测量误差理论基础课件.ppt

1、第第5章章 测量误差理论基础测量误差理论基础5.1 测量误差概述测量误差概述5.2 偶然误差的统计规律性偶然误差的统计规律性5.3 偶然误差的分布偶然误差的分布5.4 衡量精度的数字衡量精度的数字指标指标5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法5.6 误差传播定律误差传播定律5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用5.8 相对精度指标相对精度指标权权5.9 单位权中误差单位权中误差5.10 测量平差原理测量平差原理5.11 误差理论基础应用实例误差理论基础应用实例5.1 测量误差概述测量误差概述5.1.1测量误差的概念测量误差的概念l测量工作的任务概括地讲，是确定待定点之间

2、的空间相对测量工作的任务概括地讲，是确定待定点之间的空间相对关系，通过测定两点之间的长度、方位、高差等称为观测关系，通过测定两点之间的长度、方位、高差等称为观测值的基本数值，然后利用这些相互之间有联系的观测值，值的基本数值，然后利用这些相互之间有联系的观测值，确定某一点位在给定的参照系中的位置。观测值的正确值确定某一点位在给定的参照系中的位置。观测值的正确值理沦上是客观存在的，在测量学中称为真值，但实际上由理沦上是客观存在的，在测量学中称为真值，但实际上由于观测条件不可能完美无缺，所以真值是不可能测量到的于观测条件不可能完美无缺，所以真值是不可能测量到的。若设某观测量的真值以。若设某观测量的真

3、值以X表示，观测值为表示，观测值为L，则观测误，则观测误差为差为 =X-L返回下一页5.1 测量误差概述测量误差概述l 由于是误差的真值，又称真误差。显然，由于是误差的真值，又称真误差。显然，X是不可知的是不可知的，从而也是不可知的。，从而也是不可知的。l测量上使用精度的概念来衡量观测质量的高低，因此，观测量上使用精度的概念来衡量观测质量的高低，因此，观测误差大，称为观测值精度低测误差大，称为观测值精度低;反之，观测误差小，称为反之，观测误差小，称为观测值精度高。观测值精度高。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述5. 1. 2测量误差产生的原因测量误差产生的原因l1.观测者的因素观

4、测者的因素l观测者受其感觉器官辨别能力的局限，在观测过程的仪器观测者受其感觉器官辨别能力的局限，在观测过程的仪器对中、整平、照准、读数等各个环节都会产生误差，并且对中、整平、照准、读数等各个环节都会产生误差，并且由于观测者技术水平、感觉器官辨识能力、工作态度的差由于观测者技术水平、感觉器官辨识能力、工作态度的差异，都会对观测成果造成不同程度的误差。异，都会对观测成果造成不同程度的误差。l2.测量设备的因素测量设备的因素l测量设备质量的优劣也会对测量成果产生不同的影响，其测量设备质量的优劣也会对测量成果产生不同的影响，其他条件相同的情况下，高质量的观测仪器会产生较小的观他条件相同的情况下，高质量

5、的观测仪器会产生较小的观测误差，反之会产生较大的观测误差。测误差，反之会产生较大的观测误差。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述l不难理解，标称精度为不难理解，标称精度为2”级的经纬仪在同等条件下，观级的经纬仪在同等条件下，观测质量应比标称精度为测质量应比标称精度为6”级仪器高，级仪器高，S1级的水准仪，观级的水准仪，观测质量应比测质量应比S3级的水准仪高等。级的水准仪高等。l3.观测环境的因素观测环境的因素l测量观测工作是在野外进行的，外界的观测环境会对观测测量观测工作是在野外进行的，外界的观测环境会对观测值质量产生不容忽视的影响。气温急剧变化时，会使得观值质量产生不容忽视的影响

6、。气温急剧变化时，会使得观测目标成像跳动测目标成像跳动;光线昏暗时，会使目标成像不清晰，这光线昏暗时，会使目标成像不清晰，这都会造成照准误差。另外，观测时视线通过密度不等的空都会造成照准误差。另外，观测时视线通过密度不等的空气时，会由于大气折光使光线不再是直线，事实上也造成气时，会由于大气折光使光线不再是直线，事实上也造成照准误差。照准误差。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述5. 1. 3测量误差的分类测量误差的分类l测量误差按性质可分为三类测量误差按性质可分为三类:一类为系统误差一类为系统误差;一类为偶然一类为偶然误差误差(又称随机误差又称随机误差);此外，还有属于错误性质的第

