第十章概率 讲义(知识点与经典例题赏析)高一升高二数学暑假复习-新人教A版(2019)高中数学必修第二册高一下学期.doc
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1、第十章概率知识点与典型例题赏析一、随机事件1、必然事件在一定条件下,必然会发生的事件叫作必然事件.2、不可能事件在一定条件下,一定不会发生的事件叫作不可能事件.3、随机事件在一定条件下,可能发生,也可能不发生的事件叫作随机事件,一般用大写字母,来表示随机事件.4、确定事件必然事件和不可能事件统称为相对于随机事件的确定事件.5、试验为了探索随机现象发生的规律,就要对随机现象进行观察或模拟,这种观察或模拟的过程就叫作试验.【注】(1)在一定条件下,某种现象可能发生,也可能不发生,事先并不能判断将出现哪种结果,这种现象就叫作随机现象. 应当注意的是,随机现象绝不是杂乱无章的现象,这里的“随机”有两方
2、面意思:这种现象的结果不确定,发生之前不能预言;这种现象的结果带有偶然性. 虽然随机现象的结果不确定,带有某种偶然性,但是这种现象的各种可能结果在数量上具有一定的稳定性和规律性,我们称这种规律性为统计规律性. 统计和概率就是从量的侧面去研究和揭示随机现象的这种规律性,从而实现随机性和确定性之间矛盾的统一.(2)必然事件与不可能事件反映的是在一定条件下的确定性现象,而随机事件反映的则是在一定条件下的随机现象.(3)随机试验满足的条件:可以在相同条件下重复进行;所有结果都是明确可知的,但不止一个;每一次试验的结果是可能结果中的一个,但不确定是哪一个. 随机事件也可以简称为事件,但有时为了叙述的简洁
3、性,也可能包含不可能事件和必然事件.例1袋中有2个黑球、6个红球,从中任取2个,可以作为随机变量的是( )A取到的球的个数B取到红球的个数C至少取到1个红球D至少取到1个红球的概率例2下列事件中的随机事件为( )A若a,b,c都是实数,则a(bc)(ab)cB没有水和空气,人也可以生存下去C抛掷一枚硬币,反面向上D在标准大气压下,温度达到60 时水沸腾例3下列事件中,必然事件是 ( )A10人中至少有2人生日在同一个月B11人中至少有2人生日在同一个月C12人中至少有2人生日在同一个月D13人中至少有2人生日在同一个月例4有两个事件,事件抛掷一枚均匀的骰子,朝上的面点数为偶数;事件人中至少有人
4、生日相同.下列说法正确的是( )A事件、都是随机事件B事件、都是必然事件C事件是随机事件,事件是必然事件D事件是必然事件,事件是随机事件二、基本事件空间1、基本事件在试验中不能再分的最简单的随机事件,而其他事件都可以用它们进行描述,这样的事件称为基本事件.2、基本事件空间所有基本事件构成的集合称为基本事件空间,常用大写字母来表示,中的每一个元素都是一个基本事件,并且中包含了所有的基本事件.【注】基本事件是试验中所有可能发生的结果的最小单位,它不能再分,其他的事件都可以用这些基本事件来表示;在写一个试验的基本事件空间时,应注意每个基本事件是否与顺序有关系;基本事件空间包含了所有的基本事件,在写时
5、应注意不重复、不遗漏.例5袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个,现在有放回地随机摸3次,每次摸取一个,观察摸出球的颜色,则此随机试验的样本点个数为 ( )A5B6C7D8例6某校高一年级要组建数学、计算机、航空模型三个兴趣小组,某学生只选报其中的2个,则样本点共有( )A1个B2个C3个D4个例7一个家庭有两个小孩,把第一个孩子的性别写在前边,第二个孩子的性别写在后边,则所有的样本点有( )A(男,女),(男,男),(女,女)B(男,女),(女,男)C(男,男),(男,女),(女,男),(女,女)D(男,男),(女,女)3、古典概型;1、 古典概型的基本特点:(1) 基本事件数有限多个;(2
