04立体几何专题 解答题专题突破训练-新人教A版（2019）高中数学必修第二册高一下学期.docx

1、新教材高一数学必修第二册 解答题专题突破训练-04立体几何专题一、 考点分析1.可以熟练的推理、证明空间中线线、线面、面面的平行关系：2.可以熟练的推理、证明空间中线线、线面、面面的垂直关系：3.解决不太复杂的空间角问题4.求简单几何体的表面积和体积的综合问题二、 知识储备1.直线与平面、平面与平面平行的判定与性质定理灵活借助三角形中位线法，构建平行四边形法，平行的传递性；线面平行的性质，面面平行的性质等证明线面平行2.直线与平面，平面与平面垂直的判定与性质定理借助于勾股关系，矩形或正方形，菱形对角线，直径所对圆周角为直角，线面垂直，面面垂直性质定理等构建线线垂直，线面垂直，3.异面直线所成角

2、、直线与平面所成角、二面角定义及常见求解方法4.锥体表面积与体积公式三、素养目标1.理解空间中的点、线、面位置关系的两条主线：直线与直线平行判定性质直线与平面平行平面与平面平行判定性质性质直线与直线垂直判定性质直线与平面垂直平面与平面垂直判定性质2.数学抽象、逻辑推理、空间想象素养的培养与提升三、典例剖析类型一-证明空间中的平行、垂直关系例1：如图，三棱柱中，D，E，F分别为棱，中点.（1）求证：平面；（2）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由已知利用三角形中位线的性质可证，进而利用线面平行的判定定理即可证明平面.（2）由已知可证是平行四边形，进而证明，利用

3、线面平行的判定证明平面，根据面面平行的判定证明平面平面，根据面面平行的性质即可可证平面.【解析】（1）在中，D，E分别为棱，中点.所以，因为平面，平面，所以平面.（2）在三棱柱中，因为E，F分别为，中点，所以，所以是平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面，所以平面.例2.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点，E为棱PD的中点（1）证明：平面PBC；（2）证明：【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）证明即可；（2）通过证明和证明平面，即可证明.【解析】（1）底面为正方形，F为对角线AC与BD的交点，为中点，E为棱PD的

4、中点，平面PBC，平面PBC，平面PBC；（2）平面，平面，底面为正方形，,平面，平面，.【点睛】本题考查线面平行的证明，考查利用线面垂直证明线线垂直，属于基础题.例3：如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，、分别为、的中点.（）求证：；（）求证：平面平面；（）求证：平面.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（），且为的中点，.底面为矩形，；（）底面为矩形，.平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，.又，、平面，平面，平面，平面平面；（）如图，取中点，连接.分别为和的中点，且.四边形为矩形，且为的中点，且，四边形为平行四边形，又平面，平面，例4：如图所示，在四棱锥中，平面，是

5、的中点.（1）求证：；（2）求证：平面；（3）若是线段上一动点，则线段上是否存在点，使平面？说明理由.【解析】证明：（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面，；（2）取的中点，连接，是 的中点，又由（1）可得，四边形是平行四边形，平面，平面，平面.（3）取中点，连接，分别为，的中点，平面，平面，平面，又由（2）可得平面， 平面平面，是上的动点，平面，平面， 线段上存在点，使平面.变式训练1.如图,四棱锥S-ABCD的底面是矩形,SA底面ABCD,E,F分别是SD,SC的中点.求证:(1)BC平面SAB;(2)EFSD.22.证明：(1)因为四棱锥S-ABCD的底面是矩形,所以ABBC.因为SA平

6、面ABCD,BC平面ABCD,所以SABC.又因为SAAB=A,所以BC平面SAB.(2)因为SA平面ABCD,CD平面ABCD,所以CDSA.又因为CDAD,SAAD=A,所以CD平面SAD.因为E,F分别是SD,SC的中点,所以EFCD,所以EF平面SAD.又因为SD平面SAD,所以EFSD.如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，ABAD，CD2AB，平面PAD底面ABCD，PAAD，E和F分别是CD和PC的中点求证：(1)PA底面ABCD；(2)BE平面PAD；(3)平面BEF平面PCD.25.证明(1)平面PAD底面ABCD，平面PAD底面ABCDAD，PA平面PAD，PAAD，PA底

7、面ABCD.(2)ABCD，CD2AB，E是CD的中点，ABDE，且ABDE.四边形ABED为平行四边形，BEAD.又BE平面PAD，AD平面PAD，BE平面PAD.(3)ABAD，四边形ABED为平行四边形，BECD，ADCD.由(1)知PA底面ABCD，PACD.PAADA，CD平面PAD，CDPD.E和F分别是CD和PC的中点，PDEF，CDEF.CDBE，EFBEE，CD平面BEF.CD平面PCD，平面BEF平面PCD.如图,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD是正三角形,且与底面ABCD垂直,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,N是PB的中点,E为AD的中点,过A,D,N的平面

