分析力学讲义课件.ppt

1、第二章第二章 分析力学分析力学(Analytical Mechanics)平衡问题平衡问题-虚功原理虚功原理基本概念基本概念-约束约束. .自由度自由度. .广义坐标广义坐标. .虚位移虚位移动力学动力学位形空间位形空间相空间相空间拉格朗日方程拉格朗日方程哈密顿原理哈密顿原理哈密顿正则方程哈密顿正则方程哈密顿原理哈密顿原理泊松括号泊松括号运动积分运动积分L判据判据. H判据判据. .泊松括号判据泊松括号判据时空对称性时空对称性. .不可观测量和守恒定律不可观测量和守恒定律1.1.基本概念基本概念(Basic Concepts)(Basic Concepts)牛顿力学两大困难牛顿力学两大困难约束

2、力未知约束力未知坐标不独立坐标不独立?一.约束约束定义定义: :物体运动过程中受到限制物体运动过程中受到限制约束方程约束方程:0).(trrf约束分类约束分类: 几何约束几何约束:0),(trf 微分约束微分约束:0),(trrf 完整约束与非完整约束完整约束与非完整约束:几何约束几何约束可积分的微分约束可积分的微分约束完整约束完整约束 稳定约束与非稳定约束稳定约束与非稳定约束:0)(rf0),(trf 可解约束与不可解约束可解约束与不可解约束axc(2)222lyxxy(X,y)l(1)cx 几何约束几何约束:0),(trf 微分约束微分约束:0),(trrfdemonstrationmmX

3、2,y2X1,y1cExample:2212212)()(lyyxxxy021 zz)()(212121212121yyyxxxxmmmymymmmxmx12122121xxyytgxxyyxy(3)(4)0)()()()(212112212112dxyydxyydyxxdyxx.(4), ( yx任一微分约束均可表示为任一微分约束均可表示为).3 , 2 , 1(0Nidtadxatii如果:ijjixaxaitixata则微分方程可积则微分方程可积),(),(txaatxaaiiiitt爱因斯坦求爱因斯坦求和约定和约定0)()()()(212112212112dxyydxyydyxxdyx

4、xaxc是否可积是否可积? ? 完整约束完整约束:非完整约束非完整约束: :几何约束和几何约束和不可积分的微分约束不可积分的微分约束可积分的微分约束可积分的微分约束可解约束与不可解约束可解约束与不可解约束: :用不等号表示约束用不等号表示约束可解约束可解约束用等号表示约束用等号表示约束不可解约束不可解约束二二. .自由度和描述度自由度和描述度系统有系统有N N个质点个质点, ,受受k k个完整约束和个完整约束和m m个非完整约束个非完整约束定义自由度定义自由度: :f =3N-(k+m)描述度描述度: :描述一个力学系统所需独立坐标数目描述一个力学系统所需独立坐标数目:S:S完整约系完整约系f

5、 = S非完整约系非完整约系f S三三. .广义坐标广义坐标(Generalized coordinates) (Generalized coordinates) 位形空间位形空间(Configurational(Configurational Space) Space)完整约束系统的自由度为完整约束系统的自由度为S(f),S(f),则则可选可选S S个独立参量来描述此系统个独立参量来描述此系统广义坐标广义坐标q(q1 ,q2, q3qs)ir描述系统既可用变换方程变换方程又可用q),(tqriir它们间联系Attention:广义坐标数目由自由度确定广义坐标数目由自由度确定“广义广义”二字的

6、含义二字的含义 对给定力学系统对给定力学系统, ,广义坐标选取不唯一广义坐标选取不唯一 广义坐标正确与否的判断广义坐标正确与否的判断全部直角坐标能用广义坐标表示则对如果全部直角坐标不能用广义坐标表示则错广义坐标克服了牛顿力学中坐标不不独立的困难广义坐标克服了牛顿力学中坐标不不独立的困难位形空间位形空间由由S S个广义坐标张开成个广义坐标张开成S S维抽象空间维抽象空间qiqj四四.实位移实位移 可能位移可能位移 虚位移虚位移(Real displacement, Possible displacement ,Virtual displacement)设系统有设系统有N N个质点个质点, ,受受

