第二章-自动控制原理(傅里叶变换到拉普拉斯变换)课件.ppt
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- 第二 自动控制 原理 傅里叶变换 拉普拉斯 变换 课件
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1、.第二章第二章 控制系统的数学模型控制系统的数学模型主要内容:主要内容: 1)控制系统的时域数学模型的建立; 2)复习傅里叶变换拉普拉斯变换; 3)控制系统的传递函数,典型元部件的传递函数; 4)控制系统的结构图及等效变换; 5)信号流图(梅逊公式)及控制系统的传递函数。基本要求:基本要求: 1)掌握系统微分方程建立的方法; 2)熟练掌握传递函数的概念、定义、性质及局限性; 3)熟悉常用元部件(典型环节)的传递函数及常用的传递函数形式; 4)学会由系统微分方程建立系统结构图,熟练掌握用拉氏变换方法求解线性常微分方程的方法; 5)熟练掌握利用结构图等效变换和梅逊公式求系统传递函数的方法。 .本章
2、概述本章概述 2.1拉氏变换和反变换拉氏变换和反变换 2.3 控制系统的复数域数学模型控制系统的复数域数学模型 2.5 系统方框图系统方框图 2.4 典型环节的传递函数典型环节的传递函数 2.6系统信号流图系统信号流图 2.7闭环系统传递函数的求取闭环系统传递函数的求取 2.2 控制系统的时域数学模型控制系统的时域数学模型 .u数学模型:数学模型:描述系统内部物理量(变量)之间关系的数学表达式。u建模的基本方法建模的基本方法: : (1) 机理建模法(解析法);(2) 实验辩识法。u工程控制中常用的数学模型形式:工程控制中常用的数学模型形式:时域描述时域描述微分方程、差分方程、状态方程复域描述
3、复域描述传递函数、方块图(结构图)、信号流程图频域描述频域描述频率特性 模型各有特点,使用时可灵活掌握。若分析研究系统的动态特性,取其数学模型比较方便;若分析研究系统的内部结构情况,取其物理模型比较直观;若两者皆有,则取其图模型比较合理。u数学基础:数学基础:傅里叶变换与拉普拉斯变换.数学模型的形式数学模型的形式时间域:时间域: 微分方程差分方程状态方程复数域:复数域: 传递函数结构图频率域:频率域: 频率特性.“三域三域”模型及其相互关系模型及其相互关系微分方程(时域)系统系统传递函数(复域)频率特性(频域)LFts1F1Lsjsj.建立数学模型的基础建立数学模型的基础差分方程差分方程 (离
4、散系统)(离散系统)( ),dyy tdt(), ()y kTy kTT.2.1 2.1 傅里叶变换与拉普拉斯变换傅里叶变换与拉普拉斯变换2.1.1 2.1.1 傅里叶级数傅里叶级数01 ( ),Dirichlet2 2 1 ( ) 2( ) 3( )( )Fourier ( )cossin2TTTTTTnnnT TftTftftftfttaftan tbn tT/2-T/2为周期函数,在上满足狄氏()条件:)连续或仅有有限个第一类间断点;)仅有有限个极值点;)积分dt存在; 则 可展开为级数,且在连续点 处成立:.22222,2( )cos0,1,2,2( )sin1,2,TnTTTnTTT
5、aftn tdt nTbftn tdt nT其中01(0)(0)cossin22TTnnntaftftan tbn t在间断点 处成立:ieetneetntintintintin2sin,2cos.0101 ( )222 222in tin tin tin tTnnnin tin tnnnnnaeeeeftabiaaibaibee级数化为:20002222222221,( )22211( ) cossin( )11( ) cossin( )1,2,()TnnnnnnTTTTin tnTTTTTTin tnTTnTTnnaaibaibccdcft dtTcftn tin t dtf tedtTT
6、dftn tin t dtf tedtcTTncc令则.221( )0, 1, 2,Tin tnTTcft edt nT 合并为:221 ( )( )Tin tinin tTnTTnnftc efedeT 级数化为(指数形式):ncF n Tnftc的离散频谱; argTnftc的离散振幅频谱; .Tftn的离散相位频谱; TnTftcft若以描述某种信号,则 可以刻画的频率特征。.22( ),Dirichlet,2 2( )Fourier ( ),1 2, ( )nnTTitin tTnnnnTitnnTTT TftTftftc ec ennTcft edtT设为周期函数,在上满足条件则可展
