第八章立体几何综合复习学案2020-2021学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（天津市宝坻区第四中学）.rar
必修第二册必修第二册 第八章立体几何综合复习学案第八章立体几何综合复习学案考点一：直线与直线、直线与平面平行考点一：直线与直线、直线与平面平行1如果两条直线如果两条直线 a 和和 b 没有公共点，那么没有公共点，那么 a 与与 b 的位置关系是的位置关系是()A共面共面B平行平行C异面异面D平行或异面平行或异面2.如图，在三棱锥如图，在三棱锥 S-ABC 中，中，E，F 分别是分别是 SB，SC 上的点，且上的点，且 EF平面平面ABC，则，则()AEF 与与 BC 相交相交 BEFBCCEF 与与 BC 异面异面 D以上均有可能以上均有可能3 3下列选项中，一定能得出直线下列选项中，一定能得出直线 m m 与平面与平面 平行的是平行的是( () )A A直线直线 m m 在平面在平面 外外B B直线直线 m m 与平面与平面 内的两条直线平行内的两条直线平行C C平面平面 外的直线外的直线 m m 与平面内的一条直线平行与平面内的一条直线平行D D直线直线 m m 与平面与平面 内的一条直线平行内的一条直线平行4.4.如图所示，在空间四边形如图所示，在空间四边形 ABCD 中，中，E，F，G，H 分别是分别是AB，BC，CD，DA 上的点，上的点，EHFG，则，则 EH 与与 BD 的位置的位置关系是关系是()A平行平行 B相交相交C异面异面 D不确定不确定5.5. 如图所示如图所示, ,在棱长为在棱长为 2 2 的正方体的正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,E,FE,F 分别为分别为 DDDD1 1,DB,DB 的中点的中点. .求证求证:EF:EF平面平面 ABCABC1 1D D1 1. .跟踪训练：如图所示跟踪训练：如图所示, ,在三棱柱在三棱柱 ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,点点 D D 是是 ABAB 的中点的中点. .求证求证:BC:BC1 1平面平面 CACA1 1D.D.6.6.如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 O-ABCDO-ABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 为平行四边形为平行四边形, ,M M 为为 OAOA 的中点的中点,N,N 为为 BCBC 的中点的中点, ,求证求证:MN:MN平面平面 OCD.OCD.跟踪训练：如图，在正方体跟踪训练：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F 分别是棱分别是棱 BC，C1D1的中点，的中点，求证：求证：EF平面平面 BDD1B1.考点二：平面与平面平行考点二：平面与平面平行1下列命题正确的有下列命题正确的有()如果两个平面如果两个平面(不重合不重合)不相交，那么它们平行；不相交，那么它们平行；如果一个平面内有无数条如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；空间两个相等的角所在的平空间两个相等的角所在的平面平行面平行A0 个个B1 个个 C2 个个D3 个个2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P-ABCD 中，点中，点 E 为为 PA 的中点，的中点，点点 F 为为 BC 的中点，底面的中点，底面 ABCD 是平行四边形，对是平行四边形，对角线角线 AC，BD 交于点交于点 O.求证：平面求证：平面 EFO平面平面 PCD考点三：直线与直线垂直考点三：直线与直线垂直1已知直线已知直线 a，b，c，下列三个命题：，下列三个命题：若若 a 与与 b 异面，异面，b 与与 c 异面，则异面，则 a 与与 c 异面；异面；若若 ab，a 和和 c 相交，则相交，则 b 和和 c 也相交；也相交；若若 ab，ac，则，则 bc.其中，正确命题的个数是其中，正确命题的个数是()A0B1 C2D32如图正方体如图正方体 ABCD-A1B1C1D1中中，异面直线异面直线 A1B 与与 AD1所成角为所成角为()A30B45 C60D903如图，空间四边形如图，空间四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC8，BD6，M，N 分别为分别为 AB，CD的中点，并且异面直线的中点，并且异面直线 AC 与与 BD 所成的角为所成的角为 90，则，则 MN 等于等于_4.如图所示，正方体如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中， E，F 分别是棱分别是棱 BC，CC1的中点，的中点，则异面直线则异面直线 EF 与与 B1D1所成的角为所成的角为_考点四：直线与平面垂直考点四：直线与平面垂直1.1.若三条直线若三条直线OAOA，OBOB，OCOC两两垂直，则直线两两垂直，则直线OAOA垂直于垂直于( () )A A平面平面OABOABB B平面平面OACOACC C平面平面OBCOBC D D平面平面ABCABC2.直线直线 l 与平面与平面 内的无数条直线垂直，则直线内的无数条直线垂直，则直线 l 与平面与平面 的关系是的关系是()Al 和平面和平面 相互平行相互平行 Bl 和平面和平面 相互垂直相互垂直Cl 在平面在平面 内内 D不能确定不能确定3.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A内心内心B重心重心 C外心外心D垂心垂心4如图，如图，ABC 是直角三角形，是直角三角形，ACB90，PA平面平面 ABC，此图形中有，此图形中有_个直角三角形个直角三角形5.如图所示，如图所示，AB 是是O 的直径，的直径，PAO 所在的平面，所在的平面，C 是圆上一点，且是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线，则直线 PC 与平面与平面 ABC 所成角的正切值为所成角的正切值为_6.若若 a，b 表示直线，表示直线， 表示平面，给出下列命题：表示平面，给出下列命题：a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.其中正确的命题为其中正确的命题为_(填序号填序号)7.如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面，所在的平面，M M是圆周上任意一点，是圆周上任意一点，ANANPMPM，垂足为，垂足为N N. .求证：求证：ANAN平面平面PBMPBM. .8.如图，在棱长均为如图，在棱长均为 1 的直三棱柱的直三棱柱 ABC-A1B1C1中，中，D 是是 BC 的中点的中点(1)求证：求证：AD平面平面 BCC1B1；(2)求直线求直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角的正弦值所成角的正弦值9.9.如图，四边形如图，四边形 ABCD 为矩形，为矩形，AD平面平面 ABE，F 为为 CE 上的点，且上的点，且 BF平平面面 ACE. 求证：求证：AEBE.1010 如图，在三棱锥如图，在三棱锥S S ABCABC中，中，ABCABC9090，D D是是ACAC的中点，且的中点，且SASASBSBSCSC(1)(1)求证：求证：SDSD平面平面ABCABC；(2)(2)若若ABABBCBC，求证：，求证：BDBD平面平面SACSAC11.11.在正方体在正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求证求证:A:A1 1CC平面平面 BCBC1 1D.D.12.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，M，N 分别是分别是 AB，PC 的中点，的中点，PAADa.(1)求证：求证：MN平面平面 PAD；(2)求证：求证：MN平面平面 PCD.