7、k k个几何约束个几何约束0),.,(, 21trrrrfNijiiiNFrm ),.2 , 1,.3 , 2 , 1(0),.,(, 21NikjtrrrrfNij0td位移称为rdi实特点特点: : 唯一性唯一性 代表真实运动代表真实运动实位移实位移(i=1 2 3N).3 , 2 , 1(kj 唯一性唯一性 代表真实运动代表真实运动 既满足运动规律又满足约束方程既满足运动规律又满足约束方程 dt dt 0,0,需要时间需要时间实位移特点实位移特点不考虑运动规律限制不考虑运动规律限制, ,只考虑只考虑约束限制条件下发生的位移约束限制条件下发生的位移可能位移可能位移t时刻:).2 . 1(0

8、),(kjtrfij t=dt 时刻:).2 . 1(0),(Nidttrdrfiij0),(dttrdrfiij).2 . 1,.2 . 1(0kjNidttfrdrfjiij),(trfijiijrdrf).2 . 1(0.NidttfjAttention:不考虑运动规律限制不考虑运动规律限制考虑约束限制条件考虑约束限制条件d t 0可能位移不唯一可能位移不唯一可能位移可能位移的特点的特点可能位移产可能位移产生的原因生的原因约束变动引起约束变动引起tfj在约束面内各质点具在约束面内各质点具有不同可能速度同有不同可能速度同ir0tfrrfjiij).2 . 1,.2 . 1(0kjNidtt

9、frdrfjiij共性共性个性个性虚位移虚位移不考虑运动规律限制不考虑运动规律限制时间被冻结时间被冻结约束被约束被“凝固凝固” t = 0 !0tfj满足约束条件满足约束条件).2 . 1.2 . 1(Nikj0 0r rf fi ij ji i虚位移特点虚位移特点不唯一不唯一).2 .1,.2 .1(0kjNidttfrdrfjiij可能位移可能位移虚位移不唯一五五. .理想约束理想约束实例实例m1m21r2r12f21f221112rfrfw)(2112rrf)(2112rrfrf12rrff12rrrfrf10221r21rrrr非稳定约束非稳定约束0)(trf0)(ttfrrftrf0

10、ttfrrf0rNw约束力fN0ttfrdrfdw在虚位移下的虚功在虚位移下的虚功=0=0对可能位移对可能位移所做元功所做元功 0m1m2T1T2y1y22211yTyTw12yalyTw)(21yy012yyTTT21五五. .理想约束理想约束虚功虚功:力在虚位移下所做的功力在虚位移下所做的功rFw理想约束理想约束: :若作用在力学系统上若作用在力学系统上所有所有的约束力的约束力在在任意虚位移任意虚位移下下所做的所做的虚功之和虚功之和为零为零).2 .1(0nirNWii2.2.虚功原理虚功原理( (Principle of Virtual Work)Principle of Virtual

11、 Work)表述表述: :完整的理想约束系统处完整的理想约束系统处于平衡的充要条件是于平衡的充要条件是).2 . 1(0nirFWii证明：证明：必要性必要性系统处于平衡时系统处于平衡时).2 . 1(0nirFii0iiNF0)(iiirNF0iirN0iirF充分性：充分性：反证法反证法0rFii假设系统不平衡系统不平衡).321(0nkjNFjj0)(1jkjjNF0)(1jjkjjrNF0)(1iiniirNF01iinirN01iinirF系统必平衡系统必平衡),(tqrrii).3.2.1(Sqqrrii).2 . 1.2 . 1(0SNiqqrFWii).2 . 1(0NirFW

12、ii定义定义:).2 . 1(NiqrFQii广义力广义力虚功原理虚功原理).2 . 1(0SqQW).2 . 1(0SQqrFQii! ! !0qirV).2 . 1(0NiqVqri保守系保守系).2 . 1(0nirFWiiAttention:广义力的计算广义力的计算).2 . 1(NiqrFQiisqqqQW)(.)(1广义力的数目由自由度决定广义力的数目由自由度决定广义力既可是力又可以是力矩，决定广义力既可是力又可以是力矩，决定于广义坐标于广义坐标, ,还可是其它物理量还可是其它物理量不要将广义力和力混淆不要将广义力和力混淆rFFFxyz已知：已知：FFFr受力为自由质点在球坐标系中