7、三类此外，还有属于错误性质的第三类:“粗差粗差”。l1.系统误差系统误差l若观测过程中，观测误差在符号或大小上表现出一定的规若观测过程中，观测误差在符号或大小上表现出一定的规律性，在相同观测条件下，该规律保持不变或变化可预测律性，在相同观测条件下，该规律保持不变或变化可预测，则称具有这种性质的误差为系统误差。例如用一只标称，则称具有这种性质的误差为系统误差。例如用一只标称长度为长度为30m，而其实际长度为，而其实际长度为29. 99m的钢尺来量距的钢尺来量距，则每测量，则每测量30m的距离，就会产生的距离，就会产生1cm的误差，丈量所的误差，丈量所得得60m的距离，实际长度仅为的距离，实际长度

8、仅为59. 98m。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述l系统误差是由仪器构造不完善、观测环境不理想等有规律系统误差是由仪器构造不完善、观测环境不理想等有规律的因素造成的。系统误差对观测值的影响所具有的符号、的因素造成的。系统误差对观测值的影响所具有的符号、大小上的规律性，使其一般不能通过多次观测简单地取平大小上的规律性，使其一般不能通过多次观测简单地取平均值加以削弱，其对观测值的影响通常具有积累作用，对均值加以削弱，其对观测值的影响通常具有积累作用，对成果质量危害特别显著。因此，测量作业时必须采取相应成果质量危害特别显著。因此，测量作业时必须采取相应的处理措施将其消除，或削弱到可

9、以忽略不计的程度。的处理措施将其消除，或削弱到可以忽略不计的程度。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述l2.偶然误差偶然误差l在相同观测条件下，取得一系列等精度观测值，若误差的在相同观测条件下，取得一系列等精度观测值，若误差的大小、符号没有任何规律，即在一定限度内，不能对可能大小、符号没有任何规律，即在一定限度内，不能对可能出现的误差作任何预测，则这一类的误差就称为偶然误差出现的误差作任何预测，则这一类的误差就称为偶然误差，又称随机误差。例如，用经纬仪测角时，用望远镜瞄准，又称随机误差。例如，用经纬仪测角时，用望远镜瞄准目标时产生的照准误差目标时产生的照准误差;水准测量时，瞄准水准

10、尺估读毫水准测量时，瞄准水准尺估读毫米的读数误差等，都属于偶然误差。偶然误差是由观测人米的读数误差等，都属于偶然误差。偶然误差是由观测人员分辨能力局限、设备精确性、不良的观测条件等诸多因员分辨能力局限、设备精确性、不良的观测条件等诸多因素引起的，在测量工作中是不可避免的。素引起的，在测量工作中是不可避免的。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述l3.粗差粗差l粗差是指一定观测条件下，超出正常范围的误差值。粗差粗差是指一定观测条件下，超出正常范围的误差值。粗差理沦上应归于错误一类，如读数、输人数据、照准目标错理沦上应归于错误一类，如读数、输人数据、照准目标错误等人为因素影响，或因测量设

11、备出现故障而造成。误等人为因素影响，或因测量设备出现故障而造成。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述5. 1. 4测量误差的处理原则测量误差的处理原则l观测误差中的粗差属于错误，理沦上是完全可以避免的。观测误差中的粗差属于错误，理沦上是完全可以避免的。在测量工作中，为了发现和剔除含错误的观测值，总是采在测量工作中，为了发现和剔除含错误的观测值，总是采用有一定多余观测数的观测程序，有了多余观测值，就能用有一定多余观测数的观测程序，有了多余观测值，就能检核发现粗差。检核发现粗差。l在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生的。当在观测过程中，系统误差和偶然误差总是同时产生的。当观测结

12、果中有明显的系统误差时，偶然误差就处于次要地观测结果中有明显的系统误差时，偶然误差就处于次要地位，观测误差就呈现出位，观测误差就呈现出“系统性系统性”;反之，当观测结果中反之，当观测结果中系统误差居次要地位时，观测误差就呈现系统误差居次要地位时，观测误差就呈现“偶然性偶然性”。返回下一页上一页5.1 测量误差概述测量误差概述l如前所述，偶然误差不可避免，而系统误差由于具有明显如前所述，偶然误差不可避免，而系统误差由于具有明显的规律性，所以总是可以利用其规律采取各种办法消除或的规律性，所以总是可以利用其规律采取各种办法消除或削弱，使其相对于偶然误差而言，处于次要地位，以至于削弱，使其相对于偶然误

13、差而言，处于次要地位，以至于可以认为观测值中只含偶然误差。可以认为观测值中只含偶然误差。l由于能够消除或削弱粗差和系统误差对观测结果的影响，由于能够消除或削弱粗差和系统误差对观测结果的影响，所以测量工作中处理误差的基本原则是，首先发现和剔除所以测量工作中处理误差的基本原则是，首先发现和剔除含粗差的观测值，并采用模型改正法及观测程序法消除或含粗差的观测值，并采用模型改正法及观测程序法消除或削弱系统误差的影响，使观测值中只含偶然误差，或者说削弱系统误差的影响，使观测值中只含偶然误差，或者说相对于偶然误差，系统误差的影响可以忽略不计。然后运相对于偶然误差，系统误差的影响可以忽略不计。然后运用误差理沦

