数学解题思想方法课件.ppt

1、第1页 数学解题学研究数学解题学研究 广西师范大学数学科学学院广西师范大学数学科学学院 龙开奋龙开奋第2页什么是数学中的问题？什么是数学中的问题？ 波利亚在波利亚在数学的发现数学的发现中将问题中将问题理解为：有意识地寻求某一适当的行动，理解为：有意识地寻求某一适当的行动，以便达到一个被清楚地意识到但又不能以便达到一个被清楚地意识到但又不能立即达到的目的。立即达到的目的。 解决问题指的是寻找这种活动。解决问题指的是寻找这种活动。 第3页 波利亚在波利亚在怎样解题怎样解题中说：我们中说：我们考虑的所有形式的问题都可以认为由三考虑的所有形式的问题都可以认为由三类信息组成：关于已知条件的信息（已类信息

2、组成：关于已知条件的信息（已知表达式）；关于运算的信息，这些运知表达式）；关于运算的信息，这些运算从一个或多个表达式推导出一个或多算从一个或多个表达式推导出一个或多个新的表达式；以及关于目标的信息个新的表达式；以及关于目标的信息（目标表达式）。（目标表达式）。 第4页 问题是指那些对于解答者来说还没问题是指那些对于解答者来说还没有具备直接的解决办法，对于解答者构有具备直接的解决办法，对于解答者构成认知上的挑战这样一种局面。成认知上的挑战这样一种局面。 第5页 “ “一个（数学）问题是一个对人具一个（数学）问题是一个对人具有智力挑战特征的，没有现成的直接方有智力挑战特征的，没有现成的直接方法、程

3、序或算法的未解决的情景法、程序或算法的未解决的情景”。 这是这是1988年第一届国际数学教育大年第一届国际数学教育大会的一份报告中提出的。会的一份报告中提出的。 第6页 无论怎么提法，都具有同样的本质：问题无论怎么提法，都具有同样的本质：问题反映了现有水平与客观需要的矛盾。问题就是反映了现有水平与客观需要的矛盾。问题就是矛盾，对于学生而言，问题主要具有如下三个矛盾，对于学生而言，问题主要具有如下三个特点：特点： 1、可接受性可接受性：给出的问题学生具有解决它的：给出的问题学生具有解决它的知识基础和能力基础，即课本习题。知识基础和能力基础，即课本习题。 2、障碍性障碍性：学生不能直接将问题解答，

4、必须：学生不能直接将问题解答，必须通过思考或多次尝试，才能解决的问题。通过思考或多次尝试，才能解决的问题。 3 3、探究性探究性：学生不能按照常规的套路来解决，：学生不能按照常规的套路来解决，必须进一步发掘、探索和研究，寻找出解决问必须进一步发掘、探索和研究，寻找出解决问题的新途径。题的新途径。 第7页 数学问题可按照多种不同的标准进行分类。数学问题可按照多种不同的标准进行分类。本讲所说的分类仅是面对教学方面而言本讲所说的分类仅是面对教学方面而言. .如如 按知识内容分类按知识内容分类（算术题、代数题、平面几何（算术题、代数题、平面几何题、立体几何题、解析几何题和三角题等）；题、立体几何题、解

5、析几何题和三角题等）； 按解题形式分类按解题形式分类（常见求解题、证明题或说明（常见求解题、证明题或说明题、变换题或求作题、填空题等四类）；题、变换题或求作题、填空题等四类）； 按评判解答的客观性分类按评判解答的客观性分类（客观性问题常分为（客观性问题常分为判断题、选择题、填充题和简短问答题；主观判断题、选择题、填充题和简短问答题；主观性问题如证明题、计算题等）；性问题如证明题、计算题等）； 按思维程度分类按思维程度分类（常分为规范程度和发展程度（常分为规范程度和发展程度等，而规范程度可分为常规与非常规题；发展等，而规范程度可分为常规与非常规题；发展程度可分为封闭型题与开放型题）。程度可分为封

