方差分析-spss-操作-讲解-146页文档课件.ppt

1、第六章第六章 方差分析方差分析 t检验法适用于样本平均数与总体平均数及检验法适用于样本平均数与总体平均数及两样本平均数间的差异显著性检验，两样本平均数间的差异显著性检验， 但在生产但在生产和科学研究中经常会遇到比较和科学研究中经常会遇到比较 多个处理优劣的多个处理优劣的问题，问题， 即需进行多个平均数间的差异显著性检即需进行多个平均数间的差异显著性检验。这时，若仍采用验。这时，若仍采用t检验法就不适宜了。这是检验法就不适宜了。这是因为：因为： 1、检验过程烦琐、检验过程烦琐 例如，一试验包含例如，一试验包含5个处理，采用个处理，采用t检验法要检验法要进行进行 =10次两两平均数的差异显著性检验

2、；次两两平均数的差异显著性检验；若有若有k个处理，则要作个处理，则要作 k(k-1)/2次类似的检验。次类似的检验。 25C 2、无统一的试验误差，误差估计的精确性和、无统一的试验误差，误差估计的精确性和检验的灵敏性低检验的灵敏性低 对同一试验的多个处理进行比较时，应该有对同一试验的多个处理进行比较时，应该有一个统一的试验误差的估计值。若用一个统一的试验误差的估计值。若用 t 检验法作检验法作两两比较，由于每次比较需计算一个两两比较，由于每次比较需计算一个 ，故，故使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分使得各次比较误差的估计不统一，同时没有充分利用资料所提供的信息而使误差估计的精确性降利用

3、资料所提供的信息而使误差估计的精确性降低，从而降低检验的灵敏性。低，从而降低检验的灵敏性。 21xxS 例如，试验有例如，试验有5个处理个处理 ，每个处理，每个处理 重复重复 6次次，共有，共有30个观测值。进行个观测值。进行t检验时，每次只能利检验时，每次只能利用两个处理共用两个处理共12个观测值估计试验误差个观测值估计试验误差 ，误差，误差自由度为自由度为 2(6-1)=10 ；若利用整个试验的；若利用整个试验的30个观个观测值估计试验误差测值估计试验误差 ，显然估计的精确性高，且，显然估计的精确性高，且误差自由度为误差自由度为5(6-1)=25。可见，在用。可见，在用t检法进行检法进行检

4、验时检验时 ，由，由 于估计误差的精确性低，误差自由于估计误差的精确性低，误差自由度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显度小，使检验的灵敏性降低，容易掩盖差异的显著性。著性。 3、推断的可靠性低，检验的、推断的可靠性低，检验的 I 型错误率大型错误率大 即使利用资料所提供的全部信息估计了试验即使利用资料所提供的全部信息估计了试验误差，若用误差，若用t 检验法进行多个处理平均数间的差检验法进行多个处理平均数间的差异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平异显著性检验，由于没有考虑相互比较的两个平均数的秩次问题均数的秩次问题 ，因，因 而而 会增大犯会增大犯 I型错误的概型错误的概率，降低推断

5、的可靠性。率，降低推断的可靠性。 由于上述原因，多个平均数的差异显著性检由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜用验不宜用 t 检验，须采用方差分析法。检验，须采用方差分析法。 方差分析方差分析 (analysis of variance) 是由英国统计是由英国统计学家学家R.A.Fisher于于1923年提出的。年提出的。 这种方法是将这种方法是将k个处理的观测值作为一个整个处理的观测值作为一个整体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解体看待，把观测值总变异的平方和及自由度分解为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而为相应于不同变异来源的平方和及自由度，进而获得不同变异来源总体方差估

6、计值；通过计算这获得不同变异来源总体方差估计值；通过计算这些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样些总体方差的估计值的适当比值，就能检验各样本所属总体平均数是否相等。本所属总体平均数是否相等。 “ 方差分析法是一种在若干能相互比较的资方差分析法是一种在若干能相互比较的资料组中，把产生变异的原因加以区分开来的方法料组中，把产生变异的原因加以区分开来的方法与技术与技术” ，方差分析实质上是关于观测值变异原方差分析实质上是关于观测值变异原因的数量分析。因的数量分析。 几个常用术语几个常用术语: 1、试验指标试验指标(experimental index) 为为 衡衡 量量 试试 验结果的好坏或处理