考点五：平面与平面垂直考点五：平面与平面垂直1下列说法：下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系其中正确的个数是其中正确的个数是()A0B1C2D32.2.如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P-ABCP-ABC 中中,PAAB,PABC,ABBC,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,DPA=AB=BC=2,D 为线段为线段 ACAC 的中点的中点,E,E 为线段为线段 PCPC 上一点上一点. .(1)(1)求证求证:PABD;:PABD;(2)(2)求证求证: :平面平面 BDEBDE平面平面 PAC;PAC;(3)(3)当当 PAPA平面平面 BDEBDE 时时, ,求三棱锥求三棱锥 E-BCDE-BCD 的体积的体积. .3.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形中，四边形 ABCD 为平行四边形，为平行四边形，AC，BD 相交相交于点于点 O，点，点 E 为为 PC 的中点，的中点，OPOC，PAPD.求证：求证：(1)直线直线 PA平面平面 BDE.(2)平面平面 BDE平面平面 PCD. 必修第二册必修第二册 第八章立体几何综合复习学案第八章立体几何综合复习学案考点一：直线与直线、直线与平面平行考点一：直线与直线、直线与平面平行1如果两条直线如果两条直线 a 和和 b 没有公共点，那么没有公共点，那么 a 与与 b 的位置关系是的位置关系是()A共面共面B平行平行C异面异面D平行或异面平行或异面【答案答案】D【解析解析】空间中两直线的位置关系有：空间中两直线的位置关系有：相交；相交；平行；平行；异面两条直线平异面两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故 a 与与 b 的位置关系是平行或的位置关系是平行或异面异面2.如图，在三棱锥如图，在三棱锥 S-ABC 中，中，E，F 分别是分别是 SB，SC 上的点，且上的点，且 EF平面平面ABC，则，则()AEF 与与 BC 相交相交 BEFBCCEF 与与 BC 异面异面 D以上均有可能以上均有可能【答案答案】B【解析解析】因为平面因为平面 SBC平面平面 ABCBC，又因为，又因为 EF平面平面 ABC，所以，所以EFBC3 3下列选项中，一定能得出直线下列选项中，一定能得出直线 m m 与平面与平面 平行的是平行的是( () )A A直线直线 m m 在平面在平面 外外B B直线直线 m m 与平面与平面 内的两条直线平行内的两条直线平行C C平面平面 外的直线外的直线 m m 与平面内的一条直线平行与平面内的一条直线平行D D直线直线 m m 与平面与平面 内的一条直线平行内的一条直线平行【答案答案】C C【解析解析】选项选项 A A 不符合题意，因为直线不符合题意，因为直线 m m 在平面在平面 外也包括直线与平面相交；外也包括直线与平面相交；选项选项 B B 与与 D D 不符合题意，因为缺少条件不符合题意，因为缺少条件 m m ；选项；选项 C C 中，由直线与平面平行的中，由直线与平面平行的判定定理，知直线判定定理，知直线 m m 与平面与平面 平行，故选项平行，故选项 C C 符合题意符合题意4.4.如图所示，在空间四边形如图所示，在空间四边形 ABCD 中，中，E，F，G，H 分别是分别是AB，BC，CD，DA 上的点，上的点，EHFG，则，则 EH 与与 BD 的位置关的位置关系是系是()A平行平行 B相交相交C异面异面 D不确定不确定【答案答案】A【解析解析】因为因为 EHFG，FG平面平面 BCD，EH 平面平面 BCD，所以，所以 EH平面平面BCD因为因为 EH平面平面 ABD，平面，平面 ABD平面平面 BCDBD，所以，所以 EHBD5.5. 如图所示如图所示, ,在棱长为在棱长为 2 2 的正方体的正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,E,FE,F 分别为分别为 DDDD1 1,DB,DB 的中点的中点. .求证求证:EF:EF平面平面 ABCABC1 1D D1 1. .【证明证明】如图如图, ,连接连接 BDBD1 1, ,在在BDDBDD1 1中中, ,因为因为 E E 为为 DDDD1 1的中点的中点,F,F 为为 BDBD 的中点的中点, ,所以所以 EFEF 为为BDDBDD1 1的中位线的中位线, ,所以所以 EFBDEFBD1 1, ,又又 BDBD1 1平面平面 ABCABC1 1D D1 1,EF,EF 平面平面 ABCABC1 1D D1 1, ,所以所以 EFEF平面平面 ABCABC1 1D D1 1. .跟踪训练：如图所示跟踪训练：如图所示, ,在三棱柱在三棱柱 ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,点点 D D 是是 ABAB 的中点的中点. .求证求证:BC:BC1 1平面平面 CACA1 1D.D.【证明证明】如图所示如图所示, ,连接连接 ACAC1 1交交 A A1 1C C 于点于点 O,O,连接连接 OD,OD,则则 O O 是是 ACAC1 1的中点的中点. .因为点因为点 D D 是是 ABAB 的中点的中点, ,所以所以 ODBCODBC1 1. .又因为又因为 ODOD平面平面 CACA1 1D,BCD,BC1 1 平面平面 CACA1 1D,D,所以所以 BCBC1 1平面平面 CACA1 1D.D.6.6. 如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 O-ABCDO-ABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 为平行四边形为平行四边形, ,M M 为为 OAOA 的中点的中点,N,N 为为 BCBC 的中点的中点, ,求证求证:MN:MN平面平面 OCD.OCD.【证明证明】取取 ODOD 的中点的中点 E,E,连接连接 CE,ME,CE,ME,则则 MEAD,ME=MEAD,ME= AD,AD,因为因为 ADBC,NC=ADBC,NC= BC,BC,所以所以 MENC,ME=NC,MENC,ME=NC,所以四边形所以四边形 MECNMECN 为平行四边形为平行四边形, ,则则 MNCE,MNCE,而而 MNMN 平面平面 OCD,CEOCD,CE 平面平面 OCD,OCD,所以所以 MNMN平面平面 OCD.OCD.跟踪训练：如图，在正方体跟踪训练：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F 分别是棱分别是棱 BC，C1D1的中点，的中点，求证：求证：EF平面平面 BDD1B1.证明：证明：如图，取如图，取 D1B1的中点的中点 O，连接，连接 OF，OB因为因为 OFB1C1，BEB1C1，1212所以所以 OF BE.所以四边形所以四边形 OFEB 是平行四边形是平行四边形所以所以 EFBO.因为因为 EF 平面平面 BDD1B1，BO平面平面 BDD1B1，所以所以 EF平面平面 BDD1B1.考点二：平面与平面平行考点二：平面与平面平行1下列命题正确的有下列命题正确的有()如果两个平面如果两个平面(不重合不重合)不相交，那么它们平行；不相交，那么它们平行；如果一个平面内有无数条如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；空间两个相等的角所在的平空间两个相等的角所在的平面平行面平行A0 个个B1 个个 C2 个个D3 个个【答案答案】B【解析解析】对对，由两个平面平行的定义知正确；对，由两个平面平行的定义知正确；对，若这无数条直线都平行，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，则这两个平面可能相交，错误；对错误；对，这两个角可能在同一平面内，故，这两个角可能在同一平面内，故错错误误2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P-ABCD 中，点中，点 E 为为 PA 的中点，的中点，点点 F 为为 BC 的中点，底面的中点，底面 ABCD 是平行四边形，对是平行四边形，对角线角线 AC，BD 交于点交于点 O.