8、交PC于点M.求证:(1)EN平面PDC;(2)BC平面PEB;(3)平面PBC平面ADMN.【证明】(1)因为ADBC,BC平面PBC,AD平面PBC,所以AD平面PBC.又平面ADMN平面PBC=MN,所以ADMN.又因为ADBC,所以MNBC.又因为N为PB的中点,所以M为PC的中点,所以MN=BC.因为E为AD的中点,DE=AD=BC=MN,所以DE􀰿MN,所以四边形DENM为平行四边形,所以ENDM.又因为EN平面PDC,DM平面PDC,所以EN平面PDC.(2)因为四边形ABCD是边长为2的菱形,且BAD=60,E为AD中点,所以BEAD.又因为PEAD,PEBE

9、=E,所以AD平面PEB.因为ADBC,所以BC平面PEB.(3)由(2)知ADPB.又因为PA=AB,且N为PB的中点,所以ANPB.因为ADAN=A,所以PB平面ADMN.又因为PB平面PBC,所以平面PBC平面ADMN.类型二-求空间中的角 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,ADC=45,AD=AC=1,O为AC的中点,PO平面ABCD,PO=2,M为PD的中点.(1)证明:PB平面ACM;(2)证明:AD平面PAC;(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值.24.解:(1)如图,连接BD,MO.在平行四边形ABCD中,因为O为AC的中点,所以O为BD的中点,又

10、M为PD的中点,所以PBMO.因为PB平面ACM,MO平面ACM,所以PB平面ACM.(2)因为ADC=45,且AD=AC=1,所以DAC=90,即ADAC.又PO平面ABCD,AD平面ABCD,所以POAD,而ACPO=O,所以AD平面PAC.(3)取DO的中点N,连接MN,AN.因为M为PD的中点,所以MNPO,且MN=PO=1.由PO平面ABCD,得MN平面ABCD,所以MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.在RtDAO中,AD=1,AO=,所以DO=,从而AN=DO=.在RtANM中,tanMAN=,即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为.如图，在长方体中，底面是正方形，为的中点.

11、（1）证明：平面；（2）证明：平面平面；（3）求二面角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】（1）证明：设，连接，则是中点，又是中点，又平面，平面，平面（2）平面，平面，同理，又正方形中，平面，平面，又平面，平面平面；（3）平面，平面，是二面角的平面角，由已知，而，分别是中点，即二面角的大小为如图，已知四棱锥，底面为平行四边形，平面平面，（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）过P作PECD，交CD于点E，连接BE，所以CE=2，又因为,且所以BEBCADBE又因为平面平面且PEBCADPEAD面PEB（2）与平面所成

12、角即为EC与平面所成角过E作EFPB，交PB于F点，连接CF，易知EF平面PBC所以ECF为与平面所成角，因为PE=2，根据等面积法得到所以与平面所成角的正弦值为.变式训练3：如图，AB是的直径，PA垂直于所在的平面，C是圆周上不同于A，B的一动点.（1）证明：BC面PAC；（2）若PA=AC=1，AB=2，求直线PB与平面PAC所成角的正切值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】证明：(1)为圆O直径ACB=90即ACBCPA面ABC，PABCACPA=ABC面PAC.(2)BC面PAC，BPC为PB与平面PAC所成的角，在直角三角形中，在直角三角形中，,在直角三角形中，tanBPC=

13、.故直线PB与平面PAC所成角的正切值为.如图，在直三棱柱中，点为的中点（1）求三棱锥的体积（2）求直线与平面所成角的余弦值【详解】解：（1）三棱柱是直三棱柱，平面，所以，所以，又是的中点，又，（2）由（1）知，又平面，所以，平面，为直线与平面所成角，在中，即直线与平面所成角的余弦值为.平面.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形，且，.（）若是与的交点，求证：平面；（）若点是的中点，求异面直线与所成角的余弦值.【答案】（）证明见解析；（）.【解析】（1）连接与交于点，连.，且是和的中点，,和为平面内的两条相交直线，平面.（2）取的中点，连接，则，则就是所求的角（或其补角），根据题意得所以，所以，故

14、类型三-求空间几何体体积如图,四边形为矩形,且平面, ,为的中点.（1）求证:；（2）求三棱锥的体积；（3）探究在上是否存在点,使得平面，并说明理由.22(1)连结,为的中点,为等腰直角三角形,则,同理可得, 又,且, , 又,又,.(2)由(1)知为腰长为1的等腰直角三角形,而是三棱锥的高,. (3)在上存在中点,使得.理由如下:取的中点,连结. 是的中点, ,且, 又因为E为BC的中点,且四边形ABCD为矩形,所以EC/AD,且EC=AD,所以EC/GH,且EC=GH,所以四边形EGHC是平行四边形,所以EG/CH,又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG/平面PCD.如图，在四棱锥中，

