曲面方程及其方程课件.pptx
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- 关 键 词:
- 曲面 方程 及其 课件
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1、一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到两定点求到两定点A(1,2,3) 和和B(2,-1,4)等距离的点的等距离的点的化简得化简得即即说明说明: : 动点轨迹为线段动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面的垂直平分面. .引例引例显然在此平面上的点的坐标都满足此方程显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, , 不在此平面上的点的坐标不满足此方程不在此平面上的点的坐标不满足此方程. .解解 设轨迹上的动点为设轨迹上的动点为轨迹轨迹方程方程. . ,BMAM 则则),(zyxM222)3()2()1( zyx222)4()1()2( zyx. 07262 zyx1. 定义定义0),(zyxFSzyxo如
2、果曲面如果曲面 S 与方程与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系有下述关系:(1) 曲面曲面 S 上的任意点的坐标都满足此方程上的任意点的坐标都满足此方程;则则 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面叫做曲面 S 的的方程方程, 曲面曲面 S 叫做方程叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的的图形图形.(2) 不在曲面不在曲面 S 上的点的坐标不满足此方程上的点的坐标不满足此方程,水桶的表面、台灯的罩子面等水桶的表面、台灯的罩子面等曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹曲面的实例:曲面的实例:例例1故所求方程为故所求方程为方程方
3、程. 特别特别, ,当当M0在原点时在原点时, ,球面方程为球面方程为解解 设轨迹上动点为设轨迹上动点为RMM0即即依题意依题意距离为距离为 R 的轨迹的轨迹xyzoM0M表示上表示上(下下)球面球面 .求动点到定点求动点到定点Rzzyyxx 202020)()()(2202020)()()(Rzzyyxx 2222Rzyx ),(0000zyxM),(zyxM222yxRz 例例2解解 配方得配方得5, )0, 2, 1(0 M此方程表示此方程表示:说明说明: : 如下形式的三元二次方程如下形式的三元二次方程 ( A 0 )都可通过配方研究它的图形都可通过配方研究它的图形. .其图形可能是其
4、图形可能是的曲面的曲面. . 半径为半径为的球面的球面. .0)(222 GFzEyDxzyxA球心为球心为 一个一个球面球面, , 或或点点 , , 或或虚轨迹虚轨迹. .5)2()1(222 zyx表示怎样表示怎样研究方程研究方程042222 yxzyx(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时已知一曲面作为点的几何轨迹时,求曲面方程求曲面方程.(2) 已知方程时已知方程时 , 研究它所表示的几何形状研究它所表示的几何形状( 必要时需作图必要时需作图 ). 2. 两个基本问题两个基本问题以上几例表明研究空间曲面有以上几例表明研究空间曲面有两个基本问题两个基本问题:以以M0 (x0 , y0 ,
5、z0 )为球心,为球心,R 为半径的为半径的球面方程为球面方程为二、几种特殊的曲面及其方程二、几种特殊的曲面及其方程0AxByCzD2. 球面球面2222000()()()xxyyzzR3. 旋转曲面旋转曲面1. 平面平面3.旋转曲面旋转曲面(1) 定义定义一条平面曲线绕其平一条平面曲线绕其平面上的一条面上的一条定直线定直线旋旋转一周所成的曲面称转一周所成的曲面称为为旋转曲面旋转曲面.这条定直线叫旋转这条定直线叫旋转曲面的曲面的轴轴,),( zyxM122yyxd 如图,如图,代入代入221,yxyzz 将将0),(1 zyf(2) 转轴为坐标轴的旋转曲面转轴为坐标轴的旋转曲面 方程的特征:方
6、程的特征:xyzo( , )00f y zx d M), 0(11zyM 轴的平面轴的平面作垂直于作垂直于过点过点zM1轴的距离轴的距离到到点点zM2, 0),(22 zyxf即为即为yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线 0),( zyf绕绕 z轴轴 旋转一周的旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程. 得旋转曲面得旋转曲面 的的方程:方程:由此可见:绕由此可见:绕 z 轴旋转,轴旋转,z 坐标不动,将坐标不动,将.22yxy 换成换成同理:同理:yoz坐标面上的已知曲线坐标面上的已知曲线0),( zyf绕绕y轴旋转一周的轴旋转一周的旋转曲面方程旋转曲面方程为为 . 0),(22 zxyf绕坐
7、标轴旋转的旋转曲面方程的绕坐标轴旋转的旋转曲面方程的特点:特点:出现某出现某两变量的平方和两变量的平方和.(3) 常见的旋转曲面常见的旋转曲面 圆柱面:圆柱面:222ayx 直直线线 :绕绕 轴轴旋旋转转而而成成.0yaCzx yz ox o 圆锥面圆锥面 直线直线 L 绕另一条与其绕另一条与其 相交的直线旋转一周,所相交的直线旋转一周,所得旋转曲面叫得旋转曲面叫圆锥面圆锥面两直线的交点叫圆锥面两直线的交点叫圆锥面的的顶点顶点, 叫圆锥面的叫圆锥面的半顶角半顶角. )2 两直线的夹角两直线的夹角 试建立顶点在坐标原点,旋转轴为试建立顶点在坐标原点,旋转轴为z 轴,半顶角轴,半顶角为为 的圆锥面
8、方程的圆锥面方程(0 yoz面上直线面上直线: 0cotxyz 绕绕z 轴旋转一周所得的圆锥面方程:轴旋转一周所得的圆锥面方程: cot22yxz .22yxbz xyzo ,则,则令令 cot b绕绕x轴旋转而成的曲面轴旋转而成的曲面: 122222 czyax122222 czayx双叶双曲面双叶双曲面单叶双曲面单叶双曲面绕绕z轴旋转而成的曲面:轴旋转而成的曲面:zy xozyxoo 旋转双曲面旋转双曲面 012222yczax双曲线双曲线122222 czyax双叶双曲面双叶双曲面122222 czayx单叶双曲面单叶双曲面.2101旋转曲面方程旋转曲面方程轴旋转而成的轴旋转而成的绕绕求
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