机械振动基础第二章PPT分析课件.ppt

1、2022年6月8日振动力学2kcm建模方法建模方法1：将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼将车、人等全部作为一个质量考虑，并考虑弹性和阻尼要求：对轿车的上下振动进行动力学建模要求：对轿车的上下振动进行动力学建模例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动例子：轿车行驶在路面上会产生上下振动缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之缺点：模型粗糙，没有考虑人与车、车与车轮、车轮与地面之间的相互影响间的相互影响优点：模型简单优点：模型简单分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合分析：人与车、车与车轮、车轮与地面之间的运动存在耦合多自由度系统振动多自由度系统振动2022年

2、6月8日振动力学3k2c2m车车m人人k1c1建模方法建模方法2：车、人的质量分别考虑，并考虑各自的车、人的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼弹性和阻尼优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合优点：模型较为精确，考虑了人与车之间的耦合缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响缺点：没有考虑车与车轮、车轮与地面之间的相互影响多自由度系统振动多自由度系统振动2022年6月8日振动力学4m人人k1c1k2c2mk3c3k2c2k3c3m车车m轮轮m轮轮建模方法建模方法3：车、人、车轮的质量分别考虑，车、人、车轮的质量分别考虑，并考虑各自的弹性和阻尼并考虑各自的弹性和阻尼优点：分别考虑了人与

3、车、车与优点：分别考虑了人与车、车与车轮、车轮与地面之间的车轮、车轮与地面之间的相互耦合，模型较为精确相互耦合，模型较为精确问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？问题：如何描述各个质量之间的相互耦合效应？多自由度系统振动多自由度系统振动2022年6月8日振动力学5多自由度系统振动多自由度系统振动2022年6月8日振动力学6先看几个例子先看几个例子 例例1：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力：双质量弹簧系统，两质量分别受到激振力不计摩擦和其他形式的阻尼不计摩擦和其他形式的阻尼试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程m1m2k3k1k2u1u2 f1(t) f2(t)2.1 多自由度

4、系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学7解：解：1,u2u21,mm的原点分别取在的原点分别取在 的静平衡位置的静平衡位置 建立坐标：建立坐标：设某一瞬时：设某一瞬时：21mm、1u、2u上分别有位移上分别有位移12uu、加速度加速度受力分析：受力分析：f1(t)k1u1k2(u1-u2)1 1mu m1f2(t)k2(u1-u2)22m u m2k3u2m1m2k3k1k2u1u2 f1(t) f2(t)2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学8建立方程：建立方程：1 11 1212122212332()( )()( )muk u

5、k uuf tm uk uuk uf t矩阵形式：矩阵形式：122111122322220( )0( )kkkmuuf tkkkmuuf t力量纲力量纲坐标间的耦合项坐标间的耦合项 f1(t)k1u1k2(u1-u2)1 1mu m1f2(t)k2(u1-u2)22m u m2k3u22.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学9例例2：转动运动：转动运动两圆盘两圆盘转动惯量转动惯量 21,II轴的三个段的扭转刚度轴的三个段的扭转刚度 321,kkk试建立系统的运动微分方程试建立系统的运动微分方程 1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM1)(),(21tM

6、tM外力矩外力矩 2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学10解：解：建立坐标：建立坐标：角位移角位移21,设某一瞬时：设某一瞬时：角加速度角加速度21, 受力分析：受力分析：1k1I22I2k3k)(1tM)(2tM111k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学11建立方程：建立方程：)()()()(2332222121211111tMkkItMkkI 矩阵形式：矩阵形式：)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 坐标间的耦合

7、项坐标间的耦合项 11k11 I)(1tM)(212k22 I)(2tM33k)(122k2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学12122111122322220( )0( )kkkmuuf tkkkmuuf t)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同多自由度系统的角振动与直线振动在数学描述上相同 如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中如同在单自由度系统中做过的那样，在多自由度系统中也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义的。也将质量、刚度、位移、加速度及力都理解为广义

8、的。m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)1k1I2I2k3k)(1tM)(2tM2.1 多自由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学13小结：小结：122111122322220( )0( )kkkmuuf tkkkmuuf t)()(0021213222212121tMtMkkkkkkII 可统一表示为：可统一表示为： ( )( )( )tttM U UF例例1：例例2：作用力方程作用力方程位移向量位移向量加速度向量加速度向量质量矩阵质量矩阵刚度矩阵刚度矩阵激励力向量激励力向量若系统有若系统有 n 个自由度，则各项皆为个自由度，则各项皆为 n 维维 2.1 多自

9、由度系统的振动方程多自由度系统的振动方程2022年6月8日振动力学142022年6月8日振动力学151 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 n DOFs vibrating system 广义位移、速度、加广义位移、速度、加速度均为正速度均为正 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学161121211212111)()()(xmxxkxkxxcxctF iiiiiiiiiiiiiiixmxxkxxkxxcxxctF )()()()()(111111)1, 3, 2(ninnnnnnnnnnnnnxmxkxxkxcxxctF 1111

