2022年全国新高考I卷数学试题-.docx

1、四川天地人教育为您服务！2022年全国新高考I卷数学试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1若集合M=xx4,N=x3x1，则MN=（）Ax0x2Bx13x2Cx3x16Dx13x0)的最小正周期为T若23T，且y=f(x)的图象关于点(32,2)中心对称，则f(2)=（）A1B32C52D37设a=0.1e0.1,b=19，c=-ln0.9，则（）AabcBcbaCcabDac0)上，过点B(0,-1)的直线交C于P，Q两点，则（）AC的准线为y=-1B直线AB与C相切C|OP|OQ|OA2D|BP|BQ|BA|212已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R，记g(x)=f(

2、x)，若f32-2x，g(2+x)均为偶函数，则（）Af(0)=0Bg-12=0Cf(-1)=f(4)Dg(-1)=g(2)三、填空题131-yx(x+y)8的展开式中x2y6的系数为_（用数字作答）14写出与圆x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一条直线的方程_15若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是_16已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)，C的上顶点为A，两个焦点为F1，F2，离心率为12过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，|DE|=6，则ADE的周长是_四、解答题17记Sn为数列an的前n项和，已知a1=1,Snan是公

3、差为13的等差数列(1)求an的通项公式；(2)证明：1a1+1a2+1an1)上，直线l交C于P，Q两点，直线AP,AQ的斜率之和为0(1)求l的斜率；(2)若tanPAQ=22，求PAQ的面积22已知函数f(x)=ex-ax和g(x)=ax-lnx有相同的最小值(1)求a；(2)证明：存在直线y=b，其与两条曲线y=f(x)和y=g(x)共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列四川天地人教育为您服务！参考答案：1D【解析】【分析】求出集合M,N后可求MN.【详解】M=x0x16,N=xx13，故MN=x|13x16，故选：D2D【解析】【分析】利用复数的除法可求z，从而

4、可求z+z.【详解】由题设有1-z=1i=ii2=-i，故z=1+i，故z+z=(1+i)+(1-i)=2，故选：D3B【解析】【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出【详解】因为点D在边AB上，BD=2DA，所以BD=2DA，即CD-CB=2CA-CD，所以CB= 3CD-2CA=3n-2m =-2m+3n故选：B4C【解析】【分析】根据题意只要求出棱台的高，即可利用棱台的体积公式求出【详解】依题意可知棱台的高为MN=157.5-148.5=9(m)，所以增加的水量即为棱台的体积V棱台上底面积S=140.0km2=140106m2，下底面积S=180.0km2=180106m2，V

5、=13hS+S+SS=139140106+180106+1401801012=3320+60710696+182.65107=1.4371091.4109(m3)故选：C5D【解析】【分析】由古典概型概率公式结合组合、列举法即可得解.【详解】从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，共有C72=21种不同的取法，若两数不互质，不同的取法有：(2,4),(2,6),(2,8),(3,6),(4,6),(4,8),(6,8)，共7种，故所求概率P=21-721=23.故选：D.6A【解析】【分析】由三角函数的图象与性质可求得参数，进而可得函数解析式，代入即可得解.【详解】由函数的最小正周期T满足23

6、T，得232，解得2-1)，因为f(x)=11+x-1=-x1+x，当x(-1,0)时，f(x)0，当x(0,+)时f(x)0，所以函数f(x)=ln(1+x)-x在(0,+)单调递减，在(-1,0)上单调递增，所以f(19)f(0)=0，所以ln109-19ln109=-ln0.9，即bc，所以f(-110)f(0)=0，所以ln910+1100，故910e-110，所以110e11019，故ab，设g(x)=xex+ln(1-x)(0x1)，则g(x)=x+1ex+1x-1=x2-1ex+1x-1,令h(x)=ex(x2-1)+1，h(x)=ex(x2+2x-1)，当0x2-1时，h(x)

7、0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递减，当2-1x0，函数h(x)=ex(x2-1)+1单调递增，又h(0)=0，所以当0x2-1时，h(x)0，所以当0x0，函数g(x)=xex+ln(1-x)单调递增，所以g(0.1)g(0)=0，即0.1e0.1-ln0.9，所以ac故选：C.8C【解析】【分析】设正四棱锥的高为h，由球的截面性质列方程求出正四棱锥的底面边长与高的关系，由此确定正四棱锥体积的取值范围.【详解】 球的体积为36，所以球的半径R=3,设正四棱锥的底面边长为2a，高为h，则l2=2a2+h2，32=2a2+(3-h)2,所以6h=l2，2a2=l2-h2所以正四棱锥的体

