微分方程建模实例-Malthus模型与Logi课件.ppt

1、4 4 微分方程微分方程建模建模 Malthus模型模型 与与 Logistic模型模型 4.1. 人口增长模型人口增长模型 4.2. 赝品的鉴定赝品的鉴定 4.3. 耐用新产品的销售速度问题耐用新产品的销售速度问题 4.4. 传染病模型传染病模型4.1 人口增长模型人口增长模型 年年 1625 1830 1930 1960 1974 1987 1999人口人口(亿亿) 5 10 20 30 40 50 60世界人口增长概况世界人口增长概况中国人口增长概况中国人口增长概况 年年 1908 1933 1953 1964 1982 1990 1995 2000 人口人口(亿亿) 3.0 4.7 6

2、.0 7.2 10.3 11.3 12.0 13.0研究人口变化规律，控制人口过快增长！研究人口变化规律，控制人口过快增长！模型一模型一 ( (最简单的人口增长模型最简单的人口增长模型) )：kkrxx)1(0假设今年的人口是假设今年的人口是 x0, 人口的年增长率是人口的年增长率是常数常数 r ,于是，于是，k 年后年后的的人口人口为为:美丽的大自然模型二模型二 ( (指数增长模型，即指数增长模型，即 Malthus 模型模型) )：马尔萨斯马尔萨斯(17661834)Malthus，ThomasRobert英国著名经济学家，出生于英格兰的英国著名经济学家，出生于英格兰的一个土地贵族家庭一个

3、土地贵族家庭. 1784年进入剑桥大年进入剑桥大学学习，学学习，1798年加入英国教会的僧籍年加入英国教会的僧籍,任牧师任牧师. 1799年到欧洲一些国家调查人年到欧洲一些国家调查人口问题口问题. 1805年成为英国第一位年成为英国第一位(也是也是世界上第一位世界上第一位)政治经济学教授政治经济学教授.模型假设模型假设： 人口增长率人口增长率 r 是是常数常数. . 人口的数量本应取离散值，但人口的数量本应取离散值，但由由于人口数量一般较大于人口数量一般较大，为建立微，为建立微分方程模型，可以分方程模型，可以将人口数量看将人口数量看作连续变量作连续变量，甚至允许它为可微，甚至允许它为可微变量，

4、由此引起的误差将是十分变量，由此引起的误差将是十分微小的微小的. .模型构成模型构成：设设 x(t) 表示表示 t 时刻时刻的的人口人口，有，有0( 0 ).xxrtextx0)(0()rtxe0(1) .txrd xd t() ,r x t当当 r 0，随着时间的增加，人口按，随着时间的增加，人口按指数规律无限增长指数规律无限增长!(1)r回忆：回忆：模型检验模型检验： 比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预比较历年的人口统计资料，可以发现人口增长的实际情况与马尔萨斯模型的预报结果基本相符报结果基本相符. 特别，利用马尔萨斯模型验证并检查特别，利用马尔萨斯模型验

5、证并检查1700年至年至1961的的260年间人口实际数据，年间人口实际数据，发现两者几乎完全一致！发现两者几乎完全一致！ 例如，例如，1961年世界人口数为年世界人口数为30.6 亿亿 ，人口数大约每，人口数大约每35年增加一倍年增加一倍. 19502000205021002150220000.511.522.533.5x 1011t/年N/人马 尔 萨 斯 模 型 人 口 预 测模型预测模型预测： 假如人口数真能保持每假如人口数真能保持每35年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。年增加一倍，那么人口数将以几何级数的方式增长。例如，到例如，到2510年，人口达年，人口达21014个，

6、即使海洋全部变成陆地，每人也只有个，即使海洋全部变成陆地，每人也只有9.3平平方英尺的活动范围，而到方英尺的活动范围，而到2670年，人口达年，人口达361015个，只好一个人站在另一人的个，只好一个人站在另一人的肩上排成二层了肩上排成二层了. 故故马尔萨斯模型是不完善的马尔萨斯模型是不完善的. .MalthusMalthus模型实际上只有在群体总数不太大时才模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，当总数增大时，生物群体的各成员之间由合理，当总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象因，就可