求证：平面求证：平面 EFO平面平面 PCD证明证明因为四边形因为四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形，ACBDO，所以点所以点 O 为为 BD 的中点的中点又因为点又因为点 F 为为 BC 的中点，所以的中点，所以 OFCD又又 OF 平面平面 PCD，CD平面平面 PCD，所以所以 OF平面平面 PCD，因为点因为点 O，E 分别是分别是 AC，PA 的中点，的中点，所以所以 OEPC，又又 OE 平面平面 PCD，PC平面平面 PCD，所以所以 OE平面平面 PCD又又 OE平面平面 EFO，OF平面平面 EFO，且，且 OEOFO，所以平面所以平面 EFO平面平面 PCD考点三：直线与直线垂直考点三：直线与直线垂直1已知直线已知直线 a，b，c，下列三个命题：，下列三个命题：若若 a 与与 b 异面，异面，b 与与 c 异面，则异面，则 a 与与 c 异面；异面；若若 ab，a 和和 c 相交，则相交，则 b 和和 c 也相交；也相交；若若 ab，ac，则，则 bc.其中，正确命题的个数是其中，正确命题的个数是()A0B1 C2D3【答案答案】A【解析解析】不正确如图不正确如图；不正确不正确，有可能相交也有可能异面有可能相交也有可能异面；不正确可能平行不正确可能平行，可能相交也可能异面可能相交也可能异面2如图正方体如图正方体 ABCD-A1B1C1D1中中，异面直线异面直线 A1B 与与 AD1所成角为所成角为()A30B45 C60D90【答案答案】C【解析解析】连接连接 BC1、A1C1(图略图略)，BC1AD1，异面直线异面直线 A1B 与与 AD1所成的所成的角即为直线角即为直线 A1B 与与 BC1所成的角所成的角在在A1BC1中中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线故异面直线 A1B 与与 AD1所成角为所成角为 60.3如图，空间四边形如图，空间四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC8，BD6，M，N 分别为分别为 AB，CD的中点，并且异面直线的中点，并且异面直线 AC 与与 BD 所成的角为所成的角为 90，则，则 MN 等于等于_【答案答案】5【解析解析】取取 AD 的中点的中点 P，连接，连接 PM，PN，则，则BDPM，ACPN，MPN 为异面直线为异面直线 AC 与与 BD 所成的所成的角，角，MPN90，PN AC4，PM BD3，MN512124.如图所示，正方体如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中， E，F 分别是棱分别是棱 BC，CC1的中点，的中点，则异面直线则异面直线 EF 与与 B1D1所成的角为所成的角为_【答案答案】60【解析解析】连接连接 BC1，AD1，AB1，则则 EF 为为BCC1的中位线，的中位线，EFBC1.又又ABCDC1D1，四边形四边形 ABC1D1为平行四边形为平行四边形BC1AD1，EFAD1.AD1B1为异面直线为异面直线 EF 和和 B1D1所成的角或其补角所成的角或其补角在在AB1D1中，易知中，易知 AB1B1D1AD1，AB1D1为正三角形，为正三角形，AD1B160.EF 与与 B1D1所成的角为所成的角为 60.考点四：直线与平面垂直考点四：直线与平面垂直1.1.若三条直线若三条直线OAOA，OBOB，OCOC两两垂直，则直线两两垂直，则直线OAOA垂直于垂直于( () )A A平面平面OABOABB B平面平面OACOACC C平面平面OBCOBC D D平面平面ABCABC【答案答案】C C【解析解析】由线面垂直的判定定理知由线面垂直的判定定理知OAOA垂直于平面垂直于平面OBCOBC. .2.直线直线 l 与平面与平面 内的无数条直线垂直，则直线内的无数条直线垂直，则直线 l 与平面与平面 的关系是的关系是()Al 和平面和平面 相互平行相互平行Bl 和平面和平面 相互垂直相互垂直Cl 在平面在平面 内内D不能确定不能确定【答案答案】D【解析解析】如图所示，直线如图所示，直线 l 和平面和平面 相互平行，或直线相互平行，或直线 l 和平面和平面 相互垂直或相互垂直或直线直线 l 在平面在平面 内都有可能故选内都有可能故选 D3.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A内心内心B重心重心 C外心外心D垂心垂心【答案答案】C【解析解析】如图，设点如图，设点 P 在平面在平面 ABC 内的射影为内的射影为 O，连接，连接OA，OB，OC三棱锥的三条侧棱两两相等，三棱锥的三条侧棱两两相等，PAPBPCPO底面底面 ABC，POOA，POOB，POOC，RtPOARtPOBRtPOC，OAOBOC，故顶点故顶点 P 在底面的射影为底面三角形的外心在底面的射影为底面三角形的外心4如图，如图，ABC 是直角三角形，是直角三角形，ACB90，PA平面平面 ABC，此图形中有，此图形中有_个直角三角形个直角三角形【答案答案】4【解析解析】PA平面平面ABC，PAAC，PAAB，PABC，ACBC，且，且 PAACA，BC平面平面 PAC，BCPC 综上知：综上知： ABC，PAC，PAB，PBC 都是直都是直角三角形，共有角三角形，共有 4 个个5.如图所示，如图所示，AB 是是O 的直径，的直径，PAO 所在的平面，所在的平面，C 是圆上一点，且是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线，则直线 PC 与平面与平面 ABC 所成角的正切值为所成角的正切值为_【答案答案】2【解析解析】因为因为 PA平面平面 ABC，所以，所以 AC 为斜线为斜线 PC 在平面在平面 ABC 上的射影，所上的射影，所以以PCA 即为即为 PC 与平面与平面 ABC 所成的角在所成的角在ABC 中，中，AC AB PA，所，所1212以以 tanPCA2.PAAC6.若若 a，b 表示直线，表示直线， 表示平面，给出下列命题：表示平面，给出下列命题：a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.其中正确的命题为其中正确的命题为_(填序号填序号)【答案答案】【解析解析】由线面垂直的性质知由线面垂直的性质知、正确正确中中 b 可能满足可能满足 b，故，故错误；错误；中中 b 可能与可能与 相交相交(不垂直不垂直)，也可能平行，故，也可能平行，故错误错误7.如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面，所在的平面，M M是圆周上任意一点，是圆周上任意一点，ANANPMPM，垂足为，垂足为N N. .求证：求证：ANAN平面平面PBMPBM. . 证明证明 设圆设圆O O所在的平面为所在的平面为，PAPA，且，且BMBM ，PAPABMBM. .又又ABAB为为O O的直径，点的直径，点M M为圆周上一点，为圆周上一点，AMAMBMBM. . 由于直线由于直线PAPAAMAMA A，BMBM平面平面PAMPAM，而，而ANAN 平面平面PAMPAM，BMBMANAN. .ANAN与与PMPM、BMBM两条相交直线互相垂直两条相交直线互相垂直故故ANAN平面平面PBMPBM. .8.如图，在棱长均为如图，在棱长均为 1 的直三棱柱的直三棱柱 ABC-A1B1C1中，中，D 是是 BC 的中点的中点(1)求证：求证：AD平面平面 BCC1B1；(2)求直线求直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角的正弦值所成角的正弦值解解(1)证明证明：直三棱柱：直三棱柱 ABC-A1B1C1中，中，BB1平面平面 ABC，BB1ADABAC，D 是是 BC 的中点，的中点，ADBC又又 BCBB1B，AD平面平面 BCC1B1.