数学建模案例分析第三章-线性代数模型课件.ppt
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- 数学 建模 案例 分析 第三 线性代数 模型 课件
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1、2022-6-8数学建模线性代数模型线性代数模型 Durer 魔方 植物基因的分布 常染色体的隐性疾病 森林管理问题森林管理问题 马氏链简介2022-6-8数学建模有些复杂问题,往往给人以变幻莫测的感觉,难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间,利用线性代数的基本知识建立模型,就可以掌握事物的内在规律,预测其发展趋势。线性代数模型2022-6-8数学建模Durer 魔方 德国著名的艺术家 Albrecht Durer (1471-1521)于1514年曾铸造了一枚名为“Melen cotia I”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币
2、右上角的数字问题。2022-6-8数学建模1 Durer 魔方16 3213510 11896712415 14 1特点每行之和、每列之和、对角线之和、四个小方块之和、中心方块之和都相等,为确定的数34。所出现的数是1至16的自然数。四角之和、中间对边之和均为34。最下边一行中心数为1514,正是制币的时间。问题 是否还存在具有这些(或部分)性质的魔方?2022-6-8数学建模06118910 6015 091199607118910 7016 09119971080100 150140 110 50407020160 90120 130 3060定义如果44数字方,它的每一行、每一列、每一对
3、角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数,则称这个数字方为 Durer 魔方魔方。R=C=D=S2022-6-8数学建模你想构造你想构造DurerDurer魔方吗?魔方吗?如何构成所有的如何构成所有的DurerDurer魔方?魔方?DurerDurer魔方有多少?魔方有多少?2 Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为 D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=42022-6-8数学建模a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b
4、22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=类似于矩阵的加法和数乘,定义魔方的加法和数乘。易验证,D 加法和数乘封闭,且构成一线性空间。记 M =所有的44数字方 ,则其维数为16。而D是M的子集,则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质,如果能得到D的一组基,则任一个Durer方均可由这组基线性表示。2022-6-8数学建模由 0,1 数字组合,构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8 个,记为Qi, i=1,2,8。Q1=1000001000010100Q2=1000000101000010Q3=Q4=000110000010010000010100100000
5、102022-6-8数学建模Q5=0010100001000001Q6=0100001010000001Q7=0010010000011000Q8=01000001001010002022-6-8数学建模易知076328541QQQQQQQQ则821QQQ,线性相关。而由077665544332211QrQrQrQrQrQrQr000000000000000021rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =07654321rrrrrrr721QQQ,线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。2022-6
6、-8数学建模结论: 1 Durer方有无穷多个。2 Durer方可由721QQQ,线性组合得到。Albrecht Durer的数字方的构成:77665544332211QrQrQrQrQrQrQrD21rr 6r75rr 43rr 53rr 74rr 2r64rr 52rr 3r71rr 61rr 7r31rr 42rr 65rr =16 3213510 11896712415 14 143367887654321rrrrrrr,2022-6-8数学建模7655432214336788QQQQQQQD3 Durer方的应用推广(1)要求数字方的所有数字都相等。RrrEG,基为 E1维空间(2)
7、要求行和、列和、每条主对角线及付对 角线数字和都相等。B基为5维空间10101010010101011P2022-6-8数学建模01101001011010011001011010010110010110101010010111000011110000112P3P4P5P2022-6-8数学建模例17 211 1616 11 22 -312 7621126 712PR=C=H=N=46H 主对角线,N付对角线数字和。(3)要求行和、列和及两条对角线数字和相等。8维空间Q。基为0721NQQQ,D是Q的7维子空间。01-10000000000-1100N2022-6-8数学建模例679812 6
8、57510 967779PR=C=D=30(4)要求行和、列和数字相等。10维空间W。基为321721NNNQQQ,010-110-1 0-1 0010-1 100000100-1-1 00100001N2N01001000000100103N2022-6-8数学建模(5)对数字没有任何要求的数字方16维空间M空间维数 MWQDBG00 1 5 7 8 10 16思考思考能否构造出其他维数的数字方?能否构造出其他维数的数字方?2022-6-8数学建模练习练习完成下面的Durer方61494887116798597R=C=D=S=30R=C=D=S=1002022-6-8数学建模作业作业构造你自
