R为幂级数的收敛半径课件.ppt
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- 关 键 词:
- 幂级数 收敛 半径 课件
- 资源描述:
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1、National Kaohsiung First University of Science and TechnologyInfomechatronics and Power Electronics Lab. Chapter 8級數微積分微積分NKFUSTIPEL函數與極限函數與極限u8.1 數列u8.2 級數u8.3 積分及比較檢定法u8.4 其他收斂檢定u8.5 冪級數u8.6 函數的冪級數展開u8.7 泰勒及馬克勞林級數u8.8 泰勒多項式的應用NKFUSTIPEL8.1 數列數列 數列數列(sequence)是指把一系列的數依照某種順序寫下來: a1為第1項,a2為第2項,an為第n項
2、。 數列a1 , a2 , a3 , . . . 也可表示為 或naa1, a2, a3, a4,an,1nnaNKFUSTIPEL 如果數列an的第n項an在 n 夠大時會靠近L,則an的極極限限(limit)為L,並記為 或 當n 時 an L 當 存在,即此數列an收斂收斂(converges);反之則是發散的發散的(diverges)。Lannlimnnalim定義定義 INKFUSTIPEL圖1 極限趨近於L之數列NKFUSTIPEL 如果對任意的0,都可以找到正整數 N 使得 若 n N ,則數列an的極限極限是L,並記為 或 當n時 an L 定理: 若 且 則LanLannli
3、m定義定義 IILxfx)(limnanf)(LannlimNKFUSTIPEL定義定義 III 如果對任意的正數 M,都可以找到正整數N使得 若 n N 則 如果對任意 n no都滿足an bn cn而且 ,那麼極限 如果 則MannnalimLcannnnlimlimLbnnlim0limnna0limnnaNKFUSTIPEL 假設數列an和bn都收斂,c是常數,則: nnnnnnnnbabaalimlim)(limnnnnnnnnbabaalimlim)(limnnnnacca limlimccnlim0limlimlimlimnnnnnnnnnbbaba若nnnnnnnbabalim
4、lim)(limlimlimapnnpnna若p0而an 0NKFUSTIPEL定義定義 IV 數列r n在 -1 r 1時會收斂,而在其他情形都會發散。 如果一數 M 使得對任何 n1 都滿足 an M,則數列an是有上界的上界的(bounded above)。 而如果存在 m 使得 n 1 時都有 m an,則an是有下下界的界的(bounded below)。 當這個數列同時有上界和下界時,即是有界數列有界數列(bounded sequence)。 單調數列定理單調數列定理 : 所有單調有界的數列都是收斂的。NKFUSTIPEL 如果把數列 的每一項加起來,其結果為: 則稱此為無窮級數無
5、窮級數(infinite series)或級數級數(series)。 級數也可以表示為 或 a1 + a2 + a3 +an1nna1nnana8.2 級數級數NKFUSTIPEL 部分和部分和(partial sums):212aas11as 3213aaas43214aaaas1231.nnniisaaaaaNKFUSTIPEL 用sn表示級數 前n項的部分和: 當數列sn收斂而且極限 是個實數,即此級數 收斂收斂,並記為 s 為級數和和。如果sn是發散的,則級數是發散發散的。.3211aaaann或nininaaaas121ssnnlimna1nnsaa1 + a2 + a3 +an+=
6、s定義定義 INKFUSTIPEL 幾何級數幾何級數: 當r 1時收斂,而在p 1時發散。 1)( dxxf1nna1)(dxxf1)(dxxf1nna1nna8.3 積分及比較檢定法積分及比較檢定法11npnNKFUSTIPEL 比較檢定法比較檢定法: 假設級數 及 的項都是正的。(a)如果 收斂而且對任意 n 都滿足an bn ,那麼 也是收斂的。(b)如果 發散而且對任意 n 都滿足 an bn , 那麼 也是發散的。 極限檢定法極限檢定法: 假設級數 及 的項都是正的。如果極限 其中c 0 是一個有限的數。那麼二個級數就會同時收斂或發散。nanbnbnbnanacbannnlimnan
7、bNKFUSTIPEL8.4 其他收斂檢定其他收斂檢定 交錯級數交錯級數(alternating series): 正負數會輪流出現的級數。例如 交錯級數檢定法: 如果交錯級數 滿足 (i) 對任意n 都有 (ii) 這個級數就會收斂。)0() 1(65432111nnnnbbbbbbbbnnn1) 1(6151413121111nnbb10limnnbNKFUSTIPEL 交錯級數估計定理交錯級數估計定理: 如果 是交錯級數的和,而且滿足 (i) (ii) 則 然而對其他數列來說,這個性質並不適用。nnbs1) 1(nnbb100limnbn1nnnbssRNKFUSTIPEL定義定義 如果
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