14、求观测值及其函数的最佳估值，这一工作称为用误差理沦求观测值及其函数的最佳估值，这一工作称为测量平差。测量平差。返回上一页5.2 偶然误差的统计规律性偶然误差的统计规律性l 偶然误差的产生是不可避免的，因此，偶然误差是测量偶然误差的产生是不可避免的，因此，偶然误差是测量误差理沦中主要的研究对象。偶然误差就其个体而言，数误差理沦中主要的研究对象。偶然误差就其个体而言，数值的大小和符号没有任何规律性，呈现出一种随机特性。值的大小和符号没有任何规律性，呈现出一种随机特性。但就大量观测误差的整体而言，却表现出一定的统计规律但就大量观测误差的整体而言，却表现出一定的统计规律性。性。l 由由表表5-1中数据

15、可见，误差的分布有以下特点中数据可见，误差的分布有以下特点:l(1)在确定的观测条件下，按一定的观测程序观测，偶然在确定的观测条件下，按一定的观测程序观测，偶然误差的绝对值不会超出一定的限度。误差的绝对值不会超出一定的限度。l(2)绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误差出现的频绝对值小的偶然误差比绝对值大的偶然误差出现的频率高。率高。返回下一页5.2 偶然误差的统计规律性偶然误差的统计规律性l(3)绝对值相等符号相反的偶然误差，出现的频率基本相绝对值相等符号相反的偶然误差，出现的频率基本相同。同。l 测量实践表明，对于一组等精度、独立进行观测的观测测量实践表明，对于一组等精度、独立进行观测的观

16、测值而言，不沦观测条件如何，也不沦所观测是同一个量还值而言，不沦观测条件如何，也不沦所观测是同一个量还是不同的量，观测误差整体上都符合上述是不同的量，观测误差整体上都符合上述3个特征，并且个特征，并且观测值数量行越大，符合程度越高。由于偶然误差的这些观测值数量行越大，符合程度越高。由于偶然误差的这些特性，是一系列偶然误差作为一个整体所表现出来的，所特性，是一系列偶然误差作为一个整体所表现出来的，所以可将其称为统计规律性。以可将其称为统计规律性。返回上一页5.3 偶然误差的分布偶然误差的分布l为了更直观地表示偶然误差的统计规律，可以用图形的形为了更直观地表示偶然误差的统计规律，可以用图形的形式来

17、表达。例如，在平面直角坐标系中，以横坐标表示误式来表达。例如，在平面直角坐标系中，以横坐标表示误差的大小，单位取秒差的大小，单位取秒(”)，纵坐标表示误差落人各区间的，纵坐标表示误差落人各区间的频率除以区间的间隔值，也就是频率除以区间的间隔值，也就是 (本例本例d是是l0.2”)，其数值等于误差落人单位区间内的频率，单位是，其数值等于误差落人单位区间内的频率，单位是频率频率/形。若分别以各小区间的形。若分别以各小区间的 为高，区间间隔为为高，区间间隔为l宽绘制矩形长条，则所绘制的图如图宽绘制矩形长条，则所绘制的图如图5-1所示，称为所示，称为“频频率直方图率直方图”。其中每一个矩形长条的面积值

18、就代表误差落。其中每一个矩形长条的面积值就代表误差落人该区间的频率值，而所有矩形长条面积的和等于人该区间的频率值，而所有矩形长条面积的和等于1。返回下一页5.3 偶然误差的分布偶然误差的分布l 由由图图5-1可见，图形相对于纵轴基本对称，面积较大的可见，图形相对于纵轴基本对称，面积较大的长方条集中在纵轴两侧，并随着横坐标绝对值加大而逐渐长方条集中在纵轴两侧，并随着横坐标绝对值加大而逐渐变小，在一定范围外为零，所以频率直方图同样表达了偶变小，在一定范围外为零，所以频率直方图同样表达了偶然误差的然误差的3个统计规律。不同的是，相对于表格数据分析个统计规律。不同的是，相对于表格数据分析，它更形象、直

19、观。长期的观测实践表明，观测条件不同，它更形象、直观。长期的观测实践表明，观测条件不同，偶然误差出现在同一区间内的频率就不同，但同样的观，偶然误差出现在同一区间内的频率就不同，但同样的观测条件下，只要观测值数量足够多，偶然误差出现在各个测条件下，只要观测值数量足够多，偶然误差出现在各个区间内的频率分布总是符合三项统计规律的。为了说明这区间内的频率分布总是符合三项统计规律的。为了说明这一点，下面将另一个测区在不同观测条件下所测得的一点，下面将另一个测区在不同观测条件下所测得的421个三角形内角和的真误差，按同样的方法作出频率个三角形内角和的真误差，按同样的方法作出频率直方图，如直方图，如图图5-