13、求：广义力求：广义力解：解：用虚功方法求用虚功方法求QQrQwr取广义坐标分别为取广义坐标分别为),(rrFwrFrsinrFFrQrFQFQrrsinrrsinr虚功原理解题步骤虚功原理解题步骤分析约束分析约束, ,确定自由度确定自由度选好广义坐标选好广义坐标写出主动力作用点的坐标并对其变分写出主动力作用点的坐标并对其变分代入代入虚功原理公式中求解虚功原理公式中求解Attention:静系中的平衡静系中的平衡只有广义坐标方可独立变化只有广义坐标方可独立变化虚功原理中不出现约束力虚功原理中不出现约束力)( tqrr只有正确写出只有正确写出例题例题1 1半径为半径为a a的光滑半球形碗固定在水平

14、面上。一的光滑半球形碗固定在水平面上。一匀质棒斜靠在碗缘，在碗内长度为匀质棒斜靠在碗缘，在碗内长度为c,c,试用虚试用虚功原理求棒全长。功原理求棒全长。yxmgc分析分析oABD坐标数坐标数3约束数目约束数目2自由度数目自由度数目1demonstrationyxmgcABDxDo解：解：取取 为广义坐标，设杆长为为广义坐标，设杆长为sin)(ACADycsin)2(lCsin)2cos2(la0cymgwl0sin2cos)2cos2(2alamg0sin2cos)2cos2(2alamg! ! !0cos) 1cos2(42alcos2ac cacl)2(4220sin)(ACADycsin

15、)2cos2(la利用广义力解利用广义力解0crjmgqrFQiii0cos2cos2sin222laamg0sin2cos)2cos2(2alamg0sin2cos)2cos2(2alamg例二例二.衡位置试用虚功原理求两杆平,F一水平恒力用置于竖直面内.B端作用光滑铰链固定.系统O点OB光滑地连于A点,质量为m的杆OA,长为loABFxy分析分析坐标数坐标数4约约 束束2自由度自由度2广义坐标广义坐标,cDdemonstrationgmgm解：解：取如图所示，为广义坐标sin2lycsin2sinllyDcos2lyccos2cosllyDBDCxFymgymgw)cos(coslxB)s

16、in(sin lxBBDCxFymgymgwcos2lyccos2cosllyD)sin(sin lxB)sincos2()sincos23(FlmglFlmglw0)sincos2()sincos23(FlmglFlmglw0! ! !0可任意变化且和0)sincos23(Flmgl0)sincos2(Flmgl0)sincos23(Flmgl0)sincos2(FlmglFmgtg23Fmgtg2利用广义力解利用广义力解jmgFcjmgFdiFFBiljlrccos2sin2jllillrd)sin2sin()cos2cos(jllillrB)sinsin()coscos(qrFQiiiB

17、BDDccrFrFrF0sincos23FlmglqrFQiiiiljlrccos2sin2jllillrd)sin2sin()cos2cos(jllillrB)sinsin()coscos(BdcxFymgymg)cos)sin2(Fllmg0Fmgtg2时绳中的张力.试用虚功原理求平衡菱形的顶角为2,一重为W的重物,C点系BD间用一轻绳连接,2a,EF两点支于光滑钉子上,AB和AD在E和F地连成菱形ABCD,长为l的四根轻杆光滑ABCDEFOxyTa分析分析坐标数坐标数6约约 束束6自由度自由度0广义坐标广义坐标?!解除一个约束解除一个约束一个自由度一个自由度W例三例三解解:取为广义坐标a

18、ctglyccos2cscsin22alycsinlxDcoslxD02DcxTywW0cos2)sin2csc(2Tlaw0可任意变化且)cscsin2(cos22allwTyxA),(yxB),(ccyxc长为 的匀质杆AB一端靠在光滑墙上,另一端靠在光滑固定曲面上,如果杆在与竖直墙间的夹角 的任意位置均能平衡,试求曲面形状.l2解解:取如图所示取如图所示 为广义坐标为广义坐标gmcos2lyycsin2lyyc?ddyy )(xyy 例四例四由虚功原理有由虚功原理有0cymgw0cy0)sin2(lddyyc00sin2lddy0sin2lddxdxdysinlx coslddx0sin