6、闭型题与开放型题）。 第8页 在数学解题教学中，封闭型题与开在数学解题教学中，封闭型题与开放型题具有解题训练的互补作用，两者放型题具有解题训练的互补作用，两者均不可偏废，封闭型题一般用于巩固知均不可偏废，封闭型题一般用于巩固知识，主要引起识，主要引起“同化同化”作用；而开放型作用；而开放型题则使主体容易暴露知识的缺陷，主要题则使主体容易暴露知识的缺陷，主要引起引起“顺应顺应”作用，促进解题能力的提作用，促进解题能力的提高。高。 第9页 数学教学中的问题一般分为练习型数学教学中的问题一般分为练习型与研究型两类。与研究型两类。 练习型的问题具有教学性，它的结练习型的问题具有教学性，它的结论为数学接

7、或教师所已知，其之所以成论为数学接或教师所已知，其之所以成为问题仅相对于教学或学生而言。为问题仅相对于教学或学生而言。 研究型问题具有学术性，它的结构研究型问题具有学术性，它的结构对于数学家或教师都是未知的，其中既对于数学家或教师都是未知的，其中既有数学自身理论发展的认知题，又有应有数学自身理论发展的认知题，又有应用数学理论解决实际问题的应用题。用数学理论解决实际问题的应用题。第10页 问题解决都是以思考为内涵，以问问题解决都是以思考为内涵，以问题目标定向的心理活动或心理过程，即题目标定向的心理活动或心理过程，即指人们在日常生活和社会实践中，面临指人们在日常生活和社会实践中，面临新情境、新课题

8、，发现它与主客观需要新情境、新课题，发现它与主客观需要矛盾而自己却没有现成对策时，所引起矛盾而自己却没有现成对策时，所引起的寻求处理办法的一种活动，这是一个的寻求处理办法的一种活动，这是一个发现的过程、探索的过程、创新的过程，发现的过程、探索的过程、创新的过程，具有某种程度的创造性。具有某种程度的创造性。 第11页 数学领域中的问题解决，有三个层次：数学领域中的问题解决，有三个层次：一般性解决：一般性解决：即基本逻辑水平上的解决，它力求即基本逻辑水平上的解决，它力求 明确解题的大体方向；明确解题的大体方向；功能性解决：功能性解决：即基本数学方法水平上的解决，它即基本数学方法水平上的解决，它 力

9、求明确解题所用的基本思想方法；力求明确解题所用的基本思想方法；特殊性解决：特殊性解决：即具体的解决，它力求明确解题的即具体的解决，它力求明确解题的 具体方法、技巧和程序。具体方法、技巧和程序。（一般性和功能性是特殊性解决的基础）（一般性和功能性是特殊性解决的基础）第12页 所谓的方法，就是找到一个解决问所谓的方法，就是找到一个解决问题的途径，且能够预见甚至能够证明，题的途径，且能够预见甚至能够证明，照这个途径做下去就一定可以取得成功。照这个途径做下去就一定可以取得成功。 第13页 问题的一个解法应包括如下四个部分：问题的一个解法应包括如下四个部分：对已知条件的完整认识，即给出问题的唯一初对已知

10、条件的完整认识，即给出问题的唯一初始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以始状态，从这一状态出发经过一系列运算可以推导出目标；推导出目标；说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、说明所用的运算，即公式、法则、定义、公理、定理等理论依据；定理等理论依据；从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一从初始状态到目标状态为止的按顺序排好的一个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都个问题状态序列，使得序列中的每一个状态都能在对前面的状态应用适当运算以后得到；能在对前面的状态应用适当运算以后得到；完整说明目标，既对问题结论的完整描述。完整说明目标，既对问题结论的完整描述。 第14页 从数学学科的教育与学习

11、来看，也从数学学科的教育与学习来看，也就是说从掌握数学来看，著名的美国数就是说从掌握数学来看，著名的美国数学家和教育家学家和教育家G.波利亚指出：波利亚指出：“掌握数掌握数学意味着什么？这就是说善于解一些标学意味着什么？这就是说善于解一些标准的题，而且善于解一些要求独立思考、准的题，而且善于解一些要求独立思考、思路合理、见解独到和有发现创造的思路合理、见解独到和有发现创造的题。题。” ” 第15页 波利亚认为，任何学问都包括知识波利亚认为，任何学问都包括知识和能力这两个方面。和能力这两个方面。 对于数学，能力比起仅仅具有一些对于数学，能力比起仅仅具有一些知识来，要重要得多，那么在数学学科知识来