20、2所示。所示。返回下一页上一页5.3 偶然误差的分布偶然误差的分布l 对比对比图图5-1可见，由于观测条件不同，两个直方图图形可见，由于观测条件不同，两个直方图图形有明显差异，相对于图有明显差异，相对于图5-1，图图5-2中偶然误差落人各区中偶然误差落人各区间内的频率较为分散，但是同样符合偶然误差三项统计规间内的频率较为分散，但是同样符合偶然误差三项统计规律。律。l 对于一种统计规律来说，显然观测数行越大，偶然误差对于一种统计规律来说，显然观测数行越大，偶然误差出现在各小区间的频率值越稳定，随着出现在各小区间的频率值越稳定，随着n，各区间的，各区间的频率值变化幅度越来越小，最后稳定在某一常数附

21、近，称频率值变化幅度越来越小，最后稳定在某一常数附近，称该常数为理沦频率，定义为观测值数该常数为理沦频率，定义为观测值数n时的频率值。时的频率值。如果将如果将n时偶然误差在各小区间内已经趋于稳定的频时偶然误差在各小区间内已经趋于稳定的频率分布，称为误差分布，那么，误差分布是由观测条件决率分布，称为误差分布，那么，误差分布是由观测条件决定的，换句话说，在一定的观测条件下对应着一种确定的定的，换句话说，在一定的观测条件下对应着一种确定的误差分布。误差分布。返回下一页上一页5.3 偶然误差的分布偶然误差的分布l 若设想在若设想在n的条件下，区间间隔的条件下，区间间隔d0,那么直方图那么直方图5-1、

22、图、图5-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成中各长方条顶边所形成的折线将分别变成图图5-3所示的两条光滑曲线。这种曲线称为偶然误差的概率所示的两条光滑曲线。这种曲线称为偶然误差的概率分布曲线，或简称为误差分布曲线。分布曲线，或简称为误差分布曲线。返回上一页5.4 衡量精度的数字衡量精度的数字指标指标l 实践中，偶然误差实践中，偶然误差(真误差真误差)是不可知的，但根据观测条是不可知的，但根据观测条件决定观测质量的原则，可以认为相同的观测条件下所取件决定观测质量的原则，可以认为相同的观测条件下所取得的观测值精度相同，而同精度的观测值对应着相同的误得的观测值精度相同，而同精度的观测值对应着相同

23、的误差分布。精度不同，误差分布就不同。分析图差分布。精度不同，误差分布就不同。分析图5-3可以看可以看出，图出，图5-1所对应的直方图的误差分布曲线较为陡峭，而所对应的直方图的误差分布曲线较为陡峭，而图图5-2所对应的直方图的误差分布曲线较为平缓，说明前所对应的直方图的误差分布曲线较为平缓，说明前者小，误差出现的概率较后者高，而较大误差出现的概率者小，误差出现的概率较后者高，而较大误差出现的概率较后者低，这也表明前一组观测数据质量比后一组的高。较后者低，这也表明前一组观测数据质量比后一组的高。由于质量较高的观测值绝对值较小的偶然误差较多，绝对由于质量较高的观测值绝对值较小的偶然误差较多，绝对值

24、较大的偶然误差较少，实际上反映了误差在其分布中心值较大的偶然误差较少，实际上反映了误差在其分布中心0附近分布的密集程度，所以精度也可以称为反映误差密附近分布的密集程度，所以精度也可以称为反映误差密集程度的指标。集程度的指标。返回下一页5.4 衡量精度的数字衡量精度的数字指标指标l需要指出的是，只有在消除了粗差和系统误差后，观测误需要指出的是，只有在消除了粗差和系统误差后，观测误差中仅含偶然误差时，误差才会以差中仅含偶然误差时，误差才会以0为分布中心。为分布中心。l 既然误差分布曲线的形态，能表示观测值精度质量，那既然误差分布曲线的形态，能表示观测值精度质量，那么什么参数决定了曲线的形态呢么什么

25、参数决定了曲线的形态呢?分析正态分布概率密度分析正态分布概率密度函数可以看出，当函数可以看出，当较大时，较大时，f()值较大，反之则较小值较大，反之则较小。由于误差出现在各区间概率的总和为。由于误差出现在各区间概率的总和为1，即，即 从图形上讲，就是说误差曲线与横轴围从图形上讲，就是说误差曲线与横轴围 成的区域面积为成的区域面积为1。返回下一页上一页5.4 衡量精度的数字衡量精度的数字指标指标l这说明了这说明了f()值较大时，对应的误差分布曲线较为陡峭值较大时，对应的误差分布曲线较为陡峭;f()值较小时，对应着较为平缓的误差分布曲线，因此值较小时，对应着较为平缓的误差分布曲线，因此参数参数可以

