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类型2022全国高考甲卷数学(文科)试题及答案.docx

  • 上传人(卖家):副主任
  • 文档编号:2934440
  • 上传时间:2022-06-13
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    1、2022年全国高考甲卷数学(文)试题学校:_姓名:_班级:_考号:_一、单选题1设集合A=2,1,0,1,2,B=x0x0)的图像向左平移2个单位长度后得到曲线C,若C关于y轴对称,则的最小值是()A16B14C13D126从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为()A15B13C25D237函数y=3x3xcosx在区间2,2的图象大致为()ABCD8当x=1时,函数f(x)=alnx+bx取得最大值2,则f(2)=()A1B12C12D19在长方体ABCDA1B1C1D1中,已知B1D与平面ABCD和平面AA1B1B所成

    2、的角均为30,则()AAB=2ADBAB与平面AB1C1D所成的角为30CAC=CB1DB1D与平面BB1C1C所成的角为4510甲、乙两个圆锥的母线长相等,侧面展开图的圆心角之和为2,侧面积分别为S甲和S乙,体积分别为V甲和V乙若S甲S乙=2,则V甲V乙=()A5B22C10D510411已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为13,A1,A2分别为C的左、右顶点,B为C的上顶点若BA1BA2=1,则C的方程为()Ax218+y216=1Bx29+y28=1Cx23+y22=1Dx22+y2=112已知9m=10,a=10m11,b=8m9,则()Aa0bBab0Cba0Db0

    3、a二、填空题13已知向量a=(m,3),b=(1,m+1)若ab,则m=_14设点M在直线2x+y1=0上,点(3,0)和(0,1)均在M上,则M的方程为_15记双曲线C:x2a2y2b2=1(a0,b0)的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C无公共点”的e的一个值_16已知ABC中,点D在边BC上,ADB=120,AD=2,CD=2BD当ACAB取得最小值时,BD=_三、解答题17甲、乙两城之间的长途客车均由A和B两家公司运营,为了解这两家公司长途客车的运行情况,随机调查了甲、乙两城之间的500个班次,得到下面列联表:准点班次数未准点班次数A24020B21030(1)根据上表,分别估

    4、计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率;(2)能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?附:K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),PK2k0.1000.0500.010k2.7063.8416.63518记Sn为数列an的前n项和已知2Snn+n=2an+1(1)证明:an是等差数列;(2)若a4,a7,a9成等比数列,求Sn的最小值19小明同学参加综合实践活动,设计了一个封闭的包装盒,包装盒如图所示:底面ABCD是边长为8(单位:cm)的正方形,EAB,FBC,GCD,HDA均为正三角形,且它们所在的平面都与平面ABCD垂直(

    5、1)证明:EF/平面ABCD;(2)求该包装盒的容积(不计包装盒材料的厚度)20已知函数f(x)=x3x,g(x)=x2+a,曲线y=f(x)在点x1,fx1处的切线也是曲线y=g(x)的切线(1)若x1=1,求a;(2)求a的取值范围21设抛物线C:y2=2px(p0)的焦点为F,点Dp,0,过F的直线交C于M,N两点当直线MD垂直于x轴时,MF=3(1)求C的方程;(2)设直线MD,ND与C的另一个交点分别为A,B,记直线MN,AB的倾斜角分别为,当取得最大值时,求直线AB的方程22在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为x=2+t6y=t(t为参数),曲线C2的参数方程为x=2+s6y

    6、=s(s为参数)(1)写出C1的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C3的极坐标方程为2cossin=0,求C3与C1交点的直角坐标,及C3与C2交点的直角坐标23已知a,b,c均为正数,且a2+b2+4c2=3,证明:(1)a+b+2c3;(2)若b=2c,则1a+1c3试卷第5页,共5页参考答案:1A【解析】【分析】根据集合的交集运算即可解出【详解】因为A=2,1,0,1,2,B=x0x70%,所以A错;讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对;讲座前问卷答题的正确率更

