2022全国高考乙卷数学（理科）试题及答案.docx

1、2022年全国高考乙卷数学（理）试题学校:_姓名：_班级：_考号：_一、单选题1设全集U=1,2,3,4,5，集合M满足UM=1,3，则（）A2MB3MC4MD5M2已知z=12i，且z+az+b=0，其中a，b为实数，则（）Aa=1,b=2Ba=1,b=2Ca=1,b=2Da=1,b=23已知向量a,b满足|a|=1,|b|=3,|a2b|=3，则ab=（）A2B1C1D24嫦娥二号卫星在完成探月任务后，继续进行深空探测，成为我国第一颗环绕太阳飞行的人造行星，为研究嫦娥二号绕日周期与地球绕日周期的比值，用到数列bn：b1=1+11，b2=1+11+12，b3=1+11+12+13，依此类推，

2、其中kN(k=1,2,)则（）Ab1b5Bb3b8Cb6b2Db4p2p10记该棋手连胜两盘的概率为p，则（）Ap与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关B该棋手在第二盘与甲比赛，p最大C该棋手在第二盘与乙比赛，p最大D该棋手在第二盘与丙比赛，p最大11双曲线C的两个焦点为F1,F2，以C的实轴为直径的圆记为D，过F1作D的切线与C的两支交于M，N两点，且cosF1NF2=35，则C的离心率为（）A52B32C132D17212已知函数f(x),g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2x)=5,g(x)f(x4)=7若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则k=122f(k)=（）A

3、21B22C23D24二、填空题13从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作，则甲、乙都入选的概率为_14过四点(0,0),(4,0),(1,1),(4,2)中的三点的一个圆的方程为_15记函数f(x)=cos(x+)(0,00且a1）的极小值点和极大值点若x1x2，则a的取值范围是_三、解答题17记ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知sinCsin(AB)=sinBsin(CA)(1)证明：2a2=b2+c2；(2)若a=5,cosA=2531，求ABC的周长18如图，四面体ABCD中，ADCD,AD=CD,ADB=BDC，E为AC的中点(1)证明：平面BED平面ACD；

4、(2)设AB=BD=2,ACB=60，点F在BD上，当AFC的面积最小时，求CF与平面ABD所成的角的正弦值19某地经过多年的环境治理，已将荒山改造成了绿水青山为估计一林区某种树木的总材积量，随机选取了10棵这种树木，测量每棵树的根部横截面积（单位：m2）和材积量（单位：m3），得到如下数据：样本号12345678910总和根部横截面积xi0.040.060.040.080.080.050.050.070.070.060.6材积量yi0.250.400.220.540.510.340.360.460.420.403.9并计算得i=110xi2=0.038,i=110yi2=1.6158,i=1

5、10xiyi=0.2474(1)估计该林区这种树木平均一棵的根部横截面积与平均一棵的材积量；(2)求该林区这种树木的根部横截面积与材积量的样本相关系数（精确到0.01）；(3)现测量了该林区所有这种树木的根部横截面积，并得到所有这种树木的根部横截面积总和为186m2已知树木的材积量与其根部横截面积近似成正比利用以上数据给出该林区这种树木的总材积量的估计值附：相关系数r=i=1n(xix)(yiy)i=1n(xix)2i=1n(yiy)2,1.8961.37720已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过A0,2,B32,1两点(1)求E的方程；(2)设过点P1,2的直线交E于M，N两

6、点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足MT=TH证明：直线HN过定点21已知函数fx=ln1+x+axex(1)当a=1时，求曲线y=fx在点0,f0处的切线方程；(2)若fx在区间1,0,0,+各恰有一个零点，求a的取值范围22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x=3cos2ty=2sint，（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为sin+3+m=0(1)写出l的直角坐标方程；(2)若l与C有公共点，求m的取值范围23已知a，b，c都是正数，且a32+b32+c32=1，证明：(1)abc19；(2)ab+c+ba+c+ca