26、作为衡量精度的数字指标。概率沦中定义可以作为衡量精度的数字指标。概率沦中定义为为:l称称为观测误差的标准差，由于其是在观测量为观测误差的标准差，由于其是在观测量n条件条件下的结果，又称为理沦平均值。下的结果，又称为理沦平均值。不代表观测值实际误差不代表观测值实际误差的大小，但是它有如下实际意义的大小，但是它有如下实际意义:l(1)较小时，观测值中含较大误差的可能性较小，反之较小时，观测值中含较大误差的可能性较小，反之则较大。所以比较观测值或者其函数对应的标准差的大小则较大。所以比较观测值或者其函数对应的标准差的大小，可以衡量观测值质量的高低。，可以衡量观测值质量的高低。返回下一页上一页5.4

27、衡量精度的数字衡量精度的数字指标指标l(2)根据误差理沦，误差绝对值大于根据误差理沦，误差绝对值大于的概率为的概率为0.317，大于大于2和和3的概率值则分别为的概率值则分别为0.045和和0.003，所以，所以值较小，意味着观测值中偶然误差的绝对值可能较小。值较小，意味着观测值中偶然误差的绝对值可能较小。l测量工作中为了提高精度和发现粗差，必须采用观测数大测量工作中为了提高精度和发现粗差，必须采用观测数大于必要观测数的观测方法。例如，在角度测量时，采用上于必要观测数的观测方法。例如，在角度测量时，采用上下半测回观测取中数，多个测回方向值取平均值的观测方下半测回观测取中数，多个测回方向值取平均

28、值的观测方法法;高程测量时，对于两点间的高差，采用往返观测取中高程测量时，对于两点间的高差，采用往返观测取中数的观测方法。数的观测方法。返回下一页上一页5.4 衡量精度的数字衡量精度的数字指标指标l由于观测值中含有误差，对同一量所作的多个观测值之间由于观测值中含有误差，对同一量所作的多个观测值之间会存在差异，那么，在一定的观测条件下，这种差异的量会存在差异，那么，在一定的观测条件下，这种差异的量值在了什么范围内是正常的值在了什么范围内是正常的?达到什么量值时意味着观测达到什么量值时意味着观测值中含有粗差值中含有粗差(错误错误)?测量实践中是根据观测条件和实践测量实践中是根据观测条件和实践经验估

29、计出观测值互差值的标准差经验估计出观测值互差值的标准差 ，当观测值之间的，当观测值之间的差值超出差值超出2倍或倍或3倍差值的标准差倍差值的标准差时，就认定观测值中时，就认定观测值中含有粗差，属于超限观测值。含有粗差，属于超限观测值。返回上一页5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法5.5.1必要观测数必要观测数l测量工作的目的是确定未知的量，这些未知的量可以是水测量工作的目的是确定未知的量，这些未知的量可以是水平夹角、边长、高差等可直接观平夹角、边长、高差等可直接观l测的值，但是更多的是作为观测值函数的待定点平面坐标测的值，但是更多的是作为观测值函数的待定点平面坐标(x，y

30、)及高程及高程h。l为了解算出待定的平面坐标及高程，观测值必须具备两个为了解算出待定的平面坐标及高程，观测值必须具备两个条件条件:l(1)观测值必须构成适当的几何图形，测量上称为控制网观测值必须构成适当的几何图形，测量上称为控制网。返回下一页5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法l(2)根据每确定一个待定量需要一个观测值的原则，要解根据每确定一个待定量需要一个观测值的原则，要解算出全部的待定量，必须有数量足够、函数独立的观测值算出全部的待定量，必须有数量足够、函数独立的观测值，称为必要观测值。函数独立是指观测值之间不存在函数，称为必要观测值。函数独立是指观测值之间不存在函

31、数关系，例如，一个三角形若测定了两个角关系，例如，一个三角形若测定了两个角, 后，又测后，又测定了第三个角定了第三个角，则角，则角与其他两个角就存在函数关系：与其他两个角就存在函数关系：+ =180。返回下一页上一页5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法5. 5. 2多余观测数多余观测数l如前所述，观测过程中误差不可避免，为了能发现粗差、如前所述，观测过程中误差不可避免，为了能发现粗差、提高测量成果质量，测量工作中要求实际观测值数量必须提高测量成果质量，测量工作中要求实际观测值数量必须大于必要观测数。设必要观测数为大于必要观测数。设必要观测数为t，实际观测数为，实际观测数

