常见的离散型随机变量的概率分布.课件.ppt

1、(I) (I) 两点分布两点分布 设设E E是是一个只有两种可能结果的一个只有两种可能结果的随机试验随机试验, ,用用= 1 1, , 2 2 表示其样本空间表示其样本空间. . P( P( 1 1)=p , P()=p , P( 2 2)=1-p)=1-pl来源来源X()=1, = 10, = 2 200200件产品中件产品中, ,有有196196件是正品件是正品,4,4件是次品件是次品, ,今从中随机地抽取一件今从中随机地抽取一件, ,若规若规定定例例 5 5X()=1, 取到合格品0, 取到不合格品 则则 PX=1=196/200=0.98, PX=1=196/200=0.98, PX=

2、0=4/200=0.02 PX=0=4/200=0.02 故故 X X服从参数为服从参数为0.980.98的两点分布的两点分布 . . 即即 X X B(1,0.98). B(1,0.98).例例6 设生男孩的概率为设生男孩的概率为p,生女孩的概率为生女孩的概率为q=1-p，令令X表示随机抽查出生的表示随机抽查出生的4 4个婴儿个婴儿中中“男孩男孩”的个数的个数. .贝努里概型贝努里概型 和和 二项分布二项分布(II)我们来求我们来求X的概率分布的概率分布. .4 , 3 , 2 , 1 , 0,)1 (44kppCkXPkkkX的概率分布是：的概率分布是：男男 女女X表示随机抽查的表示随机抽

3、查的4 4个婴儿中男孩的个数，个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为生男孩的概率为 p.X=0X =1X =2X =3X =4X可取值可取值0,1,2,3,4.例例7 将将一枚均匀骰子抛掷一枚均匀骰子抛掷3次，次，令令X 表示表示3 3次中出现次中出现“4”4”点的次数点的次数3 , 2 , 1 , 0,)65()61(33kCkXPkkkX的概率分布是：的概率分布是：不难求得，不难求得， 掷骰子：掷骰子：“掷出掷出4 4点点”，“未掷出未掷出4 4点点” 一般地，一般地，设在一次试验中我们只考虑两个设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：互逆的结果：A或或 ， 或者形象地把两个互或者形象地把两个

4、互逆结果叫做逆结果叫做“成功成功”和和“失败失败”. .A 新生儿：新生儿：“是男孩是男孩”，“是女孩是女孩” 抽验产品：抽验产品：“是正品是正品”，“是次品是次品”再设我们重复地进行再设我们重复地进行n次独立试验次独立试验 ( “( “重复重复”是指这次试验中各次试验条件是指这次试验中各次试验条件相同相同 ) ) 这样的这样的n次独立重复试验称作次独立重复试验称作n重贝努里重贝努里试验，简称贝努里试验或试验，简称贝努里试验或贝努里概型贝努里概型. . 每次试验成功的概率都是每次试验成功的概率都是p，失败的概率失败的概率都是都是q=1-=1-p. . 用用X表示表示n重贝努里试验中事件重贝努里

5、试验中事件A（成成功功）出现的次数，则）出现的次数，则nkppCkXPknkkn, 1 , 0,)1 ()(称称r.v.r.v.X服从参数为服从参数为n和和p的二项分布，记作的二项分布，记作 XB(n,p)注注: 贝努里概型对试验结果没有等可能贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求：的要求，但有下述要求：（1）每次试验条件相同；）每次试验条件相同；二项分布描述的是二项分布描述的是n重贝努里试验中出现重贝努里试验中出现“成功成功”次数次数X的概率分布的概率分布.（2）每次试验只考虑两个互逆结果）每次试验只考虑两个互逆结果A或或 ， A 且且P(A)=p ， ； pAP1)(（3）各次

