2022年全国统一高考甲卷理科数学试卷及答案.pdf

1、2022 年年全全国国统统一一高高考考数数学学试试卷卷（理理科科） （甲甲卷卷）一一、选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。1若13zi ，则(1zzz)A13i B13i C1333iD1333i2某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如图：则()A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后

2、问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3 设全集 2U ，1， 0， 1， 2，3， 集合 1A ，2，2 |430Bx xx， 则()(UAB )A1，3B0，3C 2，1D 2，04如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为()A8B12C16D205函数(33 )cosxxyx在区间2，2的图像大致为()ABCD6当1x 时，函数( )bf xalnxx取得最大值2，则f（2）()A1B12C12D17在长方体1111ABCDABC D中，已

3、知1B D与平面ABCD和平面11AA B B所成的角均为30，则()A2ABADBAB与平面11ABC D所成的角为30C1ACCBD1B D与平面11BBC C所成的角为458 沈括的 梦溪笔谈 是中国古代科技史上的杰作， 其中收录了计算圆弧长度的 “会圆术” 如图，AB是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是AB的中点，D在AB上，CDAB “会圆术”给出AB的弧长的近似值s的计算公式：2CDsABOA当2OA ，60AOB时，(s )A113 32B114 32C93 32D94 329甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙若2

4、SS甲乙，则(VV甲乙)A5B2 2C10D5 10410椭圆2222:1(0)xyCabab的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为()A32B22C12D1311设函数( )sin()3f xx在区间(0, )恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是()A53，13)6B53，19)6C13(6，83D13(6，19612已知3132a ，1cos4b ，14sin4c ，则()AcbaBbacCabcDacb二二、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。13设向量a，b的夹角的余弦值为13，

5、且| 1a ，| 3b ，则(2)abb14若双曲线2221(0)xymm的渐近线与圆22430 xyy相切，则m 15从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为16已知ABC中，点D在边BC上，120ADB，2AD ，2CDBD当ACAB取得最小值时，BD 三三、解解答答题题：共共 70 分分。解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。第第 1721 题题为为必必考考题题，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答。第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答。 （一一）必必考考题题：共共 60 分

6、分。17 （12 分）记nS为数列na的前n项和已知221nnSnan（1）证明：na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求nS的最小值18（12 分） 在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，/ /CDAB，1ADDCCB，2AB ，3DP （1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值19 （12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）

7、用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望20 （12 分）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点( ,0)D p，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，| 3MF （1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线AB的方程21 （12 分）已知函数( )xef xlnxxax（1）若( ) 0f x ，求a的取值范围；（2）证明：若( )f x有两个零点1x，2x，则121x x （二二）选选考考题题：共共 10 分分。请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答。如如果果

8、多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分。选选修修 4-4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程（10 分分）22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,6(txtyt为参数） ，曲线2C的参数方程为2,6(sxsys 为参数） （1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标选选修修 4-5：不不等等式式选选讲讲（10 分分）23已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则113ac2022 年年全全

9、国国统统一一高高考考数数学学试试卷卷（理理科科） （甲甲卷卷）参参考考答答案案一一、选选择择题题：本本题题共共 12 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 60 分分。在在每每小小题题给给出出的的四四个个选选项项中中，只只有有一一项项是是符符合合题题目目要要求求的的。1.C2B3D4B5A6B7D8B9C10A11C12A二二、填填空空题题：本本题题共共 4 小小题题，每每小小题题 5 分分，共共 20 分分。13111433156351631三三、解解答答题题：共共 70 分分。解解答答应应写写出出文文字字说说明明、证证明明过过程程或或演演算算步步骤骤。第第 1721 题题为为必必考考题题

10、，每每个个试试题题考考生生都都必必须须作作答答。第第 22、23 题题为为选选考考题题，考考生生根根据据要要求求作作答答。 （一一）必必考考题题：共共 60 分分。17 （12 分）记nS为数列na的前n项和已知221nnSnan（1）证明：na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求nS的最小值【分析】 （1）由已知把n换为1n 作差可得递推关系从而证明，（2）由4a，7a，9a成等比数列，求出首项，利用等差数列通项公式找出na正负分界点计算即可【解答】 （1）证明：由已知有：222nnSnnan ，把n换成1n ，2112(1)2(1)1nnSnnan ，可得：1122(1)22