32、为n，则称则称r=n-t为多余观测数。为多余观测数。l在同样观测条件下，在同样观测条件下，n越大，发现粗差并确定其位置的能越大，发现粗差并确定其位置的能力越强，称为可靠性越高，同时，观测成果的精度也越高力越强，称为可靠性越高，同时，观测成果的精度也越高，但随着，但随着r加大，精度提高的幅度迅速减小，所以实践中加大，精度提高的幅度迅速减小，所以实践中并不能采用大量观测的方法无限地提高精度。并不能采用大量观测的方法无限地提高精度。返回下一页上一页5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法5.5.3不符值不符值l当存在多余观测值时，观测值之间必然会产生函数关系。当存在多余观测值时，

33、观测值之间必然会产生函数关系。设三角形三个内角的观测值分别是设三角形三个内角的观测值分别是L1,L2,L3，则函数关，则函数关系应为系应为L1+L2+L3-180=0 。又设测量了一个闭合。又设测量了一个闭合环上的各段高差环上的各段高差hi，因为环线上由一点开始测量高差，因为环线上由一点开始测量高差，又回到同一点，所以应有函数关系艺，又回到同一点，所以应有函数关系艺 。l实际上由于观测值存在误差，这些函数关系通常不能满足实际上由于观测值存在误差，这些函数关系通常不能满足，即，即 。l 返回下一页上一页5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法l测量上将由于误差导致观测值不满足

34、函数关系，而产生的测量上将由于误差导致观测值不满足函数关系，而产生的与理沦值的差值称为不符值，也称为闭合差，通常用与理沦值的差值称为不符值，也称为闭合差，通常用表表示。示。l不符值的产生是由于观测值存在误差，但是能够发现不符不符值的产生是由于观测值存在误差，但是能够发现不符值的前提是有多余观测数。一般情况下，不符值大说明观值的前提是有多余观测数。一般情况下，不符值大说明观测质量差，反之说明观测质量高。但是多余观测数不够多测质量差，反之说明观测质量高。但是多余观测数不够多时，往往不能说明问题。例如，三角形测量了三个内角，时，往往不能说明问题。例如，三角形测量了三个内角，多余观测数为多余观测数为1

35、，观测值仅受一个函数式制约，若其中一，观测值仅受一个函数式制约，若其中一个角测大个角测大10”，另一个角测小，另一个角测小10”，闭合差可能很小，问，闭合差可能很小，问题不能被发现题不能被发现;而若多余观测数多，则观测值同时受多个而若多余观测数多，则观测值同时受多个函数式制约，问题就比较容易发现，从而可靠性提高。函数式制约，问题就比较容易发现，从而可靠性提高。返回下一页上一页5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法5. 5. 4观测值改正数观测值改正数l测量上处理带偶然误差观测值的理沦与方法称为测量平差测量上处理带偶然误差观测值的理沦与方法称为测量平差。顾名思义，测量平差就

36、是要消除不符值。顾名思义，测量平差就是要消除不符值(差差)，观测值，观测值经平差方法处理后得到符合最优估值条件的平差值。设观经平差方法处理后得到符合最优估值条件的平差值。设观测值为测值为Li，平差值为，平差值为Li，则，则vi=Li-Li称为观测值改正数。称为观测值改正数。返回下一页上一页5.5 精度数字精度数字指标指标的实际计算方法的实际计算方法5. 5. 5等精度观测值中误差计算等精度观测值中误差计算l由由(5-1) : =X-L，可见改正数，可见改正数vi，实际上是真误差，实际上是真误差i的估值，而观测值改正数的大小，在多余观测数足够的估值，而观测值改正数的大小，在多余观测数足够的条件下

37、，也反映了观测质量的优劣，所以以观测值改正的条件下，也反映了观测质量的优劣，所以以观测值改正数估算中误差，是合乎逻辑的。测量平差理沦中用观测值数估算中误差，是合乎逻辑的。测量平差理沦中用观测值改正数计算中误差的公式为改正数计算中误差的公式为:返回上一页5.6 误差传播定律误差传播定律5. 6. 1线性函数线性函数l设有观测值设有观测值Li(i=1,2,n)的线性函数的线性函数:l其中观测值其中观测值Li的真误差为的真误差为i，而中误差为，而中误差为mi，其中，其中i=1,2,n则有则有:l上式等号两边平方，得到上式等号两边平方，得到:返回下一页5.6 误差传播定律误差传播定律l设对观测值设对观