7、+b12abc；试卷第4页，共4页参考答案：1A【解析】【分析】先写出集合M,然后逐项验证即可【详解】由题知M=2,4,5,对比选项知，A正确,BCD错误故选:A2A【解析】【分析】先算出z,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】z=1+2iz+az+b=12i+a(1+2i)+b=(1+a+b)+(2a2)i由z+az+b=0,得1+a+b=02a2=0,即a=1b=2故选:A3C【解析】【分析】根据给定模长，利用向量的数量积运算求解即可.【详解】解：|a2b|2=|a|24ab+4b2，又|a|=1,|b|=3,|a2b|=3,9=14ab+43=134ab，ab=1故选：C.4

8、D【解析】【分析】根据kN*k=1,2,，再利用数列bn与k的关系判断bn中各项的大小，即可求解.【详解】解：因为kN*k=1,2,，所以111+12，得到b1b2，同理1+121+12+13，可得b2b3又因为1212+13+14, 1+12+131+12+13+14，故b2b4；以此类推，可得b1b3b5b7，b7b8，故A错误；b1b7b8，故B错误；1212+13+16，得b21+12+16+17，得b40.01；执行第二次循环，b=b+2a=3+4=7，a=ba=72=5,n=n+1=3，b2a22=72522=1250.01；执行第三次循环，b=b+2a=7+10=17，a=ba=

9、175=12,n=n+1=4，b2a22=1721222=11440.01，此时输出n=4.故选：B7A【解析】【分析】证明EF平面BDD1，即可判断A；如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，设AB=2，分别求出平面B1EF，A1BD，A1C1D的法向量，根据法向量的位置关系，即可判断BCD.【详解】解：在正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD且DD1平面ABCD，又EF平面ABCD，所以EFDD1，因为E,F分别为AB,BC的中点，所以EFAC，所以EFBD，又BDDD1=D，所以EF平面BDD1，又EF平面B1EF，所以平面B1EF平面BDD1，故A正确；如图，以点D为原点，建立空间

10、直角坐标系，设AB=2，则B12,2,2,E2,1,0,F1,2,0,B2,2,0,A12,0,2,A2,0,0,C0,2,0，C10,2,2，则EF=1,1,0,EB1=0,1,2，DB=2,2,0,DA1=2,0,2，AA1=0,0,2,AC=2,2,0,A1C1=2,2,0,设平面B1EF的法向量为m=x1,y1,z1， 则有mEF=x1+y1=0mEB1=y1+2z1=0，可取m=2,2,1，同理可得平面A1BD的法向量为n1=1,1,1，平面A1AC的法向量为n2=1,1,0，平面A1C1D的法向量为n3=1,1,1，则mn1=22+1=10，所以平面B1EF与平面A1BD不垂直，故

11、B错误；因为m与n2不平行，所以平面B1EF与平面A1AC不平行，故C错误；因为m与n3不平行，所以平面B1EF与平面A1C1D不平行，故D错误，故选：A.8D【解析】【分析】设等比数列an的公比为q,q0，易得q1，根据题意求出首项与公比，再根据等比数列的通项即可得解.【详解】解：设等比数列an的公比为q,q0，若q=1，则a2a5=0，与题意矛盾，所以q1，则a1+a2+a3=a11q31q=168a2a5=a1qa1q4=42，解得a1=96q=12，所以a6=a1q5=3.故选：D.9C【解析】【分析】先证明当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r

12、2，进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其高的值.【详解】设该四棱锥底面为四边形ABCD，四边形ABCD所在小圆半径为r，设四边形ABCD对角线夹角为，则SABCD=12ACBDsin12ACBD122r2r=2r2（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）即当四棱锥的顶点O到底面ABCD所在小圆距离一定时，底面ABCD面积最大值为2r2又r2+h2=1则VOABCD=132r2h=23r2r22h223r2+r2+2h233=4327当且仅当r2=2h2即h=33时等号成立，故选：C10D【解析】【分析】该棋手连胜两盘，则第二盘为必

