复变函数与积分变换第5章留数课件.ppt

1、本章学习目标 1、了解孤立奇点的概念; 2、会求可去奇点, 本性奇点; 3、熟练掌握极点的求法; 4、会求留数; 5、熟练掌握留数定理; 6、会用留数定理计算积分; 7、了解留数的一些应用。5.1 留数的概念与计算 设 为函数 的孤立奇点, 为圆周: ,若 在 解析,则称为 在点 的留数,记作 或 ,即a zfCaz zfaz0 Cdzzfi21 zfaafs,Re asRe Cdzzfiafs21,Re方法一:利用定义式子计算,即方法二:其中 为函数 在点 的去心邻域内所展成的罗朗级数中 的系数.方法三:若点 为函数 的一级极点,则1,Re Cafs1C zfaz az 1a zf zfaz

2、afsazlim,Re Cdzzfiafs21,Re方法四方法四: 若点 为函数 的一级极点( 与 均在点 解析,且 ),则方法五方法五: :若点 为函数 的 级极点,则a zhzzf z zha , 0, 0aha 0 ah ahaafs,Rea zfm zfazdzdmafsmmmaz11lim!11,Re解:同理Cdzzzecz,122z ,21lim11lim1 ,Re121ezzezzezzfszzzz ,21lim11lim1,Re1121ezzezzezzfszzzz例2 我们也可用另外的方法来求留数:12222112icheeidzzzecz ,212111 ,Re2ezzze

3、zzzezfszz因此 .212111,Re12ezzzezzzezfszz12222112icheeidzzzecz解: 6sinzzzzf0z .!51coslim!51sinlim!51sinlim!1610,sinRe050665506zzzzzzzdzdzzzszzz设 为函数 的孤立奇点, 为圆周 ,若 在 内解析( ),则称 为函数 在点 的留数,记作 或 .即其中 表示积分是沿围线 的负方向进行.z zfCz zf zRR Cdzzfi21 zfz,Refs sReCC Cdzzfifs21,Re方法一:利用定义式子,即方法二:方法三: Cdzzfifs21,Re1,ReCfs

4、0 ,11Re,Re2zzfsfs5.2 留数定理定理5.1(留数定理) 设函数 在区域 内除有限个孤立奇点 处处解析. 是 内包含诸奇点的任意一条正向简单闭曲线,则 zfDkzzz,21CD nkkczzfsidzzf1,Re2定理5.2 若函数 在扩充复平面上除有限个奇点 外是解析的，则 在点 处的留数之和为零，即 zf,21naaa,21naaa zf0,Re,Re1njjafsfs5.3 留数在计算某些定积分上的应用 复变函数是一门工程数学，在工程技术上有许多应用,复变函数在稳定平面流场和静电场以及在工程技术上都有许多用,由于涉及到许多专业知识,因此我们在此只简述一点留数在定积分计算上

5、的应用.在数学以及实际问题中往往要求出一些定积分的值,而这些定积分中,被积函数的原函数不能用初等函数的有限形式表示出来;有时即便可求出原函数,计算也往往比较复杂.利用留数定理,来计算这些类型的定积分,只需计算这些解析函数在孤立奇点处的留数;这样一来就把问题大大简化了.这里的 与 分别为 的 次和 次多项式，且有 ； 与 无公因式； 在实轴上无零点。解法其中 为 在上半平面的全部奇点 dxxQxP： xP xQxnm2nm xP xQ xQ njjzzQzPsidxxQxP1,Re2njzj, 2 , 1, zQzPzf这里的 与 分别为 的 次和 次多项式，且有 ； 与 无公因式； 在实轴上无

6、零点， 。解法其中 为 在上半平面的全部奇点 dxexQxPikx： xP xQxnm1nm xP xQ xQ njjikzikxzezQzPsidxexQxP1,Re2njzj, 2 , 1, ikzezQzPzf0k njjikzzezQzPsikxdxxQxP1,Re2Recos njjikzzezQzPsikxdxxQxP1,Re2Imsin 这里的 表示一个关于 和 的有理函数，且它在 上连续.解法一:作变换 化为复变函数沿围线的积分 20sin,cosdxxxRa：xxRasin,cosxcosxsin20，dzizizzzzRadxxxRaz 12220121,21sin,cos