19、2lddxdxdycoslddx2222xlxltgldxdy积分上式积分上式cxly22210, 0yx2lc 22212xlly1)2()2(2222llylxP162,10-3MFABCll43ll411x2x3x取广义坐标为取广义坐标为)(313211xxxq)(21312xxq)2(313213xxxq求相应广义力求相应广义力?321QQQ3F3F1F2FlMFlMFFFFF33214143) 1 (332211qQqQqQW) 2(23332211xFxFxFxFW)(313211xxxq)2(313213xxxq)(21312xxq321121qqqx312qqx321321qq

20、qx) 3 ()2381()43(321qlMFqlMFqFWlMFQlMFQFQ2381433213.3.完整系的拉格朗日方程完整系的拉格朗日方程(Lagranges Equation for (Lagranges Equation for HolonomicHolonomic System) System)一一. .达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程平衡方程平衡方程001niiiiMorNF牛顿力学牛顿力学动力学方程动力学方程iiiiNFrm 达朗贝尔原理达朗贝尔原理0iiiirmNF 达朗贝尔达朗贝尔-拉格朗日方程拉格朗日方程).2 . 1(0)(NirrmFiiii 0iirN

21、二二. .完整系的拉格朗日方程完整系的拉格朗日方程f(q,t)qfqfdtd)(qfqf证明证明:qqffqfqf! ! !无关q与qf和tf两个重要公两个重要公式式q1q2qst).2 . 1(Stf广义速度dtdqqqssqqfqqfqqfqqfqqff.112211qqfqqfdtd)()(tfqqfqqfqfdtd)(f( =1 2 3s )=?)(qft 完整系的拉格朗日方程完整系的拉格朗日方程).2 . 1(0)(NirrmFiiii ).2 . 1(SqqrriiiirFiiirrm )(qrrmdtdiiiqqrFii).2 .1(Niqqrrmii ).2 . 1(NiqQq

22、qrdtdrmiii)(),.,(21tqqqrrsiiqqrrmqrrmdtdiiiii)(qqTqTdtd)(221iirmTiiirrm qqrdtdrmqrrmdtdiiiiii)()(系统的动能).321(s).321(Ni qfqfqfqfdtd)(qqTqTdtd)(iiirrm iirF).2 . 1(NiqQ).2 . 1(0)(NirrmFiiii ).2 .1()(SQqTqTdtd! ! !0可任意变化化且q0)(qQqTqTdtd对保守系对保守系qrFQii)()(qVVtqqTT).2 .1()(SQqTqTdtd).2 .1(0)(SqLqLdtdL=T-V 拉格

23、朗日函数拉格朗日函数irVqVqriSummary:)(tqqLL描述同一力学系统,dtdfL 和统.c是任意常数和cL描述同一力学系 T=)(tqqTV=V(q) L=T-V L L拉格朗日函数不唯一拉格朗日函数不唯一!t)f(qf1,32.sqqq 、L可以给出力学系统的所有信息规范不变性规范不变性4.4.运动积分的拉格朗日判据运动积分的拉格朗日判据(Constants of the Motion in the (Constants of the Motion in the LagranglanLagranglan Formulation) Formulation)一一. .循环坐标循环坐

24、标广义动量广义动量:qLp循环坐标循环坐标: :0qL如则称则称q q 为为循环坐标循环坐标p= p 0(conservation)qT).(tqqp角动量守恒为角量若q动量守恒为线量若q0)(qLqLdtdAttention:循环坐标是否出现及出现的多少循环坐标是否出现及出现的多少 是判断广义坐标是否合适的标志是判断广义坐标是否合适的标志循环坐标是否出现与广义坐标循环坐标是否出现与广义坐标选取有关选取有关二二. .动能表达式动能表达式数学补充数学补充: 欧拉齐次函数定理欧拉齐次函数定理如果f(x1 x2 x3 xN)是x1 x2 x3 xN 的n次齐次函数, 即对任意t,有).().(321

25、321NnNxxxxfttxtxtxtxf则称则称).(321Nxxxxfn次齐次函数Example:xyxyxf2),()2)(2()2()2 ,2(2yxxyxf二次齐二次齐次函数次函数)(222xyx 欧拉齐次函数定理欧拉齐次函数定理:).(3211NiNiixxxxnfxxf).().(321321NnNxxxxfttxtxtxtxf两边对t求导)(1)().(321ttxNitxtxtxtxtxfNNN证证明明).(3211Nnxxxxfnt).()(1)()(3211NniiixxxxfntttxNitxtxfiitxx 令).(1)(3211NniiixxxxfntxNixxf1