8、积V=13Sh=134a2h=23(l2-l436)l26=19l4-l636，所以V=194l3-l56=19l324-l26，当3l26时，V0，当26l33时，V0得x33或x-33，令f(x)0得-33x0，f(33)=1-2390，f-2=-50，即函数fx在33,+上无零点，综上所述，函数f(x)有一个零点，故B错误；令h(x)=x3-x，该函数的定义域为R，h-x=-x3-x=-x3+x=-hx，则h(x)是奇函数，(0,0)是h(x)的对称中心，将h(x)的图象向上移动一个单位得到f(x)的图象，所以点(0,1)是曲线y=f(x)的对称中心，故C正确；令fx=3x2-1=2，可

9、得x=1，又f(1)=f-1=1，当切点为(1,1)时，切线方程为y=2x-1，当切点为(-1,1)时，切线方程为y=2x+3，故D错误.故选：AC.11BCD【解析】【分析】求出抛物线方程可判断A，联立AB与抛物线的方程求交点可判断B，利用距离公式及弦长公式可判断C、D.【详解】将点A的代入抛物线方程得1=2p，所以抛物线方程为x2=y，故准线方程为y=-14，A错误；kAB=1-(-1)1-0=2，所以直线AB的方程为y=2x-1，联立y=2x-1x2=y，可得x2-2x+1=0，解得x=1，故B正确；设过B的直线为l，若直线l与y轴重合，则直线l与抛物线C只有一个交点，所以，直线l的斜率

10、存在，设其方程为y=kx-1，P(x1,y1),Q(x2,y2)，联立y=kx-1x2=y，得x2-kx+1=0，所以=k2-40x1+x2=kx1x2=1，所以k2或k2=|OA|2，故C正确；因为|BP|=1+k2|x1|，|BQ|=1+k2|x2|，所以|BP|BQ|=(1+k2)|x1x2|=1+k25，而|BA|2=5，故D正确.故选：BCD12BC【解析】【分析】转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【详解】因为f(32-2x)，g(2+x)均为偶函数，所以f(32-2x)=f(32+2x)即f(32-x)=f(32+x)，g(2

11、+x)=g(2-x)，所以f(3-x)=f(x)，g(4-x)=g(x)，则f(-1)=f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x=32,x=2对称，又g(x)=f(x)，且函数f(x)可导，所以g(32)=0,g(3-x)=-g(x)，所以g(4-x)=g(x)=-g(3-x)，所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x)，所以g(-12)=g(32)=0，g(-1)=g(1)=-g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)+C（C为常数）也满足题设条件，所以无法确定f(x)的函数值，故A错误.故选：BC.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键是转化题

12、干条件为抽象函数的性质，准确把握原函数与导函数图象间的关系，准确把握函数的性质（必要时结合图象）即可得解.13-28【解析】【分析】1-yxx+y8可化为x+y8-yxx+y8，结合二项式展开式的通项公式求解.【详解】因为1-yxx+y8=x+y8-yxx+y8，所以1-yxx+y8的展开式中含x2y6的项为C86x2y6-yxC85x3y5=-28x2y6，1-yxx+y8的展开式中x2y6的系数为-28故答案为：-2814y=-34x+54或y=724x-2524或x=-1【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】圆x2+y2=1的圆心为O0,0，半径为1，圆(x-3)2

13、+(y-4)2=16的圆心O1为(3,4)，半径为4，两圆圆心距为32+42=5，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为kOO1=43，所以kl=-34，设方程为y=-34x+t(t0)O到l的距离d=|t|1+916=1，解得t=54，所以l的方程为y=-34x+54，当切线为m时，设直线方程为kx+y+p=0，其中p0，k0,解得a0,a的取值范围是-,-40,+,故答案为：-,-40,+1613【解析】【分析】利用离心率得到椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2-12c2=0，根据离心率得到直线AF2的斜率，进而利用直线的垂直关系得到直线DE的斜率，写出