(2)连接连接 C1D由由(1)AD平面平面 BCC1B1，则则AC1D 即为直线即为直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角所成角在在 RtAC1D 中，中，AD，32AC1，sinAC1D，2ADAC164即直线即直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角的正弦值为所成角的正弦值为.649.9.如图，四边形如图，四边形 ABCD 为矩形，为矩形，AD平面平面 ABE，F 为为 CE 上的点，且上的点，且 BF平平面面 ACE. 求证：求证：AEBE. 证明证明AD平面平面 ABE，ADBC，BC平面平面 ABE.又又 AE平面平面 ABE，AEBCBF平面平面 ACE，AE平面平面 ACE，AEBF.又又BF平面平面 BCE，BC平面平面 BCE，BFBCB，AE平面平面 BCE.又又 BE平面平面 BCE，AEBE.1010 如图，在三棱锥如图，在三棱锥S S ABCABC中，中，ABCABC9090，D D是是ACAC的中点，且的中点，且SASASBSBSCSC(1)(1)求证：求证：SDSD平面平面ABCABC；(2)(2)若若ABABBCBC，求证：，求证：BDBD平面平面SACSAC 证明证明 (1)(1)因为因为SASASCSC，D D是是ACAC的中点，的中点，所以所以SDSDACAC在在 RtRtABCABC中，中，ADADBDBD，由已知由已知SASASBSB，所以所以ADSADSBDSBDS，所以所以SDSDBDBD又又ACACBDBDD D，ACAC，BDBD 平面平面ABCABC，所以所以SDSD平面平面ABCABC(2)(2)因为因为ABABBCBC，D D为为ACAC的中点，的中点，所以所以BDBDACAC由由(1)(1)知知SDSDBDBD又因为又因为SDSDACACD D，SDSD，ACAC 平面平面SACSAC，所以，所以BDBD平面平面SACSAC11.11.在正方体在正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求证求证:A:A1 1CC平面平面 BCBC1 1D.D.【证明证明】如图如图, ,连接连接 AC,AC,所以所以 ACBD,ACBD,又因为又因为 BDABDA1 1A,ACAAA,ACAA1 1=A,AC,A=A,AC,A1 1A A 平面平面 A A1 1AC,AC,所以所以 BDBD平面平面 A A1 1AC,AC,因为因为 A A1 1C C 平面平面 A A1 1AC,AC,所以所以 BDABDA1 1C.C.同理可证同理可证 BCBC1 1AA1 1C.C.又因为又因为 BDBCBDBC1 1=B,BD,BC=B,BD,BC1 1 平面平面 BCBC1 1D,D,所以所以 A A1 1CC平面平面 BCBC1 1D.D.12.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，M，N 分别是分别是 AB，PC 的中点，的中点，PAADa.(1)求证：求证：MN平面平面 PAD；(2)求证：求证：MN平面平面 PCD.题图题图答图答图解析解析(1)如图，取如图，取 CD 的中点的中点 E，连接，连接 NE，ME.E，M，N 分别是分别是 CD，AB，PC 的中点，的中点，NEPD，EMDA，平面平面 NEM平面平面 PDA，MN平面平面 PAD.(2)PA平面平面 ABCD，CDPA.底面底面 ABCD 是矩形，是矩形，CDAD，又又 PAADA，CD平面平面 PAD，CDPD.ENPD，ENCD，又又CDEM，EMENE，CD平面平面 ENM，MNCD.PM MC，N 是是 PC 的中点，的中点，PA2AM2a2(12AB)2BC2MB2MNPC.又又 CDPCC，MN平面平面 PCD.考点五：平面与平面垂直考点五：平面与平面垂直1下列说法：下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系其中正确的个数是其中正确的个数是()A0B1C2D3【答案答案】A【解析解析】根据二面角的定义知根据二面角的定义知都不正确都不正确2.2.如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P-ABCP-ABC 中中,PAAB,PABC,ABBC,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,DPA=AB=BC=2,D 为线段为线段 ACAC 的中点的中点,E,E 为线段为线段 PCPC 上一点上一点. .(1)(1)求证求证:PABD;:PABD;(2)(2)求证求证: :平面平面 BDEBDE平面平面 PAC;PAC;(3)(3)当当 PAPA平面平面 BDEBDE 时时, ,求三棱锥求三棱锥 E-BCDE-BCD 的体积的体积. .【解析解析】(1)】(1)因为因为 PAAB,PABC,ABPAAB,PABC,AB 平面平面 ABC,BCABC,BC 平面平面 ABC,ABC,且且 ABBC=B,ABBC=B,所以所以PAPA平面平面 ABC,BDABC,BD 平面平面 ABC,ABC,所以所以 PABD.PABD.(2)(2)因为因为 AB=BC,DAB=BC,D 是是 ACAC 的中点的中点, ,所以所以 BDAC,BDAC,由由(1)(1)知知 PAPA平面平面 ABC,ABC,因为因为 PAPA平面平面 PAC,PAC,所以平面所以平面 PACPAC平面平面 ABC,ABC,因为平面因为平面 PACPAC平面平面 ABC=AC,BDABC=AC,BD平面平面 ABC,BDAC,ABC,BDAC,所以所以 BDBD平面平面 PAC,PAC,因为因为 BDBD平面平面 BDE,BDE,所以平面所以平面 BDEBDE平面平面 PAC.PAC.(3)(3)因为因为 PAPA平面平面 BDE,BDE,又又 DE=DE=平面平面 BDEBDE平面平面 PAC,PAC,PAPA平面平面 PAC,PAC,所以所以 PADE,PADE,因为因为 D D 是是 ACAC 的中点的中点, ,所以所以 E E 为为 PCPC 的中点的中点, ,所以所以 DE=1,DE=1,所以所以 S SBDCBDC= = S SABCABC= = 22=1,22=1,V VE-BCDE-BCD= = 1DE=1DE= 11=11= . .3.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形中，四边形 ABCD 为平行四边形，为平行四边形，AC，BD 相交相交于点于点 O，点，点 E 为为 PC 的中点，的中点，OPOC，PAPD.求证：求证：(1)直线直线 PA平面平面 BDE.(2)平面平面 BDE平面平面 PCD.证明证明(1)如图，连接如图，连接 OE，因为，因为 O 为平行四边形为平行四边形 ABCD 对角线的交点，对角线的交点，所以所以 O 为为 AC 的中点的中点.又又 E 为为 PC 的中点，所以的中点，所以 OEPA.因为因为 OE平面平面 BDE，PA 平面平面 BDE，所以直线所以直线 PA平面平面 BDE.(2)因为因为 OEPA，PAPD，所以所以 OEPD.因为因为 OPOC，E 为为 PC 的中点，的中点，所以所以 OEPC.又又 PD平面平面 PCD，PC平面平面 PCD，PCPDP，所以所以 OE平面平面 PCD.因为因为 OE平面平面 BDE，所以平面所以平面 BDE平面平面 PCD.归纳提升归纳提升(1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行直线与交线平行.(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定理：如对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应用定理解决问果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应用定理解决问题时，经常采取题时，经常采取“线线垂直线线垂直”“线面垂直线面垂直”“面面垂直面面垂直”的转化思想进行的转化思想进行推理推理.
收藏
- 资源描述：