7、能发生生存竞争等现象. .所以所以MalthusMalthus模型假设的人口模型假设的人口净增长率不净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有可能始终保持常数，它应当与人口数量有关关. .模型三模型三 ( (阻滞增长模型，即阻滞增长模型，即 Logistic 模型模型) )：由荷兰生物数学家由荷兰生物数学家 P. F. Verhust 于于1837 年在研究人口问题时年在研究人口问题时建立建立. 基于这个模型能够描述一些事物的客观规律，常被称为基于这个模型能够描述一些事物的客观规律，常被称为Logistic 模型模型.由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个由于空间和资源都是有

8、限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高.阻滞作用随人口数量增加而变大阻滞作用随人口数量增加而变大r 是是 x 的减函数的减函数假定假定00( )( ,0)r xrsxr sr (0) = r0：固有增长率固有增长率xm：人口容量人口容量(资源、环境能容纳的最大数量资源、环境能容纳的最大数量)0mrs =x0)(mxrs 的意义是什么？的意义是什么？0mxr ( x ) = r ( 1 -)x0(1)

9、 ,mxrxxd xd t()rxxdx/dtx0 xmxm/20( 0 ).xx00( )1(1)mr tmxxtxexxmtx0 x0 xm/2模型检验和预测模型检验和预测：大量实验资料表明用大量实验资料表明用LogisticLogistic模型描述种群的增长，效果相当不错模型描述种群的增长，效果相当不错! ! 例如，数学家高斯把例如，数学家高斯把 5 5 只草履虫放进一个盛有只草履虫放进一个盛有0.5cm0.5cm3 3 营养液的小试营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天管，他发现，开始时草履虫以每天 230.9% 230.9% 的速率增长，此后增长速的速率增长，此后增长速度不断减慢

10、，到第五天达到最大量度不断减慢，到第五天达到最大量375375个，实验数据与个，实验数据与r r0 0 = 2.309= 2.309，x0 = 5, , xm = 375 的的LogisticLogistic曲线：曲线： 几乎完全吻合几乎完全吻合. . 2.309375( )174tx te00( )1(1)mr tmxxtxex Malthus 模型与 Logistic 模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学规律与Malthus 模型与 Logistic 模型所反映的数学规律类似即可.阻滞增长模型从一定程度上克服了指数增长模型的

11、不足，可以被用来做相对较长时期的人口预测；而指数增长模型在做人口的短期预测时因为其形式的相对简单性也常被采用.总总 结结4.2 赝品的鉴定赝品的鉴定 在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战在第二次世界大战比利时解放后，荷兰野战军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯军保安机关开始搜捕纳粹同谋犯. . 他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公他们从一家曾向纳粹德国出卖过艺术品的公司中发现线索，于司中发现线索，于19451945年年5 5月月2929日以通敌罪逮日以通敌罪逮捕了三流画家捕了三流画家汉汉凡凡米格伦米格伦(Han van (Han van Meegeren)Meegeren)，此人曾将，此人曾将17

12、17世纪荷兰著名画家世纪荷兰著名画家约约翰内斯翰内斯维米尔维米尔( (Johannes Vermeer) )的一些的一些油画卖给了当时纳粹德国的空军司令戈林油画卖给了当时纳粹德国的空军司令戈林. . 维米尔名作维米尔名作戴珍珠耳环的少女戴珍珠耳环的少女最初，最初，米格伦米格伦的确惊慌了一阵子的确惊慌了一阵子. . 可是，可是，米格伦米格伦在同年在同年7 7月月1212日在牢里日在牢里突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包括当时众所突然宣称：他从未把真画卖给戈林，而且他还说，这些画包括当时众所周知的油画周知的油画在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒都是他自己为都是他自己为“戏弄纳粹戏弄纳粹

13、”的仿制品的仿制品. .一位法官试图证明一位法官试图证明米格伦米格伦确有通过制赝牟利的动机，他却高调回答：确有通过制赝牟利的动机，他却高调回答：“如果我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！如果我不卖个高价，他们就不会相信这是真的！”在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒（The Disciples at Emmaus）米格伦最著名的伪作之一米格伦最著名的伪作之一这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，这件事在当时震惊了全世界，为了证明自己是一个伪造者，米格伦米格伦在监狱里在监狱里开始伪造开始伪造维米尔维米尔的油画的油画在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒. .旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国

