数学物理方法概论之-渐进方法课件.ppt

1、之第三章 渐近方法 本章渐进方法着重介绍数学物理中的近似方法，内容包括积分的渐近展开分析与常微分方程的渐进解法两大部分。通过本章的学习目的是为提高数学分析的能力和将理论应用于解决实际问题的本领。该方法在力学、大气科学、物理海洋、光学、声学等研究领域具有广泛的应用。 渐近计算是数学计算的近似方法之一，它是解析方法在一定条件下的发展，其与数值方法相结合可以提高计算的精确程度及计算速度，特别在非线性问题的处理中渐近方法具有重要的地位。1、 量级符号；2、 渐近展开；3、 渐近展开式的运算；4、 积分的渐近展开式；5、 最陡下降法；6、 驻定相位法；7、 常微分方程的渐近解；第三章 渐近方法 由于某些

2、特殊函数具有积分表示式，如果这些函数是微分方程的解，就可以得到一种以它们的拉普拉斯变换或傅立叶变换的积分表达式表达的解。因此求解积分的渐近展开式的问题在解析函数理论中就起特别重要的作用，它可以使我们得到积分解另一种表达，称此为渐近方法。 Oo 同量级量级最多为量级小于比较函数趋于某个极限时的性质常定义： 0( )/( )1( )( )xxf xg xf xg x若时，则称0,tanxxx例： 3 渐近方法 3.1 量级符号 1) 同量级 0( )/( )( )( )( )( ( )xxf xg xf xg xf xO g x若时，保持有界，则称的量级最多为，记为,( )(),0, cos(1/

3、 )( )nnnP xO xxxxO x 例：0( )( )( )limA( )xxf xf xg xg xA或称函数f (x)至多与g (x)同阶。 3 渐近方法 3.1 量级符号 2) 量级最多为 也可以说若存在某个常数A，使对定义域D某个内点x0的邻域V内的所有x，满足0( )/( )0( )( ( )xxf xg xf xo g x若时，则记320,tan()(),0,()nxxxo xxnxo e 对例： 的意义是说 f (x)有界，而 的意义是说f (x)趋于零。( )(1)f xO( )(1)f xo 3 渐近方法 3.1 量级符号 3) 量级小于 也可以说若存在任一 ，定义域D

4、内点x0总有一的邻域 存在，使得所有 ，满足0VxV0 x( )( )( )lim0( )xf xf xg xg x或称函数f (x)是函数g (x)的高阶小量。 3.2 渐近展开 下面给出渐近展开的定义和它的一些性质，讨论在扩充的复平面上进行。一、 渐近序列 设 ，是定义在区间D上的连续函数序列， 是D中的一固定点，若对每一个固定的n，有01( ),( ),( )nw z w zw z0z10( )( ) ()nnwzo w zzz则称 为 点的渐进序列。渐近序列可以是有限项也可以是无限项的。例如：( )nw z0z是对零点的渐近序列。21, ,z z 3 渐近方法 2111,z z是对于无

5、穷的渐近序列。二、 渐近展式 设 是一个给定的函数，而 是 点的一个渐近序列，如果对每个固定的整数n，有那么称此为 在 点的渐近展式。记为注意：渐近展式与函数的级数展式不同：对确定的z值，渐近展式的项数无限增多时，所得级数一般是发散的，但若满足渐近展式的定义式，则当 时，取确定的项数n会得到对函数非常好的近似。( )f x( )nw z0z00110( )( )( )( )( ) nnnf za w za w za w zo w zzz( )f x0z0( )( ) nnnf za w zzz0zz 3.2 渐近展开 3 渐近方法 例1：求 当 时的积分值。x 0( )te dtf xxt即求

6、 时 的渐近展式。x ( )f x解： 2012234101( )1123-(-1)( 1)(1)!ttnnnne dtf xxtne dtnxxxxxxt 利用分部积分法，多次分部积分x！ ！余项： 22100120(1)!( )(1)!1(1)!(1)!txynnnnxynne dtnedyR xnxxtynnedyxx t=xy 3.2 渐近展开 3 渐近方法 因此，取展开式的前n项，略去余项，当 时，其误差量级小于所取的最后一项，符合渐近展式的定义，可记为x 3.2 渐近展开 3 渐近方法 100( )(-1) xtnnne dtnf xxtx ！注意： 这个级数对于有限的 x 值均不