12、，要重要得多，那么在数学学科中，能力指的是什么？波利亚说：中，能力指的是什么？波利亚说：“这这就是解决问题的才智就是解决问题的才智我们这里所指我们这里所指的问题，不仅仅是寻常的，它们要求人的问题，不仅仅是寻常的，它们要求人们具有某种程度的独到见解、判断力、们具有某种程度的独到见解、判断力、能动性和创造精神。能动性和创造精神。” ” 第16页 波利亚把波利亚把“解题解题”作为培养学生的作为培养学生的数学才能和教会他们思考的一种手段和数学才能和教会他们思考的一种手段和途径，这种思想得到了国际数学教育界途径，这种思想得到了国际数学教育界的广泛赞同，的广泛赞同，19761976年国际数学管理委员年国际

13、数学管理委员会把解题能力列为十项基本技能的首位。会把解题能力列为十项基本技能的首位。 第17页 通过解题可以使学习者独立地、积极地进通过解题可以使学习者独立地、积极地进行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统行认知活动，深入地理解数学概念，全面系统地掌握数学基础知识，实际地学习数学的本质、地掌握数学基础知识，实际地学习数学的本质、精神、思想，切实地掌握解数学题的方法的基精神、思想，切实地掌握解数学题的方法的基本技能和技巧，（例如善于运用某种方法、手本技能和技巧，（例如善于运用某种方法、手段改变数学问题的情况；善于构想新的解题手段改变数学问题的情况；善于构想新的解题手段和解题思路；善于区分和积累

14、可能有益的资段和解题思路；善于区分和积累可能有益的资料；善于在原有题目和解法的基础上，联想构料；善于在原有题目和解法的基础上，联想构造出新的题目和解题方法；善于自我测验以及造出新的题目和解题方法；善于自我测验以及对解题进行讨论，等等），对解题进行讨论，等等）， 第18页 从而有效地培养运算能力，逻辑思从而有效地培养运算能力，逻辑思维能力和空间想象能力，以形成运用数维能力和空间想象能力，以形成运用数学知识来分析和解决社会生活、经济建学知识来分析和解决社会生活、经济建设和科学技术中的实际问题的能力，以设和科学技术中的实际问题的能力，以便适应现代化生产的多样性和变化性，便适应现代化生产的多样性和变化

15、性，从事创造性劳动。从事创造性劳动。 第19页数学解题研究的中心内容是什么数学解题研究的中心内容是什么1.1.从科学研究的方法论来看从科学研究的方法论来看2.2.从数学解题实践来看从数学解题实践来看第20页 解题的主要目的之一，也就在于解题的主要目的之一，也就在于掌握一定的方法以形成有利于今后解掌握一定的方法以形成有利于今后解决实际问题的迁移能力。决实际问题的迁移能力。 因此，对于解题方法在解题中所因此，对于解题方法在解题中所处的地位的中心性我们不能仅仅是知处的地位的中心性我们不能仅仅是知道或认识，在数学解题研究中，一定道或认识，在数学解题研究中，一定要真正体现这个中心系统，围绕这个要真正体现

16、这个中心系统，围绕这个中心而开展工作，研究其系统建构，中心而开展工作，研究其系统建构，还要研究这个中心系统的轴心系统及还要研究这个中心系统的轴心系统及其系统建构。其系统建构。 第21页 “怎样解题怎样解题”表表弄清问题弄清问题拟定计划拟定计划实现计划实现计划回顾讨论回顾讨论第22页 ABCabccosA4,PAcosB3BCABCbPABCa例：在中，、所对的边分别是 、 、 ，且c=10,为内切圆上的动点.求点 到顶点 、 的距离的平方和的最大值和最小值.第一步 理解题意 cosA410;ABCcosB3 PABCbcPa 本题的条件是 iiiiii是三角形内切圆上的动点, 显然，条件 ii

17、 实质上包含二个不等式 所求的结论是要求出 点到 、 、 三顶点的距离的平方和的最值.综观之，这是一道关于图形的最值问题.第23页第二步 拟定计划 设想以前从未见过这个问题，但曾见过也解过与它密切相关的两类问题： 第一：已知三角形中某些边角之间的数量关系，要求判断这个三角形的形状或解出它. 第二：在一确定的三角形中的某曲线上有一动点，求这点到三角形三顶点或三边的距离的和或平方和的最值.于是原问题可分裂为两个较为简单的问题.cosA4 cosB3ABCbABCa（1）a、b、c为的三边，且c10，试确定的形状及其大小.第24页222ABCPPAPBPC （2）在确定的内切圆上有一的动点 ，试求的