7、ixez 解法二:作变换 化为类型的积分 dtttttRadxxxRadxxxRa2222201212,11sin,cossin,cos2tanxt 5.4 对数留数与幅角原理设 是一围线,函数 在 内部有 个零点 ,它们的级为 ;当 时, ;函数 在 内部有 个极点 ,它们的级为 ;若函数 在 内部及 上除 外解析,则CC zfmmaaa,21m,21Cz 0zf zfCnnbbb,21n,21 zfCCnbbb,21 njjmjjCdzzfzfi1121 上式左端称为函数 关于围线 的对数留数.定理5.4(幅角原理) 设有围线 与函数 ,若 在 的内部及 上满足对数留数定义条件,则式中 表

8、示 沿 的正向绕行一周时,函数 的幅角的改变量. njjmjjCdzzfzfi1121 zfCC zf zfCC zfcnjjmjjarg2111 zfcargzC zf定理5.5(儒歇定理)设 是一围线,若函数 与 均在 内部及 上解析,且满足 则 与 在 的内部的零点个数相同(一个 级零点算作 个零点)对数留数从“量”的方面揭示了函数关于围线的特征，幅角原理从“形”的角度揭示了其特征，儒歇定理提供了一种判定解析函数的零点个数的方法。C zf zCC Czzfz, zzf zfCnn 解 令 由于 与 均在 上解析,且在 上满足 ，所以，由定理5.3可知， 与 在 内的零点个数相同。 而 在

9、 内有5个零点，故 在 内有5个零点。 127358zzzzg1z 123,785zzzzzf zf z1z1z zfz zg zf1z zf1z zg1z11醉翁亭记 1反复朗读并背诵课文，培养文言语感。2结合注释疏通文义，了解文本内容，掌握文本写作思路。3把握文章的艺术特色，理解虚词在文中的作用。4体会作者的思想感情，理解作者的政治理想。一、导入新课范仲淹因参与改革被贬，于庆历六年写下岳阳楼记，寄托自己“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的政治理想。实际上，这次改革，受到贬谪的除了范仲淹和滕子京之外，还有范仲淹改革的另一位支持者北宋大文学家、史学家欧阳修。他于庆历五年被贬谪到滁州，也就是今天

10、的安徽省滁州市。也是在此期间，欧阳修在滁州留下了不逊于岳阳楼记的千古名篇醉翁亭记。接下来就让我们一起来学习这篇课文吧！【教学提示】结合前文教学，有利于学生把握本文写作背景，进而加深学生对作品含义的理解。二、教学新课目标导学一：认识作者，了解作品背景作者简介：欧阳修(10071072)，字永叔，自号醉翁，晚年又号“六一居士”。吉州永丰(今属江西)人，因吉州原属庐陵郡，因此他又以“庐陵欧阳修”自居。谥号文忠，世称欧阳文忠公。北宋政治家、文学家、史学家，与韩愈、柳宗元、王安石、苏洵、苏轼、苏辙、曾巩合称“唐宋八大家”。后人又将其与韩愈、柳宗元和苏轼合称“千古文章四大家”。关于“醉翁”与“六一居士”：

11、初谪滁山，自号醉翁。既老而衰且病，将退休于颍水之上，则又更号六一居士。客有问曰：“六一何谓也？”居士曰：“吾家藏书一万卷，集录三代以来金石遗文一千卷，有琴一张，有棋一局，而常置酒一壶。”客曰：“是为五一尔，奈何？”居士曰：“以吾一翁，老于此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。醉翁亭记就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文顺字1初读文章，结合工具书梳理文章字词。2朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节