26、t令).(1)(321NiiixxxxnfxNixxfExample:xyxyxf2),()(2)2)(2()2()2 ,2(222xyxyxxyxf欧拉齐次函数定理欧拉齐次函数定理:),( yxnfyfyxfx二次齐二次齐次函数次函数)( 2)2(2xyxyxyxxyfyxfx系统有系统有N N个质点个质点, ,自由度为自由度为S S动能表达动能表达式式).2 . 1(212NirmTiitrqqrriiiqtrqrmiii).2 . 1,(21ScqbqqaqqqrqrmTiii212)(21trmii),(tqrrii2)(21trmCii012TTTTqqaT212qbT1CT 0qr

27、qrmiiiatrqrmbiii),(tqa),( tqb),( tqC).3 ,2, 1(s).3 , 2 , 1(Ni 三三. .广义能量积分广义能量积分)(,tqqLLqqLdtdLqqLdtd)()(qqLdtdtLqqLLdtd)(qLqLHtLdtdH定义广义能量定义广义能量qqL ).2 . 1(StLtLqqL tL如果如果0tL0dtdH)(0onconservatiHqLqLHVTTTTVTTTqLqLH02120122)(对完整对完整, ,保守保守, ,稳定稳定0tri)(02机械能守守恒EVTH非稳定保守系统非稳定保守系统, E, E不守恒不守恒?iiiiNFrm ir

28、ddVfNiiiiiiiirdrdrdtrdrdrdr frddVrdrdrmiiiiiiiiiirdfdVrmd)(221dtrdfdtVTdii)(0),(trfi0dttfrfdii0tfdtdE)(1tv)(2tN)(2tv运动路运动路径径)(1tNSummary:循环坐标是否出现与广义坐标选取有关循环坐标是否出现与广义坐标选取有关不要将不要将0混淆tr0与tL在涉及相对运动时在涉及相对运动时, ,广义能量是否代表体系广义能量是否代表体系机械能与参照系有关机械能与参照系有关一般情况下一般情况下).3 , 2 , 1(SpqLHVTH例题例题一质量为m的小环套在一光滑抛物线金属丝x2=4

29、ay上滑动,金属丝以匀角速绕y轴转动,试写出L,H,E.mxy解解:在转动坐标系中坐标数坐标数: :2约束约束: :) 1 (42ayx 自由度自由度: :1取如图所示取如图所示x为广义坐标为广义坐标x)2(j yi xrr)2(j yi xrj yi xdtrdVjyix=?=0=?iiayx42axxy2 )(2122yxmT )41 (212222xaxxmaxmgmgyV42VTL)41 (212222xaxxm)3(42axmg00trtL)2(j yi xr)3(4)41 (2122222axmgxaxxmLConclusion:在非惯性参照系中:满足完整,保守,稳定惯性离心力:d

30、xdVxme2xmVe221相对动能:)(2122yxmTr 22)41 (21xaxmVVTEerr22)41(21xaxmxm221Haxmg4222)41(21xaxmErxm221axmg42)tan(0tConsEr在静系中在静系中:xyztrRAo坐标数:约束:ayx42自由度:3) 4(422ayzx) 5 (ttgzx1取如图所示RoA 为广义坐标)6(4cossin2jaRk tRi tRr)6(4cossin2jaRk tRi tRri tRi tRdtrdvsincosk tRk tRcossinjaRR2)41 (212222RaRRmTmgaRmgyV42)41 (2

31、12222RaRRmLmgaR42EVTTHtr020)6(4cossin2jaRk tRi tRr222)(21qqrmT22)41 (21RaRm0)(1qtrqrmT222021)(21RmtrmTH22)41 (21RaRm2221RmmgaR42静系中的机械能静系中的机械能EmgaRRaRRmVvmE4)41 (21212222222H22)41 (21RaRm2221RmmgaR42Summary:自由度与参照系无关自由度与参照系无关约束是否稳定与参照系有关约束是否稳定与参照系有关广义能量是否代表机械能亦与参照系有关广义能量是否代表机械能亦与参照系有关弄清弄清0间的关系与tLtr0

