全等三角形(常见辅助线).ppt课件.ppt
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- 全等 三角形 常见 辅助线 ppt 课件
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1、ABDEFMN第一关如图如图,AB=AD,BC=DC,AB=AD,BC=DC,求证求证:B=D.:B=D.ACBD连接连接ACAC构造全等三角形构造全等三角形连线连线 构造全等构造全等连线连线 构造全等构造全等如图如图,AB,AB与与CDCD交于交于O, O, 且且AB=CDAB=CD,AD=BCAD=BC,OB=5cmOB=5cm,求,求ODOD的长的长. .连接连接BDBD构造全等三角形构造全等三角形ACBDO第二关如图如图, ,ABCABC中中, C =90, C =90o o,BC=10,BD=6,BC=10,BD=6, AD AD平分平分BAC,BAC,求点求点D D到到ABAB的距
2、离的距离. .过点过点D D作作DEABDEAB于点于点E EACDBE角平分线上的点向角两边做垂线段角平分线上的点向角两边做垂线段PD=PE.PD=PE.如图如图,OC ,OC 平分平分AOB,AOB,角平分线上点向两边作垂线段角平分线上点向两边作垂线段过点过点P P作作PFOA,PG OBPFOA,PG OB垂足为点垂足为点F, F,点点G GFGACDBEPODOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180DOE +DPE =180求证求证: :证明证明: :例例1 1已知:如图,在四边形已知:如图,在四边形ABCDABCD中,中,BDBD是是ABCABC的
3、的角平分线,角平分线,AD=CDAD=CD,求证:,求证:A+C=180A+C=180DABCM作作DMBC于于M,DNBA交交BA的延长线于的延长线于N。 BD是是ABC的角平分线(已知)的角平分线(已知)1=2(角平分线定义)(角平分线定义) DNBA,DMBC(已知)(已知)N=DMB=90(垂直的定义)(垂直的定义)在在NBD和和MBD中中 N=DMB (已证)(已证) 1=2(已证)(已证) BD=BD(公共边)(公共边)NBD MBD(A.A.S)12 4=C(全等三角形的对应角相等)(全等三角形的对应角相等) N433 32 21 1* * ND=MD(全等三角形的对应边相等)(
4、全等三角形的对应边相等) DNBA,DMBC(已知)(已知)NAD和和MCD是是Rt在在RtNAD和和RtMCD中中 ND=MD (已证)(已证) AD=CD(已知)(已知)RtNAD RtMCD(H.L) 3+ 4180(平角定义),(平角定义), A3(已证)(已证)A+ C180(等量代换)(等量代换)第三关第三关 ABCABC中中,AB,ABAC AC ,A A的平分线与的平分线与BCBC的垂直平分线的垂直平分线DMDM相交于相交于D D,过,过D D作作DE DE ABAB于于E E,作,作DFACDFAC于于F F。 求证:求证:BE=CFBE=CFABCDEFM连接连接DB,DC
5、垂直平分线上点向两端连线段垂直平分线上点向两端连线段如图,已知三角形如图,已知三角形ABCABC中中,BC,BC边上的垂直平分线边上的垂直平分线DEDE与角与角BACBAC的平分线交于点的平分线交于点E E,EFEF垂直垂直ABAB交交ABAB的延长线于点的延长线于点F F,EGEG垂直垂直ACAC交交ACAC于点于点G G。求证:。求证:(1)BF=CG(1)BF=CG (2) (2)判定判定AB+ACAB+AC与与AFAF的关系的关系第四关第四关截长补短法m = 42.35m = 42.23已知在已知在ABC中,中,C=2B, 1=2求证求证:AB=AC+CDADBCE12在在AB上取点上
6、取点E使得使得AE=AC,连接,连接DE截长截长F在在AC的延长线上取点的延长线上取点F使得使得CF=CD,连接,连接DF补短补短A1BCD234如图所示,已知如图所示,已知ADBC,1=2,3=4,直线,直线DC经过点经过点E交交AD于点于点D,交交BC于点于点C。求证:。求证:AD+BC=ABEF在在AB上取点上取点F使得使得AF=AD,连接连接EF截长补短证明证明:例例1 1已知:如图,在四边形已知:如图,在四边形ABCDABCD中,中,BDBD是是ABCABC的的角平分线,角平分线,AD=CDAD=CD,求证:,求证:A+C=180A+C=180DABCE在在BC上截取上截取BE,使,