13、胜盘.分别求得该棋手在第二盘与甲比赛且连胜两盘的概率p甲；该棋手在第二盘与乙比赛且连胜两盘的概率p乙；该棋手在第二盘与丙比赛且连胜两盘的概率p丙.并对三者进行比较即可解决【详解】该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记该棋手在第二盘与甲比赛，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为12，则此时连胜两盘的概率为p甲则p甲=12(1p2)p1p3+p2p1(1p3)+12(1p3)p1p2+p3p1(1p2)=p1(p2+p3)2p1p2p3；记该棋手在第二盘与乙比赛，且连胜两盘的概率为p乙，则p乙=(1p1)p2p3+p1p2(1p3)=p2(p1+p3)2p1p2p3记该棋手在第二盘与丙比赛，且连胜两盘

14、的概率为p丙则p丙=(1p1)p3p2+p1p3(1p2)=p3(p1+p2)2p1p2p3则p甲p乙=p1(p2+p3)2p1p2p3p2(p1+p3)2p1p2p3=(p1p2)p30p乙p丙=p2(p1+p3)2p1p2p3p3(p1+p2)2p1p2p3=(p2p3)p10即p甲p乙，p乙0，所以N在双曲线的右支，所以OG=a，OF1=c，GF1=b，设F1NF2=，F2F1N=，由cosF1NF2=35，即cos=35，则sin=45，sin=ac，cos=bc，在F2F1N中，sinF1F2N=sin=sin+=sincos+cossin=45bc+35ac=3a+4b5c，由正弦

15、定理得2csin=NF2sin=NF1sinF1F2N=5c2，所以NF1=5c2sinF1F2N=5c23a+4b5c=3a+4b2，NF2=5c2sin=5c2ac=5a2又NF1NF2=3a+4b25a2=4b2a2=2a，所以2b=3a，即ba=32，所以双曲线的离心率e=ca=1+b2a2=132故选：C12D【解析】【分析】根据对称性和已知条件得到f(x)+f(x2)=2，从而得到f3+f5+f21=10，f4+f6+f22=10，然后根据条件得到f(2)的值，再由题意得到g3=6从而得到f1的值即可求解.【详解】因为y=g(x)的图像关于直线x=2对称，所以g2x=gx+2，因为

16、g(x)f(x4)=7，所以g(x+2)f(x2)=7，即g(x+2)=7+f(x2)，因为f(x)+g(2x)=5，所以f(x)+g(x+2)=5，代入得f(x)+7+f(x2)=5，即f(x)+f(x2)=2，所以f3+f5+f21=25=10，f4+f6+f22=25=10.因为f(x)+g(2x)=5，所以f(0)+g(2)=5，即f0=1，所以f(2)=2f0=3.因为g(x)f(x4)=7，所以g(x+4)f(x)=7，又因为f(x)+g(2x)=5，联立得，g2x+gx+4=12，所以y=g(x)的图像关于点3,6中心对称，因为函数g(x)的定义域为R，所以g3=6因为f(x)+

17、g(x+2)=5，所以f1=5g3=1.所以k=122f(k)=f1+f2+f3+f5+f21+f4+f6+f22=131010=24.故选：D【点睛】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.13310#0.3【解析】【分析】根据古典概型计算即可【详解】从5名同学中随机选3名的方法数为C53=10甲、乙都入选的方法数为C31=3，所以甲、乙都入选的概率P=310故答案为：31014x22+y32=13或x22+y12=5或x432+y732=659或x852+y12=16925；【解析】【分析】设圆的方程为x2+y

18、2+Dx+Ey+F=0，根据所选点的坐标，得到方程组，解得即可；【详解】解：依题意设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，若过0,0，4,0，1,1，则F=016+4D+F=01+1D+E+F=0，解得F=0D=4E=6，所以圆的方程为x2+y24x6y=0，即x22+y32=13；若过0,0，4,0，4,2，则F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=4E=2，所以圆的方程为x2+y24x2y=0，即x22+y12=5；若过0,0，4,2，1,1，则F=01+1D+E+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=0D=83E=143，所以圆的方程为x2+y283