18、最大值的最小值. 对第（1）小题， 已具备了三个条件式，这类问题据以前的经验，只要对数式进行适当的推算，三角形不难解出来.对第（2）小题，在确定了三角形的形状大小以后，因涉及内切圆上一个动点，拟引入直角坐标系，即能利用解析法列出目标函数，其最值也可用一般的代数三角方法顺利求出.至此，一个比较完整的解题计划可说是已经拟定了.ABC 第三步 实现计划由 ，用正弦定理作代换，得cos Acos Bbacossin,cossinABBA第25页sincossincossin 2sin 2.AABBAB即或4,ABcoscABo3sAB知， 且、是 三 角 形 内 角 ,2A2B,AB.2即.ABC是

19、直 角 三 角 形再由222410,6,8.3bcabcaba及可解得如图1.1建立直角坐标系，使得第26页ABCRt ABC的三个顶点为 （8，0）、 （0，6）、 （0，0）.R tA B C在中 ， 有22,abcrr(2, 2),内 切 圆 的 圆 心 O22 (2)(2)4.xy方 程 为设圆上的任一点为P（x , y）,则有222SP AP BP C222222(8)(6)xyxyxy223 (2)(2)476xyx3 4476x8 84 xyBooCAxPN图1.1第27页因P是内切圆上的点，故0 x4 ，于是当x=4 时，有 7 2x最 小,当x=0时，有8 8 .x最大第四步

20、 回顾讨论对上面解题过程的运算检验无误后可考虑： x=0时，P点运动到BC边上的切点M，此时得所求平方和最大值为88;当x=4时，P点运动到过M的直径的另一端点N，此时得所求平方和最小值为72.此外，能否用别的方法来导出结果呢？ 对第（1）小题也可以一开始用余弦定理作代换，对第（2）小题除选择不同的位置建立坐标系外，圆上的动点P也可以利用参数式表示，于是有好几种方法.（略）第28页 本题虽然是一道不复杂的综合题，但善于解题的人也会从中获得一些有益的经验，例如： （i）如果本题前部分不用正弦或余弦定理作代换，后半部分不使用解析法，虽然仍能设法确定三角形并推导出目标函数，但解题过程的复杂程度会明显

21、上升.这说明，对于同样的素材（题设条件），选用不同的加工方法（解题方法），其繁琐程度是有显著区别的. （ii）从上题的解答中，我们可以认识到图形中的最值常在动点位于某些特殊位置时产生. （iii）使我们看到：注意数形结合，使计算大为简化，并且更能揭露问题的实质.第29页 一般性分析一般性分析审题审题拟定计划拟定计划实现计划实现计划回顾回顾第30页 波利亚十分重视解题活动中思维的作用，他波利亚十分重视解题活动中思维的作用，他在文（在文（2 2）中，用一张图表，对数学解题思维过）中，用一张图表，对数学解题思维过程做了精辟的分析和高度的概括。他用九个词排程做了精辟的分析和高度的概括。他用九个词排成一

22、个正方形，一个在正方形中心，四个在正方成一个正方形，一个在正方形中心，四个在正方形的顶点上，其余四个则写在四条边上。形的顶点上，其余四个则写在四条边上。 分离分离预见预见组合组合重新配置重新配置辨认辨认动员动员回忆回忆充实充实组织组织第31页 试悟式探索解题思路是我们在解常试悟式探索解题思路是我们在解常规数学问题时或解所谓标准性训练性题时规数学问题时或解所谓标准性训练性题时常采用的方式。常采用的方式。 探索程序框图表探索程序框图表观察观察 题目题目特征特征发发 掘掘 题设内涵题设内涵沟沟 通通 靠拢条件靠拢条件 纠错纠错发发 掘掘 题设内涵题设内涵探探 索索 转化方向转化方向尝试尝试靠靠 拢拢

23、 熟悉类型熟悉类型解 决 原来问题第32页AB.1,.ABCD1 cos3sin .CABCDABDABa ADBADABCDD 例：在中，已知是锐角三角形，证明：以 、 、 、 为圆心，半径为的圆K 、KK 、K 能覆盖的充要条件是（1）让我们来探索本题的解题思路（如图13）：（A）观察（题目的特征） AD=1,四个覆盖圆的半径为1，因此数字1是特殊数值. 本题是个条件覆盖问题. ABCD为平行四边形， 锐角三角形，有 为锐角. 覆盖图形的条件是边长AB与 有密切关系等图形特征.ABDBADoAEBCDp图13第33页 （B）发掘（题设的内涵） 为什么要限制为锐角三角形？ ABD 圆 盖住了