-
必修第二册必修第二册 第八章立体几何综合复习学案第八章立体几何综合复习学案考点一：直线与直线、直线与平面平行考点一：直线与直线、直线与平面平行1如果两条直线如果两条直线 a 和和 b 没有公共点，那么没有公共点，那么 a 与与 b 的位置关系是的位置关系是()A共面共面B平行平行C异面异面D平行或异面平行或异面2.如图，在三棱锥如图，在三棱锥 S-ABC 中，中，E，F 分别是分别是 SB，SC 上的点，且上的点，且 EF平面平面ABC，则，则()AEF 与与 BC 相交相交 BEFBCCEF 与与 BC 异面异面 D以上均有可能以上均有可能3 3下列选项中，一定能得出直线下列选项中，一定能得出直线 m m 与平面与平面 平行的是平行的是( () )A A直线直线 m m 在平面在平面 外外B B直线直线 m m 与平面与平面 内的两条直线平行内的两条直线平行C C平面平面 外的直线外的直线 m m 与平面内的一条直线平行与平面内的一条直线平行D D直线直线 m m 与平面与平面 内的一条直线平行内的一条直线平行4.4.如图所示，在空间四边形如图所示，在空间四边形 ABCD 中，中，E，F，G，H 分别是分别是AB，BC，CD，DA 上的点，上的点，EHFG，则，则 EH 与与 BD 的位置的位置关系是关系是()A平行平行 B相交相交C异面异面 D不确定不确定5.5. 如图所示如图所示, ,在棱长为在棱长为 2 2 的正方体的正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,E,FE,F 分别为分别为 DDDD1 1,DB,DB 的中点的中点. .求证求证:EF:EF平面平面 ABCABC1 1D D1 1. .跟踪训练：如图所示跟踪训练：如图所示, ,在三棱柱在三棱柱 ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,点点 D D 是是 ABAB 的中点的中点. .求证求证:BC:BC1 1平面平面 CACA1 1D.D.6.6.如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 O-ABCDO-ABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 为平行四边形为平行四边形, ,M M 为为 OAOA 的中点的中点,N,N 为为 BCBC 的中点的中点, ,求证求证:MN:MN平面平面 OCD.OCD.跟踪训练：如图，在正方体跟踪训练：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F 分别是棱分别是棱 BC，C1D1的中点，的中点，求证：求证：EF平面平面 BDD1B1.考点二：平面与平面平行考点二：平面与平面平行1下列命题正确的有下列命题正确的有()如果两个平面如果两个平面(不重合不重合)不相交，那么它们平行；不相交，那么它们平行；如果一个平面内有无数条如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；空间两个相等的角所在的平空间两个相等的角所在的平面平行面平行A0 个个B1 个个 C2 个个D3 个个2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P-ABCD 中，点中，点 E 为为 PA 的中点，的中点，点点 F 为为 BC 的中点，底面的中点，底面 ABCD 是平行四边形，对是平行四边形，对角线角线 AC，BD 交于点交于点 O.求证：平面求证：平面 EFO平面平面 PCD考点三：直线与直线垂直考点三：直线与直线垂直1已知直线已知直线 a，b，c，下列三个命题：，下列三个命题：若若 a 与与 b 异面，异面，b 与与 c 异面，则异面，则 a 与与 c 异面；异面；若若 ab，a 和和 c 相交，则相交，则 b 和和 c 也相交；也相交；若若 ab，ac，则，则 bc.其中，正确命题的个数是其中，正确命题的个数是()A0B1 C2D32如图正方体如图正方体 ABCD-A1B1C1D1中中，异面直线异面直线 A1B 与与 AD1所成角为所成角为()A30B45 C60D903如图，空间四边形如图，空间四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC8，BD6，M，N 分别为分别为 AB，CD的中点，并且异面直线的中点，并且异面直线 AC 与与 BD 所成的角为所成的角为 90，则，则 MN 等于等于_4.如图所示，正方体如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中， E，F 分别是棱分别是棱 BC，CC1的中点，的中点，则异面直线则异面直线 EF 与与 B1D1所成的角为所成的角为_考点四：直线与平面垂直考点四：直线与平面垂直1.1.若三条直线若三条直线OAOA，OBOB，OCOC两两垂直，则直线两两垂直，则直线OAOA垂直于垂直于( () )A A平面平面OABOABB B平面平面OACOACC C平面平面OBCOBC D D平面平面ABCABC2.直线直线 l 与平面与平面 内的无数条直线垂直，则直线内的无数条直线垂直，则直线 l 与平面与平面 的关系是的关系是()Al 和平面和平面 相互平行相互平行 Bl 和平面和平面 相互垂直相互垂直Cl 在平面在平面 内内 D不能确定不能确定3.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A内心内心B重心重心 C外心外心D垂心垂心4如图，如图，ABC 是直角三角形，是直角三角形，ACB90，PA平面平面 ABC，此图形中有，此图形中有_个直角三角形个直角三角形5.如图所示，如图所示，AB 是是O 的直径，的直径，PAO 所在的平面，所在的平面，C 是圆上一点，且是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线，则直线 PC 与平面与平面 ABC 所成角的正切值为所成角的正切值为_6.若若 a，b 表示直线，表示直线， 表示平面，给出下列命题：表示平面，给出下列命题：a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.其中正确的命题为其中正确的命题为_(填序号填序号)7.如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面，所在的平面，M M是圆周上任意一点，是圆周上任意一点，ANANPMPM，垂足为，垂足为N N. .求证：求证：ANAN平面平面PBMPBM. .8.如图，在棱长均为如图，在棱长均为 1 的直三棱柱的直三棱柱 ABC-A1B1C1中，中，D 是是 BC 的中点的中点(1)求证：求证：AD平面平面 BCC1B1；(2)求直线求直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角的正弦值所成角的正弦值9.9.如图，四边形如图，四边形 ABCD 为矩形，为矩形，AD平面平面 ABE，F 为为 CE 上的点，且上的点，且 BF平平面面 ACE. 求证：求证：AEBE.1010 如图，在三棱锥如图，在三棱锥S S ABCABC中，中，ABCABC9090，D D是是ACAC的中点，且的中点，且SASASBSBSCSC(1)(1)求证：求证：SDSD平面平面ABCABC；(2)(2)若若ABABBCBC，求证：，求证：BDBD平面平面SACSAC11.11.在正方体在正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求证求证:A:A1 1CC平面平面 BCBC1 1D.D.12.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，M，N 分别是分别是 AB，PC 的中点，的中点，PAADa.(1)求证：求证：MN平面平面 PAD；(2)求证：求证：MN平面平面 PCD.考点五：平面与平面垂直考点五：平面与平面垂直1下列说法：下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系其中正确的个数是其中正确的个数是()A0B1C2D32.2.