6、试验相互独立）各次试验相互独立. .例例8 某类灯泡使用时数在某类灯泡使用时数在2000小时以上视为正小时以上视为正品品. .已知有已知有一大批一大批这类的灯泡这类的灯泡, ,其次品率是其次品率是0.2. .随机抽出随机抽出2020只灯泡做寿命试验只灯泡做寿命试验, ,求这求这2020只灯泡只灯泡中恰有中恰有3 3只是次品的概率只是次品的概率. .解解: : 设设X为为2020只灯泡中次品的个只灯泡中次品的个数数 ,则则. X B (20, 0.2)，,)8 . 0()2 . 0()(2020kkkCkXP.20,.,1 ,0k 下面我们研究二项分布下面我们研究二项分布B(n,p)B(n,p)

7、和两和两点分布点分布B(1,p)B(1,p)之间的一个重要关系之间的一个重要关系. . 说明说明 设试验设试验E E只有两个结果只有两个结果:A:A和和 . . 记记p=P(A),p=P(A),则则P( )= 1P( )= 1- p - p ,0,0p1p0 是常数是常数,则称则称 X 服从参数为服从参数为 的的泊松分布泊松分布,记作记作XP( ).(III) 泊松分布易见易见01!,2,1,00kkekkkXP例例9 9 某一无线寻呼台某一无线寻呼台, ,每分钟收到寻呼的次每分钟收到寻呼的次数数X X服从参数服从参数 =3=3的泊松分布的泊松分布. . 求求:(1):(1)一分钟内恰好收到一

8、分钟内恰好收到3 3次寻的概率次寻的概率. . (2) (2)一分钟内收到一分钟内收到2 2至至5 5次寻呼的概率次寻呼的概率.解解: (1)PX=3=(3(1)PX=3=(33 3/3!)e/3!)e-3-30.22400.2240 (2) P2X5 (2) P2X5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =PX=2+PX=3+PX=4+PX=5 =(3 =(32 2/2!)+(3/2!)+(33 3/3!)+(3/3!)+(34 4/4!)+(3/4!)+(35 5/5!)e/5!)e-3-3 0.7169 0.7169解解:例例 1010 某一城市每天发生火灾的次数某一城市每天发生火

9、灾的次数X X服从参数服从参数为为0.80.8的泊松分布的泊松分布. . 求求: :该城市一天内发生该城市一天内发生3 3次以上火灾的概率次以上火灾的概率. . PX3PX3= =1- PX1- PX30，则称则称X服从参数为服从参数为 和和 的正态分布的正态分布. (Normal)(II)、正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N 正态分布的密度曲线是一条关于正态分布的密度曲线是一条关于 对对称的钟形曲线称的钟形曲线. .特点是特点是“两头小，中间大，左右对称两头小，中间大，左右对称”. . 决定了图形的中心位置，决定了图形的中心位置， 决定了图形决定了图形中峰的陡峭程度中峰的陡峭程

10、度. . 正态分布正态分布 的图形特点的图形特点),(2N故故f(x)以以为对称轴，并在为对称轴，并在x=处达到最大处达到最大值值: :xexfx,)()(22221 令令x=+ +c, x=- -c (c0), 分别代入分别代入f (x), 可可得得f (+ +c)=f (- -c)且且 f (+ +c) f (), f (- -c)f ()21)(f这说明曲线这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越向左右伸展时，越来越贴近贴近x轴。即轴。即f (x)以以x轴为渐近线。轴为渐近线。 xexfx,)()(22221 当当x 时，时，f(x) 0, ,用求导的方法可以证明，用求导的方法可以证明，

11、xexfx,)()(22221 为为f (x)的两个拐点的横坐标。的两个拐点的横坐标。x = 这是高等数学的内容，如果忘记了，课下这是高等数学的内容，如果忘记了，课下再复习一下再复习一下。实例实例 年降雨量问题，我们用上海年降雨量问题，我们用上海99年年年降雨量的数据画出了频率直方图。年降雨量的数据画出了频率直方图。从直方图，我们可以初步看出，年降从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。雨量近似服从正态分布。下面是我们用某大学大学生的身高的下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。数据画出的频率直方图。红线红线是拟是拟合的正态合的正态密度曲线密度曲线可见，某大学大学生

12、的身高应可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。服从正态分布。人的身高高低不等，但中等身材的占大人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特面反映了服从正态分布的随机变量的特点。点。 除了我们在前面遇到过的年降雨量和除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外身高外, ,在正常条件下各种产品的质量指标，在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，