    7、加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错;讲座后问卷答题的正确率的极差为100%80%=20%,讲座前问卷答题的正确率的极差为95%60%=35%20%,所以D错.故选:B.3D【解析】【分析】根据复数代数形式的运算法则,共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出【详解】因为z=1+i,所以iz+3z=i1+i+31i=22i,所以iz+3z=4+4=22故选:D.4B【解析】【分析】由三视图还原几何体,再由棱柱的体积公式即可得解.【详解】由三视图还原几何体,如图,则该直四棱柱的体积V=2+4222=12.故选:B.5C【解析】【分析】先由平移求出曲线C的解

    8、析式,再结合对称性得2+3=2+k,kZ,即可求出的最小值.【详解】由题意知:曲线C为y=sinx+2+3=sin(x+2+3),又C关于y轴对称,则2+3=2+k,kZ,解得=13+2k,kZ,又0,故当k=0时,的最小值为13.故选:C.6C【解析】【分析】先列举出所有情况,再从中挑出数字之积是4的倍数的情况,由古典概型求概率即可.【详解】从6张卡片中无放回抽取2张,共有1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,615种情况,其中数字之积为4的倍数的有1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,66种情况,故概率为6

    9、15=25.故选:C.7A【解析】【分析】由函数的奇偶性结合指数函数、三角函数的性质逐项排除即可得解.【详解】令f(x)=(3x3x)cosx,x2,2,则f(x)=(3x3x)cos(x)=(3x3x)cosx=f(x),所以f(x)为奇函数,排除BD;又当x(0,2)时,3x3x0,cosx0,所以f(x)0,排除C.故选:A.8B【解析】【分析】根据题意可知f1=2,f1=0即可解得a,b,再根据fx即可解出【详解】因为函数fx定义域为0,+,所以依题可知,f1=2,f1=0,而fx=axbx2,所以b=2,ab=0,即a=2,b=2,所以fx=2x+2x2,因此函数fx在0,1上递增,

    10、在1,+上递减,x=1时取最大值,满足题意,即有f2=1+12=12故选:B.9D【解析】【分析】根据线面角的定义以及长方体的结构特征即可求出【详解】如图所示:不妨设AB=a,AD=b,AA1=c,依题以及长方体的结构特征可知,B1D与平面ABCD所成角为B1DB,B1D与平面AA1B1B所成角为DB1A,所以sin30=cB1D=bB1D,即b=c,B1D=2c=a2+b2+c2,解得a=2c对于A,AB=a,AD=b,AB=2AD,A错误;对于B,过B作BEAB1于E,易知BE平面AB1C1D,所以AB与平面AB1C1D所成角为BAE,因为tanBAE=ca=22,所以BAE30,B错误;

    11、对于C,AC=a2+b2=3c,CB1=b2+c2=2c,ACCB1,C错误;对于D,B1D与平面BB1C1C所成角为DB1C,sinDB1C=CDB1D=a2c=22,而0DB1C1,再利用基本不等式,换底公式可得mlg11,log89m,然后由指数函数的单调性即可解出【详解】由9m=10可得m=log910=lg10lg91,而lg9lg11lg9+lg1122=lg9922lg11lg10,即mlg11,所以a=10m1110lg1111=0又lg8lg10lg8+lg1022=lg8022lg10lg9,即log89m,所以b=8m90b故选:A.1334#0.75【解析】【分析】直接

    12、由向量垂直的坐标表示求解即可.【详解】由题意知:ab=m+3(m+1)=0,解得m=34.故答案为:34.14(x1)2+(y+1)2=5【解析】【分析】设出点M的坐标,利用(3,0)和(0,1)均在M上,求得圆心及半径,即可得圆的方程.【详解】解:点M在直线2x+y1=0上,设点M为(a,12a),又因为点(3,0)和(0,1)均在M上,点M到两点的距离相等且为半径R,(a3)2+(12a)2=a2+(2a)2=R,a26a+9+4a24a+1=5a2,解得a=1,M(1,1),R=5,M的方程为(x1)2+(y+1)2=5.故答案为:(x1)2+(y+1)2=5152(满足1e5皆可)【解