7、收敛。但是，取确定的项数，会得到对函数很好的近似。如果仅用一项，给出的相对误差为1/x ,结果粗略一些，但已经足够用了。三、 展开式系数： 当 时， 的渐近展式 的系数为110( )( )( )limNnnnNf za wznwzzza0zz( )f z( )nnna w z证明略 3.2 渐近展开 3 渐近方法 四、 展开式的构成 设 在区域D中有定义，若 有定义且不为零，则 是 时， 的一个直到N项的渐近展开式。12( ),( ),( ),( )Nf z w z w zwz011( )( )lim( )knnnkzzkf za w zaw z1( )Nnnna w z0zz( )f z证明

8、： 首先证明 是一个渐近序列。由 的定义得 ( )nw zka1( )( )( )()knnkknf za w zgzo w 3.2 渐近展开 3 渐近方法 111111( )( )( )( )( )()knnkkkkkknf za w zawzh zawzo w所以： 1111( )(/)()kkkkkkkwz ahwwgo w又因为： 011lim/0,0,kkkzzhwa且故存在一个 的 邻域使z在其中时： 0z11/0kkkahw所以 。由此，各个 都由这种方式定义得 1( )( )()knnknf za w zo w1()kkwo wka1,2,kN 3.2 渐近展开 3 渐近方法

9、五、 唯一性设 是在D中， 的一个已知渐近序列，若是当 时， 直到N 项的一个渐近展式，则此展式是唯一的。1( )Nnnna w z0zz( )f z( )nw z0zz注意：这个定理只表示用同一个已知渐近序列表示的展开式的唯一性。但是可能有多个不同的渐近序列对应同一个函数的渐近展式，它们可以不同，而且可以是收敛的也可是发散的。反过来，一个已知的渐近展式可以表示不止一种函数。 的一个渐近幂级数展式，记为 六、 幂函数的展式000( )()() Nnnnnf zazzo zz则： 00( )()Nnnnf zazz00()Nnnnazz是D中， 时，( )f z0( )() ,0,1,2,nnw

10、 zzzn当对个0 0在在D 中D 中，若若z z z ,每z ,每一一N 有N 有： 3.2 渐近展开 3 渐近方法 0zz0zz其中一种重要的特殊情形是在D中，当 时，如果0z 0( )()Nnnnnaf zo zz则在D中，当 时z 0( ) Nnnnaf zz 3.3 渐近展式的运算若在D中，当 时，直到N项有 则：0zz00( )()Nnnnf zazz00( )()Nnnng zb zz和1. 加法：00( )( )()()Nnnnnf zg zabzz2. 乘法：000( )( )() , NNnnnkn knkf zg zczzca b 3 渐近方法 本节讨论渐近展开式的普通运

11、算，由于实际应用中，展式多用幂函数，以下均以幂函数作为渐近序列。3. 除法： 01001( )/( ), 0NNNNaa za zf zg zbbb zb z即除法为两个函数渐近展开式分别保留到N项相除。推论： 01 00 100200( )(), 0( )aaba bf zzzbg zbb 3.3 渐近展式的运算 3 渐近方法 4. 积分 : 当 时，若 则：01101( )()Nznnznafdzzn其中积分沿从 到 的一条直线路径。0zz0zz100( )()Nnnnf zazz推论 : 当 时，若 则：0zz00( )()nnnf zazz0101( )()znnznafdzzn 3.