7、效应的高低验结果的好坏或处理效应的高低 ，在试验中具体测定的性状或观测的项目称为，在试验中具体测定的性状或观测的项目称为试验指标。由于试验目的不同试验指标。由于试验目的不同 ，选择的试验指，选择的试验指标也不相同。在畜禽标也不相同。在畜禽 、水产试验中常用的试验、水产试验中常用的试验指标有指标有 ：日增重：日增重 、产仔数、产仔数 、产奶量、产奶量 、产蛋率、产蛋率、瘦肉率、某些生理生化和体型指标、瘦肉率、某些生理生化和体型指标(如血糖含如血糖含量、体高、体重量、体高、体重)等。等。 2、试验因素试验因素(experimental factor) 试验中所研究的影响试验指标的因素叫试验试验中所

8、研究的影响试验指标的因素叫试验因素。如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配因素。如研究如何提高猪的日增重时，饲料的配方、猪的品种、饲养方式、环境温湿度等都对日方、猪的品种、饲养方式、环境温湿度等都对日增重有影响，均可作为试验因素来考虑。增重有影响，均可作为试验因素来考虑。 当试验中考察的因素只有一个时，称为当试验中考察的因素只有一个时，称为单因单因素试验素试验； 若同时研究两个或两个以上的因素对试验指若同时研究两个或两个以上的因素对试验指标的影响时，则称为标的影响时，则称为两因素或多因素试验两因素或多因素试验。试验。试验因素常用大写字母因素常用大写字母A、B、C、等表示。等表示。 3、因素水平因

9、素水平(level of factor) 试验因素所处的某种特定状态或数量等级称试验因素所处的某种特定状态或数量等级称为为因素水平因素水平，简称，简称水平水平。 如比较如比较3个品种奶牛产奶量的高低，这个品种奶牛产奶量的高低，这3个品个品种就是奶牛品种这个试验因素的种就是奶牛品种这个试验因素的3个水平；个水平； 研究某种饲料中研究某种饲料中4种不同能量水平对肥育猪瘦种不同能量水平对肥育猪瘦肉率的影响，这肉率的影响，这4种特定的能量水平就是饲料能种特定的能量水平就是饲料能量这一试验因素的量这一试验因素的4个水平。个水平。 因素水平用代表该因素的字母加添足标因素水平用代表该因素的字母加添足标1，2

10、， ， 来表示。如来表示。如 A1 、 A2 、 ， B1 、B2、，等。，等。 4、试验处理试验处理(treatment) 事先设计好的实施在试验单位上的具体项目事先设计好的实施在试验单位上的具体项目叫叫试验处理试验处理，简称，简称处理处理。 在单因素试验中，实施在试验单位上的具体在单因素试验中，实施在试验单位上的具体项目就是试验因素的某一水平。例如进行饲料的项目就是试验因素的某一水平。例如进行饲料的比较试验时，实施在试验单位比较试验时，实施在试验单位(某种畜禽某种畜禽)上的具上的具体项目就是喂饲某一种饲料。所以体项目就是喂饲某一种饲料。所以进行单因素试进行单因素试验时验时，试验因素的一个水

11、平就是一个处理试验因素的一个水平就是一个处理。 在多因素试验中，实施在试验单位上的具体在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项目是各因素的某一水平组合。例如进行项目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲种饲料和料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，整个品种对猪日增重影响的两因素试验，整个试验共有个试验共有33=9个水平组合，实施在试验单位个水平组合，实施在试验单位(试验猪试验猪)上的具体项目就是某品种与某种饲料的上的具体项目就是某品种与某种饲料的结合。所以，结合。所以，在多因素试验时，试验因素的一个在多因素试验时，试验因素的一个水平组合就是一个处理水平组合就是一个处理。 5、试验单位试验单位

12、(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试验在试验中能接受不同试验处理的独立的试验载体叫试验单位。载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中，在畜禽、水产试验中， 一只家禽、一只家禽、 一头家畜一头家畜、一只小白鼠、一尾鱼，即一个动物；或几只家、一只小白鼠、一尾鱼，即一个动物；或几只家禽、几头家畜、几只小白鼠、几尾鱼，即一组动禽、几头家畜、几只小白鼠、几尾鱼，即一组动物都可作为试验单位。物都可作为试验单位。 试验单位往往也是观测数据的单位。试验单位往往也是观测数据的单位。 6、重复重复(repetition) 在试验中，将一个处理实施在两个或两个以在试验中，将一个处

