期末考试仿真模拟试卷五-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.rar

2020-20212020-2021 学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷五学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷五 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.1.已知 为虚数单位，复数，则（ ）i611zi z ABCD4516252.采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（ ）A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍121422243.某单位有业务员和管理人员构成的职工人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，若样16020本中管理人员有人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ）7A人B人C人D人32561041124.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图 1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图 2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为 2，则该鲁班锁的表面积为（ ）A B CD8(66 23)6(88 23)8(66 32)6(88 32)5.在中，角的对边分别为，且的面积，且，则ABC, ,A B C, ,a b cABC2 5cosSC1,2 5ab（ ）c A. B. C. D. 151719216.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前 470 年公元前 410 年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以为直径构造半圆，为弧的中点，为线段的中点，再以为ABOCABDACAC直径构造半圆，则由曲线和曲线所围成的图形为月牙形，在图形内任取一点，则该DAECAFCABCE点在月牙形内的概率为（ ）A. B. C. D. 112 2322117.如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ABCDACAEABDE uuu r）A B C D1136BABC 1163BABC 5163BABC 5163BABC 8.在四面体ABCD中，ABC和BCD均是边长为 1 的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为（ ）A. B. C. D. 2242122624二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分9.下面四个命题中的真命题为（ ）A若复数满足，则z1RzzRB若复数满足，则z2z RzRC若复数，满足，则1z2z1 2z zR12zzD若复数，则zRzR10.某中学高一年级有 20 个班，每班 50 人；高二年级有 30 个班，每班 45 人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取 235 人进行视力调查，下列说法中正确的有（ ）A. 应该采用分层随机抽样法B. 高一、高二年级应分别抽取 100 人和 135 人C. 乙被抽到的可能性比甲大D. 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力11.在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）ABC():():()6: 5: 4abcabcA由已知条件，这个三角形被唯一确定B一定是钝三角形ABCCsin:sin:sin7:5:3ABC D若，则的面积是8bcABC15 3212.如图所示，在棱长为 的正方体中，过对角线的一个平面交棱于点，交11111ABCDABC D1BD1AAE棱于点，得四边形，在以下结论中，正确的是（ ）1CCF1BFD EA四边形有可能是梯形1BFD EB四边形在底面内的投影一定是正方形1BFD EABCDC四边形有可能垂直于平面1BFD E11BB D DD四边形面积的最小值为1BFD E62三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13.若向量，则向量与的夹角等于_.2a 2b ()abaab14.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体” ，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水） ，则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为_.15.如图，三棱锥中， ，点分别是ABCD3,2ABACBDCDADBC,M N的中点，则异面直线所成的角的余弦值是_,AD BC,AN CM16.在中，角、所对的边分别为、，且，则的最大ABCABCabccos22sinsin1BACB值为_；若，则面积的最大值为_2b ABC四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数， 为虚数单位.121 2 ,34zi zi i（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；12zaza（2）若，求的共轭复数.12zzzzz18.在平行四边形中，为一条对角线若，ABCDAC(2,4)AB (1,3)AC （1）求的值；cosDAB（2）求的值BD AD 19.在，三个条3cos5A 2 5cos5C sinsinsincCAbB60B 2c 1cos8A 件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，_，求的面积S.ABC3a ABC20.