12、3 渐近展式的运算 3 渐近方法 5. 求导 : 当 时，若 ，且当 时，在D中 存在并有0zz00( )()Nnnnf zazz0zz( )fz100( )()Nnnnfzb zz则在D中渐近展开式满足可逐项积分的条件时，有0112231,2,3,NNba ba babNa推论1：在D中，当 有 00( )()nnnf zazz且在D中00( )()nnnfzb zz011223,2,3,ba ba ba 3.3 渐近展式的运算 3 渐近方法 0zz( )fz存在并有若在D中，渐近幂级数满足逐项积分的条件，则推论2： 对 ，当 时有 且 存在于相同的区域，当 时，有则z 0( )nnnf z

13、a z( )fz(1)1( )nnnfznb zargzz ,1,2,nnab n 对于解析函数 ，若在区域当 时有则在 中，当有( )f z| | |,argzrDzzz z 0( )nnnf za z| |11 |,argzrDzz (1)1( )nnnfzna z 3.3 渐近展式的运算 3 渐近方法 根据渐近展式的定义和相关运算法则，就可以讨论在解析函数理论中常用的积分的渐近展式。 获得积分渐近展式的方法有两种(1)把被积函数的一部分展开为级数，然后形式上逐项积分；(2)重复地进行分布积分。一、 逐项积分法：瓦特森引理：设100( )(1) ( )( ) ,0,1;(2) ( )|3,

14、|( )|;(4) ( )arg |,2(1) ( )(0)/ !abctztnna bnnnF tf ttabf xxtMC F tMef xxzanabF t edtzafn 对有麦克劳林展式；（ ）时 存在常数和对所有 的值为连续函数，则在|当z时，有其中 3.4 积分的渐近展式 3 渐近方法 式 对Re(z) 0 成立，因为在此定义域两边都解析且在实轴上它们一致。可应用瓦特森引理得到其积分的渐近展开式。做变量代换，令解：令 则例：求当 ， 的函数 的渐近展式。z 10( )t zze tdt0,zxtsxarg,022z1( )ssse1 lnuss 1usese 3 渐近方法 则对给

15、定的值 上述变换给出两个解s(u)和(u)，其中 3.4 积分的渐近展式 11000011( )()()t sxt xt xsxxxxsxxe tdte t dtesxxdsx esedsxx10( )()zzszzz eseds即且ue两个解分别位于最大值s=1的两边其中于是0u1,1s0( )1s u 3 渐近方法 3.4 积分的渐近展式 1111001000()()()szszzuzuzuzsedssedseddsdddsedueduedududududu11ddssdudus可以证明且因当 时， 故 在 有界0u 1( )u ddsdudu 3 渐近方法 3.4 积分的渐近展式 则可得

16、 与的关系：剩下要证明的是 其中 对小的 有一个abddsf uududu f vv麦克劳林展开式。再做代换，令 22,1us21ln 12。它在 处是解析的。因为当 01时，有22221ln 12234即12222134 与 的邻域有两个分支。根据复变函数理论：若 f z解析，且 00fz则 在 f z00f z的邻域存在解析的反函数 zg现在 ln 1在 0邻域解析，且 dd在 0点不等于零，故在 3 渐近方法 3.4 积分的渐近展式 另一支是注意到 则对足够小的 有 故0令 00,0的邻域存在解析的反函数 2323bb 式中 kb是 处 的留数，容易算出 等 。 k234111,3362

17、70bbb 21121,1s22uu13222132221111222233627011112222336270uuuusuuuu 111222222266ddsuuuududu将最后的表示式带入被积式，并在形式上逐项积分，则由瓦特森引理，在 时，有z arg,022z 1212112zzze zz 3 渐近方法 3.4 积分的渐近展式 对的条件下得 式中二、 分部积分法： 0zh tg t edt形式进行分部积分。在 ，且当 时 Re0z t h t 00001zh tzh tzh tzh tg tg t edtzh t edtzh tg tg tdeedtzh tzdtzh t 00010

18、zhzh tgef t edtzhz g tdf tdtzh t。可以看出，所得积分是前面考虑过的形式，故可重复同一过程。 3 渐近方法 3.4 积分的渐近展式 存在，且 t当 时首先证明在 和 h t g t的一定假设条件下，式中第一项是 z z z 的积分渐近形式。 设（1）对 ， 0t g t连续且有界： ，同时 g tM 00g（2）对 ， 0t h t为实函数且连续； （3） 0h 00h（4）对所有正 ， ，且当 时， 0h tht h t （5）对 ， 存在，则对 Re0z 0zh tedtarg,022zz 0000zh tzhgg t edtezh 3 渐近方法 3.4 积分