7、开为级数:22jj1( )( )d.TnnTtTTnftfeeT 即lim( )( )TTftf t由2.1.22.1.2 傅里叶傅里叶积分与积分与傅里叶变换傅里叶变换.22jj1( )lim( )d,TnnTtTTnnf tfeeTn 可知当 取一切整数时所对应的点便均匀分布在整个数轴上:T2O 1 2 3 n-1nT2)(,02)(21连续变量为此时视,无关与令nnnTTnT.2222jjjj01( )lim( )d1lim( )d2TnnTTnnTntTTntTnnf tfeeTfee 22jj0()( )d1( )lim()2TnTnnTnTtTnnnFfef tFe 令22()( )
8、( )( )nTiiTnTTFfedfedFT 1( )( )2i tf tFe d由定积分定义(注:积分限对称).1( )( )2ii tf tfeded即 f t 付氏积分公式.Fourier变换的定义,已知: dedeftftii)(21)( ( )( ) ()( )Fourier ( )i tFf t edtf tf t实自变量的复值函数称为的变换,记为。F11 ( )( )2( )Fourier ( ).i tf tFe dFF称为的逆变换,记为F( )( ) Fourier( )( )f tFf tF 称为一组变换对。称为原像函数,称为像函数。. 在频谱分析中, 傅氏变换F()又称
9、为f(t)的频谱函数,而它的模|F()|称为f (t)的振幅频谱(亦简称为频谱)。由于是连续变化的, 我们称之为连续频谱, 对一个时间函数f (t)作傅氏变换, 就是求这个时间函数f (t)的频谱。 F f tF的频谱密度函数; argf tF的振幅频谱; f t 的相位频谱。( )DirichlFourieet|( )|rdf tf tt 若在任何有限区间上满足条件变换的,且在,绝对可积即条件:存在。.例 矩形脉冲函数为1| | 1( )0| | 1tf tt11otf (t)11111()( ) 12sin i ti ti tiiFf t edteedtieei 解: .2.1.32.1.
10、3 拉普拉斯变换拉普拉斯变换拉氏变换的优点:拉氏变换的优点:1)求解简化;2)把微分、积分方程转化为代数方程;3)将复杂函数转化为简单的初等函数;4)将卷积转化为乘法运算。.从傅里叶变换到拉普拉斯变换从傅里叶变换到拉普拉斯变换000 0( )1(t)1 01 ( ) ( )( )(sin)( )j tj ttf ttFf tf t edtedttcon tf t dt,例:求单位阶跃函数的傅里叶变换。,显然无法计算出来,因 不存在。F()01(t)1(t)1(t)1(t)e 1(t)=0 1( )1( )1( )ttttttj tjteet 0(0)et 0Fetet edtedtj 因此引入
11、函数代替,因当0时,。则, 其他傅里叶变换为: F.()( )jtFjf t edt1( )()2jtf tFjed一般函数有:引入衰减因子 得te()1()( )( )tjtjtFjf t eed tf t ed tjs令( )( )( )( )s tFsL f tf t ed tf t的双边拉普拉斯变换.拉普拉斯变换的定义拉普拉斯变换的定义 设函数 满足: 时 , 时 分段连续,且 则拉普拉斯变换的定义为: ( )f t0t0)(tf0t)(tfdtetfst|)(|00( ) ( )( ) stF sL f tf t edt t0)(tf)(sF 是原函数(时间函数) 是象函数,s是复变
12、数 sj拉普拉斯反变换:11( ) ( )( )2jstjf tLF sF s e dsj .2.1.4 2.1.4 典型函数(常用信号)的拉普拉斯变换典型函数(常用信号)的拉普拉斯变换 asdtedteeeLtfLsFtasstatat1)()(0)(0atetf)(1 1)指数函数)指数函数aseat1 构成一变换对 tttttf0001lim)()(011lim)(lim)()(0000dtedtettLsFstst2 2)单位脉冲函数)单位脉冲函数 1)(t 构成一变换对 . 0001)( 1)(ttttfsdtetLtfLsFst1)( 1)()(03 3)单位阶跃函数)单位阶跃函数
13、st1)(1 构成一变换对 000)(ttttf201)()(sdte ttfLsFst4 4)单位速度函数)单位速度函数21st 构成一变换对 .00021)(2ttttf302121)()(sdtettfLsFst23112ts5 5)单位加速度函数)单位加速度函数 构成一变换对 000sin)(ttttf22F( s )L f (t )s 22sints 6 6)正弦函数)正弦函数 构成一变换对 .000)(ttttfn10!)()(nstnsndtettfLsF1!nnsnt7 7)t t的幂函数的幂函数 构成一变换对 .2.1.5 2.1.5 拉普拉斯变换定理(性质)拉普拉斯变换定理
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