MATLAB计算四类数学物理方程的举例求解课件.ppt

1、数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计第第5章章 四类数学物理方程的求解举例四类数学物理方程的求解举例数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计本章内容本章内容5.1 求解本征值型数学物理方程求解本征值型数学物理方程 5.2 求解稳定型数学物理方程求解稳定型数学物理方程5.3 求解热传导型数学物理方程求解热传导型数学物理方程5.4 求解波动型数学物理方程求解波动型数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计本征值问题简介本征值问题简介 用分离变量法解数学物理方程的时候，最后都用分离变量法解数学物理方程的时候，最后都会归结到求解本征值问题上

2、去。会归结到求解本征值问题上去。 在利用本征函数系展开法求解数学物理方程的在利用本征函数系展开法求解数学物理方程的时候，需要对所用的本征函数系有较好的理解时候，需要对所用的本征函数系有较好的理解 在本部分中讲介绍一维和二维本征值问题和相在本部分中讲介绍一维和二维本征值问题和相应的本征函数系应的本征函数系5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计一维本征值问题一维本征值问题 一维波动方程一维波动方程 令则分离变量可得20ttxxua uxl ,u x tX x T t20;0Ta TXX5.1 求解本征值型的数学物理方程求

3、解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计一维本征值问题一维本征值问题 一维热传导方程一维热传导方程令分离变量可得20txxua uxl ,u x tX x T t20;0Ta TXX5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计一维本征值问题一维本征值问题 二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程令分离变量可得00, 0 xxyyuuxayb ,u x yX x Y y120;0XXYY5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机

4、辅助设计一维本征值问题一维本征值问题 特点：特点： 分离变量后的方程都是一元一阶或二阶常微分方程 一阶常微分方程表明变量是衰减的，具有阻尼，即解中具有e的负指数因子 二阶常微分方程表明变量是振荡的，将具有一次或多次倍频的正弦或余弦的形式，即为本征函数。这儿的频率既可以指空间频率，也可指时间频率。 下面讲解二阶常微分方程获得的本征函数系 ,expu x tX xat5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计一维本征值问题的本征函数系一维本征值问题的本征函数系 本征函数系本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界上都是第一

5、类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是 000XXXX lsinnxl222,sin,1,2,3,nnxnll5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计一维本征值问题的本征函数系一维本征值问题的本征函数系 本征函数系本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界上都是第二类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是 0 00XXXXlcosnxl222,cos,0,1,2,nnxnll5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计一维本征值问题的本征函数系

6、一维本征值问题的本征函数系 本征函数系本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界中左边界是第一类边界条件，右边界上是第二类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是 000XXXXl1 2sinnxl2221 21 2,sin,0,1,2,nnxnll5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计一维本征值问题的本征函数系一维本征值问题的本征函数系 本征函数系本征函数系求解本征值问题注意到这里的两个边界中左边界是第二类边界条件，右边界上是第一类齐次边界条件。其本征值和本征函数分别是 0 00XXXX l1 2cosnxl222

7、1 21 2,cos,0,1,2,nnxnll5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计本征函数系图像本征函数系图像x=0:0.001:1; (p65)A=sin(pi*1:4*x);B=cos(pi*(0:3)*x);C=sin(pi*(1/2:7/2)*x);D=cos(pi*(1/2:7/2)*x);subplot(4,1,1); plot(x,A);subplot(4,1,2); plot(x,B);subplot(4,1,3); plot(x,C);subplot(4,1,4); plot(x,D);采用了矢量

8、化技术采用了矢量化技术5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计本征函数系运动图像本征函数系运动图像(振动问题振动问题)function zb %存储于文件zb.m中 (p65)t=0:0.005:2.0; x=0:0.001:1;ww1=wfun(1,0); ww2=wfun(2,0);ww3=wfun(3,0); ww4=wfun(4,0);ymax1=max(abs(ww1);figuresubplot(2,1,1); h1=plot(x,ww1,r,linewidth,5); hold on;h3=plot(x,