14、贼成了民族英雄，罪名转化为旁听的民众为之疯狂，在短短的时间内，卖国贼成了民族英雄，罪名转化为盛名，盛名， 1947 1947年年1010月月1212日日米格伦米格伦被宣告犯有伪造罪，判刑一年被宣告犯有伪造罪，判刑一年. . 可是他在监狱可是他在监狱中只待了两个多月就因心脏病发作，于中只待了两个多月就因心脏病发作，于19471947年年1212月月3030日去世了日去世了. .六十年后，美国记者、专栏作家六十年后，美国记者、专栏作家乔纳森乔纳森洛佩兹洛佩兹(Jonathan Lopez)(Jonathan Lopez)出版了出版了制造维米尔的人制造维米尔的人(The man who made V

15、ermeers) (The man who made Vermeers) 一书一书. . 在书中，在书中，洛佩兹洛佩兹表达了对那个时代荷兰人民的体谅：表达了对那个时代荷兰人民的体谅：“荷荷兰人对兰人对米格伦米格伦的态度并非不可理解的态度并非不可理解. . 在二战中，在二战中，这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在盟国的这个国家遭遇了残酷的羞辱，光复也是在盟国的帮助下完成帮助下完成. . 米格伦米格伦给了未能主宰自身命运的荷给了未能主宰自身命运的荷兰人内心深处想要得到的东西兰人内心深处想要得到的东西. . 而对于而对于欺骗欺骗这种事情，他又是太熟谙了这种事情，他又是太熟谙了. .”然而，事情到此并

16、未结束，许多人还是不肯相信著名的然而，事情到此并未结束，许多人还是不肯相信著名的在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒是是米格伦米格伦伪造的伪造的. . 事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，事实上，在此之前这幅画已经被文物鉴定家认定为真迹，并以并以1717万美元的高价被伦布兰特学会买下万美元的高价被伦布兰特学会买下. .专家小组对于怀疑者的回答是：由于专家小组对于怀疑者的回答是：由于米格伦米格伦曾因他在艺术界中没有地位而曾因他在艺术界中没有地位而十分懊恼，他下决心绘制十分懊恼，他下决心绘制在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒，来证明他高于三流画家，来证明他高于三流画家. . 当创造出这样的杰作后，

17、他的志气消退了当创造出这样的杰作后，他的志气消退了. . 而且，当他看到这幅而且，当他看到这幅在埃牟在埃牟斯的门徒斯的门徒那么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了那么容易卖掉以后，他在炮制后来的伪制品时就不太用心了. .这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学确定地证明这种解释不能使怀疑者感到满意，他们要求完全科学确定地证明在埃牟在埃牟斯的门徒斯的门徒的确是一个伪造品的确是一个伪造品. .这一问题拖了这一问题拖了2020年，直到年，直到19671967年，才被卡内基年，才被卡内基梅伦大学的科学家们基本解梅伦大学的科学家们基本解决决. .原理与模型原理与模型 出发点出发点：测定

18、油画中颜料矿物质的年龄：测定油画中颜料矿物质的年龄. .测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象测定年龄的关键依赖于二十世纪初发现的放射性现象. . 放射性现象放射性现象：著名物理学家卢瑟夫在：著名物理学家卢瑟夫在二十世纪初二十世纪初发现，某些发现，某些“放射性放射性”元素的原子是不稳定的，元素的原子是不稳定的，在一段在一段时间内，有一定比例的原子会自然蜕变时间内，有一定比例的原子会自然蜕变形成新元素的原子，且形成新元素的原子，且 物质的放射性正比于现存物质的原子数物质的放射性正比于现存物质的原子数. .用用 N(t) 表示时刻表示时刻 t 时存在的原子数时存在的原子数,则：则： d N

19、Nd t ( 为物质的衰变率) 和和 N(t) 能测出或算出，只要再知道能测出或算出，只要再知道 N0 就可断代就可断代.这正是问题的难处，下面是间接确定这正是问题的难处，下面是间接确定N0 的方法的方法. .00()dNNdtNtN 与负增长的与负增长的MalthusMalthus模型完全模型完全一样一样 其解为其解为: : 0()0( ).ttNtN e称称 t t0 为为衰变时间衰变时间, 于是于是001ln.NttN与本问题相关的其他知识与本问题相关的其他知识: : (1) (1) 艺术家们应用白铅作为颜料之一艺术家们应用白铅作为颜料之一，已有两千多年历史，已有两千多年历史. . 白铅