38、测值Li(i=1,2n)分别做无限次观测，根据标准分别做无限次观测，根据标准差的定义，得到差的定义，得到:l式中式中1i表示观测值表示观测值Li的第的第i次观测值真误差。由于次观测值真误差。由于1,2,n，均是偶然误差，设其相互误差独立，均是偶然误差，设其相互误差独立，即任一观测值真误差的大小、符号与其他观测值真误差无即任一观测值真误差的大小、符号与其他观测值真误差无关，则两两之间的乘积仍然是偶然误差。关，则两两之间的乘积仍然是偶然误差。返回下一页上一页5.6 误差传播定律误差传播定律l所以根据式所以根据式(5-4)可知式可知式(5-11)中的非平方项均为中的非平方项均为0，即即:l 以中误差

39、以中误差mi代替标准差代替标准差i，就得到观测值中误差与其线，就得到观测值中误差与其线性函数中误差之间的关系式性函数中误差之间的关系式:l若设观测值若设观测值Li是等精度观测值，中误差为是等精度观测值，中误差为m，则有，则有:返回下一页上一页5.6 误差传播定律误差传播定律5.6.2非线性函数非线性函数l大多数非观测量与观测值的关系是非线性的，其函数式随大多数非观测量与观测值的关系是非线性的，其函数式随控制网结构及观测值类型而不同，一般形式可以写为控制网结构及观测值类型而不同，一般形式可以写为:l式中式中Li (i = 1,2,.，n)是观测值，相应的中误差为是观测值，相应的中误差为mi(i

40、= 1,2, ,n)。对于非线性函数，求观测值中误差。对于非线性函数，求观测值中误差与其函数中误差关系式，首先要将非线性的函数式与其函数中误差关系式，首先要将非线性的函数式“线性线性化化”。设观测值。设观测值Li (i = 1,2,.，n)有近似值有近似值Li* (i = 1,2,.，n) ，将式按泰勒级数在，将式按泰勒级数在Li* (i = 1,2,.，n)处展开，由于处展开，由于Li-Li*是较小量，是较小量，返回下一页上一页5.6 误差传播定律误差传播定律l其二次以上项可以忽略不计，所以仅取一次项为其二次以上项可以忽略不计，所以仅取一次项为:l整理得整理得返回下一页上一页5.6 误差传播

41、定律误差传播定律l式中式中 是函数是函数y=f(L1,L2,Ln)分别对分别对l自变量自变量Li求偏导数求偏导数)Ja ,以近似值以近似值Li(i=1,2,n)代人所代人所求偏导得到的结果，是一个常数。求偏导得到的结果，是一个常数。l若令若令返回下一页上一页5.6 误差传播定律误差传播定律l则观测值的非线性函数取得与线性函数完全相同的形式则观测值的非线性函数取得与线性函数完全相同的形式:y=a+a1L1+a2L2+a3L3+.+anLn。从而可以按式由。从而可以按式由观测值中误差差求其函数的中误差。此外，由于式中常数观测值中误差差求其函数的中误差。此外，由于式中常数项项a并没有出现在式中，所以

42、对式线性化时，无需计算常并没有出现在式中，所以对式线性化时，无需计算常数项，只需求得数项，只需求得:l式中的系数式中的系数 实际上是对式实际上是对式(5-15)求全微分的系数求全微分的系数。返回下一页上一页5.6 误差传播定律误差传播定律l所以可以归纳应用误差传播定律，由观测值中误差求函数所以可以归纳应用误差传播定律，由观测值中误差求函数的中误差的步骤如下的中误差的步骤如下:l (1)按问题的要求，写出观测值与函数的关系式按问题的要求，写出观测值与函数的关系式: y=f(L1,L2,Ln)l(2)若函数是非线性的，则对其求全微分若函数是非线性的，则对其求全微分返回下一页上一页5.6 误差传播定

43、律误差传播定律l以观测量近似值以观测量近似值Li* (i = 1,2,.，n)代人全微分式，得代人全微分式，得到常系数到常系数 。l(3)应用式，由观测值中误差应用式，由观测值中误差mj，求函数中误差，求函数中误差:返回上一页5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用5. 7. 1距离测量的中误差距离测量的中误差l用钢尺量距，设所用钢尺长度为用钢尺量距，设所用钢尺长度为L，测量，测量A,B两点间总长两点间总长为为S的长度，需测量的长度，需测量n个尺段累加。设观测条件相同，即个尺段累加。设观测条件相同，即每个尺段测量误差相同，均为每个尺段测量误差相同，均为m，求，求S 的中误差。的中误差。l根据问

44、题写出根据问题写出A,B间总长间总长S与观测值的关系式与观测值的关系式:S=L1+L2+Ln，由于各测段测量误差相同，直接，由于各测段测量误差相同，直接应用式应用式(5-13)得得:l即距离丈量结果的中误差与所用尺段数的平方根成正比。即距离丈量结果的中误差与所用尺段数的平方根成正比。返回下一页5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用5.7.2水准测量高差的中误差水准测量高差的中误差l设在设在A,B两点间进行水准测量，中间共设两点间进行水准测量，中间共设n站，以站，以hAB表表示示A,B的高差，则的高差，则l若设每站高差的精度相同，中误差均为若设每站高差的精度相同，中误差均为m站，则应用误站，则