9、ww3,g,linewidth,5); axis(0 1 ymax1 ymax1);ymax4=max(abs(ww4);subplot(2,1,2); h2=plot(x,ww2,r,linewidth,5); hold on;h4=plot(x,ww4,g,linewidth,5); axis(0 1 ymax4 ymax4);csoinsnnxaltl5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计本征函数系运动图像本征函数系运动图像(振动问题振动问题)for n=2:length(t) ww1=wfun(1,t(n);

10、 set(h1,ydata,ww1); ww3=wfun(3,t(n); set(h3,ydata,ww3); drawnow ww2=wfun(2,t(n); set(h2,ydata,ww2); ww4=wfun(4,t(n); set(h4,ydata,ww4); drawnowendfunction wtx=wfun(k,t) %调用函数存储于wfun.m中x=0:0.001:1; a=1;wtx=cos(k*pi*a*t).*sin(k*pi*x);5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计本征函数系运动图像本

11、征函数系运动图像(热传导问题热传导问题)function sfb %存放于sfb.m中 (p67)x=0:0.01:1; t=1e-5:0.0001:0.005;ww1=sfbf(1,t(1); ww2=sfbf(2,t(1);ww3=sfbf(3,t(1); ww4=sfbf(4,t(1);ymax3=max(abs(ww3);figuresubplot(2,1,1); h1=plot(x,ww1,r,linewidth,3); hold on;h3=plot(x,ww3,g,linewidth,3); axis(0 1 ymax3 ymax3);ymax4=max(abs(ww4);sub

12、plot(2,1,2); h2=plot(x,ww2,r,linewidth,3); hold on;h4=plot(x,ww4,g,linewidth,3); axis(0 1 ymax4 ymax4);2exsinpa tnxl5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计本征函数系运动图像本征函数系运动图像(热传导问题热传导问题)for n=2:length(t) ww1=sfbf(1,t(n); set(h1,ydata,ww1); ww3=sfbf (3,t(n); set(h3,ydata,ww3); drawn

13、ow ww2=sfbf (2,t(n); set(h2,ydata,ww2); ww4=sfbf (4,t(n); set(h4,ydata,ww4); drawnowendfunction cht=sfbf (k,t) %调用函数存储于wfun.m中x=0:0.01:1;cht=sin(k*pi*x).*exp(-k2*pi2*22*t);5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况 矩形区域的本征模与本征振动矩形区域的本征模与本征振动边长为b和c的的四周固定的矩形

14、本征模的本征值问题为采用分离变量法可以得到本征模和本征值为xxyyuuu 22sinsinnmmnn xm yXx Yycbmnbc5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况下面绘制前下面绘制前4个本征函数的图形个本征函数的图形 (p70_1.m)a=2; b=1;m,n=meshgrid(1:3);L=(m*pi./b).2+(n*pi./b).2);x=0:0.01:a; y=0:0.01:b;X,Y=meshgrid(x,y);w11=sin(pi*Y./b)

15、.*sin(pi*X./a); w12=sin(2*pi*Y./b).*sin(pi*X./a); w21=sin(pi*Y./b).*sin(2*pi*X./a);w22=sin(pi*Y./b).*sin(3*pi*X./a);figuresubplot(2,2,1); mesh(X,Y,w11); subplot(2,2,2); mesh(X,Y,w12);subplot(2,2,3); mesh(X,Y,w21); subplot(2,2,4); mesh(X,Y,w22);5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助

16、设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况下面绘制前下面绘制前4个本征函数的运动图形：波动图形个本征函数的运动图形：波动图形波动问题中的时间因子的形式为这里的不妨取其中的正弦项加以展示 cossinmnmnmnmnmnTtCatDat sinmnmnTtatfunction p71_1 %p71_1.mb=2; c=1;x=0:0.02:b;y=0:0.02:c;X,Y=meshgrid(x,y);Z=ze

17、ros(51,51);p=moviein(2*3*60);for m=1:2 for n=1:3 for i=1:60 a=sqrt(m*pi/c).2+(n*pi/b).2); Z=sin(a*i*.02*pi)*sin(m*pi*Y./c).*sin(n*pi*X./b); mesh(X,Y,Z) t=本征振动：本征振动：,m=,int2str(m), n=,int2str(n); title(t); axis(0 b 0 c -1 1); p(:,(m-1)*3+(n-1)*60+i)=getframe; end endendMOVIE2AVI(p,D:A.avi)5.1 求解本征值型的