12、奏划分示例环滁/皆山也。其/西南诸峰，林壑/尤美，望之/蔚然而深秀者，琅琊也。山行/六七里，渐闻/水声潺潺，而泻出于/两峰之间者，酿泉也。峰回/路转，有亭/翼然临于泉上者，醉翁亭也。作亭者/谁？山之僧/曰/智仙也。名之者/谁？太守/自谓也。太守与客来饮/于此，饮少/辄醉，而/年又最高，故/自号曰/醉翁也。醉翁之意/不在酒，在乎/山水之间也。山水之乐，得之心/而寓之酒也。节奏划分思考“山行/六七里”为什么不能划分为“山/行六七里”？明确：“山行”意指“沿着山路走”，“山行”是个状中短语，不能将其割裂。“望之/蔚然而深秀者”为什么不能划分为“望之蔚然/而深秀者”？明确：“蔚然而深秀”是两个并列的词

13、，不宜割裂，“望之”是总起词语，故应从其后断句。【教学提示】引导学生在反复朗读的过程中划分朗读节奏，在划分节奏的过程中感知文意。对于部分结构复杂的句子，教师可做适当的讲解引导。目标导学三：结合注释，翻译训练1学生结合课下注释和工具书自行疏通文义，并画出不解之处。【教学提示】节奏划分与明确文意相辅相成，若能以节奏划分引导学生明确文意最好；若学生理解有限，亦可在解读文意后把握节奏划分。2以四人小组为单位，组内互助解疑，并尝试用“直译”与“意译”两种方法译读文章。3教师选择疑难句或值得翻译的句子，请学生用两种翻译方法进行翻译。翻译示例：若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝，晦明变化者，山间之朝暮也。野芳发

14、而幽香，佳木秀而繁阴，风霜高洁，水落而石出者，山间之四时也。直译法：那太阳一出来，树林里的雾气散开，云雾聚拢，山谷就显得昏暗了，朝则自暗而明，暮则自明而暗，或暗或明，变化不一，这是山间早晚的景色。野花开放，有一股清幽的香味，好的树木枝叶繁茂，形成浓郁的绿荫。天高气爽，霜色洁白，泉水浅了，石底露出水面，这是山中四季的景色。意译法：太阳升起，山林里雾气开始消散，烟云聚拢，山谷又开始显得昏暗，清晨自暗而明，薄暮又自明而暗，如此暗明变化的，就是山中的朝暮。春天野花绽开并散发出阵阵幽香，夏日佳树繁茂并形成一片浓荫，秋天风高气爽，霜色洁白，冬日水枯而石底上露，如此，就是山中的四季。【教学提示】翻译有直译与

15、意译两种方式，直译锻炼学生用语的准确性，但可能会降低译文的美感；意译可加强译文的美感，培养学生的翻译兴趣，但可能会降低译文的准确性。因此，需两种翻译方式都做必要引导。全文直译内容见我的积累本。目标导学四：解读文段，把握文本内容1赏析第一段，说说本文是如何引出“醉翁亭”的位置的，作者在此运用了怎样的艺术手法。明确：首先以“环滁皆山也”五字领起，将滁州的地理环境一笔勾出，点出醉翁亭坐落在群山之中，并纵观滁州全貌，鸟瞰群山环抱之景。接着作者将“镜头”全景移向局部，先写“西南诸峰，林壑尤美”，醉翁亭坐落在有最美的林壑的西南诸峰之中，视野集中到最佳处。再写琅琊山“蔚然而深秀”，点山“秀”，照应上文的“美

16、”。又写酿泉，其名字透出了泉与酒的关系，好泉酿好酒，好酒叫人醉。“醉翁亭”的名字便暗中透出，然后引出“醉翁亭”来。作者利用空间变幻的手法，移步换景，由远及近，为我们描绘了一幅幅山水特写。2第二段主要写了什么？它和第一段有什么联系？明确：第二段利用时间推移，抓住朝暮及四季特点，描绘了对比鲜明的晦明变化图及四季风光图，写出了其中的“乐亦无穷”。第二段是第一段“山水之乐”的具体化。3第三段同样是写“乐”，但却是写的游人之乐，作者是如何写游人之乐的？明确：“滁人游”，前呼后应，扶老携幼，自由自在，热闹非凡；“太守宴”，溪深鱼肥，泉香酒洌，美味佳肴，应有尽有；“众宾欢”，投壶下棋，觥筹交错，说说笑笑，无