    13、析】【分析】根据题干信息,只需双曲线渐近线y=bax中00,b0),所以C的渐近线方程为y=bax,结合渐近线的特点,只需01,所以1e5,故答案为:2(满足10,利用余弦定理表示出AC2AB2后,结合基本不等式即可得解.【详解】设CD=2BD=2m0,则在ABD中,AB2=BD2+AD22BDADcosADB=m2+4+2m,在ACD中,AC2=CD2+AD22CDADcosADC=4m2+44m,所以AC2AB2=4m2+44mm2+4+2m=4m2+4+2m121+mm2+4+2m=412m+1+3m+14122m+13m+1=423,当且仅当m+1=3m+1即m=31时,等号成立,所以

    14、当ACAB取最小值时,m=31.故答案为:31.17(1)A,B两家公司长途客车准点的概率分别为1213,78(2)有【解析】【分析】(1)根据表格中数据以及古典概型的概率公式可求得结果;(2)根据表格中数据及公式计算K2,再利用临界值表比较即可得结论.(1)根据表中数据,A共有班次260次,准点班次有240次,设A家公司长途客车准点事件为M,则P(M)=240260=1213;B共有班次240次,准点班次有210次,设B家公司长途客车准点事件为N,则P(N)=210240=78.A家公司长途客车准点的概率为1213;B家公司长途客车准点的概率为78.(2)列联表准点班次数未准点班次数合计A2

    15、4020260B21030240合计45050500K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)=500(2403021020)2260240450503.2052.706,根据临界值表可知,有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关.18(1)证明见解析;(2)78【解析】【分析】(1)依题意可得2Sn+n2=2nan+n,根据an=S1,n=1SnSn1,n2,作差即可得到anan1=1,从而得证;(2)由(1)及等比中项的性质求出a1,即可得到an的通项公式与前n项和,再根据二次函数的性质计算可得(1)解:因为2Snn+n=2an+1,即2Sn

    16、+n2=2nan+n,当n2时,2Sn1+n12=2n1an1+n1,得,2Sn+n22Sn1n12=2nan+n2n1an1n1,即2an+2n1=2nan2n1an1+1,即2n1an2n1an1=2n1,所以anan1=1,n2且nN*,所以an是以1为公差的等差数列(2)解:由(1)可得a4=a1+3,a7=a1+6,a9=a1+8,又a4,a7,a9成等比数列,所以a72=a4a9,即a1+62=a1+3a1+8,解得a1=12,所以an=n13,所以Sn=12n+nn12=12n2252n=12n25226258,所以,当n=12或n=13时Snmin=7819(1)证明见解析;(

    17、2)64033【解析】【分析】(1)分别取AB,BC的中点M,N,连接MN,由平面知识可知EMAB,FNBC,EM=FN,依题从而可证EM平面ABCD,FN平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM/FN,即可知四边形EMNF为平行四边形,于是EF/MN,最后根据线面平行的判定定理即可证出;(2)再分别取AD,DC中点K,L,由(1)知,该几何体的体积等于长方体KMNLEFGH的体积加上四棱锥BMNFE体积的4倍,即可解出(1)如图所示:,分别取AB,BC的中点M,N,连接MN,因为EAB,FBC为全等的正三角形,所以EMAB,FNBC,EM=FN,又平面EAB平面ABCD,平面EAB平面A

    18、BCD=AB,EM平面EAB,所以EM平面ABCD,同理可得FN平面ABCD,根据线面垂直的性质定理可知EM/FN,而EM=FN,所以四边形EMNF为平行四边形,所以EF/MN,又EF平面ABCD,MN平面ABCD,所以EF/平面ABCD(2)如图所示:,分别取AD,DC中点K,L,由(1)知,EF/MN且EF=MN,同理有,HE/KM,HE=KM,HG/KL,HG=KL,GF/LN,GF=LN,由平面知识可知,BDMN,MNMK,KM=MN=NL=LK,所以该几何体的体积等于长方体KMNLEFGH的体积加上四棱锥BMNFE体积的4倍因为MN=NL=LK=KM=42,EM=8sin60=43,

