立体几何中的角度问题（线线角、线面角、面面角）讲义-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.docx

1、空间中的角度问题（线线角、线面角、面面角）1、 异面直线所成角问题（平移法）1、 如图，在正方体中，E，F分别是DD1，DC上靠近点D的三等分点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是_2、如图，平面ABCD，ABCD为正方形，且PA=AD，E，F分别是线段PA，CD的中点，则异面直线EF与BD所成角的余弦值为3、如图所示，平面BCC1B1平面ABC，ABC=120u，四边形BCC1B1为正方形，且AB=BC=2，则异面直线BC1与AC所成角的余弦值为_4、在底面边长为4，侧棱长为6的正四棱锥P?ABCD中，E为侧棱PD的中点，则异面直线PB与CE所成角的余弦值是( )A. 3417B. 23

2、417C. 51717D. 317175、当动点P在正方体ABCD?A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围( )A. B. C. D. 二、直线与平面所成角问题（射影法、等体积法）例1.如图，在三棱锥P?ABC中，PA=AC=BC，PA平面ABC，ACB=90，O为PB的中点，则直线CO与平面PAC所成角的余弦值为_1 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.2在三棱锥中，且平面平面，为的中点（1）证明：；（2）求直线与平面所成的角的正弦值3.如图，在三棱台ABCDEF中，平面ACFD平面

3、ABC，ACB=ACD=45，DC?=2BC(1)证明：EFDB； (2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值4.如图，ACD中，AD=CD，RtABC中，AB=BC=42，现将ACD沿着AC边折起(1)求证：ACBD；(2)若二面角D?AC?B的大小为150时，BD=47，求BCD的中线BM与平面ABC所成角的正弦值5.如图，四棱锥P?ABCD中，PC垂直平面ABCD，ABAD，AB/CD，PD=AB=2AD=2CD=2，E为PB的中点(1)证明：平面EAC平面PBC；(2)求直线PD与平面AEC所成角的正弦值6、如图，在四棱锥P?ABCD中，AD/BC，ABBC，AB=BC=PC=PD=1

4、，AD=2，APD=90，E为PD的中点()求证：CE/平面PAB；()求证：AC平面PCD；()求CD与平面APD所成角的正弦值7、如图，在三棱锥D?ABC中，ABBD，BCCD，M，N分别是线段AD，BD的中点，MC=1，AB=BD=2，二面角D?BA?C的大小为60(1)证明：平面平面BCD；(2)求直线BM和平面MNC所成角的余弦值三、平面与平面所成角问题（定义法、三垂线法、射影面积法）二面角做法：做二面角的平面角主要有3种方法： （1）、定义法：在棱上取一点，在两个半平面内作垂直于棱的2 条射线，这2条所夹的角； （2）、三垂线法：过一个半平面内一点（记为A）做另一个半平面的一条垂线

5、，过这个垂足（记为B）再做棱的垂线，记垂足为C，连接AC，则ACB即为该二面角的平面角。（3）射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。1、定义法：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。本定义为解题提供了添辅助线的一种规律。如例1中从二面角SAMB中半平面ABM上的一已知点（B）向棱AM作垂线，得垂足（F）；在另一半平面ASM内过该垂足（F）作棱A

6、M的垂线（如GF），这两条垂线（BF、GF）便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题。1、在正方体ABCDA1B1C1D1中，求 （1）二面角的大小；（2）平面与平面所成角的正切值。2、如图1，设正方形ABCD-A1B1C1D！中，E为CC1中点，求截面A1BD和EBD所成二面角的度数。2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直通常当点P在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小。本定理亦提供了另一种添辅助线的一般规律。如（例2）过二面角B-FC-C中半平面BFC

7、上的一已知点B作另一半平面FC1C的垂线，得垂足O；再过该垂足O作棱FC1的垂线，得垂足P，连结起点与终点得斜线段PB，便形成了三垂线定理的基本构图（斜线PB、垂线BO、射影OP）。再解直角三角形求二面角的度数。1、是正方形，ABEF是矩形且AF=AD=，G是EF的中点，（1）求证：；（2）求GB与平面AGC所成角的正弦值；（3）求二面角的大小。2、如图3，设三棱锥V-ABC中，VA底面ABC，ABBC，DE垂直平分VC，且分别交AC、VC于D、E，又VA=AB，VB=BC，求二面角E-BD-C的度数。3、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是AD的中点，求二面角的大小。3、射影面积法（）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos）求出二面角的大小。1、正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱AA1的中点，求平面EB1C和平面ABCD所成的二面角。2、正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，P是棱的中点，求平面与平面ABCD所成二面角的大小。3、如图12，设正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1上点，A1M:MA=3:1,求截面B1D1M与底面ABCD所成二面角。4、如图，在三棱锥中，（）求证：；（）求二面角的大小；