信区间。已知培训时间总平下培

9、训时间平均值的置信区间。已知培训时间总体是正态分布，管理者对体是正态分布，管理者对15名维修工进行了测试，名维修工进行了测试，所得培训时间如表所得培训时间如表8-2所示，试估计所示，试估计95%置信水平置信水平下总体均值的置信区间。下总体均值的置信区间。维修维修工编工编号号 123456789101112131415培训培训天数天数 5244 55444559505462465458606263表表8-2 15名维修工的培训天数名维修工的培训天数 返回案例返回案例8.10 解：解：已知总体是正态分布，但总体方差已知总体是正态分布，但总体方差 未知，应未知，应用（用（8.17）式进行计算，首先计

10、算样本均值和样）式进行计算，首先计算样本均值和样本方差本方差.置信水平为置信水平为95%，则，则 ,自由度为自由度为 , 查表得查表得所以边际误差所以边际误差 ： 80853.8715ixxn 211651.73()6.82114niisxxn （天天）0.0252 114n 2(1)2.1448tn 26.82(1)2.14483.7815stnn 因而由（因而由（8.17）式在应用辅助程序后该公司）式在应用辅助程序后该公司培训维修工时间在培训维修工时间在95%置信度下的置信区间置信度下的置信区间为为 53.873.78,53.873.78 50.09,57.65即：即：案例8.6 表表8-

11、3列出了选取列出了选取36名投保人组成的简单随名投保人组成的简单随机样本的年龄数据。在机样本的年龄数据。在90%置信水平下，求总体年置信水平下，求总体年龄均值的置信区间。龄均值的置信区间。表表8-3 投保人样本的年龄投保人样本的年龄解：解：总体分布未知，但样本量为总体分布未知，但样本量为 ，大于，大于30。近似看成正态分布处理。由于总体的方差未近似看成正态分布处理。由于总体的方差未知，所以应用知，所以应用(8.17)式来求总体的置信区间式来求总体的置信区间 从表从表8-3中通过计算可得，样本均值为中通过计算可得，样本均值为39.5岁，这岁，这是总体均值的点估计。是总体均值的点估计。在置信度为在

12、置信度为90%时时: 36n 36211(39.5)7.7735iisx 0.052 135n 另可算得样本标准差另可算得样本标准差 :所以在所以在90%的置信度下，总体年龄均值的置信区的置信度下，总体年龄均值的置信区间为，间为，0.052(1)(35)1.6896tnt 查查表表得得27.77(1)1.68962.18836stnn 39.52.188, 39.52.188 37.312,41.688即：即：案例8.7 纽约时报纽约时报1988年年鉴年年鉴公布了各行业每公布了各行业每人每周的平均工作收入。在服务行业，假如由人每周的平均工作收入。在服务行业，假如由36名名服务业人士组成的样本的

13、个人周收入均值为服务业人士组成的样本的个人周收入均值为369美美元，样本标准差为元，样本标准差为50美元。计算服务业人士周收入美元。计算服务业人士周收入总体均值的总体均值的95%置信区间。置信区间。解：解：总体分布未知，样本容量总体分布未知，样本容量 ，可近似为，可近似为正态分布抽样。由于总体方差未知，应用正态分布抽样。由于总体方差未知，应用（8.17）式处理。）式处理。置信度为置信度为95%， ，自由度自由度 36n 0.0252 135n 所以服务业人士总体均值的所以服务业人士总体均值的95%置信区间为置信区间为 0.0252(1)(35)2.0301tnt 查查表表得得250(1)2.0

14、30116.917536stnn 边边际际误误差差 36916.9175, 36916.9175 即（即（352.0825，385.9175）.二、正态总体方差的区间估计二、正态总体方差的区间估计对于未知方差的正态分布总体，因统计量对于未知方差的正态分布总体，因统计量222(1)(1)nSn 所以对给定的置信度所以对给定的置信度 ，由，由 分布有分布有1 2 2222122(1)(1)(1)1nSPnn 成立，即有成立，即有22222122(1)(1)1(1)(1)nSnSPnn 成立。成立。而均方差而均方差 的的 置信区间为置信区间为 1 故故 的的 置信区间为置信区间为2 1 ) 1()

15、1(,) 1() 1(2212222nSnnSn) 1() 1(,) 1() 1(22122nnSnnS案例8.8 计算计算案例案例8.7中服务业人士总体标准差的中服务业人士总体标准差的95%置信区间。置信区间。 解：解：36n 50s 10.95 220.0252(1)(361)53.203n 220.97512(1)(361)20.569n 将以上数据代入将以上数据代入(8.19)式得总体标准差的式得总体标准差的95%置信区间为置信区间为(44.5542,65.2225).由案例由案例8.7已知样本容量已知样本容量 ，样本标准，样本标准差差 ，置信度，置信度 ，查表得，查表得三、总体比率的

