格林公式积分与路径无关的条件课件.ppt
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1、第三节一、格林公式一、格林公式 二、积分与路径无关的条件二、积分与路径无关的条件格林公式及其应用 第十一章 三、原函数三、原函数四、全微分方程四、全微分方程LD区域区域 D 分类分类单单连通区域连通区域 ( 无无“洞洞”区区域域 )多多连通区域连通区域 ( 有有“洞洞”区区域域 )定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑曲线是由分段光滑曲线 L 围成围成,则有则有, ),(yxP),(yxQDLQPxyPxQyxydddd ( Green公式公式 )函数函数在在 D 上具有连续一阶偏导数上具有连续一阶偏导数,DLxyxyPxQyPQdddd 或或一、一、 格林公式格林公式证明证明: 1)
2、凸的单连通域凸的单连通域bxaxyxD)()(:21dycyxyD)()(:21则则yxxQDdddcyyyQd),(2)()(21dyyxxQCBEyyxQd),(CAEyyxQd),(CBEyyxQd),(EACyyxQd),(dcyyyQd),(1dcyddcyxoECBAbaD即即yxxQDdd同理可证同理可证yxyPDdd、两式相加得、两式相加得:LQ x yy( , )d LP x yx( , )d DLQPxyPxQyxydddd xyoDxyoD2) 若若D不满足以上条件不满足以上条件,则可通过加辅助线将其分割则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域为有限个上述形式的区域
3、 , 如图如图L1L2复连通区域复连通区域: DQPxyPxQyPxQyxyLL21dddddd 外边界取逆时针方向外边界取逆时针方向, 内边界取顺时针方向内边界取顺时针方向.建立了平面域建立了平面域D上的二重积分与上的二重积分与D的边界线上的边界线上第二类曲线积分之间的联系第二类曲线积分之间的联系格林公式格林公式 注意三点:注意三点: (1) 封闭的边界曲线封闭的边界曲线 (2) 方向方向 (3) 有连续偏导数有连续偏导数 DQPxyPxQyPxQyxyLL21dddddd 推论推论: 正向闭曲线正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积LxyyxAdd21格林公式格林公式例如例如,
4、 椭圆椭圆20,sincos:byaxL所围面积所围面积LxyyxAdd212022d)sincos(21ababab DLQPxyPxQyxydddd Lxy dyxy dx1(3)(), 例例计计算算其其中中逆逆时时针针方方向向为为圆圆周周,9)4()1(22 yxL解一解一的的参参数数方方程程为为L 20,sin34,cos31 ttytx Ldxyxdyyx)()3(ttttsincos18cos27cos21(220 dttt)sin9sin92 202218)sin9cos27(dtttP x yyx( , ), Q x yxy( , )3 Ldxyxdyyx)()3( Ddxdy
5、xyyyxx)()3( Ddxdy2 18 解二解二Lxy dyxy dx1(3)(), 例例计计算算其其中中逆逆时时针针方方向向为为圆圆周周,9)4()1(22 yxLP、Q在在L所围区域所围区域D内有连续的一阶偏导数内有连续的一阶偏导数,由由Green公式得公式得例例2. 求,d)(d)(d)(zyxyzxxyzI其中,2122zyxyx从从 z 轴正向看去为顺时针方向轴正向看去为顺时针方向.ozyx解二解二: 记记 在在xoy面的投影曲线面的投影曲线L,Dxyxy dxdyxy(322)(22) 2其包围区域为其包围区域为D.x dxxydy(2)(22)由由z=2+y- -x,得得LI
6、 xy dydx()()L xy dxxydy(22)(322)Ddxdy2 LyxOA3sin(0 0)(,0) 例例设设 为为曲曲线线由由点点, 到到点点 Lxxdyxyedxxyye)cos()2sin(xyoALD解解xxLeyxy dxeyx dy(sin2)(cos) 不封闭不封闭加辅助线加辅助线OA. Ddxdyx)21( xdyxdxsin00)21( Dxxyex)cos(dxdyxyyeyx)2sin( 的一段的一段, 求求L AOOA +0 0sin)21(xdxx 0sin)21(xdxx 00cos2cos)21(xdxxx)1(2 Lxy dxxy dyIxy22(
7、)() 其中其中L为为不包围也不通过原点的任意闭曲线不包围也不通过原点的任意闭曲线以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周包围原点的任意正向闭曲线包围原点的任意正向闭曲线例例4 4 计算计算Lxy dxxy dyIxy22()() 其中其中L为为 不包围不通过原点不包围不通过原点以原点为中心的正向单位圆周以原点为中心的正向单位圆周解解 22222)(2yxxyyxyPxQ L包围的区域不含原点包围的区域不含原点, ,满足满足Green公式的条件公式的条件.除原点外除原点外, 有有 由由Green公式得公式得LPdxQdy0 ,sin,costytx 20 tLIxy dxxy dy
8、()() 圆的参数方程为圆的参数方程为tttttt dt20(cossin )( sin )(sincos )(cos ) 2 LlD DQPPdxQdyPdxQdydxdyxy1()lIPdxQdy 2 在所为区域在所为区域D内作小圆内作小圆,:222ryxl取逆时针方向取逆时针方向, 对区域对区域应用格林公式应用格林公式 , 得得记记 l 所围的区域为所围的区域为1DD D1=0lxy dxxy dyr12()() Dyxxy dxdyrxy112()() Ddxdyr122 Lxy dxxy dyIxy22()() 包围原点的任意正向闭曲线包围原点的任意正向闭曲线Lrlyxo1DLLPx
9、QyPxQy12dddd以及在以及在D 内内任意任意两条从两条从A 到到B 的有向分段的有向分段21, LL光滑曲线光滑曲线 , 都有都有设设P(x,y)和和Q(x,y)定义在区域定义在区域D上上, ,如果对于如果对于D内任意给定内任意给定的两点的两点A和和B, ,D A B1L2L二、积分与路径无关的条件二、积分与路径无关的条件LPdxQdy 则称曲线积分则称曲线积分在区域在区域D内内与路径无关与路径无关.定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,),(),(yxQyxP在在D 内内具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数,(1) 沿沿D 中任意光滑闭曲线中任意光滑闭曲线 L , 有有.0d
10、dLyQxP(2)(3)yQxPdd ),(yxuyQxPyxudd),(d(4) 在在 D 内每一点都有内每一点都有.xQyPLyQxPdd在在D内内与路径无关与路径无关. 函数函数则以下四个条件等价则以下四个条件等价:在在 D 内是某一函数内是某一函数的全微分的全微分,即即 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设设21, LL21ddddLLyQxPyQxP1ddLyQxPLPxQy2dd 21ddLLyQxP0AB1L2L2ddLyQxP1ddLyQxP为为D 内内任意任意两条由两条由A 到到B 的有向分段光滑曲的有向分段
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