13、理实施在两个或两个以上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施上的试验单位上，称为处理有重复；一处理实施的试验单位数称为处理的重复数。的试验单位数称为处理的重复数。 例如，用某种饲料喂例如，用某种饲料喂4头猪，就说这个处理头猪，就说这个处理(饲料饲料)有有4次重复。次重复。 表表6-1 k个处理每个处理有个处理每个处理有n个观测值的个观测值的 数据模式数据模式 表中表中 表示第表示第i个处理的第个处理的第j个观测值个观测值 （i=1,2,k；j=1,2,n）；）； 表示第表示第i个处理个处理n个观测值的和；个观测值的和； 表示全部观测值的总和；表示全部观测值的总和； 表示第表示第i个处理的平均

14、数；个处理的平均数； 表示全部观测值的总平均数；表示全部观测值的总平均数； 可以分解为可以分解为ijxnjijixx1.kiikinjijxxx111.nxnxxinjiji/ ./.1knxknxxkinjij/./.11ijx (6-1) 表示第表示第i个处理观测值总体的平均数。个处理观测值总体的平均数。 为了看出各处理的影响大小，将为了看出各处理的影响大小，将 再进行分再进行分解，令解，令 (6-2) (6-3)则则 (6-4) 其中其中 表示全试验观测值总体的平均数；表示全试验观测值总体的平均数；ijiijxkiik11iiijiijxii ai 是是 第第 i 个个 处理的效应处理的

15、效应 （treatment effects）表示处理）表示处理i对试验结果产生的影响。显然有对试验结果产生的影响。显然有 (6-5) ij是试验误差，相互独立，且服从是试验误差，相互独立，且服从 正态分布正态分布N（0，2）。）。 （6-4）式叫做）式叫做 单因素试验单因素试验 的的 线线 性性 模模 型（型（linear model）亦称数学模型。）亦称数学模型。 在这个模型中在这个模型中Xii表示为总平均数表示为总平均数、处理效、处理效应应i、试验误差、试验误差ij之和。之和。01kii 由由ij 相相 互独立且服从正态分布互独立且服从正态分布 N（0，2），可知各处理，可知各处理Ai(i

16、=1，2，k)所属总体亦应具所属总体亦应具正态性，即服从正态分布正态性，即服从正态分布N(i,2)。尽管各总体。尽管各总体的均数的均数 可以不等或相等，可以不等或相等，2则必须是相等的。则必须是相等的。所以，单因素试验的数学模型可归纳为：所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效效 应应 的的 可可 加加 性性 （additivity）、）、分布的分布的正态性正态性（normality）、）、方差的同质性方差的同质性（homogeneity）。这也是进行其它类型方差分析）。这也是进行其它类型方差分析的前提或基本假定。的前提或基本假定。i 若若 将将 表表 （6-1） 中中 的的 观观 测测 值值

17、 xij（i=1,2,k;j=1,2,n）的数据结构（模型）用样）的数据结构（模型）用样本符号来表示，则本符号来表示，则 (6-6) 与（与（6-4）式比较可知，）式比较可知， 分分 别是别是、（、（i-）= 、 （xij- ） = 的估计值。的估计值。 ijiiijiijetxxxxxxx.)()(、iitxxx)(.ijiijexx)(.iiji.xxiiijx. iijxx 二、平方和与自由度的剖分二、平方和与自由度的剖分 在方差分析中是用样本方差即均方（在方差分析中是用样本方差即均方（mean squares）来度量资料的变异程度的。）来度量资料的变异程度的。 表表6-1中全部观测值的

18、总变异可以用总均方来中全部观测值的总变异可以用总均方来度量。度量。 将总变异分解为处理间变异和处理内变异，将总变异分解为处理间变异和处理内变异，就是要将就是要将 总总 均方均方 分解为处理间均方和处理内均分解为处理间均方和处理内均方。但这种分解是通过将总均方的分子方。但这种分解是通过将总均方的分子称为称为总离均差平方和，简称为总平方和，剖分成处理总离均差平方和，简称为总平方和，剖分成处理间平方和与处理内平方和两部分；将总均方的分间平方和与处理内平方和两部分；将总均方的分母母称为总自由度，剖分成处理间自由度与处称为总自由度，剖分成处理间自由度与处理内自由度两部分来实现的。理内自由度两部分来实现的