如图，在直三棱柱中，点为中点，连接111ABCABC12ACBCCCa2ACBDBC交于点，点为中点.1AC1ACEF1DC（1）求证：平面； / /EFABC（2）求证：平面平面；1ACB 1AC D（3）求点到平面的距离.C1AC D21.眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生 1200 名、1080 名、720 名.为了解全校学生的视力情况，学校在 6 月 6 日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取 50 人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求从高一年级抽取的学生人数；（2）试估计该学校学生视力不低于 4.8 的概率；（3）从视力在4.0，4.4)内的受测者中随机抽取 2 人，求 2 人视力都在4.2，4.4）内的概率.22.如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，1111ABCDABC DABCD11ADB ABCD，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.1AD 12AA D1BBC11ADMN（）求证：；1ADDB（）求证：四边形是平行四边形；1DMB N（）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由. 1ADCD1DMBC452020-20212020-2021 学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷五学年高一数学下学期期末考试仿真模拟试卷五 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1.已知 为虚数单位，复数，则（ ）i611zi z ABCD451625【答案】B【解析】利用复数的运算法则化简复数，利用复数的模长公式可求得.，zz611zi ，则. 故选：B.6 113 114311iziiii 22435z 2.采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的（ ）A. 倍B. 倍C. 倍D. 倍12142224【答案】D【解析】斜二测画法中原图形面积与直观图面积的关系式SS2 2SS所以，故选：D1242 2SSS 3.某单位有业务员和管理人员构成的职工人，现用分层抽样方法从中抽取一个容量为的样本，若样16020本中管理人员有人，则该单位的职工中业务员有多少人（ ）7A人B人C人D人3256104112【答案】C【解析】样本中业务员的人数为，20713设该单位的业务员人数为，由题意可得，解得.n1316020n13 16010420n故该单位的职工中业务员的人数为人. 故选：C.1044.鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图 1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图 2 是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为 2，则该鲁班锁的表面积为（ ）ABCD8(66 23)6(88 23)8(66 32)6(88 32)【答案】A【解析】由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为的正方体截去了 8 个正三棱锥所余下22 2来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为 2，侧棱长为，则该几何体的表面积为2. 故选：A.2116(22 2)42282322S 8(66 23)5.在中，角的对边分别为，且的面积，且，则ABC, ,A B C, ,a b cABC2 5cosSC1,2 5ab（ ）c A. B. C. D. 15171921【答案】B【解析】 由题意得，三角形的面积，所以，所以，1sin2 5cos2SabCCtan2C 5cos5C 由余弦定理得，所以，故选：B.2222cos17cababC17c 6.如图是古希腊著名的天才几何学家希波克拉底（公元前 470 年公元前 410 年）用于求月牙形图形面积所构造的几何图形，先以为直径构造半圆，为弧的中点，为线段的中点，再以为ABOCABDACAC直径构造半圆，则由曲线和曲线所围成的图形为月牙形，在图形内任取一点，则该DAECAFCABCE点在月牙形内的概率为（ ）A. B. C. D. 112 232211【答案】D【解析】记月牙形的面积为，曲线与弦围城的弓形面积为，1SAFCAC2S设，则,2OA 2 2AC 则.221111( 2)222 222242AOCAOCSSSS 12所以图形的面积为,ABCE2112222SS所以， 故选：D121221SPS7.如图所示的中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ABCDACAEABDE uuu r）A B C D1136BABC 1163BABC 5163BABC 5163BABC 【答案】B【解析】依题意，故选：11111113233263DEDAAEACBABCBABABABC B8.在四面体ABCD中，ABC和BCD均是边长为 1 的等边三角形，已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，则四面体ABCD的体积为（ ）A. B. C. D. 2242122624【答案】B【解析】在四面体ABCD中，ABC和BCD均是边长为 1 的等边三角形，四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，且AD是该球的直径，设球心为O，则O为AD的中点，ABACBCBDCD1，ABDACD90，OBOCOD，BOAD，BOOC，22BO平面ACD，四面体ABCD的体积为：VBACD 故选：B11122223322212ACDSBO二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项符合题分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得目要求全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分分9.