14、直线DE的方程：x=3y-c，代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0，整理化简得到：13y2-63cy-9c2=0，利用弦长公式求得c=138，得a=2c=134，根据对称性将ADE的周长转化为F2DE的周长，利用椭圆的定义得到周长为4a=13.【详解】椭圆的离心率为e=ca=12，a=2c，b2=a2-c2=3c2，椭圆的方程为x24c2+y23c2=1，即3x2+4y2-12c2=0，不妨设左焦点为F1，右焦点为F2，如图所示，AF2=a，OF2=c，a=2c，AF2O=3，AF1F2为正三角形，过F1且垂直于AF2的直线与C交于D，E两点，DE为线段AF2的垂直平分线，直线DE的斜率为

15、33，斜率倒数为3， 直线DE的方程：x=3y-c，代入椭圆方程3x2+4y2-12c2=0，整理化简得到：13y2-63cy-9c2=0，判别式=63c2+4139c2=6216c2，CD=1+32y1-y2=213=264c13=6， c=138， 得a=2c=134， DE为线段AF2的垂直平分线，根据对称性，AD=DF2，AE=EF2，ADE的周长等于F2DE的周长，利用椭圆的定义得到F2DE周长为DF2+EF2+DE=DF2+EF2+DF1+EF1=DF1+DF2+EF1+EF2=2a+2a=4a=13.故答案为：13.17(1)an=nn+12(2)见解析【解析】【分析】（1）利用

16、等差数列的通项公式求得Snan=1+13n-1=n+23，得到Sn=n+2an3，利用和与项的关系得到当n2时，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1an-13,进而得：anan-1=n+1n-1，利用累乘法求得an=nn+12，检验对于n=1也成立，得到an的通项公式an=nn+12；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到1a1+1a2+1an=21-1n+1，进而证得.(1)a1=1，S1=a1=1,S1a1=1,又Snan是公差为13的等差数列，Snan=1+13n-1=n+23,Sn=n+2an3,当n2时，Sn-1=n+1an-13，an=Sn-Sn-1=n+2an3-n+1a

17、n-13,整理得：n-1an=n+1an-1,即anan-1=n+1n-1,an=a1a2a1a3a2an-1an-2anan-1=13243nn-2n+1n-1=nn+12，显然对于n=1也成立，an的通项公式an=nn+12；(2)1an=2nn+1=21n-1n+1, 1a1+1a2+1an =21-12+12-13+1n-1n+1=21-1n+1218(1)6；(2)42-5【解析】【分析】（1）根据二倍角公式以及两角差的余弦公式可将cosA1+sinA=sin2B1+cos2B化成cosA+B=sinB，再结合0B2，即可求出；（2）由（1）知，C=2+B，A=2-2B，再利用正弦定

18、理以及二倍角公式将a2+b2c2化成4cos2B+2cos2B-5，然后利用基本不等式即可解出(1)因为cosA1+sinA=sin2B1+cos2B=2sinBcosB2cos2B=sinBcosB，即sinB=cosAcosB-sinAsinB=cosA+B=-cosC=12，而0B0，所以2C,0B6.635，所以有99%的把握认为患该疾病群体与未患该疾病群体的卫生习惯有差异.(2)(i)因为R=P(B|A)P(B|A)P(B|A)P(B|A)=P(AB)P(A)P(A)P(AB)P(AB)P(A)P(A)P(AB)，所以R=P(AB)P(B)P(B)P(AB)P(AB)P(B)P(B)

19、P(AB)所以R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)，(ii) 由已知P(A|B)=40100，P(A|B)=10100，又P(A|B)=60100，P(A|B)=90100，所以R=P(A|B)P(A|B)P(A|B)P(A|B)=621(1)-1；(2)1629【解析】【分析】（1）由点A(2,1)在双曲线上可求出a，易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，Px1,y1,Qx2,y2，再根据kAP+kBP=0，即可解出l的斜率；（2）根据直线AP,AQ的斜率之和为0可知直线AP,AQ的倾斜角互补，再根据tanPAQ=22即可求出直线AP,AQ的斜率，再分别联立直线AP,AQ

20、与双曲线方程求出点P,Q的坐标，即可得到直线PQ的方程以及PQ的长，由点到直线的距离公式求出点A到直线PQ的距离，即可得出PAQ的面积(1)因为点A(2,1)在双曲线C:x2a2-y2a2-1=1(a1)上，所以4a2-1a2-1=1，解得a2=2，即双曲线C:x22-y2=1易知直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，Px1,y1,Qx2,y2，联立y=kx+mx22-y2=1可得，1-2k2x2-4mkx-2m2-2=0，所以，x1+x2=-4mk2k2-1,x1x2=2m2+22k2-1，=16m2k2+42m2+22k2-10m2-1+2k20所以由kAP+kBP=0可得，y2-1x2-