19、。 （一）总平方和的剖分（一）总平方和的剖分 在表在表6-1中，反映中，反映 全部观测值总变异的总全部观测值总变异的总平方和是各观测值平方和是各观测值xij与总平均数的离均差平与总平均数的离均差平方和，记为方和，记为SST。即。即kinjijTxxSS112.)(kinjiijnjiijkikiiikinjiijiijiikinjkinjiijiijxxxxxxxxnxxxxxxxxxxxxxx11211121122111122.)( .)(.).(2.).(.)(.).)(.( 2.).(.)(.).(.)( 其中其中 所以所以 （6-7） （6-7）式中，）式中， 为各处理平均数与总平为各

20、处理平均数与总平均数的离均差平方和与重复数均数的离均差平方和与重复数n的乘积的乘积 ，反映了，反映了重复重复 n 次的处理间变异次的处理间变异 ，称为处理间平方和，称为处理间平方和，记为记为SSt，即，即njiijxx1.0)(kinjkikinjiijiijxxxxnxx111112.2.2.)()()(kiixxn12.).(kiitxxnSS12.).( (6-7)式中，式中， 为为 各处各处 理内离均差平方理内离均差平方和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处和之和，反映了各处理内的变异即误差，称为处理内平方和或误差平方和，记为理内平方和或误差平方和，记为SSe，即，即于是有于是有

21、SST =SSt+SSe （6-8） 这个关系式中三种平方和的简便计算公式如这个关系式中三种平方和的简便计算公式如下：下：kinjiijxx112.)(kinjiijexxSS112.)( (6-9) 其中，其中，C= /kn称为矫正数。称为矫正数。（二）总自由度的剖分（二）总自由度的剖分 在计算总平方和时，资料中的各个观测值要在计算总平方和时，资料中的各个观测值要受受 这一条件的约束，故总自由度等于资这一条件的约束，故总自由度等于资料中观测值的总个数减料中观测值的总个数减1，即，即kn-1。总自由度记。总自由度记为为dfT，即，即dfT=kn-1。 CxnSSCxSSikitijnjkiT2

22、.12111tTeSSSSSSkinjijxx110.)(2 x 在计算处理间平方和时，各处理均数在计算处理间平方和时，各处理均数 要受要受 这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减这一条件的约束，故处理间自由度为处理数减1，即，即k-1。处理间自由度记为。处理间自由度记为dft，即，即dft=k-1。 在计算处理内平方和时，要受在计算处理内平方和时，要受k个条件的约束个条件的约束，即，即 （i=1,2,k。故处理内自由度为资。故处理内自由度为资料中观测值的总个数减料中观测值的总个数减k，即，即kn-k 。处理内自由。处理内自由度记为度记为dfe，即，即dfe=kn-k=k(n-1)。 . i

23、xkiixx1.0)(njiijxx1.0)( 因为因为 所以所以 (6-10) 综合以上各式得：综合以上各式得： (6-11) 1() 1()() 1(1nkkknkknketTdfdfdftTetTdfdfdfkdfkndf11 各部分平方和除以各自的自由度便得到总均各部分平方和除以各自的自由度便得到总均方、处理间均方和处理内均方，方、处理间均方和处理内均方， 分别记为分别记为 MST（或（或 ）、）、MSt（或（或 ）和）和MSe（或（或 ）。）。 即即 （6-12） 总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。总均方一般不等于处理间均方加处理内均方。2TS2tS2eSTTTTdfSSSMS

24、/2ttttdfSSSMS/2eeeedfSSSMS/2 【例【例6.1】 某水产研究所为了比较四种不同配某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。 表表6-2 饲喂不同饲料的鱼的增重饲喂不同饲料的鱼的增重 （单位：（单位：10g） 这是一个单因素试验，处理数这是一个单因素试验，处理数k=4，重复数，重复数n=5。各项平方和及自由度计算如下：。各项平方和及自由度计算

25、如下： 矫正数矫正数 总平方和总平方和 03.15169)54/(8 .550/22.nkxCCCxSSijT22225 .289 .279 .3167.19903.151697 .1536827.11403.151693.15283)8.1397 .1234 .1319.155(51.122222CCxnSSit40.8527.11467.199tTeSSSSSS 总自由度总自由度 处理间自由度处理间自由度 处理内自由度处理内自由度 用用SSt、SSe分别除以分别除以dft和和dfe便得到处理间均便得到处理间均方方MSt及处理内均方及处理内均方MSe。 因为方差分析中不涉及总均方的数值，所以