18、数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算

19、机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：矩形区域情况二维本征值问题：矩形区域情况5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：圆形区域情况二维本征值问题：圆形区域情况半径为 周边固定的

20、圆形膜的本征问题是本征模是其中下面讨论第一类其次边界条件下的本征值情形,uu sin,cosmmJmJm0,0,1,2,0,1,2,mnmnx05.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：圆形区域情况二维本征值问题：圆形区域情况m=0，n=0,1,2,3的贝塞尔函数的前4个本征函数图形r=0:0.01:1; %(p71_1.m)y=inline(besselj(0,x),x);x(1)=fzero(y,1);plot(r,y(x(1)*r)hold onfor k=1:3 x(k+1)=fzero(y,x(

21、k)+3); plot(r,y(x(k+1)*r);end5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：圆形区域情况二维本征值问题：圆形区域情况圆域内m=0，n=0,1,2,34个本征模图形 (p75_1.m)XX,YY=meshgrid(-1:0.01:1);Q,R=cart2pol(XX,YY);R(find(R1)=NaN;y=inline(besselj(0,x),x);x(1)=fzero(y,3);meshc(XX,YY,y(x(1)*R)for k=1:3 x(k+1)=fzero(y,x(k)

22、+2); figure meshc(XX,YY,y(x(k+1)*R);end5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：圆形区域情况二维本征值问题：圆形区域情况圆域内m=1，n=0,1,2,3的4个本征模图形 (p76_1.m)XX,YY=meshgrid(-1:0.01:1);Q,R=cart2pol(XX,YY);R(find(R1)=NaN;y=inline(besselj(1,x),x);x(1)=fzero(y,3);meshc(XX,YY,y(x(1)*R ).*sin(Q)for k=1:3

23、 x(k+1)=fzero(y,x(k)+2); figure meshc(XX,YY,y(x(k+1)*R ).*sin(Q);end5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：圆形区域情况二维本征值问题：圆形区域情况圆域内m=2，n=0,1,2,3的4个本征模图形XX,YY=meshgrid(-1:0.01:1);Q,R=cart2pol(XX,YY);R(find(R1)=NaN;y=inline(besselj(2,x),x);x(1)=fzero(y,4);meshc(XX,YY,y(x(1)*R

24、 ).*sin(2*Q)for k=1:3 x(k+1)=fzero(y,x(k)+2); figure meshc(XX,YY,y(x(k+1)*R ).*sin(2*Q);end5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：圆形区域情况二维本征值问题：圆形区域情况 用用PDE工具箱求解工具箱求解 步骤步骤 命令窗口中键入pdetool进入PDE工具箱界面 以原点为中心绘一个半径为1的圆 选择方程类型为Eigenmodes，参数c=1,a=0,d=1 边界条件设置为固定（默认） 细分网格 设置求解参数中本征

25、值搜索范围为0100 打开作图对话框选择需要作图的类型和本征值，并作图数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形 实数形式的球函数 其中 是连带勒让德函数。 复数形式的球函数cossin1,2,3,coscos0,1,2,mlmlmlPmmlYPmml cosmlP! 21,cosexp i!40,1,2,1,1,mmlllmlYPmlmlmllll 5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形 球

26、函数的图形 球函数是在球面上的二元函数，它是从球函数方程的本征问题中得到的本征函数系。 球函数的图形是空间图形，为了画出其图形，必须指定球的半径 对复数形式的球函数，必须对其实部和虚部分别作图 可以用角变量作为平面上的x、y轴的变量画出球函数图5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形l=3; m=2; R=4; A=3; delta=pi/40; %(p81_1.m)theta0=0:delta:pi; phi=0:2*delta:2*pi;phi,theta=m

27、eshgrid(phi, theta0);Ymn=legendre(l,cos(theta0); Ymn=Ymn(m+1,:);L=size(theta,1); yy=repmat(Ymn,1,L);Reyy=yy.*cos(m*phi); Imyy=yy.*sin(m*phi);ReM=max(max(abs(Reyy);Rerho=R+A*Reyy/ReM;Rer=Rerho.*sin(theta); Rex=Rer.*cos(phi);Rex=Rer.*sin(phi); Rez=Rerho.*cos(theta);5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模