21、2+y1-1x1-2=0，即x1-2kx2+m-1+x2-2kx1+m-1=0，即2kx1x2+m-1-2kx1+x2-4m-1=0，所以2k2m2+22k2-1+m-1-2k-4mk2k2-1-4m-1=0，化简得，8k2+4k-4+4mk+1=0，即k+12k-1+m=0，所以k=-1或m=1-2k，当m=1-2k时，直线l:y=kx+m=kx-2+1过点A2,1，与题意不符，舍去，故k=-1(2)不妨设直线PA,PB的倾斜角为,1时， ex-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数均为2，构建新函数h(x)=ex+lnx-2x，利用导数可得该函数只有一个零点且可得f(x),g(x)的大

22、小关系，根据存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点可得b的取值，再根据两类方程的根的关系可证明三根成等差数列.(1)f(x)=ex-ax的定义域为R，而f(x)=ex-a，若a0，则f(x)0，此时f(x)无最小值，故a0.g(x)=ax-lnx的定义域为(0,+)，而g(x)=a-1x=ax-1x.当xlna时，f(x)lna时，f(x)0，故f(x)在(lna,+)上为增函数，故f(x)min=f(lna)=a-alna.当0x1a时，g(x)1a时，g(x)0，故g(x)在(1a,+)上为增函数，故g(x)min=g(1a)=1-ln1a.因为f(x)=ex-ax

23、和g(x)=ax-lnx有相同的最小值，故1-ln1a=a-alna，整理得到a-11+a=lna，其中a0，设g(a)=a-11+a-lna,a0，则g(a)=2(1+a)2-1a=-a2-1a(1+a)20，故g(a)为(0,+)上的减函数，而g(1)=0，故g(a)=0的唯一解为a=1，故1-a1+a=lna的解为a=1.综上，a=1.(2)由（1）可得f(x)=ex-x和g(x)=x-lnx的最小值为1-ln1=1-ln11=1.当b1时，考虑ex-x=b的解的个数、x-lnx=b的解的个数.设S(x)=ex-x-b，S(x)=ex-1，当x0时，S(x)0时，S(x)0，故S(x)在

24、(-,0)上为减函数，在(0,+)上为增函数，所以S(x)min=S(0)=1-b0，S(b)=eb-2b，设u(b)=eb-2b，其中b1，则u(b)=eb-20，故u(b)在(1,+)上为增函数，故u(b)u(1)=e-20，故S(b)0，故S(x)=ex-x-b有两个不同的零点，即ex-x=b的解的个数为2.设T(x)=x-lnx-b，T(x)=x-1x，当0x1时，T(x)1时，T(x)0，故T(x)在(0,1)上为减函数，在(1,+)上为增函数，所以T(x)min=T(1)=1-b0，T(eb)=eb-2b0，T(x)=x-lnx-b有两个不同的零点即x-lnx=b的解的个数为2.当

25、b=1，由（1）讨论可得x-lnx=b、ex-x=b仅有一个零点，当b1.设h(x)=ex+lnx-2x，其中x0，故h(x)=ex+1x-2，设s(x)=ex-x-1，x0，则s(x)=ex-10，故s(x)在(0,+)上为增函数，故s(x)s(0)=0即exx+1，所以h(x)x+1x-12-10，所以h(x)在(0,+)上为增函数，而h(1)=e-20，h(1e3)=e1e3-3-2e3e-3-2e30，故h(x)在(0,+)上有且只有一个零点x0，1e3x01且：当0xx0时，h(x)0即ex-xx-lnx即f(x)x0时，h(x)0即ex-xx-lnx即f(x)g(x)，因此若存在直线y=b与曲线y=f(x)、y=g(x)有三个不同的交点，故b=f(x0)=g(x0)1，此时ex-x=b有两个不同的零点x1,x0(x10x0)，此时x-lnx=b有两个不同的零点x0,x4(0x011，故x0=x4-bx1=x0-b即x1+x4=2x0.【点睛】思路点睛：函数的最值问题，往往需要利用导数讨论函数的单调性，此时注意对参数的分类讨论，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系.