26、因为方差分析中不涉及总均方的数值，所以不必计算之。不必计算之。191451 nkdfT3141 kdft16319tTedfdfdf34.516/40.85/09.383/27.114/eeetttdfSSMSdfSSMS三、期望均方三、期望均方 如前所述，方差分析的一个基本假定是要求如前所述，方差分析的一个基本假定是要求各各 处处 理理 观观 测测 值值 总总 体体 的的 方方 差差 相相 等等 ， 即即 （i=1,2,k）表示第）表示第i个处理观个处理观测值总体的方差。如果所分析的资料满足这个方测值总体的方差。如果所分析的资料满足这个方差同质性的要求，那么各处理的样本方差差同质性的要求，那

27、么各处理的样本方差S21 ， S22 ， ，S2k 都都 是是 2 的的 无无 偏偏 估估 计（计（unbiased estimate）量。）量。 S2i(i=1,2,k) 是由试验资料中第是由试验资料中第i个处理的个处理的n个观测值算得的方差。个观测值算得的方差。 2222221,ik 显然，各显然，各S2i的合并方差的合并方差 （以各处理内的自（以各处理内的自由度由度n-1为权的加权平均数）也是为权的加权平均数）也是2的无偏估计的无偏估计量，且估计的精确度更高。很容易推证处理内均量，且估计的精确度更高。很容易推证处理内均方方MSe就是各就是各 的合并。的合并。2eS2iS222122222

28、1121212.) 1() 1()(估计ekkkkkiiijeeeSdfdfdfSdfSdfSdfdfdfdfSSSSSSnkSSnkxxdfSSMS 其中其中SSi、dfi（i=1，2，k）分别表示由）分别表示由试验资料中第试验资料中第i个个 处理的处理的n个观测值算得的平方个观测值算得的平方和与自由度。这就是说，处理内均方和与自由度。这就是说，处理内均方MSe是误差是误差方差方差2的无偏估计量。的无偏估计量。 试验中各处理所属总体的本质差异体现在处试验中各处理所属总体的本质差异体现在处理效应理效应 的差异上。我们把的差异上。我们把 称为称为效效应方差应方差，它也反映了各处理观测值总体平均数

29、，它也反映了各处理观测值总体平均数 的变异程度，记为的变异程度，记为 。 i) 1/()() 1/(22kkaiii2 (6-13) 因为各因为各i未知，所以无法求得未知，所以无法求得 的的 确切值，只能通确切值，只能通过试验结果中各处理均数的差异去估计。然而，过试验结果中各处理均数的差异去估计。然而， 并非并非 的无偏估计量。这是因为处理观测值的无偏估计量。这是因为处理观测值的均数间的差异实际上包含了两方面的内容：的均数间的差异实际上包含了两方面的内容： 一一 是各是各处理本质上的差异即处理本质上的差异即i（或（或i）间的差异，二）间的差异，二 是本身的是本身的抽样误差。统计学上已经证明抽样

30、误差。统计学上已经证明 ， 是是 +2/n的的无偏估计量。因而，我们前面所计算的处理间均方无偏估计量。因而，我们前面所计算的处理间均方MSt实际上是实际上是n +2的无偏估计量。的无偏估计量。 122kia2) 1/()(2.kxxi2) 1/()(2.kxxi22 因为因为MSe是是2的无偏估计量，的无偏估计量，MSt是是n +2的的无偏估计量，所以无偏估计量，所以2为为MSe的数学期望（的数学期望（mathematical expectation），），n +2为为MSt的数学的数学期望。又因为它们是均方的期望值（期望。又因为它们是均方的期望值（expected value），）， 故故

31、又又 称称 期期 望望 均均 方方 ， 简简 记记 为为 EMS （expected mean squares）。）。 当处理效应的方差当处理效应的方差 =0，亦即各处理观测值，亦即各处理观测值总体平均数总体平均数 （i=1，2，,k）相等时，）相等时， 处理间处理间均方均方MSt与处理内均方一样，也是误差方差与处理内均方一样，也是误差方差2的的估计值，方差分析就是通过估计值，方差分析就是通过 MSt 与与MSe的比较来的比较来推断推断 是否为零即是否为零即 是否相等的。是否相等的。 222i2i 四、四、F分布与分布与F检验检验 （一）（一）F分布分布 设想我们作这样的抽样试验，即在一正态总