45、应用误差传播定律得差传播定律得:l 这表明，在假设每站观测高差精度相等的前提下，水准这表明，在假设每站观测高差精度相等的前提下，水准测量高差的中误差等于一站观测高差中误差的测量高差的中误差等于一站观测高差中误差的 倍，即倍，即与测站数的平方根成正比。与测站数的平方根成正比。返回下一页上一页5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用l若两水准点之间距离为若两水准点之间距离为S，假设其中每一测站的距离相等，假设其中每一测站的距离相等，以，以s表示，则表示，则A,B间测站数间测站数l式中式中 实际上是路线长度为实际上是路线长度为1 km的观测高差的的观测高差的中误差，令其为中误差，令其为mkm，得，得

46、:l 由此可见，在各测站距离近似相等的前提下，水准高差由此可见，在各测站距离近似相等的前提下，水准高差的中误差与水准路线长度的平方根成正比。的中误差与水准路线长度的平方根成正比。返回下一页上一页5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用5.7.3算术平均值及其中误差算术平均值及其中误差l设在相同的条件下对未知量设在相同的条件下对未知量X观测了观测了n次，观测值分别为次，观测值分别为L1,L2,Ln，试求未知量，试求未知量X则根据式的最佳估值及其中则根据式的最佳估值及其中误差。误差。l设观测值设观测值Li的真误差为的真误差为i，则根据，则根据 (5-1)有有:l对对n个观测值求和得个观测值求和得:

47、返回下一页上一页5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用l上式又可以写为上式又可以写为=-L+nX，即，即l 当观测值中只含偶然误差时，根据偶然误差的特性知道当观测值中只含偶然误差时，根据偶然误差的特性知道当当n时，时， 0，观测值的平均值就趋于真值。由，观测值的平均值就趋于真值。由此可见，作为误差理沦中的一个公理，当对一个未知量在此可见，作为误差理沦中的一个公理，当对一个未知量在同等观测条件下进行多次观测时，应取各次观测值的平均同等观测条件下进行多次观测时，应取各次观测值的平均值作为未知量的最佳估值，即值作为未知量的最佳估值，即返回下一页上一页5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用l由于观

48、测条件相同，所以各观测值中误差相同。设观测值由于观测条件相同，所以各观测值中误差相同。设观测值中误差为中误差为m，对平均值公式应用式，对平均值公式应用式(5-13)，得到，得到l所以所以l由于由于n个观测值的算术平均值中误差是观测值中误差的个观测值的算术平均值中误差是观测值中误差的1/ ，精度显著高于单次观测值精度，所以测量工作中，精度显著高于单次观测值精度，所以测量工作中普遍采用多次观测取平均值的方法来提高测量精度。普遍采用多次观测取平均值的方法来提高测量精度。返回下一页上一页5.7 误差传播定律应用误差传播定律应用l但是同时也可以看出，随着但是同时也可以看出，随着n逐步加大，逐步加大， 增

49、大的幅度逐增大的幅度逐渐减小，在渐减小，在n达到一定程度后，继续增大是不实际的。由达到一定程度后，继续增大是不实际的。由于观测值中还不可避免地包含有系统误差，不能通过无限于观测值中还不可避免地包含有系统误差，不能通过无限增加观测次数完全消除，所以无沦是理沦上还是实际工作增加观测次数完全消除，所以无沦是理沦上还是实际工作中，通过无限增加观测次数的方法来提高观测成果的精度中，通过无限增加观测次数的方法来提高观测成果的精度都是不现实的。都是不现实的。返回上一页5.8 相对精度指标相对精度指标权权5. 8. 1权的定义权的定义l在测量工作中，观测值往往不是等精度的。典型的如水准在测量工作中，观测值往往

50、不是等精度的。典型的如水准网，各测段路线长度网，各测段路线长度S不等，根据式不等，根据式(5-20)知，其中误知，其中误差差mhAB和和 就不相等就不相等;另外，在导线测量控制网中另外，在导线测量控制网中，观测值中方向值和边长是两种不同类型的观测值，一般，观测值中方向值和边长是两种不同类型的观测值，一般也不是等精度的。容易理解，对于一组不同精度的观测值也不是等精度的。容易理解，对于一组不同精度的观测值，在运用误差理沦处理观测数据，消除不符值，求观测值，在运用误差理沦处理观测数据，消除不符值，求观测值及其函数最佳估值的及其函数最佳估值的“平差平差”过程中，不应同等对待。为过程中，不应同等对待。为