6、) 每个基本事件之间互斥且等可能;2、 概率计算公式:A事件发生的概率;例8四个好朋友一起外出游玩,他们选择了同一款旅行包,下车时,他们从旅游大巴车行李舱中拿自己的旅行包,最后发现全部拿错的概率是( )ABCD例9从长度为3,5,7,9,11的5条线段中任取3条,这3条线段能构成钝角三角形的概率为( )ABCD例10一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红色球,2个绿色球,从袋中不放回地依次随机摸出2个球,则两个球颜色相同的概率是( )ABCD4、事件独立:如果 ,则称事件 对于事件 独立,此时,事件 对于事件 独立,称 相互独立。 相互独立的充要条件是 。 与 , 与 , 与 , 与
7、 具有相同的独立性 。例11若,则事件与的关系是( )A互斥B相互独立C互为对立D无法判断例12从装有2个白球和3个红球的口袋内任取2个球,那么互斥而不对立的两个事件是( )A至少一个白球,都是白球B至少有一个白球,至少有一个红球C至少一个白球,都是红球D恰有一个白球,恰有2个白球三、频率与概率1、频数与频率在相同条件下进行了次试验,观察某一事件是否出现,则称在次试验中事件出现的次数为事件出现的频数;事件出现的比例为事件出现的频率.2、概率对于给定的随机事件,如果随着试验次数的增加,事件发生的频率稳定在某个常数上,则把这个常数称为事件的概率,简称为的概率,记作.3、频率与概率的关系(1)频率虽
8、然在一定程度上可以反映事件发生的可能性的大小,但频率并不是一个完全确定的数. 随着试验次数的不同,产生的频率也可能不同,所以频率无法从根本上刻画事件发生的可能性的大小,但人们从大量的重复试验中发现:随着试验次数的无限增加,事件发生的频率会稳定在某一固定的值上,即在无限次重复试验下,频率具有某种稳定性.(2)概率是一个常数,它是频率的科学抽象. 当试验次数无限多时,所得到的频率就会近似地等于概率. 另外,概率大,并不表示事件一定会发生,只能说明事件发生的可能性大,但在一次试验中却不一定会发生.例13某射击运动员每次射击命中目标的概率都为0.9,则他连续射击两次都命中的概率是( )A0.64B0.
9、56C0.81D0.99例14数学名著九章算术有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米2020石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得270粒内夹谷30粒,则这批米内夹谷约为( )A222石B224石C230石D232石例15在一次抛硬币的试验中,某同学用一枚质地均匀的硬币做了100次试验,发现正面朝上出现了40次,那么出现正面朝上的频率和概率分别为( )ABCD例16任取一个由50名同学组成的班级(称为一个标准班),至少有两位同学的生日在同一天(记为事件)的概率是0.97.据此我们知道( )A取定一个标准班,事件发生的可能性是B取定一个标准班,事件发生的概率大概是0.97C任意取定10000个
10、标准班,其中大约9700个班发生事件D随着抽取的标准班数不断增大,事件发生的频率逐渐稳定在0.97,在它附近摆动四、事件的关系与运算1、包含关系一般地,对于事件与事件,如果事件发生时,事件一定发生,则我们称事件包含事件(或称事件包含于事件),记作(或).2、相等关系一般地,对于事件与事件,如果事件发生时,事件一定发生,并且如果事件发生时,事件一定发生,即若且,则我们称事件与事件相等,记作. 3、并事件如果某事件发生当且仅当事件或事件发生,则我们称该事件为事件与事件的并事件(或和事件),记作(或).4、交事件如果某事件发生当且仅当事件发生且事件也发生,则我们称该事件为事件与事件的交事件(或积事件
11、),记作(或).例17对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设A“两次都击中飞机”,B“两次都没击中飞机”,C“恰有一枚炮弹击中飞机”,D“至少有一枚炮弹击中飞机”,下列关系不正确的是( )AADBBDCACDDABBD例18打靶次,事件表示“击中发”,其中、.那么表示( )A全部击中B至少击中发C至少击中发D以上均不正确例19抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件,“向上的点数是2或3”为事件,则( )ABC表示向上的点数是1或2或3D表示向上的点数是1或2或3例20抛掷一枚质地均匀的骰子,记事件“出现的点数是1或2”,事件“出现的点数是2或3或4”,则事件“出现的点数是2”可