15、平面底面是菱形，分别为的中点（1）证明：平面；（2）若，求三棱锥的体积【详解】解：（1）证明：如图，取的中点连接是的中点，是的中位线，又，四边形是平行四边形，又平面平面平面；（2）如图，连接交于点，连接，又平面平面在菱形中，.变式训练：如图，三棱锥VABC中， VA=VBAC=BC=，AB，VC=1（1）证明： ABVC；（2）求三棱锥VABC的体积【变式训练1】【解析】（1）证明：取AB的中点为D，连接VD，CD，VA=VB，是等腰三角形，ABVD，是等腰三角形， ABCD，所以AB平面VDC又VC平面VDC，故ABVC.（2）由（1）知AB平面VDC，所以，又VC=1，所以是等边三角形，所

16、以，故三棱锥VABC的体积等于如图，四棱锥中，底面是正方形，平面，为与的交点，为棱上一点.（1）证明：平面平面；（2）若平面，求三棱锥的体积.【例2-1】【解析】（1）因为四边形为正方形，则，底面，平面，平面，平面，平面平面；（2）如下图所示，连接，四边形为正方形，且，则为的中点，因为平面，平面，平面平面，为的中点，为的中点，平面，平面，且，的面积为，所以，.四、素养提升训练如图，在四棱锥中，平面ABCD，底部ABCD为菱形，E为CD的中点.（）求证：BD平面PAC；（）若ABC=60，求证：平面PAB平面PAE；（）棱PB上是否存在点F，使得CF平面PAE？说明理由.25（）证明：因为平面,

17、所以；因为底面是菱形，所以;因为,平面,所以平面.（）证明：因为底面是菱形且，所以为正三角形，所以,因为,所以；因为平面，平面,所以；因为所以平面，平面,所以平面平面.（）存在点为中点时，满足平面；理由如下:分别取的中点，连接,在三角形中，且；在菱形中，为中点，所以且，所以且，即四边形为平行四边形，所以;又平面，平面，所以平面.如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，点在棱上.（）求证：平面平面；（）若，是棱中点，求异面直线和所成角的余弦值；（）若直线与平面所成角的正切值最大为2，求的长.【答案】（）证明见解析；（）；（）.【解析】【分析】（）由菱形的性质得.再由线面垂直的性质得，由线面垂直

18、的判定定理可证得平面，根据面面垂直的判定定理可得证.（）连结、.由异面直线所成的角的定义可得异面直线和所成角为（或补角），由三角形的边角关系和余弦定理可求得异面直线和所成角的余弦值；（）由（）知，平面于点，根据线面角和定义 可得为与平面所成的角.再由三角形的边角关系可求得答案.【详解】（）四边形是菱形，.底面，面，.又，面，面，平面.又平面，平面平面.（）连结、.，异面直线和所成角为（或补角） ，菱形的边长为2，在中，是棱中点，即面，面，.，在，故异面直线和所成角的余弦值为；（）由（）知，平面于点，为与平面所成的角.在中，的最大值为2，的最小值为，即点到直线的距离是，设，即，解之：，所以此时.

19、【点睛】本题考查空间中的面面垂直的证明，异面直线所成的角的定义和计算，线面角的定义和计算，属于中档题.如图，三棱柱所有的棱长均为1，且四边形为正方形，又.（）求证：；（）求直线和平面所成角的正弦值.【答案】（）证明见解析（）【解析】（）作的中点,连接,因为三棱柱所有的棱长均为1 ,又四边形为正方形，,面 又四边形是菱形，所以面 （）作因为三棱柱,由题知,所以是等边三角形，是等边三角形，,面 , 面，所以，面 , 是面的垂线，是平面的斜线 ,即为所求角.在三角形中由平面几何知识得 故直线和平面所成角的正弦值为如图，在四棱锥中，且.（1）证明：平面平面；（2）若，且四棱锥的体积为，求该四棱锥的侧面积【解析】（1）由已知，得，由于，故，从而平面又平面，所以平面平面（2）在平面内作，垂足为由（1）知，面，故，可得平面设，则由已知可得，故四棱锥的体积由题设得，故从而，可得四棱锥的侧面积为 】如图：在正方体中，E为的中点.（1）求证：平面；（2）若F为的中点，求证：平面平面.【例】【解析】（1）连结交于O，连结.因为为正方体，底面为正方形，对角线交于O点，所以O为的中点，又因为E为的中点，在中是的中位线；又因为平面，平面，所以平面.（2）证明：因为F为的中点，E为的中点，所以，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以平面；由（1）知平面，又因为，所以平面平面.