    19、点B到平面MNFE的距离即为点B到直线MN的距离d,d=22,所以该几何体的体积V=42243+413424322=1283+25633=6403320(1)3(2)1,+【解析】【分析】(1)先由f(x)上的切点求出切线方程,设出g(x)上的切点坐标,由斜率求出切点坐标,再由函数值求出a即可;(2)设出g(x)上的切点坐标,分别由f(x)和g(x)及切点表示出切线方程,由切线重合表示出a,构造函数,求导求出函数值域,即可求得a的取值范围.(1)由题意知,f(1)=1(1)=0,f(x)=3x21,f(1)=31=2,则y=f(x)在点1,0处的切线方程为y=2(x+1),即y=2x+2,设该

    20、切线与g(x)切于点x2,g(x2),g(x)=2x,则g(x2)=2x2=2,解得x2=1,则g(1)=1+a=2+2,解得a=3;(2)f(x)=3x21,则y=f(x)在点x1,f(x1)处的切线方程为yx13x1=3x121(xx1),整理得y=3x121x2x13,设该切线与g(x)切于点x2,g(x2),g(x)=2x,则g(x2)=2x2,则切线方程为yx22+a=2x2(xx2),整理得y=2x2xx22+a,则3x121=2x22x13=x22+a,整理得a=x222x13=3x1221222x13=94x142x1332x12+14,令h(x)=94x42x332x2+14

    21、,则h(x)=9x36x23x=3x(3x+1)(x1),令h(x)0,解得13x1,令h(x)0,解得x13或0x0,y1y2=4,由斜率公式可得kMN=y1y2y124y224=4y1+y2,kAB=y3y4y324y424=4y3+y4,直线MD:x=x12y1y+2,代入抛物线方程可得y24(x12)y1y8=0,0,y1y3=8,所以y3=2y2,同理可得y4=2y1,所以kAB=4y3+y4=42(y1+y2)=kMN2又因为直线MN、AB的倾斜角分别为,,所以kAB=tan=kMN2=tan2,若要使最大,则(0,2),设kMN=2kAB=2k0,则tan()=tantan1+t

    22、antan=k1+2k2=11k+2k121k2k=24,当且仅当1k=2k即k=22时,等号成立,所以当最大时,kAB=22,设直线AB:x=2y+n,代入抛物线方程可得y242y4n=0,0,y3y4=4n=4y1y2=16,所以n=4,所以直线AB:x=2y+4.【点睛】关键点点睛:解决本题的关键是利用抛物线方程对斜率进行化简,利用韦达定理得出坐标间的关系.22(1)y2=6x2y0;(2)C3,C1的交点坐标为12,1,1,2,C3,C2的交点坐标为12,1,1,2【解析】【分析】(1)消去t,即可得到C1的普通方程;(2)将曲线C2,C3的方程化成普通方程,联立求解即解出(1)因为x

    23、=2+t6,y=t,所以x=2+y26,即C1的普通方程为y2=6x2y0(2)因为x=2+s6,y=s,所以6x=2y2,即C2的普通方程为y2=6x2y0,由2cossin=02cossin=0,即C3的普通方程为2xy=0联立y2=6x2y02xy=0,解得:x=12y=1或x=1y=2,即交点坐标为12,1,1,2;联立y2=6x2y02xy=0,解得:x=12y=1或x=1y=2,即交点坐标为12,1,1,223(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】(1)根据a2+b2+4c2=a2+b2+2c2,利用柯西不等式即可得证;(2)由(1)结合已知可得00,b0,c0,由(1)得a+b+2c=a+4c3,即0a+4c3,所以1a+4c13,由权方和不等式知1a+1c=12a+224c1+22a+4c=9a+4c3,当且仅当1a=24c,即a=1,c=12时取等号,所以1a+1c3.答案第15页,共15页

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