19、的渐近展式 z z 例： 在 ， z arg,022z条件下，求误差函数 2tzE zedt的渐近展开式。令 0,zxutx 22220txuuxxE xedteeedu这表明，对 ， Re0z 2220zuuzE zeeedu的两边是解析的，且在实轴上相合。现在的积分 ，因为在此区域中方程220uuzeedu和定理 的假设相符，重复地应用此定理，对 ， z arg,022z可得 22335111 3222zE zezzz 3 渐近方法 3.4 积分的渐近展式 如果 ，则应将方法修改。但对这种情形，可以采用 00h下面两节的方法，这里不再赘述。以上只把分部积分法用于上限为 的积分，现在考虑a和

20、b 有限，且 ab的情形，即 11bbzh tzh tzh tbaaabzh bzh azh tag tg tdg t edteedtzh tzdt h tg bg ag tdeeedtzh bzh azdt h t 设 ，而当 ， 时 ,0,0h bh ah bh az arg,022z 3 渐近方法 3.4 积分的渐近展式 bzh tzh bzh aag bg ag t edteezh bzh a当 ， 时，因为z Re0z 00zhz h bh azh aeee故 zh abzh tag a eg t edtzh a 采用最徒下降法的思路： 首先令： 则： 3 渐近方法 3.5 最陡下降

21、法 sg zCIef z dz常遇到这样类型的积分 其中C 是复平面Z 上的路径，在其中假定 f z缓变，且f 和g 均具有适当的正则性。 ,g zu x yix y其中 u 和 v 是实函数。 sg zsu iCCIef z dzef z dz当S 很大时，沿积分路径微小位移所引起的v 的微小变化会引起 注意到： 3.5 最陡下降法 也就是说，最徒下降法的本质就是尽可能利用这样的积分路径：使被积函数在这个路径上u为最大，而v等于常数。这样可以保证被积函数变化最速下降，也就保证积分值只与u为最大的点（鞍点）附近的邻域有关，从而可以渐近计算。事实上，使v等于常数的路径也就是u变化最快的路径。以下

22、对此证明： 3 渐近方法 sge中正弦项的迅速震荡。但如选择积分路径使在其上 v为常数， 则震荡就会迅速消失，于是被积函数变化最速部分将为 ，而sue显然其主要贡献部分将来自u为最大点的邻域。因而此方法的本质是尽可能地改变积分路径循着通过u 为最大的点，而v等于常数 的路线进行。 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 证明: 令 0izzre是在 0z邻近的一点，于是由cossinidzrerirdxidyxyxydgduidu dxu dyidxdy得： 当 等于常数时，应有 0d，即cossin0 xy这样，注意到柯西黎曼关系: , ,xyyxuu 可得 sincos0 xyuu此式表明/si

23、ncos0 xyduu ru r 因此，由极值的条件，在 0z点， v等于常数的方向也正是u 的最大变化方向。 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 为寻找 ,uu x y的最大点，令 0, 0 xyuu，因而 0, 0 xy故当且仅当在该点 ， 0gz时，取得极值，这样的点称为驻点。曲面,uu x y有极大极小值的条件为 20 xxyyxyu uu现在有 220, 0u，即 0 xxyyuu，故 xxyyuu ，因而 2220 xxyyxyxxxyu uuuu 因为u是解析函数满足拉普拉斯方程表明驻点不是极值点而是鞍点，它连接曲面的“山谷”和“山脊” 沿山脊上升和山谷下降均是u最大变化方向。对我

24、们有意义的是山谷下降路径，即最徒下降路径，因为只有这一路径上在鞍点附近对积分有显著的贡献，所以这种渐近计算的方法称为：最徒下降法。 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 鞍点若 0z点为鞍点，即 00gz此点的v等于常数的曲线方程为 ，则通过00uut 0g zg zt，或 其中t是实数，t 为正代表下降路径，t 为负代表上升路径。 由 g z在 0z点的Tailor展开式 20000012g zg zgzzzgzzz现在 00gz，若 00igzAe(A为正实数) ，接近 0z处 0izzre，则 22012iig zg zAr e，（略去高阶项） 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 因为： ,g