10、)()()(整理后用矩阵形式表示为整理后用矩阵形式表示为 tFxKxCxM 1 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学17 tFxKxCxM T21,nixxxxxT21,nixxxxx T21,nixxxxx 位移向量位移向量速度向量速度向量加速度向量加速度向量外激励向量外激励向量 T21)(,),(,),(),()(tFtFtFtFtFni1 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学18 tFxKx

11、CxM 刚度矩阵刚度矩阵Stiffness Matrix 111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK1 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学19 tFxKxCxM 质量矩阵质量矩阵Mass Matrix对称、正定对称、正定Symmetry, positive definitenimmmmM000000211 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学

12、20 tFxKxCxM 阻尼矩阵阻尼矩阵Damping Matrx 对称对称Symmetry 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC1 牛顿第二定律和质系动量矩定理牛顿第二定律和质系动量矩定理 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学21质量矩阵质量矩阵M是是对角矩阵对角矩阵，对角元对角元mii=mi，即第即第i个对角元素就是第个对角元素就是第i个个质量元件的质量。质量元件的质量。nimmmmM000000212.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法2022年6月8日振动

13、力学22阻尼矩阵阻尼矩阵C是是对称矩阵对称矩阵非对角元非对角元cij = cji ，对角元对角元cii为所有与第为所有与第i个质个质量元件相连接的阻尼元件量元件相连接的阻尼元件阻尼系数之和，阻尼系数之和，cij是连接第是连接第i个质量元件和个质量元件和第第j个质量元件的阻尼元件个质量元件的阻尼元件阻尼系数之和。阻尼系数之和。 111113322221000000nnnnnnniiiiccccccccccccccccccC2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法2022年6月8日振动力学23刚度矩阵刚度矩阵K 是是对称矩阵对称矩阵非对角元非对角元kij = kji ，

14、对角元对角元kii为所有与第为所有与第i个质个质量元件相连接的弹性元件刚量元件相连接的弹性元件刚度之和，度之和，连接第连接第i个质量元件和第个质量元件和第j个个质量元件的弹性元件刚度之质量元件的弹性元件刚度之和是和是kij 。 111113322221000000nnnnnnniiiikkkkkkkkkkkkkkkkkkK2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法2022年6月8日振动力学24建立广义坐标如图所示，建立广义坐标如图所示，坐标原点在系统静平衡坐标原点在系统静平衡时各质量的位置。时各质量的位置。振动微分方程振动微分方程 : 0 xKxCxM T4321,x

15、xxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx4321000000000000mmmmM2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法2022年6月8日振动力学25 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx 000000000646226262cccccccccC振动微分方程振动微分方程 :2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2 视察法视察法2022年6月8日振动力学26链式系统链式系统 0 xKxCxM T4321,xxxxx T4321,xxxxx T4321,xxxxx 55565433633

16、22626210000kkkkkkkkkkkkkkkkkkK振动微分方程振动微分方程 :Example 2-19 2 视察法视察法2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学27The kij represents what force is needed at the location i to obtain a unit displacement at location j.3 刚度法和柔度法刚度法和柔度法2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学28例：写出例：写出 M 、 K 及及运动微分方程运动微分方程 m1m2k

17、3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)解：解：先只考虑静态先只考虑静态 令令100TU 2111kkk221kk 031k 令令T010U212kk653222kkkkk332kk令令T100U013k323kk4333kkk刚度矩阵：刚度矩阵：43336532222100kkkkkkkkkkkkK刚度矩阵法刚度矩阵法2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学29只考虑动态只考虑动态 令令100TU111mm021m031m有：有：令令010TU012 m222mm 032 m有：有：令令001TU013 m023 m333mm 有：有：m

18、1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)质量矩阵：质量矩阵：321000000mmmM2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学3043336532222100kkkkkkkkkkkkK321000000mmmM111221122223563223333433000( )00( )000( )mukkkuf tmukkkkkkuf tmukkkuf t运动微分方程：运动微分方程： m1m2k3k1k2f1(t)f2(t)m3k4k5k6f3(t)(tPKXXM 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动

19、力学31柔度矩阵法柔度矩阵法对于静定结构，有时通过对于静定结构，有时通过柔度矩阵柔度矩阵建立建立位移方程位移方程比通过比通过刚度矩阵刚度矩阵建立建立作用力方程作用力方程来得更方便些。来得更方便些。 柔度柔度定义为弹性体在单位力作用下产生的变形定义为弹性体在单位力作用下产生的变形物理意义及量纲与刚度恰好相反物理意义及量纲与刚度恰好相反 以一个例子说明位移方程的建立以一个例子说明位移方程的建立 u1m1u2m2f1 f2无质量弹性梁，有若干集中质量无质量弹性梁，有若干集中质量（质量连续分布的弹性梁的简化（质量连续分布的弹性梁的简化 ）假设假设12ff、是常力是常力 以准静态方式作用在梁上以准静态方