如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P-ABCP-ABC 中中,PAAB,PABC,ABBC,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,DPA=AB=BC=2,D 为线段为线段 ACAC 的中点的中点,E,E 为线段为线段 PCPC 上一点上一点. .(1)(1)求证求证:PABD;:PABD;(2)(2)求证求证: :平面平面 BDEBDE平面平面 PAC;PAC;(3)(3)当当 PAPA平面平面 BDEBDE 时时, ,求三棱锥求三棱锥 E-BCDE-BCD 的体积的体积. .3.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形中，四边形 ABCD 为平行四边形，为平行四边形，AC，BD 相交相交于点于点 O，点，点 E 为为 PC 的中点，的中点，OPOC，PAPD.求证：求证：(1)直线直线 PA平面平面 BDE.(2)平面平面 BDE平面平面 PCD. 必修第二册必修第二册 第八章立体几何综合复习学案第八章立体几何综合复习学案考点一：直线与直线、直线与平面平行考点一：直线与直线、直线与平面平行1如果两条直线如果两条直线 a 和和 b 没有公共点，那么没有公共点，那么 a 与与 b 的位置关系是的位置关系是()A共面共面B平行平行C异面异面D平行或异面平行或异面【答案答案】D【解析解析】空间中两直线的位置关系有：空间中两直线的位置关系有：相交；相交；平行；平行；异面两条直线平异面两条直线平行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故行和两条直线异面都满足两条直线没有公共点，故 a 与与 b 的位置关系是平行或的位置关系是平行或异面异面2.如图，在三棱锥如图，在三棱锥 S-ABC 中，中，E，F 分别是分别是 SB，SC 上的点，且上的点，且 EF平面平面ABC，则，则()AEF 与与 BC 相交相交 BEFBCCEF 与与 BC 异面异面 D以上均有可能以上均有可能【答案答案】B【解析解析】因为平面因为平面 SBC平面平面 ABCBC，又因为，又因为 EF平面平面 ABC，所以，所以EFBC3 3下列选项中，一定能得出直线下列选项中，一定能得出直线 m m 与平面与平面 平行的是平行的是( () )A A直线直线 m m 在平面在平面 外外B B直线直线 m m 与平面与平面 内的两条直线平行内的两条直线平行C C平面平面 外的直线外的直线 m m 与平面内的一条直线平行与平面内的一条直线平行D D直线直线 m m 与平面与平面 内的一条直线平行内的一条直线平行【答案答案】C C【解析解析】选项选项 A A 不符合题意，因为直线不符合题意，因为直线 m m 在平面在平面 外也包括直线与平面相交；外也包括直线与平面相交；选项选项 B B 与与 D D 不符合题意，因为缺少条件不符合题意，因为缺少条件 m m ；选项；选项 C C 中，由直线与平面平行的中，由直线与平面平行的判定定理，知直线判定定理，知直线 m m 与平面与平面 平行，故选项平行，故选项 C C 符合题意符合题意4.4.如图所示，在空间四边形如图所示，在空间四边形 ABCD 中，中，E，F，G，H 分别是分别是AB，BC，CD，DA 上的点，上的点，EHFG，则，则 EH 与与 BD 的位置关的位置关系是系是()A平行平行 B相交相交C异面异面 D不确定不确定【答案答案】A【解析解析】因为因为 EHFG，FG平面平面 BCD，EH 平面平面 BCD，所以，所以 EH平面平面BCD因为因为 EH平面平面 ABD，平面，平面 ABD平面平面 BCDBD，所以，所以 EHBD5.5. 如图所示如图所示, ,在棱长为在棱长为 2 2 的正方体的正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,E,FE,F 分别为分别为 DDDD1 1,DB,DB 的中点的中点. .求证求证:EF:EF平面平面 ABCABC1 1D D1 1. .【证明证明】如图如图, ,连接连接 BDBD1 1, ,在在BDDBDD1 1中中, ,因为因为 E E 为为 DDDD1 1的中点的中点,F,F 为为 BDBD 的中点的中点, ,所以所以 EFEF 为为BDDBDD1 1的中位线的中位线, ,所以所以 EFBDEFBD1 1, ,又又 BDBD1 1平面平面 ABCABC1 1D D1 1,EF,EF 平面平面 ABCABC1 1D D1 1, ,所以所以 EFEF平面平面 ABCABC1 1D D1 1. .跟踪训练：如图所示跟踪训练：如图所示, ,在三棱柱在三棱柱 ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中, ,点点 D D 是是 ABAB 的中点的中点. .求证求证:BC:BC1 1平面平面 CACA1 1D.D.【证明证明】如图所示如图所示, ,连接连接 ACAC1 1交交 A A1 1C C 于点于点 O,O,连接连接 OD,OD,则则 O O 是是 ACAC1 1的中点的中点. .因为点因为点 D D 是是 ABAB 的中点的中点, ,所以所以 ODBCODBC1 1. .又因为又因为 ODOD平面平面 CACA1 1D,BCD,BC1 1 平面平面 CACA1 1D,D,所以所以 BCBC1 1平面平面 CACA1 1D.D.6.6. 如图如图, ,在四棱锥在四棱锥 O-ABCDO-ABCD 中中, ,底面底面 ABCDABCD 为平行四边形为平行四边形, ,M M 为为 OAOA 的中点的中点,N,N 为为 BCBC 的中点的中点, ,求证求证:MN:MN平面平面 OCD.OCD.【证明证明】取取 ODOD 的中点的中点 E,E,连接连接 CE,ME,CE,ME,则则 MEAD,ME=MEAD,ME= AD,AD,因为因为 ADBC,NC=ADBC,NC= BC,BC,所以所以 MENC,ME=NC,MENC,ME=NC,所以四边形所以四边形 MECNMECN 为平行四边形为平行四边形, ,则则 MNCE,MNCE,而而 MNMN 平面平面 OCD,CEOCD,CE 平面平面 OCD,OCD,所以所以 MNMN平面平面 OCD.OCD.跟踪训练：如图，在正方体跟踪训练：如图，在正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中，E，F 分别是棱分别是棱 BC，C1D1的中点，的中点，求证：求证：EF平面平面 BDD1B1.证明：证明：如图，取如图，取 D1B1的中点的中点 O，连接，连接 OF，OB因为因为 OFB1C1，BEB1C1，1212所以所以 OF BE.所以四边形所以四边形 OFEB 是平行四边形是平行四边形所以所以 EFBO.因为因为 EF 平面平面 BDD1B1，BO平面平面 BDD1B1，所以所以 EF平面平面 BDD1B1.考点二：平面与平面平行考点二：平面与平面平行1下列命题正确的有下列命题正确的有()如果两个平面如果两个平面(不重合不重合)不相交，那么它们平行；不相交，那么它们平行；如果一个平面内有无数条如果一个平面内有无数条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行；空间两个相等的角所在的平空间两个相等的角所在的平面平行面平行A0 个个B1 个个 C2 个个D3 个个【答案答案】B【解析解析】对对，由两个平面平行的定义知正确；对，由两个平面平行的定义知正确；对，若这无数条直线都平行，若这无数条直线都平行，则这两个平面可能相交，则这两个平面可能相交，错误；对错误；对，这两个角可能在同一平面内，故，这两个角可能在同一平面内，故错错误误2.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 P-ABCD 中，点中，点 E 为为 PA 的中点，的中点，点点 F 为为 BC 的中点，底面的中点，底面 ABCD 是平行四边形，对是平行四边形，对角线角线 AC，BD 交于点交于点 O.