7、使BE=AB,连结,连结DE。 BD是是ABC的角平分线(已知)的角平分线(已知)1=2(角平分线定义)(角平分线定义)在在ABD和和EBD中中 AB=EB(已知)(已知) 1=2(已证)(已证) BD=BD(公共边)(公共边)ABD EBD(S.A.S)1243 3+ 4180(平角定义),(平角定义),A3(已证)(已证)A+ C180 (等量代换)(等量代换)3 32 21 1* * A3(全等三角形的对应角相等)(全等三角形的对应角相等) AD=CD(已知),(已知),AD=DE(已证)(已证)DE=DC(等量代换)(等量代换)4=C(等边对等角)(等边对等角)AD=DE(全等三角形的
8、对应边相等)(全等三角形的对应边相等)证明证明: :例例1 1已知:如图,在四边形已知:如图,在四边形ABCDABCD中,中,BDBD是是ABCABC的的角平分线,角平分线,AD=CDAD=CD,求证:,求证:A+C=180A+C=180DABCF延长延长BA到到F,使,使BF=BC,连结,连结DF。 BD是是ABC的角平分线(已知)的角平分线(已知)1=2(角平分线定义)(角平分线定义)在在BFD和和BCD中中 BF=BC(已知)(已知) 1=2(已证)(已证) BD=BD(公共边)(公共边)BFD BCD(S.A.S)1243 FC(已证)(已证)4=C(等量代换)(等量代换)3 32 2
9、1 1* * FC(全等三角形的对应角相等)(全等三角形的对应角相等) AD=CD(已知),(已知),DF=DC(已证)(已证)DF=AD(等量代换)(等量代换)4=F(等边对等角)(等边对等角) 3+ 4180 (平角定义)(平角定义)A+ C180 (等量代换)(等量代换)DF=DC(全等三角形的对应边相等)(全等三角形的对应边相等)练习练习1 1如图,已知如图,已知ABCABC中,中,ADAD是是BACBAC的角平分线,的角平分线,AB=AC+CDAB=AC+CD,求证:,求证:C=2BC=2BABCDE122 21 1证明证明: :在在AB上截取上截取AE,使,使AE=AC,连结,连结
10、DE。 AD是是BAC的角平分线(已知)的角平分线(已知)1=2(角平分线定义)(角平分线定义)在在AED和和ACD中中 AE=AC(已知)(已知) 1=2(已证)(已证) AD=AD(公共边)(公共边)AED ACD(S.A.S)3B=4(等边对等角)(等边对等角)4* * C3(全等三角形的对应角相等(全等三角形的对应角相等)又又 AB=AC+CD=AE+EB(已知)(已知)EB=DC=ED(等量代换)(等量代换) 3= B+4= 2B(三角形的一个外角等于(三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)和它不相邻的两个内角和)C=2B(等量代换)(等量代换)ED=CD(全等三角形的对应边相
11、等)(全等三角形的对应边相等)练习练习1 1如图,已知如图,已知ABCABC中,中,ADAD是是BACBAC的角平分线,的角平分线,AB=AC+CDAB=AC+CD,求证:,求证:C=2BC=2BABCDF12证明证明: :延长延长AC到到F,使,使CF=CD,连结,连结DF。 AD是是BAC的角平分线(已知)的角平分线(已知)1=2(角平分线定义)(角平分线定义) AB=AC+CD,CF=CD(已知)(已知) AB=AC+CF=AF(等量代换)(等量代换) ACB= 2F(三角形(三角形的一个外角等于和它不相的一个外角等于和它不相邻的两个内角和)邻的两个内角和)ACB=2B(等量代换)(等量
12、代换)32 21 1* *在在ABD和和AFD中中 AB=AF(已证)(已证) 1=2(已证)(已证) AD=AD(公共边)(公共边)ABD AFD(S.A.S) FB(全等三角形的对应角相等)(全等三角形的对应角相等) CF=CD(已知)(已知)B=3(等边对等角)(等边对等角)第五关第五关如何利用三角形的中线来构造全等三角形?如何利用三角形的中线来构造全等三角形? 可以利用可以利用倍长中线法倍长中线法,即把中线,即把中线延长一倍,来构造全等三角形。延长一倍,来构造全等三角形。 如图,若如图,若AD为为ABC的中线,的中线, 必有结论必有结论:ABCDE12 延长延长AD到到E,使,使DE=