32、体设想我们作这样的抽样试验，即在一正态总体N（，2）中随机抽取样本含量为）中随机抽取样本含量为n的样本的样本k个个，将，将 各各 样本观测值整理成样本观测值整理成 表表6-1 的形式。此时的形式。此时所谓的各处理没有真实差异，各处理只是随机所谓的各处理没有真实差异，各处理只是随机分的组。因此，由（分的组。因此，由（6-12）式算出的）式算出的 和和 都是误差方差都是误差方差 的估计量。以的估计量。以 为分母，为分母， 为分子，求其比值。统计学上把两个均方之比为分子，求其比值。统计学上把两个均方之比值称为值称为F值。即值。即 2tS2eS22eS2tS （6-14）F具有两个自由度：具有两个自由

33、度： 若在给定的若在给定的k和和n的条件下，的条件下， 继续从该总体进继续从该总体进行一系列抽样，则可获得一系列的行一系列抽样，则可获得一系列的F值。这些值。这些F值值 所所 具具 有有 的的 概概 率率 分分 布布 称称 为为 F 分分 布布 （ F distribution）。）。F 分分 布密度曲线是随自由度布密度曲线是随自由度df1、df2的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随的变化而变化的一簇偏态曲线，其形态随着着df1、df2的增大逐渐趋于对称，如的增大逐渐趋于对称，如图图6-1所示。所示。22/etSSF 。) 1(, 121nkdfdfkdfdfet F分布的取值范围是（分布的取

34、值范围是（0，+），其平均值），其平均值 =1。 用用 表示表示F分布的概率密度函数，则其分布分布的概率密度函数，则其分布函数函数 为：为： (6-15) 因而因而F分布右尾从分布右尾从 到到+的概率为：的概率为： (6-16) F)(Ff)(FFFdFFfFFPFF)()()(FFdFFfFFFFP)()(1)( 附附 表表 4 列列 出出 的的 是是 不不 同同 df1 和和 df2 下下 ，P（F ）=0.05和和P（F ）=0.01时的时的F值，即右值，即右尾概率尾概率=0.05和和=0.01时的临界时的临界F值，一般记作值，一般记作 ， 。 FF),(05. 021dfdfF),(0

35、1. 021dfdfF (二二)F检验检验 附表附表4是专门为检验是专门为检验 代表的总体方差是否比代表的总体方差是否比 代表的总体方差大而设计的。代表的总体方差大而设计的。 若实际计算的若实际计算的F值大于值大于 ，则，则 F 值在值在=0.05的水平上显著，我们以的水平上显著，我们以95% 的的 可靠性可靠性(即即冒冒5%的风险的风险)推断推断 代代 表表 的总体方差大于的总体方差大于 代代表的总体方差。这种用表的总体方差。这种用F值出现概率的大小推断值出现概率的大小推断两个总体方差是否相等的方法称为两个总体方差是否相等的方法称为 F检验检验(F-test)。 2tS2eS),(05. 0

36、21dfdfF2tS2eS 在方差分析中所进行的在方差分析中所进行的F 检验目的在于推断检验目的在于推断处理间的差异是否存在，检验某项变异因素的效处理间的差异是否存在，检验某项变异因素的效应方差是否为零。因此，在计算应方差是否为零。因此，在计算F 值时总是以被值时总是以被检验因素的均方作分子，以误差均方作分母。应检验因素的均方作分子，以误差均方作分母。应当注意，分母项的正确选择是由方差分析的模型当注意，分母项的正确选择是由方差分析的模型和各项变异原因的期望均方决定的。和各项变异原因的期望均方决定的。 在单因素试验结果的方差分析中，无效假设为在单因素试验结果的方差分析中，无效假设为H0：1=2=

37、k，备择假设为，备择假设为 HA：各：各i不全相等，或不全相等，或H0 ： =0,HA: 0； F=MSt/MSe，也就是要判断处理间均方是否显，也就是要判断处理间均方是否显著大于处理内著大于处理内(误差误差)均方。均方。 如果结论是肯定的，我们将否定如果结论是肯定的，我们将否定H0；反之，；反之，不否定不否定H0。 22 反过来理解：如果反过来理解：如果H0是正确的，那么是正确的，那么MSt与与MSe都是总体误差都是总体误差2的估计值，理论上讲的估计值，理论上讲F值等值等于于1；如果；如果H0是不正确的，那么是不正确的，那么 MSt之期望均方之期望均方中的就不等于零，理论上讲中的就不等于零，