11、nnnananan，整理得：11nnaa，由等差数列定义有na为等差数列；（2）由已知有2749aaa，设等差数列na的首项为x，由（1）有其公差为 1，故2(6)(3)(8)xxx，解得12x ，故112a ，所以12(1) 113nann ，故可得：123120aaaa，130a，140a，故nS在12n 或者13n 时取最小值，1213( 120) 13782SS ，故nS的最小值为7818（12 分） 在四棱锥PABCD中，PD 底面ABCD，/ /CDAB，1ADDCCB，2AB ，3DP （1）证明：BDPA；（2）求PD与平面PAB所成的角的正弦值【分析】 （1）易知PDBD，取

12、AB中点E，容易证明四边形BCDE为平行四边形，再根据长度关系可得BDAD，进而得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，再求出平面PAB的法向量，利用向量的夹角公式即可得解【解答】（1）证明：PD 底面ABCD，BD 面ABCD，PDBD，取AB中点E，连接DE，则112DEAB，则/ /CDBE，且CDBE，四边形BCDE为平行四边形，1DECB，12DEAB，ABD为直角三角形，且AB为斜边，BDAD，又PDADD，PD 面PAD，AD 面PAD，BD面PAD，又PA面PAD，BDPA；（2）由（1）知，PD，AD，BD两两互相垂直，故建立如图所示的空间直角坐标系，223BDABA

13、D，则(0,0,0), (1,0,0), (0, 3,0), (0,0, 3)DABP，(0,0,3),(1,0,3),( 1, 3,0)PDPAAB ，设平面PAB的一个法向量为( , , )nx y z，则3030n PAxzn ABxy ，则可取( 3,1,1)n ，设PD与平面PAB所成的角为，则5sin|cos,| |5|PD nPD nPD n ，PD与平面PAB所成的角的正弦值为5519 （12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.

14、5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式，可以求出甲学校获胜 2 场或者 3 场的概率，可以得到甲学校获得冠军的概率；乙学校的总得分X的值可取 0，10，20，30，分别求出X取上述值时的概率，可得分布列与数学期望【解答】 （1）甲学校在三个项目中获胜的概率分别为 0.5，0.4，0.8，可以得到两个学校每场比赛获胜的概率如下表：第一场比赛 第二场比赛 第三场比赛甲学校获胜概率0.50.40.8乙学校获胜概率0.50.60.2甲学校要获得冠军，需要在 3 场比赛中至少获胜 2

15、 场，甲学校 3 场全胜，概率为：10.50.40.80.16P ，甲学校3场获胜2场败1场， 概率为：20.50.40.20.50.60.80.50.40.80.44P ，所以甲学校获得冠军的概率为：120.6PPP；（2）乙学校的总得分X的可能取值为：0，10，20，30，其概率分别为：(0)0.50.40.80.16P X ，(10)0.50.40.20.50.60.80.50.40.80.44P X ，(20)0.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34P X ，(30)0.50.60.20.06P X ，则X的分布列为：X0102030P0.160.440.340.

16、06X的期望00.16100.44200.34300.0613EX 20 （12 分）设抛物线2:2(0)C ypx p的焦点为F，点( ,0)D p，过F的直线交C于M，N两点当直线MD垂直于x轴时，| 3MF （1）求C的方程；（2）设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B，记直线MN，AB的倾斜角分别为，当取得最大值时，求直线AB的方程【分析】 （1）由已知求得|2MDp，|2pFD ，则在Rt MFD中，利用勾股定理得2p ，则C的方程可求；（2） 设M，N，A，B的坐标， 写出tan与tan， 再由三点共线可得318yy ，428yy ；由题意可知，直线MN的斜率不为 0，设:1

17、MNlxmy，联立直线方程与抛物线方程，化为关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系可得124yym，124y y ，求得tan与tan，再由两角差的正切及基本不等式判断，从而求得AB的方程【解答】 （1） 由题意可知， 当xp时，222yp， 得2Myp， 可知|2MDp，|2pFD 则在Rt MFD中，222|FDDMFM，得22()( 2 )92pp，解得2p 则C的方程为24yx；（2）设1(M x，1)y，2(N x，2)y，3(A x，3)y，4(B x，4)y，由（1）可知(1,0)F，(2,0)D，则1212221212124tan44MNyyyykyyxxyy，又N、D、B三