24、 ，即四边形内任一点P都使PA、PB、PC、PD四个距离中至少有一个不大于1.ABCDKKKK、ABCD 由于对称性关系，在 内的点如能被圆 盖住，则在 内的点必能被圆 盖住。故只要对 讨论问题即可. ABDBDCABDKKK、CBDKKK、ABD 从已知条件不等式（1）： 看，常常可改写为 ，此处是否对解题有用？cos3sin113cossinsin(30 )222第34页 考虑射影定理，设 的外接圆半径R，则有这与已知条件式（1）有什么关系？ABDcossincos2sincosaADBDABDRABD （C）尝试转化（命题的形式） 根据（B）中的和两点，可以把本题的结论转化为：设P为锐角

25、 内任一点，则PA、PB、PD三者之中至少有一个不大于1的充要条件是不等式（1）成立.ABD（D）试探并纠错（靠拢的方向） 把问题转化为（C）以后，怎样靠拢我们已熟悉的类型呢？如果一时还理不出头绪，可先进行特殊试探.取 内的一些特殊点为P（如内心、外心、重心等等）来试探，当取内心、重心为P时ABC第35页不能达到目的，因此最特殊的莫过于取外心O为P，这时应有 ，我们知道， 内任一点P和三角形各顶点的距离不都大于R.R在这里肯定将起着举足轻重的作用. 1OAOBOCRABD（E）沟通（靠拢的条件）引入 的外接圆半径R. ABD（F）再尝试转化（命题的形式） 引入R后本题可进一步再转化为：在锐角

26、中， . 证明 不等式（1）成立. ABD1,ADABaBAD1R 第36页（G）靠拢（熟悉的类型） 在 内，必可建立 之间的关系式.在已建立的关系中，令 ，即得包含 的不等式，所得不等式与（1）的关系如何？如果我们已经熟知建立 之间的关系及角不等式等知识，则可实际试一试了. ABDR a、 、R a、 、1R 由正弦定理： ， 由余弦定理： ， 于是 . 令 ，则得关于 的二次不等式： （2） 解出不等式（2）即得BD=2Rsin22BD12cosaa2224sin12 cosRaa 1R a222 cos(1 4sin)0,(0).aaa第37页cos3sincos3sin.a （3） 注

27、意到 ，即得 （4）（4）式即为不等式（1），必要性获证.0cos3 sin.a0a 欲证充分性，可反过来倒推. 假设从（4）式能推出（3）式成立，则（2）式成立;若（2）式成立，则由余弦定理与正弦定理得 .22224sin12 cos4sin1BDRaaR 故问题是要证明（3）式成立，此式的右边即为（4）的右边，剩下的只要证明（3）式的左边成立，即证明 即可.cos3sina 因 为锐角， ，欲证 ，只要证 3sin0cos3sinacosa第38页此为一简单的几何题，假定我们已熟悉其证法：oAEBCDp图13 作 于E，因 为锐角三角形，（这时锐角三角形这个条件起作用了！）故E必落在AB内

28、部，故 ，DEABABCAEABa但 ，即得 ，从而 成立.coscosAEADcosacos3sina 在上述解法思路的基础上，按试悟式探索程序还可有如下解法思路：先证 能覆盖 .CABDKKKK、 、 、1ABCDR第39页 其次在等腰 中，腰长R小于或等于底边AD的长度 .AOB1AOD60顶角根据圆周角定理， 6030AODABD 3cos.()2ABDABD为锐角由射影定理，coscosaADBDABDcos2sincos.RABD1cos3sin.Ra 对于 能覆盖 ，也可以这样证：作 的外接圆.因为这是锐角三角形，故圆心O在三角形内，易知C是圆外的点.又设外接圆的半径 ，则连接A