20、式作用在梁上 梁只产生位移（即挠度），不产生加速度梁只产生位移（即挠度），不产生加速度 21mm、12uu、取质量取质量的静平衡位置为坐标的静平衡位置为坐标的原点的原点 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学32111udm1 位移：位移：221udm2 位移：位移：1210ff、时时（1）1201ff、时时（2）112udm1 位移：位移：222udm2 位移：位移：12ff、 同时作用同时作用（3）111 1122ud fd fm1 位移：位移：221 1222ud fdfm2 位移：位移：d11d21f1=1d12d22f2=1u1m1u2m2f1

21、f22.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学3312ff、 同时作用时：同时作用时：111 1122ud fd f221 1222udfdf矩阵形式：矩阵形式：UDF12uuU11122122ddddD12ffF其中：其中：柔度矩阵柔度矩阵物理意义：物理意义：系统仅在第系统仅在第 j 个坐标受到个坐标受到单位力作用时相应于第单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移个坐标上产生的位移 ijd柔度影响系数柔度影响系数 d11d21f1=1d12d22f2=1u1m1u2m2f1f22.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力

22、学34UDF12uuU11122122ddddD12ffF12ff、当当 是动载荷时是动载荷时集中质量上有惯性力存在集中质量上有惯性力存在 1111211 122122222( )( )uddf tmuuddf tm u1111211122122222( )0( )0uddf tmuuddf tmu ()UD FMU位移方程位移方程u1m1u2m2f1f21 1mu 22m u m1m2f1(t)f2(t)2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学35()UD FMU位移方程：位移方程：DMUUDF又可：又可：作用力方程：作用力方程： MKUUFKUFMU1

23、()UKFMU若若K非奇异非奇异柔度矩阵与刚度矩阵的关系：柔度矩阵与刚度矩阵的关系：1DKDKI或：或：2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学364 利用利用Lagrange方程建立振动微分方程方程建立振动微分方程 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法只要写出能量表达式即可得到系统的运动微只要写出能量表达式即可得到系统的运动微分方程。分方程。(1)jjjjdTTVfjNdtqqqN 自由度系统的拉格朗日方程：自由度系统的拉格朗日方程：jq：广义坐标：广义坐标if：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力：对应于有势力以外的其它非有势力的广义

24、力对于定常约束系统：对于定常约束系统： 动能：动能：12T TU MU12V TU KU势能：势能：2022年6月8日振动力学37例：例：研究汽车上研究汽车上下振动和俯仰振动下振动和俯仰振动的力学模型的力学模型表示车体的刚性杆表示车体的刚性杆AB的质量为的质量为m，杆，杆绕质心绕质心C的转动惯的转动惯量为量为Ic悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为悬挂弹簧和前后轮胎的弹性用刚度为 k1 和和 k2 的两个弹簧来表示的两个弹簧来表示写出车体微振动的微分方程写出车体微振动的微分方程选取选取D点的垂直位移点的垂直位移 和绕和绕D点的角位移点的角位移 为坐标为坐标DDxABCDa1a2el1l2lk1k2

25、2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学38ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDa1a2el1l2lk1k2简化形式简化形式2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学39ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDM车体所受外力可以向车体所受外力可以向D点简点简化为合力化为合力 PD 和合力矩和合力矩 MD由于微振动，杆质心的垂直由于微振动，杆质心的垂直位移、杆绕质心的角位移：位移、杆绕质心的角位移：DDCexx DC 首先采用拉格朗日方程建首先采用拉格朗日

26、方程建立系统的运动微分方程立系统的运动微分方程系统的动能：系统的动能：222121CcCIxmT 2221)(21DcDDIexm 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学40ABCDa1a2el1l2lk1k2ABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDMDDCexx DC 系统的动能：系统的动能：2221)(21DcDDIexmT 系统的势能：系统的势能：222211)(21 )(21DDDDaxkaxkV 2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学412221)(21DcDDIexmT 2222

27、11)(21)(21DDDDaxkaxkV )1(niQqLqLdtdiii n 自由度系统的拉格朗日方程：自由度系统的拉格朗日方程：iq：广义坐标：广义坐标：拉格朗日函数：拉格朗日函数LVTL iQ：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力：对应于有势力以外的其它非有势力的广义力计算广义力计算广义力 Q1 和和 Q2设在坐标设在坐标 xD 上有虚位移上有虚位移Dx非有势力做功非有势力做功DDxPW 因此因此DPQ 1非有势力做功非有势力做功 DDMW 因此因此 DMQ 2设在坐标设在坐标 上有虚位移上有虚位移 DDABCDDxCxD)(11DDaxk )(22DDaxk DPDM2.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法2022年6月8日振动力学42代入拉格朗日方程，得：代入拉格朗日方程，得：矩阵形式：矩阵形式：DDDDDPakakxkkmexm )()(112221 DDDDCDMakakxkkmeIxme )()()(222211212 DDDDDDCMPxakakakakakakkkxmeImemem22221111221122212 2221)(21DcDDIexmT 222211)(21)(21DDDDaxkaxkV )1(niQqLqLdtdiii DPQ 1DMQ 22.2 建立系统微分方程的方法建立系统微分方程的方法