16、区间估计（大样本）我们可以通过样本比率我们可以通过样本比率 在一定置信度下确定在一定置信度下确定总体比率总体比率 的置信区间。的置信区间。引例8.3在在案例案例8.5中，我们对斯切尔公司职工培训中，我们对斯切尔公司职工培训时间的均值进行了区间估计。为了从多角度评估该时间的均值进行了区间估计。为了从多角度评估该项目，需进一步对培训质量进行评估，对项目，需进一步对培训质量进行评估，对45人的样人的样本进行了测试，本进行了测试， 结果有结果有36人通过了考核。本次测人通过了考核。本次测试的通过率为试的通过率为80%。但再进行测试时，通过率可能。但再进行测试时，通过率可能就不一定正好是就不一定正好是8

17、0%，可能是其它的数据。那么总，可能是其它的数据。那么总体通过测试的比率该在什么范围内呢？体通过测试的比率该在什么范围内呢？ pp可以证明，样本比率可以证明，样本比率 是总体比率是总体比率 的无偏估的无偏估计，并且在大样本（样本容量计，并且在大样本（样本容量=30）的情形下）的情形下 的分布近似服从正态分布。在置信水平的分布近似服从正态分布。在置信水平 下，下，用样本比率用样本比率 估计总体比率估计总体比率 产生的边际误产生的边际误差为差为:所以总体比率的置信区间为所以总体比率的置信区间为其中其中 为标准正态分布的双侧为标准正态分布的双侧 分位点。分位点。ppp1 pp2(1)ppUn 2(1

18、)pppUn 2U a案例8.9 接着讨论接着讨论引例引例8.3中斯切尔公司的培训质中斯切尔公司的培训质量，已知量，已知45培训维修工中有培训维修工中有36人通过了考试。在人通过了考试。在95%的置信水平下求总体培训合格比率的置信区间。的置信水平下求总体培训合格比率的置信区间。解：解：由于样本容量由于样本容量 ，近似将抽样分布看成，近似将抽样分布看成正态分布，样本比率正态分布，样本比率 .置信水平为置信水平为0.95，所以，所以 ，30n 360.8045p 0.02521.96UU 2(1)0.8(10.8)1.960.1245ppUn 且且由（由（8.20）式，总体培训合格率的置信区间）式

19、，总体培训合格率的置信区间为为 ，即（，即（0.68,0.92） 0.80.12 四、正态总体在对均值的区间估计中所需四、正态总体在对均值的区间估计中所需的样本容量的样本容量在对方差已知的正态分布总体均值进行区间在对方差已知的正态分布总体均值进行区间估计时，边际误差为估计时，边际误差为2Un 2U n1 2U En 和样本容量和样本容量 共同确定了边际误差。共同确定了边际误差。一旦确定了置信水平一旦确定了置信水平 ，也就确定了，也就确定了 。此时影响边际误差的唯一因素就是样本容此时影响边际误差的唯一因素就是样本容量量 。如果对边际误差水平（用。如果对边际误差水平（用 表示）表示）有约定，则需要

20、的样本容量有约定，则需要的样本容量 也就唯一确定也就唯一确定了。了。两个未两个未知变量知变量nn1 2U En 和样本容量和样本容量 共同确定了边际误差。共同确定了边际误差。一旦确定了置信水平一旦确定了置信水平 ，也就确定了，也就确定了 。此时影响边际误差的唯一因素就是样本容此时影响边际误差的唯一因素就是样本容量量 。如果对边际误差水平（用。如果对边际误差水平（用 表示）表示）有约定，则需要的样本容量有约定，则需要的样本容量 也就唯一确定也就唯一确定了。了。n样本容量样本容量 的公式推导如下：的公式推导如下：令令 代表希望的边际误差代表希望的边际误差解出样本容量解出样本容量 的表达式的表达式

21、在给定的置信水平下，该样本容量满足所希在给定的置信水平下，该样本容量满足所希望的边际误差。望的边际误差。n2EUn 22UnE nE案例案例8.10在在案例案例8.5所述斯切尔公司的培训安排中，所述斯切尔公司的培训安排中，计划总体标准差为计划总体标准差为 。如果希望的边际误。如果希望的边际误差为差为2天，置信度为天，置信度为95%，样本容量应该为多大？，样本容量应该为多大？解：由题意知由题意知 ：则则 。查表得。查表得 ，代入（代入（8.21）式有：）式有： 6.82 6.82 2E 10.95 置置信信度度0.0252 0.0251.96U 2226.82 1.9644.67452UnE 所

22、以，应该抽取至少所以，应该抽取至少45个样本个样本。注意注意：公式公式(8.21)(8.21)要求总体标准差要求总体标准差 是已知的。是已知的。当当 未知时。通常用样本标准差未知时。通常用样本标准差 代替总体标代替总体标准差。准差。 s案例案例8.11在华尔街日报的纽约股票交易所(New York Stock Exchange)版面上，给出了每支股票52周以来每股最高价、最低价、分红率、价格/ 收益(P/E)比率、日成交量、日最高价、日最低价、收盘价等信息。每支股票的P/E比率由公司最近四个季度公布的每股收益除价格得到。在一次大样本的抽查中，样本方差（the Wall Street Joura