12、以记为( )ABCD五、互斥事件与对立事件互斥事件与对立事件是今后考察的重点,因此关于互斥事件与对立事件,我们很有必要再作进一步的说明.1、互斥事件与对立事件的关系互斥事件与对立事件都反映的是两个事件之间的关系. 互斥事件是不可能同时发生的两个事件,而对立事件除了要求这两个事件不同时发生以外,还要求这两个事件必须有一个发生. 因此,对立事件一定是互斥事件,而互斥事件不一定是对立事件. 例如,掷一枚骰子,事件:“出现的点数是1”与事件:“出现的点数是偶数”是互斥事件,但不是对立事件;而事件:“出现的点数是奇数”与事件:“出现的点数是偶数”既是互斥事件,也是对立事件.2、互斥事件的概率加法公式(1
13、)两个互斥事件的概率之和如果事件与事件互斥,那么;(2)有限多个互斥事件的概率之和一般地,如果事件,两两互斥,那么事件“发生”(指事件,中至少有一个发生)的概率等于这个事件分别发生的概率之和,即.【注】上述这两个公式叫作互斥事件的概率加法公式. 在运用互斥事件的概率加法公式时,一定要首先确定各事件是否彼此互斥(如果这个条件不满足,则公式不适用),然后求出各事件分别发生的概率,再求和.3、对立事件的概率加法公式对于对立的两个事件与而言,由于在一次试验中,事件与事件不会同时发生,因此事件与事件互斥,并且,即事件或事件必有一个发生,所以对立事件与的并事件发生的概率等于事件发生的概率与事件发生的概率之
14、和,且和为,即,或.【注】上述这个公式为我们求事件的概率提供了一种方法,当我们直接求有困难时,可以转化为先求其对立事件的概率,再运用公式即可求出所要求的事件的概率.例21许洋说:“本周我至少做完三套练习题”设许洋所说的事件为A,则A的对立事件为( )A至多做完三套练习题B至多做完两套练习题C至多做完四套练习题D至少做完两套练习题例22同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为( )A一个是5点,另一个是6点B一个是5点,另一个是4点C至少有一个是5点或6点D至多有一个是5点或6点23如果事件A,B互斥,那么( )AAB是必然事件B是必然事件C与一定互斥D与一定不互斥例24
15、从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球,则下列选项中的两个事件是互斥事件的为( )A“都是红球”与“至少1个红球”B“恰有2个红球”与“至少1个白球”C“至少1个白球”与“至多1个红球”D“2个红球,1个白球”与“2个白球,1个红球”例25事件A与B是对立事件,且,则等于( )A0.4B0.5C0.6D1六、概率的基本性质1、任何事件的概率都在之间,即对于任一事件,都有.2、必然事件的概率为,不可能事件的概率为.3、若事件与事件互斥,则.4、两个对立事件的概率之和为,即若事件与事件对立,则.例26在北京消费季活动中,某商场为促销举行购物抽奖活动,规定购物消费每满200元就可以参加一次抽奖
16、活动,中奖的概率为.那么以下理解正确的是( )A某顾客抽奖10次,一定能中奖1次B某顾客抽奖10次,可能1次也没中奖C某顾客消费210元,一定不能中奖D某顾客消费1000元,至少能中奖1次例27经统计,某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如表:排队人数012345人及以上概率.10.160.30.30.10.04则至少3人排队等候的概率是A0.44B0.56C0.86D0.14例28某人抛一颗质地均匀的骰子,记事件A=“出现的点数为奇数”,B=“出现的点数不大于3”,则下列说法正确的是( )A事件A与B对立BC事件A与B互斥D8 随机数与伪随机数(1) 随机数要产生 1 n ( n N
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