求证：平面求证：平面 EFO平面平面 PCD证明证明因为四边形因为四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形，ACBDO，所以点所以点 O 为为 BD 的中点的中点又因为点又因为点 F 为为 BC 的中点，所以的中点，所以 OFCD又又 OF 平面平面 PCD，CD平面平面 PCD，所以所以 OF平面平面 PCD，因为点因为点 O，E 分别是分别是 AC，PA 的中点，的中点，所以所以 OEPC，又又 OE 平面平面 PCD，PC平面平面 PCD，所以所以 OE平面平面 PCD又又 OE平面平面 EFO，OF平面平面 EFO，且，且 OEOFO，所以平面所以平面 EFO平面平面 PCD考点三：直线与直线垂直考点三：直线与直线垂直1已知直线已知直线 a，b，c，下列三个命题：，下列三个命题：若若 a 与与 b 异面，异面，b 与与 c 异面，则异面，则 a 与与 c 异面；异面；若若 ab，a 和和 c 相交，则相交，则 b 和和 c 也相交；也相交；若若 ab，ac，则，则 bc.其中，正确命题的个数是其中，正确命题的个数是()A0B1 C2D3【答案答案】A【解析解析】不正确如图不正确如图；不正确不正确，有可能相交也有可能异面有可能相交也有可能异面；不正确可能平行不正确可能平行，可能相交也可能异面可能相交也可能异面2如图正方体如图正方体 ABCD-A1B1C1D1中中，异面直线异面直线 A1B 与与 AD1所成角为所成角为()A30B45 C60D90【答案答案】C【解析解析】连接连接 BC1、A1C1(图略图略)，BC1AD1，异面直线异面直线 A1B 与与 AD1所成的所成的角即为直线角即为直线 A1B 与与 BC1所成的角所成的角在在A1BC1中中，A1BBC1A1C1，A1BC160.故异面直线故异面直线 A1B 与与 AD1所成角为所成角为 60.3如图，空间四边形如图，空间四边形 ABCD 的对角线的对角线 AC8，BD6，M，N 分别为分别为 AB，CD的中点，并且异面直线的中点，并且异面直线 AC 与与 BD 所成的角为所成的角为 90，则，则 MN 等于等于_【答案答案】5【解析解析】取取 AD 的中点的中点 P，连接，连接 PM，PN，则，则BDPM，ACPN，MPN 为异面直线为异面直线 AC 与与 BD 所成的所成的角，角，MPN90，PN AC4，PM BD3，MN512124.如图所示，正方体如图所示，正方体 ABCD-A1B1C1D1中，中， E，F 分别是棱分别是棱 BC，CC1的中点，的中点，则异面直线则异面直线 EF 与与 B1D1所成的角为所成的角为_【答案答案】60【解析解析】连接连接 BC1，AD1，AB1，则则 EF 为为BCC1的中位线，的中位线，EFBC1.又又ABCDC1D1，四边形四边形 ABC1D1为平行四边形为平行四边形BC1AD1，EFAD1.AD1B1为异面直线为异面直线 EF 和和 B1D1所成的角或其补角所成的角或其补角在在AB1D1中，易知中，易知 AB1B1D1AD1，AB1D1为正三角形，为正三角形，AD1B160.EF 与与 B1D1所成的角为所成的角为 60.考点四：直线与平面垂直考点四：直线与平面垂直1.1.若三条直线若三条直线OAOA，OBOB，OCOC两两垂直，则直线两两垂直，则直线OAOA垂直于垂直于( () )A A平面平面OABOABB B平面平面OACOACC C平面平面OBCOBC D D平面平面ABCABC【答案答案】C C【解析解析】由线面垂直的判定定理知由线面垂直的判定定理知OAOA垂直于平面垂直于平面OBCOBC. .2.直线直线 l 与平面与平面 内的无数条直线垂直，则直线内的无数条直线垂直，则直线 l 与平面与平面 的关系是的关系是()Al 和平面和平面 相互平行相互平行Bl 和平面和平面 相互垂直相互垂直Cl 在平面在平面 内内D不能确定不能确定【答案答案】D【解析解析】如图所示，直线如图所示，直线 l 和平面和平面 相互平行，或直线相互平行，或直线 l 和平面和平面 相互垂直或相互垂直或直线直线 l 在平面在平面 内都有可能故选内都有可能故选 D3.三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的三棱锥的三条侧棱两两相等，则顶点在底面的射影为底面三角形的()A内心内心B重心重心 C外心外心D垂心垂心【答案答案】C【解析解析】如图，设点如图，设点 P 在平面在平面 ABC 内的射影为内的射影为 O，连接，连接OA，OB，OC三棱锥的三条侧棱两两相等，三棱锥的三条侧棱两两相等，PAPBPCPO底面底面 ABC，POOA，POOB，POOC，RtPOARtPOBRtPOC，OAOBOC，故顶点故顶点 P 在底面的射影为底面三角形的外心在底面的射影为底面三角形的外心4如图，如图，ABC 是直角三角形，是直角三角形，ACB90，PA平面平面 ABC，此图形中有，此图形中有_个直角三角形个直角三角形【答案答案】4【解析解析】PA平面平面ABC，PAAC，PAAB，PABC，ACBC，且，且 PAACA，BC平面平面 PAC，BCPC 综上知：综上知： ABC，PAC，PAB，PBC 都是直都是直角三角形，共有角三角形，共有 4 个个5.如图所示，如图所示，AB 是是O 的直径，的直径，PAO 所在的平面，所在的平面，C 是圆上一点，且是圆上一点，且ABC30，PAAB，则直线，则直线 PC 与平面与平面 ABC 所成角的正切值为所成角的正切值为_【答案答案】2【解析解析】因为因为 PA平面平面 ABC，所以，所以 AC 为斜线为斜线 PC 在平面在平面 ABC 上的射影，所上的射影，所以以PCA 即为即为 PC 与平面与平面 ABC 所成的角在所成的角在ABC 中，中，AC AB PA，所，所1212以以 tanPCA2.PAAC6.若若 a，b 表示直线，表示直线， 表示平面，给出下列命题：表示平面，给出下列命题：a，bab；a，abb；a，abb；a，bab.其中正确的命题为其中正确的命题为_(填序号填序号)【答案答案】【解析解析】由线面垂直的性质知由线面垂直的性质知、正确正确中中 b 可能满足可能满足 b，故，故错误；错误；中中 b 可能与可能与 相交相交(不垂直不垂直)，也可能平行，故，也可能平行，故错误错误7.如图，如图，ABAB是圆是圆O O的直径，的直径，PAPA垂直于圆垂直于圆O O所在的平面，所在的平面，M M是圆周上任意一点，是圆周上任意一点，ANANPMPM，垂足为，垂足为N N. .求证：求证：ANAN平面平面PBMPBM. . 证明证明 设圆设圆O O所在的平面为所在的平面为，PAPA，且，且BMBM ，PAPABMBM. .又又ABAB为为O O的直径，点的直径，点M M为圆周上一点，为圆周上一点，AMAMBMBM. . 由于直线由于直线PAPAAMAMA A，BMBM平面平面PAMPAM，而，而ANAN 平面平面PAMPAM，BMBMANAN. .ANAN与与PMPM、BMBM两条相交直线互相垂直两条相交直线互相垂直故故ANAN平面平面PBMPBM. .8.如图，在棱长均为如图，在棱长均为 1 的直三棱柱的直三棱柱 ABC-A1B1C1中，中，D 是是 BC 的中点的中点(1)求证：求证：AD平面平面 BCC1B1；(2)求直线求直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角的正弦值所成角的正弦值解解(1)证明证明：直三棱柱：直三棱柱 ABC-A1B1C1中，中，BB1平面平面 ABC，BB1ADABAC，D 是是 BC 的中点，的中点，ADBC又又 BCBB1B，AD平面平面 BCC1B1.(2)连接连接 C1D由由(1)AD平面平面 BCC1B1，则则AC1D 即为直线即为直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角所成角在在 RtAC1D 中，中，AD，32AC1，sinAC1D，2ADAC164即直线即直线 AC1与平面与平面 BCC1B1所成角的正弦值为所成角的正弦值为.649.9.如图，四边形如图，四边形 ABCD 为矩形，为矩形，AD平面平面 ABE，F 为为 CE 上的点，且上的点，且 BF平平面面 ACE. 求证：求证：AEBE. 证明证明AD平面平面 ABE，ADBC，BC平面平面 ABE.