18、点共线，则NDBDkk，即24240022yyxx，242224002244yyyy，得248y y ，即428yy ；同理由M、D、A三点共线，得318yy 则34123434124tan2()yyy yxxyyyy由题意可知，直线MN的斜率不为 0，设:1MNlxmy，由241yxxmy，得2440ymy，124yym，124y y ，则41tan4mm，41tan242mm ，则11tantan12tan()1111tantan122mmmm mm，当0m 时，112tan()14122 2mmmm；当0m 时，tan()无最大值，当且仅当12mm，即22m 时，等号成立，tan()取最

19、大值，此时AB的直线方程为33344()yyxxyy，即34344()0 xyyyy y，又123412128()8884 2yyyymyyy y ，34128816y yyy ，AB的方程为44 2160 xy，即240 xy21 （12 分）已知函数( )xef xlnxxax（1）若( ) 0f x ，求a的取值范围；（2）证明：若( )f x有两个零点1x，2x，则121x x 【分析】 （1）对函数求导研究其在定义域内单调性，由于函数在(0,)恒大于等于 0，故( )minf xf（1）10ea ，解出a的范围即可（2）首先将原不等式转化为证明2111xx，再利用函数( )f x在(

20、1,)单调递增，即转化为证明211()()f xfx111()()f xfx，继而构造函数1( )( )( )h xf xfx证明其在(0,1)恒小于 0 即可【解答】 （1）( )f x的定义域为(0,)，(1)1()(1)( )1xxexex xfxxxx ，令( )0fx，解得1x ，故函数( )f x在(0,1)单调递减，(1,)单调递增，故( )minf xf（1）1ea ，要使得( ) 0f x 恒成立，仅需10ea ，故1a e，故a的取值范围是(，1e；（2）证明：由已知有函数( )f x要有两个零点，故f（1）10ea ，即1ae，不妨设1201xx ，要证明121x x ，

21、即证明211xx，101x，111x，即证明：2111xx，又因为( )f x在(1,)单调递增，即证明：211()()f xfx111()()f xfx，构造函数1( )( )( )h xf xfx，01x，12221(1)()11( )( )( )xxxxexexh xfxfxxx，令121( )xxk xxexex，01x，12211( )(1)20 xxk xxexexx，( )k xk（1）0，所以( )k x在(0,1)上递增，又因为10 x ，20 x ，故( )0h x在(0,1)恒成立，故( )h x在(0,1)单调递增，又因为h（1）0，故( )h xh（1）0，故111(

22、)()f xfx，即121x x 得证（二二）选选考考题题：共共 10 分分。请请考考生生在在第第 22、23 题题中中任任选选一一题题作作答答。如如果果多多做做，则则按按所所做做的的第第一一题题计计分分。选选修修 4-4：坐坐标标系系与与参参数数方方程程（10 分分）22 （10 分）在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为2,6(txtyt为参数） ，曲线2C的参数方程为2,6(sxsys 为参数） （1）写出1C的普通方程；（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线3C的极坐标方程为2cossin0，求3C与1C交点的直角坐标，及3C与2C交点的直角坐标【分析】 （1）

23、消去参数t，可得1C的普通方程；（2）消去参数s，可得2C的普通方程，化3C的极坐标方程为直角坐标方程，然后联立直角坐标方程求解3C与1C、3C与2C交点的直角坐标【解答】 （1）由2,6(txtyt为参数） ，消去参数t，可得1C的普通方程为262(0)yxy；（2）由2,6(sxsys 为参数） ，消去参数s，可得2C的普通方程为262(0)yxy 由2cossin0，得2 cossin0，则曲线3C的直角坐标方程为20 xy联立2262yxyx，解得121xy或12xy，3C与1C交点的直角坐标为1(2，1)与(1,2)；联立2262yxyx ，解得121xy 或12xy ，3C与2C交

24、点的直角坐标为1(2，1)与( 1, 2) 选选修修 4-5：不不等等式式选选讲讲（10 分分）23已知a，b，c均为正数，且22243abc，证明：（1）23abc；（2）若2bc，则113ac【分析】 （1）由已知结合柯西不等式证明；（2）由已知结合（1）中的结论，再由权方和不等式证明【解答】证明： （1）a，b，c均为正数，且22243abc，由柯西不等式知，2222222(4)(111 ) (2 )abcabc，即23 3 (2 )abc，23abc ；当且仅当2abc，即1ab，12c 时取等号；（2）由（1）知，23abc且2bc，故043ac，则1143ac，由权方和不等式可知，2211129344acacac，当且仅当124ac，即1a ，12c 时取等号，故113ac