23、l, 1998.3.19）。假定我们要求对纽约股票交易列示的所有股票P/E比率的总体均值进行估计，要求95%置信度下的边际误差，则样本容量应包含多少支股票？ 解：解：由于是大样本抽样，可将总体视为正态分布。由于是大样本抽样，可将总体视为正态分布。总体标准差未知，用样本标准差代替，总体标准差未知，用样本标准差代替，即即 。置信度。置信度 则则 ，通过查表得通过查表得 ，代入（，代入（8.21）式有：）式有：所以按要求，样本容量应包含所以按要求，样本容量应包含26支股票。支股票。2227.81.9625.97263UnE （支支）7.8s 10.95 0.0252 0.0251.96U 五、正态总

24、体在对总体比率的区间估计中所需的样本容量现在考虑在给定边际误差时，应选用的多大的样本现在考虑在给定边际误差时，应选用的多大的样本容量来估计总体比率。前面已知用样本比率容量来估计总体比率。前面已知用样本比率 估估计总体比率估计的边际误差计总体比率估计的边际误差解得解得 （8.22） 其中，其中， 是事先给定的边际误差。是事先给定的边际误差。 为标准为标准正态分布的双侧正态分布的双侧 分位点。分位点。p2(1)ppEUn 222(1)UppnE E2U a案例8.12 仍回到斯切尔公司的仍回到斯切尔公司的案例案例8.5中去，我们中去，我们要对培训项目测验的总体比率进行估计。在测试中要对培训项目测验

25、的总体比率进行估计。在测试中的的45名维修工中有名维修工中有36名通过了测试名通过了测试,如果斯切尔公如果斯切尔公司的生产主管在司的生产主管在95%置信水平和边际误差为置信水平和边际误差为0.10的的条件下对总体比率进行区间估计。那么你建议抽取条件下对总体比率进行区间估计。那么你建议抽取多少样本？多少样本？解： 对总体比率评估的样本量的确定应用对总体比率评估的样本量的确定应用(8.22)式式,已知样本比率为已知样本比率为 ,希望的边际误差希望的边际误差为为 ,置信度为置信度为95%,查表得查表得样本量为整数样本量为整数,所以应取所以应取62个样本个样本.由由(8.22)式式,样本容量：样本容量

26、：360.845p 0.1E 0.02521.96UU 22222(1)1.960.8 0.261.470.1UppnE 随堂练习随堂练习1、某厂生产一种零件所需工时服从正态分布，现某厂生产一种零件所需工时服从正态分布，现加工一批零件加工一批零件16个，平均用时为个，平均用时为2.5小时，它们的小时，它们的标准差为标准差为012小时计算在小时计算在95置信度下，总体置信度下，总体均值的置信区间为多少；总体标准差的置信区间均值的置信区间为多少；总体标准差的置信区间为多少？为多少？解：22(1),(1)0.120.122.52.1315,2.52.13151616SSXtnXtnnn在在95置信度

27、下未知总体方差时总体均值的置信度下未知总体方差时总体均值的置信区间为：置信区间为：总体标准差总体标准差 的置信区间为：的置信区间为： 22122(1)(1),(1)(1)15150.12, 0.1227.4886.2620.089,0.186nnSSnn 2、设某地居民每户每月粮食平均需要量又服从、设某地居民每户每月粮食平均需要量又服从正态分布，随机抽取正态分布，随机抽取10户，需要量户，需要量(单位：公斤单位：公斤)为：为： 45，38，5047，44，33，42，40，39，40，已知该地有已知该地有1500户居民为保证至少有户居民为保证至少有95的把的把握能满足居民的需求，粮店每月最少应

28、进多少粮握能满足居民的需求，粮店每月最少应进多少粮食食?解：设设 则：则：241.8,23.95,4.894xss2( ,)XN 总体均值总体均值 的置信度的置信度0.95的置信区间为：的置信区间为： 为保证至少有为保证至少有95的把握能满足居民的需求，粮的把握能满足居民的需求，粮店每月最少应进店每月最少应进453 150067950公斤公斤 0.0250.025(9),(9)10104.8944.89441.82.262241.82.2622101038.3,45.3ssxtxt ， 3、某厂生产一批金届材料，其抗弯强度服从正态分、某厂生产一批金届材料，其抗弯强度服从正态分布今从这布今从这批

29、金属材料中随机抽取批金属材料中随机抽取11个试件，测得它们的抗弯个试件，测得它们的抗弯强度为强度为(单位：公斤单位：公斤)： 425， 427， 430， 423， 434， 445，440， 438， 441， 439， 437、求：求：(1)平均抗弯强度平均抗弯强度 的置信度的置信度0.95的置信区间；的置信区间；(2)抗弯强度标准差抗弯强度标准差 的置信度的置信度0.90的置信区间的置信区间解： （1）经计算）经计算0.025(10)2.2281t 43.45,0.7216xs查表得：查表得：平均抗弯强度平均抗弯强度 的置信度的置信度0.95的置信区间的置信区间为：为： 正态分布总体的标准差的置信度正态分布总体的标准差的置信度 的置的置信区间为：信区间为：1 0.72160.721643.452.2281,43.452.2281111142.97,43.93 220.050.95(10)18.307,(10)3.940（2） 22122(1)(1),(1)(1)0.5333, 1.1496nnSSnn