20、中白铅中含有微量的放射铅含有微量的放射铅210210，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀，白铅是从铅矿中提炼出来的，而铅又属于铀系系. .(2) (2) 衡量物质衰变的一个常用参数是它的衡量物质衰变的一个常用参数是它的半衰期半衰期，即给定数目的放，即给定数目的放射性原子衰变一半所需的时间射性原子衰变一半所需的时间.012NN令令0ln 2Ttt则有则有: :0()0( ),ttNtN e利用利用(3) (3) 铀238镭226铅210钋210铅206亿年45T年1600T年22T天138T(放射性)(无放射性)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方

21、面，铀系中各种放射性一方面，铀系中各种放射性物质均在不断衰减；另一方面，铀又不断衰减，补充着其后继元素物质均在不断衰减；另一方面，铀又不断衰减，补充着其后继元素. 设设 t 时刻时刻1克白铅中铅克白铅中铅210的含量为的含量为 N(t)；设镭单位时间铅设镭单位时间铅210的分解数为的分解数为 r (常数常数)；设设 为为铅铅210的的衰变率，衰变率，则则N(t)满足微分方程：满足微分方程： 由此解得：由此解得：模型构成：模型构成：00()d NNrd tNtN 00()()0( )1ttttrNteN e若此画是真品，若此画是真品，t - t0 300 (年年) . 从而可求出从而可求出 N0

22、 的近似值的近似值. 对对油画油画在埃牟斯的门徒在埃牟斯的门徒具体计算如下：具体计算如下：于是，于是，00()()0( )1.ttttNNt er e3 0 03 0 00( )1NNt er eln 2.2 209 8 0 5 0/N个每 分 钟 每 克 .ln 2,T由于半衰期由于半衰期: :于是，于是，(1)地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀地壳里几乎所有的岩石中均含有微量的铀. 一方面，铀系中的各种放一方面，铀系中的各种放射性物质均在不断衰减，另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继射性物质均在不断衰减，另一方面，铀又不断地衰减，补充着其后继元素元素. (2)从而，从而，各种放射性物质

23、（除铀以外）各种放射性物质（除铀以外）在岩石中在岩石中处于放射性平衡中处于放射性平衡中. (3)从铅矿中提炼铅时，铅从铅矿中提炼铅时，铅210与铅与铅206一起被作为铅留下，而其余物质则一起被作为铅留下，而其余物质则有有9095%被留在矿渣里，因而被留在矿渣里，因而打破了原有的放射性平衡打破了原有的放射性平衡.(4)各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于各地采集的岩石中铀的含量差异很大，但从未发现含量高于3%的的. 与本问题相关的进一步的知识与本问题相关的进一步的知识: : 由于由于提炼前岩石中的铀系提炼前岩石中的铀系是处于放射性平衡的，故铀与铅的单位时间是处于放射性平衡的，故铀

24、与铅的单位时间分解数相同分解数相同. 设设 u是铀的衰变率，是铀的衰变率， 是铅是铅210的衰变率，的衰变率， U0是是 0 时刻白铅中铀的含量，时刻白铅中铀的含量， N0 是是 0 时刻白铅中铅时刻白铅中铅210的含量的含量.于是，于是，由此推算出由此推算出每克白铅中铅每克白铅中铅210每分钟分解数不能大于每分钟分解数不能大于30000个个，否则铀，否则铀的含量将超过的含量将超过4%，而这是不可能的，而这是不可能的. 00.uUN00300006024365uUN若若2003000060243651.0210uU则则(个)这些铀约这些铀约0.040.04克！克！ 即每克白铅约含即每克白铅约含

25、0.040.04克铀，含量为克铀，含量为 4% . 以上确定了每克白铅中铅分解数的上以上确定了每克白铅中铅分解数的上界，若画上的铅分解数大于该值，说界，若画上的铅分解数大于该值，说明画是赝品；但明画是赝品；但若是小于不能断定画若是小于不能断定画一定是真品一定是真品.4.3 耐用新产品的销售速度耐用新产品的销售速度问题问题一种一种耐用新产品耐用新产品进入市场后，一般会都经过一个销售量先不断进入市场后，一般会都经过一个销售量先不断增加，然后下降的过程增加，然后下降的过程. . 研究新产品销售量的变化规律研究新产品销售量的变化规律, ,对于制对于制定生产计划以及制定促销策略都很有意义定生产计划以及制