17、拘无束。如此勾画了游人之乐。4作者为什么要在第三段写游人之乐？明确：写滁人之游，描绘出一幅太平祥和的百姓游乐图。游乐场景映在太守的眼里，便多了一层政治清明的意味。太守在游人之乐中酒酣而醉，此醉是为山水之乐而醉，更是为能与百姓同乐而醉。体现太守与百姓关系融洽，“政通人和”才能有这样的乐。5第四段主要写了什么？明确：写宴会散、众人归的情景。目标导学五：深入解读，把握作者思想感情思考探究：作者以一个“乐”字贯穿全篇，却有两个句子别出深意，不单单是在写乐，而是另有所指，表达出另外一种情绪，请你找出这两个句子，说说这种情绪是什么。明确：醉翁之意不在酒，在乎山水之间也。醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。这

18、种情绪是作者遭贬谪后的抑郁，作者并未在文中袒露胸怀，只含蓄地说：“醉能同其乐，醒能述以文者，太守也。”此句与醉翁亭的名称、“醉翁之意不在酒，在乎山水之间也”前后呼应，并与“滁人游”“太守宴”“众宾欢”“太守醉”连成一条抒情的线索，曲折地表达了作者内心复杂的思想感情。目标导学六：赏析文本，感受文本艺术特色1在把握作者复杂感情的基础上朗读文本。2反复朗读，请同学说说本文读来有哪些特点，为什么会有这些特点。(1)句法上大量运用骈偶句，并夹有散句，既整齐又富有变化，使文章越发显得音调铿锵，形成一种骈散结合的独特风格。如“野芳发而幽香，佳木秀而繁阴”“朝而往，暮而归，四时之景不同，而乐亦无穷也”。(2)

19、文章多用判断句，层次极其分明，抒情淋漓尽致，“也”“而”的反复运用，形成回环往复的韵律，使读者在诵读中获得美的享受。(3)文章写景优美，又多韵律，使人读来不仅能感受到绘画美，也能感受到韵律美。目标导学七：探索文本虚词，把握文言现象虚词“而”的用法用法文本举例表并列1.蔚然而深秀者；2.溪深而鱼肥；3.泉香而酒洌；4.起坐而喧哗者表递进1.而年又最高；2.得之心而寓之酒也表承接1.渐闻水声潺潺，而泻出于两峰之间者；2.若夫日出而林霏开，云归而岩穴暝；3.野芳发而幽香，佳木秀而繁阴；4.水落而石出者；5.临溪而渔；6.太守归而宾客从也；7.人知从太守游而乐表修饰1.朝而往，暮而归；2.杂然而前陈者

20、表转折1.而不知人之乐；2.而不知太守之乐其乐也虚词“之”的用法用法文本举例表助词“的”1.泻出于两峰之间者；2.醉翁之意不在酒；3.山水之乐；4.山间之朝暮也；5.宴酣之乐位于主谓之间，取消句子独立性而不知太守之乐其乐也表代词1.望之蔚然而深秀者；2.名之者谁(指醉翁亭)；3.得之心而寓之酒也(指山水之乐)【教学提示】更多文言现象请参见我的积累本。三、板书设计路线：环滁琅琊山酿泉醉翁亭风景：朝暮之景四时之景山水之乐(醉景)风俗：滁人游太守宴众宾欢 太守醉宴游之乐(醉人)心情：禽鸟乐人之乐乐其乐与民同乐(醉情) 可取之处重视朗读，有利于培养学生的文言语感，并通过节奏划分引导学生理解文意，突破了仅按注释疏通文义的桎梏，有利于引导学生自主思考；不单纯关注“直译”原则，同时培养学生的“意译”能力，引导学生关注文言文的美感，在一定程度上有助于培养学生的核心素养。不足之处文章难度相对较高，基础能力低的学生难以适应该教学。会员免费下载