28、与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形subplot(1,2,1); surf(Rex,Rey,Rez); light; lighting phong;axis(square); axis(-5 5 -5 5 -5 5); axis (off); view(40,30)title(实球谐函数);ImM=max(max(abs(Imyy);Imrho=R+A*Imyy/(ImM+eps*(ImM=0);Imr=Imrho.*sin(theta); Imx=Imr.*cos(phi);Imx=Imr.*sin(phi); Imz=Imr

29、ho.*cos(theta);subplot(1,2,2); surf(Imx,Imy,Imz); light; lighting phong;axis(square); axis(-5 5 -5 5 -5 5); axis (off); view(40,30)title(虚球谐函数);5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形figuresubplot(3,1,1); surf(theta,phi,Reyy);xlabel(theta); ylabel(phi);

30、subplot(3,1,2); surf(theta,phi,Imyy);xlabel(theta); ylabel(phi);subplot(3,1,3); surf(theta,phi,(Reyy.2+Imyy.2);xlabel(theta); ylabel(phi);5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形03,Y 5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图

31、形二维本征值问题：球函数的图形13,Y 5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形23,Y 5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形33,Y 5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：球函数的图形二维本征值问题：球函数的图形26,Y 5.1 求解本

32、征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：拉普拉斯方程二维本征值问题：拉普拉斯方程 矩形区域的拉普拉斯方程求解方法：利用PDE工具箱00, 030,0,sin3,00,0sinxxyyuuxaybyuyu a ybyu xu x bb5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：拉普拉斯方程二维本征值问题：拉普拉斯方程采用Heat transfer类型的时候，此类方程属于椭圆型方程采用Generic scalar类型的时候，此类方程为

33、1,0,0,0extextk TQh TTkQhT1,0,0c Taufcaf5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维本征值问题：拉普拉斯方程二维本征值问题：拉普拉斯方程5.1 求解本征值型的数学物理方程求解本征值型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程 问题问题1：阳光照射的圆柱的温度分布：阳光照射的圆柱的温度分布 半径为a，表面熏黑的均匀长圆柱，在温度为零的空气中受阳光的照射，阳光垂直于柱轴，热流强度为q，试求柱内稳定的温度分布 定解问题是 其中

34、0aukuHuf sin00qfother case 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程 问题的解析解为a=1; H=1.5; k=0.3; h=0.2; q=5; N=20; %(p91_1.m)p=0:0.05:1; theta=0:pi/30:2*pi;Th,P=meshgrid(theta,p); X,Y=pol2cart(Th,P);z=0;u0=q/H/pi+1/(k+H*a)*q/2.*P.*sin(Th);for n=1:N zz=2*q/pi/a(2*n-1)/(2*

35、n*k+a*H)/(1-4*n2)*P.(2*n).*cos(2*n*Th); z=z+zz;end2212112sincos2221 4nnnqqqunHkHaankHan 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程u=u0+z;figure(1); surfc(X,Y,u);figure(2); contour3(X,Y,u,20); 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程 可用PDE

36、工具箱求解 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计二维拉普拉斯方程二维拉普拉斯方程 问题问题2：云与大地间的电缆：云与大地间的电缆 带电的云与大地间存在一个均匀的电场，平行于大地的电缆相当于无限长导体。在平行于电场的方向作垂直于电缆的截面，研究截面上的电势分布。 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 问题问题1：静电场中的介质球：静电场中的介质球 在电场强度为E的静电场中放置均匀的介质球，球的半径是r0，介电常数为

37、，求介质球内外的电场强度。 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 问题问题2：带有电荷的细圆环的电场：带有电荷的细圆环的电场 均匀细圆环，半径为a，环上带有40q的单位电荷，求空间的电势分布 该问题可用三种计算机方法求解(1)对解析解可视化(2)用PDE工具箱求解(3)直接用数值计算方法计算 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(1) 解析解的可视化 (p94_1.m) 22220