下面四个命题中的真命题为（ ）A若复数满足，则z1RzzRB若复数满足，则z2z RzRC若复数，满足，则1z2z1 2z zR12zzD若复数，则zRzR【答案】AD【解析】根据实数和复数的定义，逐个选项判断即可.若复数满足，则，故命题为真命题；z1RzzRA复数满足，则，故命题为假命题；zi=21zR zRB若复数，满足，但，故命题为假命题；1zi22zi1 2z zR12zzC若复数，则，故命题为真命题. 故选：ADzRzzRD10.某中学高一年级有 20 个班，每班 50 人；高二年级有 30 个班，每班 45 人.甲就读于高一，乙就读于高二.学校计划从这两个年级中共抽取 235 人进行视力调查，下列说法中正确的有（ ）A. 应该采用分层随机抽样法B. 高一、高二年级应分别抽取 100 人和 135 人C. 乙被抽到的可能性比甲大D. 该问题中的总体是高一、高二年级的全体学生的视力【答案】ABD【解析】由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法.由于比例为，235120 5030 4510因此高一年级 1000 人中应抽取 100 人，高二年级 1350 人中应抽取 135 人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此只有C不正确， 故选:ABD.11011.在中，已知，给出下列结论中正确结论是（ ）ABC():():()6: 5: 4abcabcA由已知条件，这个三角形被唯一确定B一定是钝三角形ABCCsin:sin:sin7:5:3ABC D若，则的面积是8bcABC15 32【答案】BC【解析】可设的周长为 ，则由，ABCl():():()6: 5: 4abcabc可得，61221515labl51021515lcal4821515lbcl又，则，abcl715la 515lb 315lc 故三角形不确定，A 错；由，为钝角，故 B 正确；2221cos022bcaAbc A由正弦定理，故 C 正确；sin:sin:sin: :7:5:3ABCa b c由，则，得，故，由，8bc8815l15l 7,5,3abc1cos2A 得，的面积是，故 D 错. 故选：BC3sin2A ABC11315 3sin5 32224bcA 12.如图所示，在棱长为 的正方体中，过对角线的一个平面交棱于点，交11111ABCDABC D1BD1AAE棱于点，得四边形，在以下结论中，正确的是（ ）1CCF1BFD EA四边形有可能是梯形1BFD EB四边形在底面内的投影一定是正方形1BFD EABCDC四边形有可能垂直于平面1BFD E11BB D DD四边形面积的最小值为1BFD E62【答案】BCD【解析】过作平面与正方体的截面为四边形，1BD1111ABCDABC D1BFD E如图所示，因为平面平面，且平面平面.11/ /ABB A11DCC D1BFD E 11ABB ABE平面平面，因此，同理，1BFD E 1111,/ /DCC DD F BED F1/ /D EBF故四边形为平行四边形，因此 A 错误；1BFD E对于选项 B，四边形在底面内的投影一定是正方形，因此 B 正确；1BFD EABCDABCD对于选项 C，当点分别为的中点时，平面，又平面，则平面EF、11,AA CCEF 11BB D DEF 1BFD E平面，因此 C 正确；1BFD E 11BB D D对于选项 D，当点到线段的距离最小时，此时平行四边形的面积最小，此时点分别F1BD1BFD EEF、为的中点，此时最小值为，因此 D 正确. 故选：BCD11,AA CC162322三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13.若向量，则向量与的夹角等于_.2a 2b ()abaab【答案】4【解析】因为向量，故，即.2a 2b ()aba2()0abaaa b 22a ba 设向量与的夹角为，则，故.ab0,22cos0,22 2a bab，4故答案为：.414.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，此陶柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图所示，相传这个图形表达了阿基米德最引以为豪的发现，我们不妨称之为“阿氏球柱体” ，若在装满水的阿氏球柱体中放入其内切球（溢出部分水） ，则“阿氏球柱体”中剩下的水的体积与圆柱体积的比值为_.【答案】13【解析】设球半径为，则球体积为，圆柱体积为，R3143VR23222VRRR剩下水的体积为，3332142233VVRRR故答案为：3213221323RVVVR1315.如图，三棱锥中， ，点分别是ABCD3,2ABACBDCDADBC,M N的中点，则异面直线所成的角的余弦值是_,AD BC,AN CM【答案】78【解析】如下图，连结，取中点，连结，则可知即为异面直DNDNPPMPC线，所成角（或其补角）易得，即异面直线，所成角的余弦值为.16.在中，角、所对的边分别为、，且，则的最大ABCABCabccos22sinsin1BACB值为_；若，则面积的最大值为_2b ABC【答案】 33【解析】由，可得，cos22sinsin1BAC212sin2sinsin1BAC即，由正弦定理，可得，2sinsinsinBAC2bac由余弦定理，可得，当且仅当时，等号成立，22221cos222acbacacBacacac所以，于是的最大值为，03BB3面积 故答案为：，.ABC113sin43222SacB 33四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17.已知复数， 为虚数单位.121 2 ,34zi zi i（1）若复数在复平面上对应的点在第四象限，求实数的取值范围；12zaza（2）若，求的共轭复数.12zzzzz【答案】 （1）；（2）.1 1(, )3 21255zi 【解析】 （1）由题意，复数，121 2 ,34zi zi 则 121 2(34 )(1 3 )(42)zaziaiaai 因为复数在复平面上对应的点在第四象限，12zaz所以，解得，即实数的取值范围.1 30420aa1132aa1 1(, )3 2（2）由，所以.121 2341 25 10123434342555iiziiziziii 1255zi 18.在平行四边形中，为一条对角线若，ABCDAC(2,4)AB (1,3)AC （1）求的值；cosDAB（2）求的值BD AD 【答案】 （1）（2）8243 10cos10|24 16AD ABDABADAB 【解析】 （1）四边形为平行四边形ABCD(1,3)(2,4)( 1, 1)ADBCACAB 243 10cos10|24 16AD ABDABADAB （2）( 1, 1)(2,4)( 3, 5)BDADAB 1 ( 3)( 1) ( 5)358BD AD 19.