32、拉格朗日方程的应用拉格朗日方程的应用解题步骤解题步骤分析约束分析约束, ,确定自由度确定自由度 选好广义坐标选好广义坐标写出体系的动能和势能及拉格朗日函数写出体系的动能和势能及拉格朗日函数 代入相应方程求解代入相应方程求解).2 . 1()(SQqTqTdtd).2 . 1(0)(SqLqLdtd解题注意点解题注意点广义坐标选取至关重要广义坐标选取至关重要 函数关系函数关系: :)(tqqTT)(tqqLL 动能形式柯尼西定理运用动能形式柯尼西定理运用 )(qVVTTTcT应是绝对绝对动能例例1 1用拉格朗日方程求自由质点在球坐标下广义力用拉格朗日方程求自由质点在球坐标下广义力的表达式的表达式

33、. .设其受力在设其受力在r,r, , , 三个方向的分量分三个方向的分量分别为别为F Fr, r, F F , , F F r解解:广义力广义力非保守系拉氏方程非保守系拉氏方程必先求动能必先求动能mxyzrdrrddrsin22)()(drds2222222sinrrrv2)(rd2)sin(drdscossinsincossinrzryrx2222zyxrrxyzcossinsincossinrzryrx)sin(21222222rrrmT2mrrT22sinmrrmrTrmrTdtd )(rQrTrTdtd)()sin(222 rrrmQrrFrrrm)sin(222 rrFQ )sin

34、(21222222rrrmT)cossin2()(222 rr rrmTTdtdQFrrrm)cossin2(2 rFQ )sin(21222222rrrmT)cos2sin2sin(sin)( rrrmrQTTdtdFrrrm)cos2sin2sin( sinrFQ rFQ FrQsinrrFQ 例例2 2质量为质量为m,m,长为长为2a 2a 的匀质棒的匀质棒AB, AB, 其其A A端可在光滑端可在光滑的水平导槽上滑动的水平导槽上滑动, ,而棒本身又可在竖直平面而棒本身又可在竖直平面内绕内绕A A点摆动点摆动.C.C点受一水平恒力点受一水平恒力F F作用作用, ,试用拉试用拉氏方程求其运

35、动微分方程氏方程求其运动微分方程. .ABFxyox)(ccyxC分析分析坐标数坐标数: :3约束数约束数: :1自由度自由度:2取如图所示取如图所示x为广义坐标为广义坐标sinaxxccosayccosaxxcsinayc根据柯尼西定理根据柯尼西定理TTTc)(2122cccyxmT )cos2(21222axaxm21221cIT2)2(121am2TTTc)34cos2(21222axaxmcosmaxmxT0 xTsincos)(2 mamaxmxTdtdiiixxrFQ广义力广义力xxFxymgcccosaycsinaxxcFQxFaaxm)sincos(2 sincos)cos34

36、(2mgaFaxaam 此题亦可用保存系拉格朗日方程此题亦可用保存系拉格朗日方程重力势能重力势能:cos1mgamgyVc恒力势能恒力势能:)sin(2axFFxVcsincos21FaFxmgaVVVVTL)34cos2(21222axaxmsincosFaFxmgaVTL)34cos2(21222axaxmsincosFaFxmgaFxL)cos(axmxL)cos()(2 aaxmxLdtdFaaxm)cos(2 )(xLdtd0 xLVTL)34cos2(21222axaxmsincosFaFxmgacossinsinFamgaxamL34cos2axamL34sincos2 axax

37、amLdtdsincos)cos34(2mgaFaxaam ABxy例例3 3一半径为一半径为r,r,质量为质量为m m的实心圆的实心圆柱体在一半径为柱体在一半径为R R的大圆柱体的大圆柱体内表面作纯滚动内表面作纯滚动, ,试用拉格朗试用拉格朗日方程求其在平衡位置附近作日方程求其在平衡位置附近作微振动的周期微振动的周期. .1o1oo分析分析ABABA)( rRrrR坐标数坐标数3约束数约束数2rrR oo1rR自由度自由度1demonstration取取 为广义坐标为广义坐标TTTc221ccmVT 2)(21rRm221cIT 222)(2121rrRmr22)(43rRcos)(rRmg