38、2122202 !1cos2!,2 !1cos2!lllllllllllqrPraaaly rlqaPraarl 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(2) 用PDE工具箱求解 (重点讲解) 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(3) 用数值积分法求解 (p97_1.m) (重点讲解)2220201, ,4cossindv x y zxyz 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定

39、型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程

40、数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 问题问题3：均匀圆盘的引力势：均匀圆盘的引力势质量均匀的圆盘半径为a，质量为M，求它在空间的引力势 定解问题是 4,0,00uGQ ruuu r=,u r 有解有解有解2,2MQ rH ara r 10arH arar 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(1) 解析解的MATLAB可视化 (p100_1.m)问题的解析解是： 21220220222010cos12110cos2122210cos2

41、1loutlllinlllllllGMauPPalrGM ruPPaallGMrPPala 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(2) 用PDE工具箱求解 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 问题问题4：环形电流磁感应强度：环形电流磁感

42、应强度 圆线圈的半径为a，通有电流I，求空间任意一点的磁感应强度B(1) 用连带勒让德函数表示解析解，再用MATLAB可视化(2) 用椭圆函数表示解析解，再用MATLAB可视化(3) 用数值积分方法可视化 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(1) 用连带勒让德函数表示解析解 (p104_1.m)解析解表示为 211021210221021210211021210221021210,0cos2,0cos21,0cos2211,0cos222lrllllllllrlllllllIrBrPP

43、raraIaBrPPrarrIrBrPPrarlaIaBrPPrrlr a 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(2) 利用椭圆函数表示解析表达式利用毕奥萨伐尔定律可以得到环形电流在空间的磁感应强度的

44、解析表达式03d4IR lRB220222222022222cos42sinsin2sin0242sin2sinxyzIarBEKararararBIarBEKarararar 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程其中E和K是椭圆函数(p107_1.m) 查找p109的程序在MATLAB中计算椭圆函数的指令为 ellipke22222442202222222440222d11 31 3 51222 42 4 61sin11 31 3 51sind1222 42 4 64sin2sinxK

45、kkkkxEkx xkkkarkarar 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(3) 利用数值积分求磁感应强度 (p112_1.m) 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程利用毕奥萨伐尔定律可以直接给出表达式取x=0，画出y-z平面上的磁感应强度分布。可得到203d, ,cossincossin4xxxIx y zzzxyRBeee203d0, ,cossinsin4xxxIy zz

46、zyRBeee 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程

47、5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 问题问题5：柱体内温度场分布之一：柱体内温度场分布之一(Jv的应用的应用) 半径为b高度为h的圆柱体，其侧面绝热，下底温度保持零度 ，上底温度为，求圆柱体内稳定的温度分布。 这个定解问题是 此问题的解是20u200,0,00,uub zuzuzhu 111020202211110sinh4,2sinhnnnnnnnxxzJu Jxbbu buzzhxxJxhbb 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学

48、物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程取b=1.5，u0=1，h=0.5，需计算贝塞尔函数的零点(1) 用MATLAB对解析解可视化 (p115_1.m) 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(2) 用PDE工具箱求解 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 问题问题6：柱体内温度场分布之二：柱体内温度场分布之二(Jv的应用的应用) 均匀圆柱，半径为 ，高L，下底面

49、和侧面保持零度，上底面上温度分布为 ，求解柱内稳定的温度分布。 定解问题是 问题的解是0 2f020,0,0,00,uuzuzuzuzL 有限 002000200001010sinh14,21sinhnnnnnnnxzxuJxLxJxx 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(1) 用MATLAB对解析解可视化 (p117_1.m) 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程(2) 用PD

50、E工具箱求解 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设计数学物理建模与计算机辅助设计三维拉普拉斯方程三维拉普拉斯方程 问题问题7：柱体内温度场分布之三：柱体内温度场分布之三(I0的应用的应用) 匀质圆柱，半径为 ，高L，柱侧有均匀分布的热流进入，其强度为q0。圆柱上下底面保持为恒温度u0。求解柱内稳定的温度分布。 令 ，则定解条件为 解为00uuv000,0,00,0vkvzqvzvzvzL 有限00022000212141sin2121llILlzLquukLllIL 5.2 求解稳定型的数学物理方程求解稳定型的数学物理方程数学物理建模与计算机辅助设