9、己认为有意义的Durer方。679812 558611 94677102022-6-8数学建模植物基因的分布植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa 和 aa 。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后,这种植物的任意一代的三种基因型分布如何?2022-6-8数学建模1 建模准备建模准备植物遗传规律?动植物都会将本身的特征遗传给后代,这主要是因为后代继承了双亲的基因基因,形成了自己的基因对,基因对,基因对就确定了后代所表现的特征。常染色体遗传的规律:后代是从每个亲体的基因对中各继承一个基因,形成自己的基因对,即基因型基因型。2
10、022-6-8数学建模如果考虑的遗传特征是由两个基因 A、a控制的,那末就有三种基因对,记为AA、Aa 和 aa 。金鱼草花的颜色金鱼草花的颜色是由两个遗传因 子决定的,基因型为AA的金鱼草开红花,Aa 型的开粉红花,而 aa型的开白花。人类眼睛的颜色人类眼睛的颜色也是通过常染色体来控制的。基因型为AA ,或Aa 型的人眼睛颜色为棕色,而 aa型的人眼睛颜色为蓝色。这里AA ,Aa表示同一外部特征,我们认为基因A支配基因a,即基因a对A来说是隐性的。如2022-6-8数学建模父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa Aa-Aa Aa-aa aa-aa后后代代基基
11、因因对对AA11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵双亲体结合形成后代的基因型概率矩阵2022-6-8数学建模2 假设假设nnncba,分别表示第n代植物中基因型为AA,Aa,aa的植物占植物总数的百分率。1nnncba第n代植物的基因型分布为,)(nnnncbax,)(0000cbax表示植物基因型初始分布。假设12022-6-8数学建模假设2植物中第n-1代基因型分布与第n代分布的关系由上表确定。父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA AA-Aa AA-aa后后代代基基因因对对AA11/20Aa01/21aa000
12、1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba3 建模建模2022-6-8数学建模11100012100211nnnnnncbacba/1121nnnbaa1121nnncbb0nc1nnncba00012100211/M)()(1nnMxx)()()(221nnnxMMxx)(33nxM0 xMn2022-6-8数学建模4 求解模型求解模型关键计算0 xMxnn)(nM00012100211/M特征值为1,1/2,0,M可对角化,即可求出可逆对角矩阵P,使PMP-1为对角型矩阵。121010001,特征值为1,1/2,0的特征向量分别为2022-6-8数学建模则10021010
13、1P0000210001/D0 xMxnn)(01xPPDn011002101110000210001100210111xn/2022-6-8数学建模011002101110000210001100210111xn/011000212102112111xnnnn/)/()/(021212121010010000cbcbcbannnn)/()/()/()/(0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(2022-6-8数学建模0212121211010010cbcbnnnn)/()/()/()/(nnnncbax)(当 时,n001nnnbba,经过足够长的时间后,培育
14、出来的植物基本上呈现AA型。5 结论结论2022-6-8数学建模练习题1若不选用AA型植物与每种植物结合的方案,而是采用将相同基因型植物相结合,则情形怎样?父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA Aa-Aa aa-aa后后代代基基因因对对AA11/40Aa01/20aa01/41在极限状态下,后代仅具有基因型AA和aa。2022-6-8数学建模遗传疾病是常染色体的基因缺陷由父母代传给子代的疾病。常染色体的隐性疾病常染色体的隐性疾病2022-6-8数学建模常染色体遗传的正常基因记为A,不正常基因记为a,并以AA、Aa 和 aa 分别表示正常人,隐性患者和显性患者的基因型。若在开始的一代
15、人口中AA、Aa 和 aa 基因型的人所占百分比为a0,b0,c0,讨论在下列两种情况下第n代的基因型分布。1 控制结合:显性患者不能生育后代,正常人与隐性患者必须与正常人结合生育后代;2 自由结合:这三种基因的人任意结合生育后代。2022-6-8数学建模父体父体- -母体的基因对母体的基因对AA-AA Aa-AA后代后代基因基因对对AA11/2Aa01/21121nnnbaa121nnbb1nnba2022-6-8数学建模11210211nnnnbaba/0 xMxnn)(01xPPDn21001/D1011P10111P1PPDMnn21001/10111011nn)/()/(210211
16、12022-6-8数学建模002102111baxnnn)/()/()( 0021211bbnn)/()/(当 时,n,01nnba即经过足够长的时间后,隐性患者消失。2022-6-8数学建模练习题2若采用随机结合的方式,各基因型的分布及变化趋势如何?在美国,以镰状网性贫血症为例。如果黑人中有10%的人是隐性患者,在随机结合的情况下,计算隐性患者的概率从25%降到10%需要多少代?在控制结合下,经过这么多代,隐性患者的概率相应下降到多少?2022-6-8数学建模思考思考在中国的婚姻政策中有一项控制近亲(指直系血缘关系在三代以内)结婚的限制。试用常染色体的隐性病模型分析这项政策的深远意义。 20