13、AD,连结连结BE(也可连结(也可连结CE)。)。ABD ECD,1=E,B=2,EC=AB,CEAB。已知,如图已知,如图ADAD是是ABCABC的中线,的中线,ABCDE)(21ACABAD求证:延长延长ADAD到点到点E E,使,使DE=ADDE=AD,连结连结CE.CE.思考:若思考:若AB=3,AC=5AB=3,AC=5求求ADAD的取值范围?的取值范围?倍长中线如图,已知直线如图,已知直线MNPQMNPQ,且,且AEAE平分平分BANBAN、BEBE平分平分QBAQBA,DCDC是过是过E E的任意线段,交的任意线段,交MNMN于点于点D D,交,交PQPQ于于点点C C。求证:。
14、求证:AD+AB=BCAD+AB=BC。证明证明: :延长延长AEAE,交直线,交直线PQPQ于点于点F F。* *3 30 0* * *22222121ABCDEMNPQ1234F5第六关第六关1. 1.如图如图, ,ABCABC中中,C=90,C=90o o,AC=BC,AD,AC=BC,AD平分平分ACB,ACB, DEAB. DEAB.若若AB=6cm,AB=6cm,则则DBEDBE的周长是多少的周长是多少? ?.“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“角平分线性质角平分线性质”BACDEBE+BD+DEBE+BD+CDBE+BCBE+ACBE+AEAB2. 2.如图如图, ,AB
15、CABC中中, D, D在在ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上, ,E E在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上. .若若BC=6cm,BC=6cm,求求ADEADE的周长的周长. .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“垂直平分线性质垂直平分线性质”BACDEAD+AE+DEBD+CE+DEBC5. 5.如图如图, , ABCABC中,中,BPBP、CPCP是是ABCABC的角平分线,的角平分线,MN/BC.MN/BC.若若BC=6cm, BC=6cm, AMNAMN周长为周长为13cm13cm,求,求ABCABC的周长的周长. .“周长问题周长问题”的转化的转化 借助借助“等腰三
16、角形性质等腰三角形性质”BACPAB+AC+BCAM+ BM+AN+NC+6NAM+ MP+AN+NP+613+6MAM+AN+MN+6线段与角求相等,先找全等试试看。线段与角求相等,先找全等试试看。图中有角平分线,可向两边作垂线。图中有角平分线,可向两边作垂线。 线段垂直平分线,常向两端把线连。线段垂直平分线,常向两端把线连。 线段计算和与差,巧用截长补短法。线段计算和与差,巧用截长补短法。三角形里有中线,延长中线三角形里有中线,延长中线=中线。中线。想作图形辅助线,切莫忘记要双添。想作图形辅助线,切莫忘记要双添。 历史岳麓版第13课交通与通讯的变化资料精品课件欢迎使用自读教材自读教材填要点
17、填要点 一、铁路,更多的铁路一、铁路,更多的铁路 1地位地位 铁路是铁路是 建设的重点,便于国计民生,成为国民经济建设的重点,便于国计民生,成为国民经济发展的动脉。发展的动脉。 2出现出现 1881年,中国自建的第一条铁路年,中国自建的第一条铁路唐山唐山 至胥各庄铁至胥各庄铁路建成通车。路建成通车。 1888年,年,宫廷宫廷专用铁路落成。专用铁路落成。交通运输交通运输开平开平 3发展发展 (1)原因:原因: 甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 。 修路成为中国人修路成为中国人 的强烈愿望。的强烈愿望。 (2)成果:成果:1909年年 建成通车;民国以后,各条商
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