在，三个条3cos5A 2 5cos5C sinsinsincCAbB60B 2c 1cos8A 件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，_，求的面积S.ABC3a ABC【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】选，3cos5A 2 5cos5C ，4sin5A 5sin5C sinsinsincoscossinBACACAC，42 53511 5555525由正弦定理得，11 53sin33 5254sin205aBbA.1133 5599sin32220540SabC 选，sinsinsincCAbB由正弦定理得.22cab，.3a 223bc又，60B ，222192 332bccc ，4c .1sin3 32SacB选 ，2c 1cos8A 由余弦定理得，即，222123822bb2502bb 解得或（舍去）.52b 2b ，23 7sin1 cos8AA的面积.ABC1153 715 7sin2222816SbcA 故答案为：选为；选为；选为.99403 315 71620.如图，在直三棱柱中，点为中点，连接111ABCABC12ACBCCCa2ACBDBC交于点，点为中点.1AC1ACEF1DC（1）求证：平面； / /EFABC（2）求证：平面平面；1ACB 1AC D（3）求点到平面的距离.C1AC D【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.63a【解析】 （1）直三棱柱，四边形为平行四边形 111ABCABC11ACC A为的中点 为的中点， E1ACF1DC / /EFAD又平面，平面，平面 EF ABCAD ABC / /EFABC（2）四边形为平行四边形， 11ACC A1ACCC平行四边形为菱形，即 11ACC A11ACAC三棱柱为直三棱柱 111ABCABC平面 1C C ABC平面 BC ABC， 1C C BC 2ACB BCAC，平面 BC1C C1C CACC1,C CAC11ACC A平面 BC11ACC A平面， 1AC Q11ACC ABC1AC，平面，11ACAC1BCACC,BC1AC1ACB平面，1AC1ACB平面 ，1AC1AC D 平面平面 1AC D1ACB（3）作，垂足为，连接，作，垂足为.CGADG1C G1CHC GH平面，平面1C C ABCAD ABC 1C CAD，平面 CGAD1CGC CC1CG,C C 1C CG平面AD1C CG平面CH Q1C CGADCH，平面， 1CHC G1ADC GG1C G,AD 1AC D平面， 即为点到平面的距离， CH1AC DCHC1AC D在直角中， ；在直角中， ，ACD25aCG 1C CG1225aC Ca,CG 1122653245aaC CCGCHaC Ga 点到平面的距离为.C1AC D63a21.眼睛是心灵的窗户，保护好视力非常重要，某校高一、高二、高三年级分别有学生 1200 名、1080 名、720 名.为了解全校学生的视力情况，学校在 6 月 6 日“全国爱眼日”采用分层抽样的方法，抽取 50 人测试视力，并根据测试数据绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）求从高一年级抽取的学生人数；（2）试估计该学校学生视力不低于 4.8 的概率；（3）从视力在4.0，4.4)内的受测者中随机抽取 2 人，求 2 人视力都在4.2，4.4）内的概率.【答案】 （1）20；（2）；（3）.0.4310【解析】 （1）高一年级抽取的学生人数为：.1200502012001080720所以从高一年级抽取的学生人数为 20.（2）由频率分布直方图，得，0.20.31.01.51.20.21a所以.0.8a 所以抽取 50 名学生中，视力不低于 4.8 的频率为，1.20.80.20.4所以该校学生视力不低于 4.8 的概率的估计值为.0.4（3）由频率分布直方图，得视力在内的受测者人数为，记这 2 人为，4.0,4.20.20.250212aa，视力在内的受测者人数为，记这 3 人为.4.2,4.40.3 0.2503123bbb，记“抽取 2 人视力都在内”为事件 A，4.2,4.4从视力在内的受测者中随机抽取 2 人，所有的等可能基本事件共有 10 个，4.0,4.4分别为 1211121321222312aaababababababbb， 1323bbbb，则事件 A 包含其中 3 个基本事件：， 121323bbbbbb，根据古典概型的概率公式，得. 310P A 所以 2 人视力都在内的概率为.4.2,4.431022.如图，在四棱柱中，底面是正方形，平面平面，1111ABCDABC DABCD11ADB ABCD，.过顶点，的平面与棱，分别交于，两点.1AD 12AA D1BBC11ADMN（）求证：；1ADDB（）求证：四边形是平行四边形；1DMB N（）若，试判断二面角的大小能否为？说明理由.1ADCD1DMBC45【答案】 （1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）不能为.45【解析】（1）由平面平面，平面平面，11ADB ABCD11ADB ABCDCD且，所以平面，ADCDAD 11ADB又平面，所以；1DB 11ADB1ADDB（2）依题意都在平面上，1DMBN，1DB因此平面，平面，DM 1DB1NB 1DB又平面，平面，DM ABCD1NB ABCD平面与平面平行，即两个平面没有交点，ABCDABCD则与不相交，又与共面，DM1NBDM1NB所以，同理可证，/ /DM1NB/ /DN1MB所以四边形是平行四边形；1DMB N（3）不能.如图，作交于点，延长交于点，连接，1CEMB1MBECE1BBFDE由，1ADCDADCD1=ADAD D所以平面，则平面，又，CD 11ADD ACD 11BCC B1CEMB根据三垂线定理，得到，所以是二面角的平面角，1DEMBCED1DMBC若，则是等腰直角三角形，=45CEDCED1CECD又，111=9090CFBB EFFB EFB E所以中，由大角对大边知，CFB1CFBC所以，这与上面相矛盾，1CECF1CECD所以二面角的大小不能为.1DMBC45