又又 AE平面平面 ABE，AEBCBF平面平面 ACE，AE平面平面 ACE，AEBF.又又BF平面平面 BCE，BC平面平面 BCE，BFBCB，AE平面平面 BCE.又又 BE平面平面 BCE，AEBE.1010 如图，在三棱锥如图，在三棱锥S S ABCABC中，中，ABCABC9090，D D是是ACAC的中点，且的中点，且SASASBSBSCSC(1)(1)求证：求证：SDSD平面平面ABCABC；(2)(2)若若ABABBCBC，求证：，求证：BDBD平面平面SACSAC 证明证明 (1)(1)因为因为SASASCSC，D D是是ACAC的中点，的中点，所以所以SDSDACAC在在 RtRtABCABC中，中，ADADBDBD，由已知由已知SASASBSB，所以所以ADSADSBDSBDS，所以所以SDSDBDBD又又ACACBDBDD D，ACAC，BDBD 平面平面ABCABC，所以所以SDSD平面平面ABCABC(2)(2)因为因为ABABBCBC，D D为为ACAC的中点，的中点，所以所以BDBDACAC由由(1)(1)知知SDSDBDBD又因为又因为SDSDACACD D，SDSD，ACAC 平面平面SACSAC，所以，所以BDBD平面平面SACSAC11.11.在正方体在正方体 ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,求证求证:A:A1 1CC平面平面 BCBC1 1D.D.【证明证明】如图如图, ,连接连接 AC,AC,所以所以 ACBD,ACBD,又因为又因为 BDABDA1 1A,ACAAA,ACAA1 1=A,AC,A=A,AC,A1 1A A 平面平面 A A1 1AC,AC,所以所以 BDBD平面平面 A A1 1AC,AC,因为因为 A A1 1C C 平面平面 A A1 1AC,AC,所以所以 BDABDA1 1C.C.同理可证同理可证 BCBC1 1AA1 1C.C.又因为又因为 BDBCBDBC1 1=B,BD,BC=B,BD,BC1 1 平面平面 BCBC1 1D,D,所以所以 A A1 1CC平面平面 BCBC1 1D.D.12.如图所示，在四棱锥如图所示，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是矩形，是矩形，PA平面平面ABCD，M，N 分别是分别是 AB，PC 的中点，的中点，PAADa.(1)求证：求证：MN平面平面 PAD；(2)求证：求证：MN平面平面 PCD.题图题图答图答图解析解析(1)如图，取如图，取 CD 的中点的中点 E，连接，连接 NE，ME.E，M，N 分别是分别是 CD，AB，PC 的中点，的中点，NEPD，EMDA，平面平面 NEM平面平面 PDA，MN平面平面 PAD.(2)PA平面平面 ABCD，CDPA.底面底面 ABCD 是矩形，是矩形，CDAD，又又 PAADA，CD平面平面 PAD，CDPD.ENPD，ENCD，又又CDEM，EMENE，CD平面平面 ENM，MNCD.PM MC，N 是是 PC 的中点，的中点，PA2AM2a2(12AB)2BC2MB2MNPC.又又 CDPCC，MN平面平面 PCD.考点五：平面与平面垂直考点五：平面与平面垂直1下列说法：下列说法：两个相交平面所组成的图形叫做二面角；两个相交平面所组成的图形叫做二面角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角；二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置有关系其中正确的个数是其中正确的个数是()A0B1C2D3【答案答案】A【解析解析】根据二面角的定义知根据二面角的定义知都不正确都不正确2.2.如图如图, ,在三棱锥在三棱锥 P-ABCP-ABC 中中,PAAB,PABC,ABBC,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,DPA=AB=BC=2,D 为线段为线段 ACAC 的中点的中点,E,E 为线段为线段 PCPC 上一点上一点. .(1)(1)求证求证:PABD;:PABD;(2)(2)求证求证: :平面平面 BDEBDE平面平面 PAC;PAC;(3)(3)当当 PAPA平面平面 BDEBDE 时时, ,求三棱锥求三棱锥 E-BCDE-BCD 的体积的体积. .【解析解析】(1)】(1)因为因为 PAAB,PABC,ABPAAB,PABC,AB 平面平面 ABC,BCABC,BC 平面平面 ABC,ABC,且且 ABBC=B,ABBC=B,所以所以PAPA平面平面 ABC,BDABC,BD 平面平面 ABC,ABC,所以所以 PABD.PABD.(2)(2)因为因为 AB=BC,DAB=BC,D 是是 ACAC 的中点的中点, ,所以所以 BDAC,BDAC,由由(1)(1)知知 PAPA平面平面 ABC,ABC,因为因为 PAPA平面平面 PAC,PAC,所以平面所以平面 PACPAC平面平面 ABC,ABC,因为平面因为平面 PACPAC平面平面 ABC=AC,BDABC=AC,BD平面平面 ABC,BDAC,ABC,BDAC,所以所以 BDBD平面平面 PAC,PAC,因为因为 BDBD平面平面 BDE,BDE,所以平面所以平面 BDEBDE平面平面 PAC.PAC.(3)(3)因为因为 PAPA平面平面 BDE,BDE,又又 DE=DE=平面平面 BDEBDE平面平面 PAC,PAC,PAPA平面平面 PAC,PAC,所以所以 PADE,PADE,因为因为 D D 是是 ACAC 的中点的中点, ,所以所以 E E 为为 PCPC 的中点的中点, ,所以所以 DE=1,DE=1,所以所以 S SBDCBDC= = S SABCABC= = 22=1,22=1,V VE-BCDE-BCD= = 1DE=1DE= 11=11= . .3.如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形中，四边形 ABCD 为平行四边形，为平行四边形，AC，BD 相交相交于点于点 O，点，点 E 为为 PC 的中点，的中点，OPOC，PAPD.求证：求证：(1)直线直线 PA平面平面 BDE.(2)平面平面 BDE平面平面 PCD.证明证明(1)如图，连接如图，连接 OE，因为，因为 O 为平行四边形为平行四边形 ABCD 对角线的交点，对角线的交点，所以所以 O 为为 AC 的中点的中点.又又 E 为为 PC 的中点，所以的中点，所以 OEPA.因为因为 OE平面平面 BDE，PA 平面平面 BDE，所以直线所以直线 PA平面平面 BDE.(2)因为因为 OEPA，PAPD，所以所以 OEPD.因为因为 OPOC，E 为为 PC 的中点，的中点，所以所以 OEPC.又又 PD平面平面 PCD，PC平面平面 PCD，PCPDP，所以所以 OE平面平面 PCD.因为因为 OE平面平面 BDE，所以平面所以平面 BDE平面平面 PCD.归纳提升归纳提升(1)在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理在应用线面平行的判定定理进行平行转化时，一定注意定理成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行成立的条件，通常应严格按照定理成立的条件规范书写步骤，如：把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面和已知平面相交，这时才有直线与交线平行直线与交线平行.(2)对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定理：如对于有关两个平面垂直的证明，一般利用两个平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应用定理解决问果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直，在应用定理解决问题时，经常采取题时，经常采取“线线垂直线线垂直”“线面垂直线面垂直”“面面垂直面面垂直”的转化思想进行的转化思想进行推理推理.
展开阅读全文