38、V22)(43rRmVTLcos)(rRmg0)(LLdtd0sin)()(232rRmgrRm sin )( 32rRg)( 32rRg质量为m的相同三质点等距离系于长为2 的不可伸长的轻绳上,系统静止在光华水平面上.若中间质点在某时刻获得与绳垂直且沿水平面的初速度 ,试用拉格朗日方程求左右两质点相遇时的速率.0v例五例五:0v分析分析坐标数坐标数5约束数约束数3自由度数自由度数2取如图所示取如图所示),(y为广义坐标为广义坐标ldemonstrationyyxABc解解:sinlxBcoslxBcoslyyBsinlyyB)(22222121BBcyxmymTLymlmlymsin2232

39、22sin223222ymlmlymL0yTsin23mlymyTcos2sin23)(2 mlmlymyTdtdyTyTdtd)(0cos2sin232 mlmlym) 1 (0cos2sin232 llysin223222ymlmlymL0sin22)(2ymlmlLLdtd )2(0sinyl ) 1 (0cos2sin232 lly) 3 (cossin2)22sin23 ( ?) 3 (cossin2)22sin23 ( dtd dtddddddd22sin23cossin222sin23)sin23 (21dd) 4()sin23ln(ln212c) 4()sin23ln(ln21

40、2c2121)sin23(c0, 0,2, 0vyyytABsinlyyB0sin0lvlylvt00lvc01) 5()sin23(2120lv0)sin23()(mlymdtdyTdtd2sin23Cly00,2, 0vylvt02vC ) 6(3)sin23 (0vly) 5()sin23(2120lv) 6 (3)sin23 (0vly) 5 ()sin23 (2120lvcoslxBsinlyyB相遇时相遇时 0) 7(300vy) 8 (300lv02102232vyxBBsin223222ymlmlymL利用守恒定律求解利用守恒定律求解0yLy是循环坐标是循环坐标)(sin231

41、constCmlymyLpy完整、保守、稳定00trtLVTHsin223222ymlmlym)(sin231constCmlymyLpyVTHsin223222ymlmlym02021Emv 20222sin423vy lly0100mvCmvpty0sin23vly20222sin423vy lly0sin23vly0相遇时，0031vy0031vl例六例六求一质量为m带电为q的带电粒子在电磁场数中运动时的拉格朗日函E和B预备知识)(BVEqF罗仑兹力罗仑兹力AB),(tzyxAAtBE矢势矢势解题思路解题思路QqTqTdtd)(qUqUdtdQ)(0)(qLqLdtd罗仑兹条件0tA麦克

42、斯韦方程组麦克斯韦方程组取直角坐标取直角坐标rzyx),(为广义坐标为广义坐标广义速度广义速度Vrzyx),(广义力广义力),(),(),(,rrFFFFQQQzyxzyx)(BVEqFtBEAB)(AtE0)(tAEqUqUdtdQ)(0)(tAEtAE令tAE= ?),(tzyxAAxxAdtAdyyAtAzzAAV)()()()(kjikzj yi xVzyxtAtAAVdtAd)(AVdtAdtA)(AVdtAdE)(tAE)(AVBVAVAVAVBV)()()()()()(bacacbcbaAVdtAdE)(AVAVBV)()()(BVEqF)(AVdtAdqF)(AVdtAdqFd

43、tAdAVqqF)(AVqqU与速度相关势与速度相关势qUqUdtdQ)(VAqqVmUTL221)(qAVqVAq例七例七质量为m的相同二质点用一长为 的轻杆连接初始时直立静止在光滑水平面上,以后任其倒下,试用拉格朗日方程求杆落地时的角速度.l分析分析坐标数坐标数3约束数约束数2自由度数自由度数1取如图所示取如图所示为广义坐标为广义坐标xy1m2m2122112212120)(xxxmxmlyxxxysin2lyccycos2lyc根据柯尼西定理根据柯尼西定理2221221ccIymT2221)2(2mllmIc)cos1 (41222mlTsinmglV )cos1 (41222mlVTL

44、sinmglsin)cos1 (41222mglmlVTLsincos2122mlLcosmgl)cos1 (2122mlL)cos1 (21)(22 mlLdtdcossin22ml拉格朗日方程拉格朗日方程0coscossin21)cos1 (212222mglmlml 0coscossin21)cos1 (212222mglmlml ?sin)cos1 (41222mglmlVTL0tL约束稳定约束稳定0222sin)cos1 (41EmglmlmglE 0lg20)(0constEVTH2122112212120)(xxxmxmlyxxyx质量为质量为m m的质点系在弹性的质点系在弹性