25、 zu x yix y还可得： 由此可以画出实部 虚部 20201cos 221sin 22uuArAr时的等高线如图所示。如果 /200gz，则图形将更复杂，可能有三个或更多的山谷在鞍点相会。 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 现在可以假定起止于无限远的积分路径能变形到起点和终点都在山谷的路径，这是积分收敛的要求。积分路径要尽可能地变形到最陡下降路径上沿着山谷的底在鞍点处越过一个山谷进入下一个山谷。一般说来，这种路径有一系列曲线组成，每一个是从鞍点到无穷或到某个奇点。 以下假定 00gz来计算一个这种路径对积分的贡献。 为此，设 200g zg zzzh z其中 00h z。于是最陡下降路径

26、由下式给出 220zzh zt或120zzht (t为正实数） 其中 1zh取主值。计及 00/2/2ih zgzAe ，故得 112202izzA et 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 上式的不同符号对应于自鞍点出发的两条最陡下降路径。若 /2,“+”号与第三象限的路径有关，“-”与第一象限的路径。 有关考虑负号时所代表的路径如图所示，所得的积分是负号所对应的路径 20110sg zstdzeefzdtdt其中 1z是上式中取负号的 z值。另一路径的积分 20220sg zstdzeefzdtdt其中 2z是上式中取正号的z值。 完整的级数太繁，我们将只导出首项。于是，如果把C变形到通过鞍

27、点，其方向如右图，则可以得到 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 由于 和 1z2z都可用 t 表示 ，其中函数 f 已假定是缓变的，故 1f z和 2f z均可用 0f z代替。令 2tu引理渐近计算的积分式。 ，则可以得到用瓦特森负号所对应的路径 2021122001122022isg zsg zstCistef z dzef zeA edteA edt 001111222200022sg zisg ziif zef zesAesgz 此式即利用最徒下降法得到的积分的渐近展开。 如果C通过鞍点的方向与前图示相反的话，结果反号即可。例：求阶乘的斯特林（Stirling)公式。（即阶乘的渐近展式

28、） 解： 已知阶乘的积分表达式 符合前边积分的形式，其中 ( )1, ( )lnf zg zzz而积分路径C为实轴。 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 0!zsse z dz它在 Re1s 时成立，现在我们只考虑 s此积分形式不适合用最陡下降法，但如用sz 来代替z就得出 是实数的情形。ln10!/sz zsssedz注意到 1z 有一鞍点，且在该处 1gz 在 时：因此积分路径应该是 和 （零点为奇点）两部分1 10根据公式： 001111222200022sg zisg zisg ziCef z dzf zef zesAesgzs !2sssse 3.5 最陡下降法 3 渐近方法 ( )1

29、, ( )lnf zg zzz这就是斯特林公式。 3.6 驻定相位法 对下列形式的积分 ： 3 渐近方法 ikf zCI keg z dz当参量k 很大时可以用驻定相位法求解。从被积函数 的形 ikf ze式上看，可当作波的相位。 当k很大时，它表示一种迅速的振荡。在积分过程中，这种振荡正负相消，而只有在 0fz的部分， 处有平坦因而对积分的主要贡献来自于 0fz点附近。 使 0fz的点称为驻定相位点，所以这种用相位驻定邻近的积分结果来近似代表整个区间的精确结果的方法称为驻定相位法。 为证明对积分的主要贡献来自驻定相位点附近，先看变量z为实变量x的情形。函数 f x的驻点 0 x是使 0fx的

30、点，如 00nfx1,2,nN ，而 100,Nfx则称 0 x为 的N级驻点。 f x考察积分： 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 bikf xaI kg x edx如果积分区间(a ,b)内f (x)没有驻点，g (x)在(a ,b)内可微，则可把 f 作为积分变量，而上面的积分可记为 bf bikf xikfaf ag xI kg x edxe dffx由f (x)反演x可以表示为f 的函数，故 在积分区间是可微的。经过分部积分，则 /g xfx 111 f bikff af bikf bikf aikff aI kf d eikf bef aef e dfikik 3.6 驻定相位法