17、22-6-8数学建模作业作业血友病也是一种遗传疾病,得这种病的人由于体内没有能力生产血凝块因子而不能使出血停止。很有意思的是,虽然男人和女人都会得这种病,但只有女人才有通过遗传传递这种缺损的能力。若已知某时刻的男人和女人的比例为1:1.2,试建立一个预测这种遗传疾病逐代扩散的数学模型。2022-6-8数学建模森林管理问题森林管理问题2022-6-8数学建模森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获,每当砍伐一棵树时,应该就地补种一棵幼苗,使森林树木的总数保持不变。被出售的树木,其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案,在维
18、持收获的前提下,如何砍伐树木,才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。2022-6-8数学建模l题目要求做什么?l给出什么条件? 重要关系的描述重要关系的描述 ,数据及其说明,数据及其说明l寻找条件与问题的联系。1.确定设计变量和目标变量;2.确定目标函数的表达式;3.寻找约束条件。如果已判断该题是某类问题,按此类问题的要求寻找线索建模。如:优化模型如:优化模型2022-6-8数学建模森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获,每当砍伐一棵树时,应该就地补种一棵幼苗,使森林树木的总数保持不变。被出售的树木,其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。
19、我们希望能找到一个方案,在维持收获的前提下,如何砍伐树木,才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。2022-6-8数学建模1 建模分析建模分析目标函数:被砍伐树木的经济价值。决策变量:被砍伐的树木的数量。约束条件:持续收获,总数不变。2022-6-8数学建模2 模型假设模型假设按高度将树木分为n类:第一类,高度为),10 h幼苗,其经济价值01p第 k 类,高度为),kkhh1每棵树木的经济价值kpnk 1第 n 类,高度为),1nh每棵树木的经济价值np假设1记)(,),(),(txtxtxn21为第 t 年开始时森林中各类树木的数量。2022-6-8数学建模每年砍伐一次,为了维持每年都有稳定
20、的收获,只能砍伐部分树木,留下的树木和补种的幼苗,其高度状态应与初始状态相同。设nyyy,21分别是第1,2,n类树木在采伐时砍伐的棵数。假设2设森林中树木的总数是 s ,即stxtxtxn)()()(21根据土地面积和每棵树木所需空间预先确定的数。假设32022-6-8数学建模假设4每一棵幼苗从种植以后都能生长到收获,且在一年的生长期内树木最多只能生长一个高度级,即第k类的树木可能进入k+1类,也可能留在k类。设kg是经一年的生长期后,从第k类的树木中进入k+1类的比例,则kg1是在一个生长期内留在第k类中的树木的比例。2022-6-8数学建模3 建模建模先看没有砍伐时树木生长规律),()(
21、)(txgtx11111),()()()(txgtxgtx2211211),()()()(txgtxgtx3322311),()()(txtxgtxnnnn111变形,矩阵形式2022-6-8数学建模定义高度状态向量和生长矩阵:)()()()()(txtxtxtxtxn321111111132211nngggggggG则没有砍伐时树木生长方程为)()(tGxtx12022-6-8数学建模再考虑有砍伐和补种时的情形根据问题的要求,要维持持续收获,即生长期末的状态减去收获采伐的量再加上补种的幼苗数应等于生长期开始的量),()()(txzytxg11111),()()()(txytxgtxg2222
22、111),()()()(txytxgtxg3333221),()()(txytxtxgnnnnn112022-6-8数学建模各式相加后,得nyyyz21,01ynyyz2),()()(txyyyyytxgn13211111),()()()(txytxgtxg2222111),()()()(txytxgtxg3333221),()()(txytxtxgnnnnn112022-6-8数学建模再记,nyyyy21000000111R则)()(txRyytGx2022-6-8数学建模),()()(txzytxg11111),()()()(txytxgtxg2222111),()()()(txytxgt
23、xg3333221),()()(txytxtxgnnnnn111132xgyyyn22112xgxgy33223xgxgy11nnnxgy2022-6-8数学建模所收获树木的价值nnnypypypyyyf332232),(0332211nnxgxgxgxg1112223112nnnnxgppxgppxgp)()(问题),(maxnyyyf32nixsxxxxxgxgxgxgtsinnn, 2, 1, 0 . .3213322112022-6-8数学建模4 模型求模型求解解利用线性规划的理论和方法,得如下结论:砍伐某一类树木而不砍伐其他类砍伐某一类树木而不砍伐其他类的树木时,可获得最大收益。的树
24、木时,可获得最大收益。利用这一结论,设被砍伐的树木为第 k 类,则),(,njkjyyjk2100根据所建模型,0001nkkxxx,2022-6-8数学建模1132xgyyyn22112xgxgykkkkkxgxgy1111nnnxgy根据所建模型,0, 0, 011nkkxxx得111kkkkkxgxgy11221kkkkkxgxgy11xgyk1122xgxg2211kkkkxgxg11kkkxgy2022-6-8数学建模结果表明:结果表明:森林从幼苗开始长到第 k 年为止开始收获,此时树木高度分布为初始分布。从第 k 年开始后每年砍伐一次,均砍伐第k类高度的树木。因此,森林中没有高于或
25、等于 k 类高度的树木。问题:从幼苗开始长到哪一年收获为最佳?2022-6-8数学建模1122xgxg2211kkkkxgxg1212xggx 1313xggx 1111xggxkksxxxn21由11312111kggggggsx2233xgxg2022-6-8数学建模kknkypyyyf),(3211xgpk13211111kkggggsp当森林中各参数给定时,分别计算 f k 的值,再 比较选出最大的即可。同时可计算出相应的砍伐量。11xgyk13211111kggggs2022-6-8数学建模5 算例算例已知森林具有6 年的生长期,其参数如下。求出最优采伐策略。370230250320
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