45、系数为系数为k k的弹簧上的弹簧上, ,弹簧系在以匀角速弹簧系在以匀角速 转转动的动的水平转台上的光华直槽内水平转台上的光华直槽内. .当当弹簧处于原长时质点到转台中心距弹簧处于原长时质点到转台中心距离最短离最短, ,试用拉格朗日方程求质点试用拉格朗日方程求质点作微振动的周期作微振动的周期. .解解:坐标数坐标数:2约束数约束数:1自由度数自由度数:1o oy取如图所示取如图所示y y为广义坐标为广义坐标例八：例八：o omyv22Ry ooR 根据余玄定理根据余玄定理cos2)(2222222RyyRyyv22cosRyRRyRyyv2)(22222221kyV VTL2)(22222RyR

46、yym221kyVTL221kykyymyL2RmymyL2)(22222RyRyymymyLdtd )(0)(2ykmym ymky)(2 mmk22mk 5.5.哈密顿正则方程哈密顿正则方程一一. .勒让特变换勒让特变换f= f (x, y)dyyxvdxyxudyyfdxxfdf),(),(xfuyfv新变量新变量vyux(?)(?)旧函数旧函数旧变量旧变量),(yxu),(yxv旧方程旧方程(Hamiltons Equation)fxyuvuvduuxxfdfduuyvuxu)(uyvuxuufvyvvxuvfuxu)(vxu)(dvvxxfduuyyfdvvyyfdvvyvvxu)(

47、uyv)(xyvyv)()(yvxufux)(yvxufvyyvxufF令),(vuxuFx),(vuyvFy新方程新方程),(yxuxfu),(yxvyfv旧方程旧方程新函数新函数保留变量保留变量旧变量旧变量x新变量新变量vfxyxv去掉变量去掉变量旧变量旧变量y新变量新变量uyxfdf)(vxyxfvu)(yxvyv)()(yvfxu)(yvfvyvxyvu)(xvyvfv)(dxvxyyfx()()dvxvyyfx()()fxyxv令 F= (-f + y v)新函数新函数Summary:(去掉旧变量y)(旧函数f)去掉旧变量y旧函数f新函数F(保留新变量v)(新函数F)去掉旧变量y(保

48、留旧变量x)(新函数F)去掉新变量uxFuvFy)(yvfxu)(yvfvy二二. .相空间和正则方程相空间和正则方程(q, p)一对正则变量一对正则变量s个广义坐标(q1, q2, q3. qs)s个广义动量(p1, p2, p3. ps)相空间相空间),(tqqL 旧函数)(:qq 旧变量qLqLpp新函数).(tpqHqLqLHpHq去掉旧变量qHp去掉新变量新变量新变量),(tqpH(去掉旧变量y)(旧函数f)去掉旧变量y旧函数f新函数F(保留新变量v)(新函数F)去掉旧变量y(保留旧变量x)(新函数F)去掉新变量upHqqHp保守系保守系) .(tpqHqLpqLqLH正则方程正则方

49、程非保守系非保守系) .(tpqHqTpqTqTH正则方程正则方程pHqQqHp).3 , 2 , 1(S).3 , 2 , 1(S对保守系对保守系) .(tpqHqLqLHqdpdpqdLdH),(tqqLLdqqLdLdqqLdHqdpdqpqdpdpqdttLqdqLdttLqdpdpqqdqLdttLdqpdHdttLdpq),(tpqHH dqqHdHdppHdttHqHppHqtLtH),.3,2, 1(S6.6.运动积分的哈密顿判据运动积分的哈密顿判据(H)(Constants of (H)(Constants of the motion in Hamiltonialthe mo

50、tion in Hamiltonial formation) formation)一一. .循环坐标循环坐标H=H(q , p ,t)中不显含的坐标循环坐标循环坐标0qHq q 循环坐标循环坐标0pHp p 循环坐标循环坐标)(0onconservatipp)(0onconservatiqq0qHp 0pHq 二二. .广义能量积分广义能量积分qqHdtdHqHppHqtHdtdHtLdtdH0tLdtH广义能量守恒广义能量守恒对完整对完整 保守保守 稳定系统稳定系统H=T+V=E0ppH).2 . 1(StH?tLtHdtdH),(tpqHH 7.哈密顿原理(Hamiltional Prin