31、3 渐近方法 111 f bikff af bikf bikf aikff aI kf d eikf bef aef e dfikik等号右边第一项在 k 时趋于零，其量级为 ；右边第1/Ok二项形式上与原积分一样， 可微能对它再进行分部积分， f积分后的量级也是 ，但其前面已有系数 ，故上式等 1/Ok1/ik号右边第二项的量级为 21/Ok，再继续进行分部积分，可见整个 I k在k很大时量级最多为1/k的小量。 如果在积分区间内 f x有一个一级驻点 0 x，则由于 00fx而使 /g xfx在 处失去可微性，因而不能直接进行分部积分。0 x则： 后一个积分中把 f 作为积分变量，则 其中

32、： 令 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 00g xg xg xg x 00bbikf xikf xaaI kg xedxg xg xedx 0bf bikf xikfaf ag xg xedxf e df 0/fg xg xfx它在驻点 处(为 型)的极限为 ，从而 0 x0000/gxfx f也在积分区间内可微。 由此，上面后一个积分的量级也是 1/Ok现在来考虑前一个积分，将 f x按Taylor级数展开，则 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 200012fxfxfxxx略去后面的高阶项，计及g(x)在区间内是x的缓变函数，于是上述 积分整个地可写为 20001201/bikfxx xi

33、kf xaI kg xeedxOk令 0 xxk，则 2000012011/b xkifxikf xa xkI kg xeedOkk再令 0/2tfx，同时考虑到 k 时积分限 ，则得 200021/ikf xitI kg xee dtOkkfx 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 由于 24iite dte，得 040021/iikf xI kg xeeOkkfx当 k 时，第一项的量级为 1/Ok积分的贡献。所以，与不包含驻点的区间相比较，当 时， ，也就是包含驻点的区间对k 含驻点的区间对积分的贡献要重要的多。 计及 0fx可能为正或者负，通常把上述结果表示为 040002,0iikf x

34、I kg xeekfxk fx 如果区间内有多个一级驻点，可分为若干个子区间，使各个驻点都在其中，然后逐个用上式计算，再将结果加起来得到所需结果。对于复变量的情形，积分可写成： 于是 (即鞍点) 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 ikf zCI kg z edz其中 ,f zx yix y kikCI kg z eedz是给定的积分路径。由 其中C 00fz立即得出在 点 0z0 xy从前面的讨论可知对积分的主要贡献来自相位 k稳定的区域，即应来自的极值点附近。所以希望在经过 0z选出一个特定的方向，沿此方向，相位 能最迅速地变化而在 点的所有方向中0z点取极值。 0000000,if zif

35、 zix yx yixyxyix yxy 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 由最陡下降法的分析可知，如取 , x y为常数的路径必为 变化最激烈的路径。可见，在复变函数情形下的驻相法实际上是上节最陡下降法取共轭路径的结果。在此路径上，由于 00,x yxy为常数，故为纯虚数。再将 if z在 0z邻域展开为Taylor级数，略去高阶小量，则 200012fzifzifzziz 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 故 也应是纯虚数。若令 200012fzifzifzziz2200001122iifzzzfzzze这里 只能取 。 22 200012if zif zifzzz当，则在积分路径上令 0

36、izzse，由于只沿微小路径进行，可认为 0zz是直线段， 不变，因而 idze ds0zzs原积分渐近结果为。应用驻相法， 200120i k fzsikf ziI kg zeee ds即： 令 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 012k fzs，则当 k 时，相应的积分限可取 ，这样 20002ikf ziiI kg zeeedk fz 04002iikf ziI kg zeeek fz由于 000arg2argarg2222fzzzfz故式中01arg2fz 同理，若取 2 ，也得相同的算式。 3.6 驻定相位法 3 渐近方法 例： 求n阶第一类贝塞尔函数的渐近展开，n为整数。 解：已知贝塞尔函数的积分表达式 sin0011cossinReinixnJxnxdeed这里 sin ,cos ,sin ,fff 得驻相点为 2，且 1,122ff ，故当 x 时有 44sin22022nniiiiinixixixeedeeeeeexx因此，取实部并乘以 1，得第一类贝塞尔函数的渐近展开为 2cos,24nnJxxxx