29、O、BO、DO的线段和过O而垂直于三边的线段把 分成六个直角三角形.CABDKKKK、1ABCDRABD1R ABD第40页 于是， 中的任一点M必在某一个直角三形中，它和相应顶点的距离 ，故 能被 所覆盖，利用对称性， 能被 所覆盖.ABD1RABDABDKKK、BCDBCDKKK、 反之，若R1则 不能覆盖住O点，又因为ACR1， 也盖不住O点.可知 能覆盖 .ABDKKK、 、CK1ABCDRKKKK 、 、 、ABCD第41页 1. n名选手参加单打淘汰赛，需要打多少场后名选手参加单打淘汰赛，需要打多少场后才能产生冠军？才能产生冠军？2. 马丁马丁.加德勒是杂志加德勒是杂志科学的美国人

30、科学的美国人的专的专栏作家。他设计了一种游戏：栏作家。他设计了一种游戏： “两个人轮流从两个人轮流从1，2，3，4，5，6，7，8，9中取数，每中取数，每次取一个数，谁所取的数中有三个数的和为次取一个数，谁所取的数中有三个数的和为15就算赢家。就算赢家。” 如果第一个人先取如果第一个人先取5，那么第二个人，那么第二个人应当应当取什么数呢？取什么数呢？第42页 顿悟式探索解题思路是我们解综合性顿悟式探索解题思路是我们解综合性强的或非常规问题时常用的方式。强的或非常规问题时常用的方式。 第43页例例：已知 ，求证： . 0a b c 3333abcabc 试悟式探索求解思路：通过观察，考虑到消除已

31、知等式与求证等式之间指数上的差异是解题的关键，可（i）从已知式出发，进行乘方，升幂变出求证等式;（ii）从求证式出发，进行分解，化简变出已知式. 顿悟式探索求解思路：在收集了题目所有信息并进行反复的思考分析后，由等式启迪方程的策略思想来考虑，则形成一种全新的思路： 首先， 不再是一个静止的等式，而是方程 有非零解 . 0a b c 0ax by cz0 xyz第44页 其次，它不再是一个孤立的等式，而是三个同样的等式： ， ， . 0a b c 0bca 0cab最后，这三个等式联立，表明齐次线性方程组000axbyczbxcyazcxaybz有非零解 ,1xyz 从而其系数行列式33330.

32、abcbcaabcabccab第45页 从上例可以看到试悟式与顿悟式是数学问题解决的两种探索方式，同一道题也可用不同的探求方式去寻找解题思路.因此，应根据题目特点而灵活地选择探求方式. 若多项式 整除 , 求整数 .要求: 1.指出问题的背景以及隐含的数学思想与方法; 2. 对问题剖析与发掘; 3. 对解后的评述与建议.注: 以下的尝试题按此要求完成.2xxa13( )90f xxxa尝试题：尝试题：第46页l在某树林中有在某树林中有n3个凤巢个凤巢,彼此之间距离不等彼此之间距离不等,每每个巢中各有一只凤个巢中各有一只凤.如果清晨如果清晨,一些凤离开自己一些凤离开自己的巢飞到别的巢中的巢飞到别

33、的巢中,并且清晨前每一对距离小于并且清晨前每一对距离小于另一对的凤另一对的凤,清晨后清晨后,前一对的距离反而大于后前一对的距离反而大于后一对（两队中可以有一只凤相同）一对（两队中可以有一只凤相同）.问问n可以取可以取哪些值？哪些值？第47页 解题不在多而在深，肤浅地解决许多问题，在题海中浮游，就捕捞不到有价值的东西;反之，认真地研究一个问题，深入地钻研进去，就会进入另一番境界;总结出几条借鉴的规律，以后若遇到类似的或相近的题目，就不但会解，还可能多方面去解，甚至推而广之，这就是以一当十，以少胜多的奥妙.因此，每解完一道新的题目，一定要注意总结解题经验，扩大成果.这就要求我们应考虑下面几个问题：

34、第48页1.回顾回顾 回顾在解题过程中（1）考虑是否利用了所有的已知条件.（2）寻找解题方法时遇到过什么困难？（3）产生困难原因何在？（4）怎样突破了难点？（5）突破难点的关键是什么？（6）考虑解答是否全面、合理？（7）进行检验：量纲检验，对称性检验.第49页2.2.比较比较 与过去作过的一些题目比较.（1）这道题属于我们熟悉的哪一种类型？（2）解这类问题的基本方法是什么？（3）解本题学到什么新的方法吗？（4）哪类问题与本题的解法有共同之点？3.3.联想联想 把问题想得更远一点.（1）本题是否还有别的解法？（2）本题使用的解法能否简化？（3）本题的结论能否推广？变化？（4）本题的条件可否削弱？