38、理论上讲 F 值就必大于值就必大于1。但。但是由于抽样的原因，即使是由于抽样的原因，即使H0正确，正确，F值也会出现值也会出现大于大于1的情况。所以，只有的情况。所以，只有F值大于值大于1达到一定程达到一定程度时，才有理由否定度时，才有理由否定H0。 实际进行实际进行F检验时检验时 ，是将由试验资料所算得，是将由试验资料所算得的的F值与根据值与根据df1=dft (大均方大均方 ，即分子均方的自，即分子均方的自由度由度)、df2=dfe(小均方，即分母均方的自由度小均方，即分母均方的自由度)查查附表附表4所得的临界所得的临界F值值 ， 相比较作相比较作出统计推断的。出统计推断的。 若若F ，即

39、，即P0.05， 不不 能能 否定否定H0，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异不显著，在异不显著，在F值的右上方标记值的右上方标记“ns”，或，或 不标记不标记符号；符号； ),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF),(05. 021dfdfF 若若 F ， 即即0.01P0.05，否定，否定H0，接受，接受HA， 统计学上，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异显著，在把这一检验结果表述为：各处理间差异显著，在F值的右上方标记值的右上方标记“*”； 若若F ，即，即P0.01，否定，否定H0，接受，接受HA，统计学

40、上，把这一检验结果表述为：各处理间，统计学上，把这一检验结果表述为：各处理间差异极显著，在差异极显著，在 F 值值 的的 右上方标记右上方标记“*”。),(05. 021dfdfF),(01. 021dfdfF),(01. 021dfdfF 对于【例对于【例6.1】：】： 因为因为 F=MSt/MSe=38.09/5.34=7.13*； 根据根据 df1 = dft = 3 ， df2 = dfe = 16 查附表查附表4，得得F0.01(3，16)； 因为因为 FF0.01(3，16) =5.29, P0.01 表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异极显著，用不表明四种不同饲料对鱼的增重效果差异

41、极显著，用不同的饲料饲喂，增重是不同的。同的饲料饲喂，增重是不同的。 表表6-3 表表6-2资料方差分析表资料方差分析表 在实际进行方差分析时，只须计算出各项平在实际进行方差分析时，只须计算出各项平方和与自由度，各项均方的计算及方和与自由度，各项均方的计算及F检验可在方检验可在方差分析表上进行。差分析表上进行。 五、多重比较五、多重比较 F值显著或极显著，否定了无效假设值显著或极显著，否定了无效假设HO ，表，表明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验明试验的总变异主要来源于处理间的变异，试验中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并中各处理平均数间存在显著或极显著差异，但并不意味着每两个处

42、理平均数间的差异都显著或极不意味着每两个处理平均数间的差异都显著或极显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著显著，也不能具体说明哪些处理平均数间有显著或极显著差异，哪些差异不显著。或极显著差异，哪些差异不显著。 因而，有必要进行两两处理平均数间的比较因而，有必要进行两两处理平均数间的比较，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。，以具体判断两两处理平均数间的差异显著性。 统计上把多个平均数两两间的相互比较称为统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较多重比较(multiple comparisons)。 多重比较的方法甚多，常用的有多重比较的方法甚多，常用的有最小显著差最小显著差数法数法

43、(LSD法法)和和 最小显著极差法最小显著极差法(LSR法法)，现分现分别介绍如下。别介绍如下。 （一）最小显著差数法（一）最小显著差数法 (LSD法，法，least significant difference) 此法的基本作法是：此法的基本作法是： 在在F检验显著的检验显著的 前提下前提下，先，先 计计 算算 出出 显显 著著 水水 平为平为的最小显著差数的最小显著差数 ，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值，然后将任意两个处理平均数的差数的绝对值 与其比较。与其比较。 LSD.jixx 若若 LSD时，则时，则 与与 在在水平上差异水平上差异显著；反之，则在显著；反之，则在水平上差异不

44、显著。最小显水平上差异不显著。最小显著差数由著差数由(6-17)式计算。式计算。 (6-17) 式中：式中： 为在为在F检验中误差自由度下，显著检验中误差自由度下，显著水平为水平为的临界的临界t值，值， 为为 均均 数差异标准误，由数差异标准误，由(6-18)式算得。式算得。 (6-18) .jixx . ix. jx.)(jiexxdfaaStLSD)(edft.jixxSnMSSexxji/2. 其中其中 为为F检验中的误差均方，检验中的误差均方，n为各处理为各处理的重复数。的重复数。 当显著水平当显著水平=0.05和和0.01时，从时，从t值表中查出值表中查出 和和 ，代入，代入(6-1