26、定促销策略都很有意义. .怎样建立数学模型描述产品的销售速度，并由此给出一些有用怎样建立数学模型描述产品的销售速度，并由此给出一些有用的结果以指导生产？的结果以指导生产？模型构成模型构成： 设需求量有一个上界，记此上界为设需求量有一个上界，记此上界为 K. (对于耐用产品对于耐用产品, ,人们一般不会重复购买人们一般不会重复购买. . 因此因此, ,产品的累积销产品的累积销售量可认为是购买者人数售量可认为是购买者人数) 记记 t 时刻已销售出的商品数量为时刻已销售出的商品数量为 x(t)，则尚未，则尚未使用该商品的使用该商品的人人数为数为 Kx(t) . 于是，于是， x(t)满足满足()dx

27、kx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为： ( ).1K ktKx tC edx/dtx0KK/2()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogistic模型，解为：模型，解为： ( ).1K ktKx tC e在销出量小于最大需求量的一半时，在销出量小于最大需求量的一半时，销售速度是不断增大的，销出量达到销售速度是不断增大的，销出量达到最大需求量的一半时，该产品最为畅最大需求量的一半时，该产品最为畅销，接着销售速度将开始下降销，接着销售速度将开始下降.Ktx0 x0K/2()dxkx Kxdt此方程即此方程即LogisticLogis

28、tic模型，解为：模型，解为： ( ).1K ktKx tC e所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；所以初期应采取小批量生产并加以广告宣传；从有从有20%20%用户到有用户到有80%80%用户这段时期，应该大批用户这段时期，应该大批量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得量生产；后期则应适时转产，这样做可以取得较高的经济效果较高的经济效果. . 4.4 传染病模型传染病模型 医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在医学科学的发展已经能够有效地预防和控制许多传染病，天花在世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到世界范围内被消灭，鼠疫、霍乱等传染病得到控制控制. . 但是但是仍

29、然有仍然有一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和一些传染病暴发或流行，危害人们的健康和生命生命. . 被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来被传染的人数与哪些因素有关？如何预报传染病高潮的到来？模型一模型一 记时刻记时刻 t 已感染已感染 (infective) 的的病人病人数数为为 i(t). .每个每个病人在单位时间内传染的人数为病人在单位时间内传染的人数为常数常数 . .一一个个人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡. .设设 i(t) 是连续可微函数是连续可微函数. .开始时有开始时有i0个传染病人个传染病人. .模型模型假设及符

30、号说明假设及符号说明： 模型构成模型构成： 模型检验：模型检验： 此模型即此模型即MalthusMalthus模型模型. . 它它大体上反映了传染病流行初期的病大体上反映了传染病流行初期的病人增长情况，在医学上有一定的参考人增长情况，在医学上有一定的参考价值；但价值；但随着时间的推随着时间的推移，将越来越偏离移，将越来越偏离实际情况实际情况. .0( )ti ti e0dd( 0 )iitii在传染病传播期间，一个病人单位时间内传染的人数在传染病传播期间，一个病人单位时间内传染的人数 应该应该是变化是变化的的.有必要将人群划分成有必要将人群划分成病人病人与与健康者健康者，来建立，来建立两房室系

31、统两房室系统. .在在初期初期， 较大较大；随着随着病人病人的增多，的增多，健康者健康者减少，被传染减少，被传染的的机会也将减少，于是机会也将减少，于是 就会变小就会变小. 模型二模型二 ( (SI模型模型) ) 模型模型假设假设及符号说明：及符号说明： 记时刻记时刻 t 的的病人和病人和健康健康者者(susceptible)的的 比例比例分别分别为为 i(t) 和和 s(t)，满足满足 i(t) + s(t) = 1.单位单位时间内一个时间内一个病人病人有效接触人数为有效接触人数为 , 且且使接触的健康人致病使接触的健康人致病.一一个个人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡人得病后，经久不愈，人在传染期内不会死亡. .设设 i(t) 和和 s(t) 是是连续可微函数连续可微函数. .开始时有开始时有i0个传染病人个传染病人. .模型构成模型构成： ()d i td t() ()s t i t(1() ) ()i ti t0( 0 )ii(Logistic 模型模型)01( )111eti ti1/2tmii010tT = tm, di/dt 最大最大tm：传染病高潮到来时刻传染病高潮到来时刻11ln01itm (日接触率日接触率) tm 1it?此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用此值与传染病的实际高峰期非常接近，可用作医学上的预报公式作医学上的预报公式