13、物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布等，都服从或近似服从正态分布. .(III) 、设、设X ,),(2NX的分布函数是的分布函数是xdtexFxt,)()(22221 dtexxt2221)(IV)(IV)、标准正态分布标准正态分布1, 0的正态分布称为标准正态分布的正态分布称为标准正态分布. .xexx,21)(22其密度函数和分布函数常用其密度函数和分布函数常用 和和 表示：表示：)(x)(x)(x )(x 它的依据是下面的定理：它的依据是下面的定理： 标准正态分布的重要性在于，标准正态

14、分布的重要性在于，任何一个任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布标准正态分布. . 根据定理根据定理1,1,只要将标准正态分布的分布只要将标准正态分布的分布函数制成表，就可以解决一般正态分布的概函数制成表，就可以解决一般正态分布的概率计算问题率计算问题. .),(2NXXY, ,则则 N(0,1) 设设定理定理1 书末附有标准正态分布函数数值表，有了书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表它，可以解决一般正态分布的概率计算查表. .（V V）、）、正态分布表正态分布表)(1)(xxdtexxt2221)

15、(表中给的是表中给的是x0时时, (x)的值的值.当当-x175的概率为P X175=1751XP)65. 0(1)69. 7170175(1=0.2578解解: (2) : (2) 设车门高度为设车门高度为h cm, ,按设计要求按设计要求P(X h)0.01或或 P(X h) 0.99，下面我们来求满足上式的最小的下面我们来求满足上式的最小的 h. .（2 2）公共汽车车门的高度是按成年）公共汽车车门的高度是按成年男性与车门顶头碰头机会在男性与车门顶头碰头机会在0.01以下以下来设计的，问车门高度应如何确定来设计的，问车门高度应如何确定? ?因为因为XN( (170,7.,7.692),)

16、,) 1 , 0(69. 7170NX )69. 7170(h故故 P(X0.9969. 7170h所以所以 = =2.33, ,即即 h=170+17.92 188设计车门高度为设计车门高度为188厘米时，可使厘米时，可使男子与车门碰头男子与车门碰头机会不超过机会不超过0.01. .P(X h ) 0.99求满足求满足的最小的的最小的h .若若 r.v. X的概率密度为：的概率密度为：则称则称X服从区间服从区间( a, b)上的均匀分布，记作：上的均匀分布，记作：X Ua, b)(xfab其它, 0,1)(bxaabxf二、均匀分布二、均匀分布(Uniform)（注：（注：X U（a, b）

17、均匀分布常见于下列情形：均匀分布常见于下列情形： 如在数值计算中，由于四舍五如在数值计算中，由于四舍五 入，小数入，小数点后某一位小数引入的误差，例如对小数点点后某一位小数引入的误差，例如对小数点后第一位进行四舍五后第一位进行四舍五 入时，那么一般认为误入时，那么一般认为误差服从（差服从（-0.5, 0.5）上的均匀分布。）上的均匀分布。若X Ua, b，则，则对于满足对于满足bdca的c,d, 总有abcddxxfdXcPba)(则称则称 X 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布. 指数分布常用于可靠性统计研究指数分布常用于可靠性统计研究中，如元件的寿命中，如元件的寿命.三、三、指数分

18、布：指数分布：若若 r.v X具有概率密度具有概率密度000)(xxexfx0常简记为常简记为 XE( ) . 这一节，我们介绍了连续型随机变量、这一节，我们介绍了连续型随机变量、概率密度函数及性质。概率密度函数及性质。 还介绍了正态分布，还介绍了正态分布，它的应用极为广它的应用极为广泛，在本课程中我们一直要和它打交道泛，在本课程中我们一直要和它打交道. 后面第五章中，我们还将介绍为什么后面第五章中，我们还将介绍为什么这么多随机现象都近似服从正态分布这么多随机现象都近似服从正态分布;还要还要给出德莫佛极限定理的证明给出德莫佛极限定理的证明.另外我们简单介绍了均匀分布和指另外我们简单介绍了均匀分布和指数分布数分布