45、7)式得：式得： (6-19) 利用利用LSD法进行多重比较时，可按如下步骤法进行多重比较时，可按如下步骤进行：进行： (1) 列出平均数的多重比较表列出平均数的多重比较表 比较表中各处比较表中各处理按其平均数从大到小自上而下排列；理按其平均数从大到小自上而下排列； eMS)(05. 0edft)(01. 0edft.)(01. 001. 0)(05. 005. 0jiejiexxdfxxdfStLSDStLSD (2)计算最小显著差数计算最小显著差数 和和 ； (3)将平均数多重比较表中两两平均数的差数将平均数多重比较表中两两平均数的差数与与 、 比较，作出统计推断。比较，作出统计推断。 对

46、于【例对于【例6.1】，】， 各各 处处 理理 的多重比较如的多重比较如 表表6-4所示。所示。05. 0LSD01. 0LSD05. 0LSD01. 0LSD 表表6-4 四种饲料平均增重的多重比较表四种饲料平均增重的多重比较表 (LSD法法) 注：表中注：表中A4与与 A3的差数的差数3.22用用q检验法与新复检验法与新复极差法时，在极差法时，在=0.05的水平上不显著。的水平上不显著。 因为因为 查查t值表得：值表得： t0.05(dfe) =t0.05(16) =2.120 t0.01(dfe) =t0.01(16) =2.921 所以，显著水平为所以，显著水平为0.05与与0.01的

47、最小显著差数为的最小显著差数为462. 15/34. 52/2.nMSSexxji271. 4462. 1921. 2099. 3462. 1120. 2.)(01. 001. 0)(05. 005. 0jiejiexxdfxxdfStLSDStLSD05. 0LSD01. 0LSD05. 0LSD05. 0LSD01. 0LSD01. 0LSD 检验结果除差数检验结果除差数 1.68、1.54不显著不显著、3.22 显著外，显著外， 其余两个差数其余两个差数6.44、4.90极显著。表明极显著。表明 A1饲料对鱼的增重饲料对鱼的增重效果极显著高于效果极显著高于A2 和和 A3，显著高于，显著

48、高于A4；A4饲料对鱼的增重效果极显著高于饲料对鱼的增重效果极显著高于A3饲料；饲料；A4 与与A2、A2 与与A3的增重效果的增重效果差异不显著，以差异不显著，以A1饲料对鱼的增重效饲料对鱼的增重效果最佳。果最佳。 关于关于LSD 法的应用有以下几点说明：法的应用有以下几点说明： 1、 LSD 法实质上就是法实质上就是t检验法。它是将检验法。它是将 t 检验中检验中由所求得的由所求得的t之绝对值之绝对值 与临界与临界ta值的比较值的比较转为将各对均数差值的绝对值转为将各对均数差值的绝对值 与最小显著差数与最小显著差数 的的 比较而作出统计推断的比较而作出统计推断的 。 但是，由于但是，由于L

49、SD法是利法是利用用F检验中的误差自由度检验中的误差自由度 df e 查查 临界临界t值，利用误差均值，利用误差均 方方 计计 算算 均均 数数 差差 异异 标标 准误准误 ， 因而法又不因而法又不同于每次利用两组数据进行多个同于每次利用两组数据进行多个 平平 均均 数数 两两 两两 比较比较的检验法的检验法 。 它它 解解 决了本章开头指出的决了本章开头指出的 检检 验验 法法 检验检验过过 程程 烦烦 琐琐 ，无统，无统 一一 的的)/)(.jixxjiSxxt.jixx .jixxaSteMS.jixxS试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏性低这两试验误差且估计误差的精确性和检验的灵敏

50、性低这两个问题。但个问题。但 法并未解决推断的可靠性降低、犯法并未解决推断的可靠性降低、犯I型错误的概率变大的问题。型错误的概率变大的问题。 2、有人提出，与检验任何两个均数间的差异相、有人提出，与检验任何两个均数间的差异相 比比较，较，LSD法适用于各处理组与对照组比较而处理组间法适用于各处理组与对照组比较而处理组间不进行比较的比较形式。实际上关于这种形式的比较不进行比较的比较形式。实际上关于这种形式的比较更适用的方法有顿纳特更适用的方法有顿纳特(Dunnett)法法 (关于此法，读者关于此法，读者可参阅其它有关统计书籍可参阅其它有关统计书籍)。LSD 3、因为、因为LSD法实质上是法实质上