19、x143y=0，即x432+y732=659；若过1,1，4,0，4,2，则1+1D+E+F=016+4D+F=016+4+4D+2E+F=0，解得F=165D=165E=2，所以圆的方程为x2+y2165x2y165=0，即x852+y12=16925；故答案为：x22+y32=13或x22+y12=5或x432+y732=659或x852+y12=16925；153【解析】【分析】首先表示出T，根据fT=32求出，再根据x=9为函数的零点，即可求出的取值，从而得解；【详解】解： 因为fx=cosx+，（0，0）所以最小正周期T=2，因为fT=cos2+=cos2+=cos=32，又00，所

20、以当k=0时min=3；故答案为：3161e,1【解析】【分析】由x1,x2分别是函数fx=2axex2的极小值点和极大值点，可得x,x1x2,+时，fx0，再分a1和0a1两种情况讨论，方程2lnaax2ex=0的两个根为x1,x2，即函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，构造函数gx=lnaax，利用指数函数的图象和图象变换得到gx的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】解：fx=2lnaax2ex，因为x1,x2分别是函数fx=2axex2的极小值点和极大值点，所以函数fx在,x1和x2,+上递减，在x1,x2上递增，所以当x,

21、x1x2,+时，fx0，若a1时，当x0,2ex0，与前面矛盾，故a1不符合题意，若0a1时，则方程2lnaax2ex=0的两个根为x1,x2，即方程lnaax=ex的两个根为x1,x2，即函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，0a1,函数y=ax的图象是单调递减的指数函数，又lna0,y=lnaax的图象由指数函数y=ax向下关于x轴作对称变换，然后将图象上的每个点的横坐标保持不变，纵坐标伸长或缩短为原来的lna倍得到，如图所示：设过原点且与函数y=gx的图象相切的直线的切点为x0,lnaax0，则切线的斜率为gx0=ln2aax0，故切线方程为ylnaax0=ln2aax

22、0xx0，则有lnaax0=x0ln2aax0，解得x0=1lna，则切线的斜率为ln2aa1lna=eln2a，因为函数y=lnaax与函数y=ex的图象有两个不同的交点，所以eln2ae，解得1eae，又0a1，所以1ea0,当x(1,0),g(x)=ex+a1x20,即f(x)0所以f(x)在(1,0)上单调递增,f(x)0所以g(x)在(0,+)上单调递增所以g(x)g(0)=1+a0,即f(x)0所以f(x)在(0,+)上单调递增,f(x)f(0)=0故f(x)在(0,+)上没有零点,不合题意3若a0,所以g(x)在(0,+)上单调递增g(0)=1+a0所以存在m(0,1),使得g(

23、m)=0,即f(m)=0当x(0,m),f(x)0,f(x)单调递增所以当x(0,m),f(x)0所以g(x)在(1,0)单调递增g(1)=1e+2a0所以存在n(1,0),使得g(n)=0当x(1,n),g(x)0,g(x)单调递增,g(x)g(0)=1+a0所以存在t(1,n),使得g(t)=0,即f(t)=0当x(1,t),f(x)单调递增,当x(t,0),f(x)单调递减有x1,f(x)而f(0)=0,所以当x(t,0),f(x)0所以f(x)在(1,t)上有唯一零点,(t,0)上无零点即f(x)在(1,0)上有唯一零点所以a0，b0，c0，则a320，b320，c320，所以a32+b32+c3233a32b32c32，即abc1213，所以abc19，当且仅当a32=b32=c32，即a=b=c=319时取等号(2)证明：因为a0，b0，c0，所以b+c2bc，a+c2ac，a+b2ab，所以ab+ca2bc=a322abc，ba+cb2ac=b322abc，ca+bc2ab=c322abcab+c+ba+c+ca+ba322abc+b322abc+c322abc=a32+b32+c322abc=12abc当且仅当a=b=c时取等号答案第19页，共19页