35、改变？第50页例例1：用多种方法证明 是无理数.2 1.奇偶数判别，引出矛盾. 2.将 展为素因数之积.由于 ， 的素因子成对出现而 的素因子中2出现奇数次.矛盾., a b222ab2a22b 3.因 ，故 b 整除 ，但 ,故 .由于1和4之间没有平方数，矛盾.222ab2a,1ab 21,2.122ba 综观以上证法，关键是令 ，这就有了“抓手”，可以单刀直入，得出矛盾，获得证明.2ab 评析 无理数是十分抽象的思考对象.正面地说明 是“无限的”，“不循环的”几乎没有可能.因此采用反证法是必然的.一旦作了相反的假设，即令 （有理数，其中 是整数）.那么就有多种方法处理，以引出矛盾.2,

36、a b2ab第51页 例2: 已知 ， 求证 ： . 22111abba221ab 分析分析 关于这道条件等式证明题，曾经众口一词认为，直接的代数证明是麻烦的，并且已经作为”三角法”的典范经常出没于各类书刊.为了支持这种观点，人们常作下面两种解法的对比.证明一(代数法) 由已知式平方222222222111,aa babbaba b移项2222222(1)(1)12,abbaaba b 再平方第52页2222224(1)a baba b4444222242241422644.aba baba ba ba b 可得可得221.ab证明二证明二( (三角法三角法) ) ： 由221, 1ba有意义

37、可知| 1,| 1,ab2211, 11.ba即即44222201222aba bab 222(1)ab第53页因而，式左边两项的绝对值都不大于1，但右边为1，所以a，b都为不大于1的非负数，恰与锐角三角函数有相同的特征.令12,0,.2 12cossinab则21221sin1cosab原式可化为 1212coscossinsin1.12cos()1.即 第54页12,22但 120,故 12.有 2222221211cossincossin1.ab得 对于这两个解法，我们有如下三点看法：(1)由于代数法只从形式上”化整”，盲目地两次平方，因此进行了复杂的平方、配方运算。但这不是解这道题的必

38、由之路，一旦弄清了题目结构的本质，作一次平方之后就配方，可以大大减少运算量。第55页证明三： 对式平方后，将式作移项配方，有2222220(1)(1)2(1)(1)abababa b222 (1)(1) ,abab得22(1)(1),abab平方，整理即得。 若对式先移项，再平方，过程还可以简化。证明四 ： 对已知式移项后平方22222(1)1 21(1),baabab 第56页移项配方22(1)0,ab得 21.ab平方即得。 （2）三角法能从 的形式，联想到三角函数的内容，体现了把形式于内容结合起来的思考。可惜的是，这种思考浅尝辄止，白白浪费了许多重要而有用的信息。我们认为，三角法只看到坐

39、标平面上的两个点221, 1ab22( ,1),( 1, ),A aaBbb 在单位圆 上，因而有参数式即三角变换、。但没有进一步揭示已知等式所体现的内容，即A满足“单位圆上过点B的切线方程”：221xy第57页211.xbby由切点的唯一性知A，B重合，于是得出比求证更强的结论2211abba 我们的这段话，不仅揭示了题目的数学内容，同时也已完成了题目的证明. 证明五：证明五：已知条件表明，单位圆上的点 满足A在过B的切线 上，由切点的唯一性，有22( , 1),( 1, ),A aaBbb211xbby2211abab第58页平方得221.ab （3）这里的“切点重合”时怎么想出来的呢？其

40、实是从三角法所浪费了的信息又重新捕捉回来的。三角法中的式即2211cossin1,cos,sin.xyxy 这比式更强烈而直观地告诉我们，A在过B的切线上，而式 更是清楚而明白地说明A与B重合.12 于是，我们抓住“切点重合”的思路分三步组织成证明五，并且沿着“两点重合”的知识链，继续导出一系列解法：第59页 A，B重合 |AB|=0 距离公式中平方和为零配方 基本不等式（源于配方） 柯西不等式 证明六证明六: 设 ,则22( , 1),( 1, )A aaBbb2222|(1)( 1)ABabab2221 (11)abba0故A，B重合，可得。第60页 证明七（配方法）证明七（配方法）: 对

41、已知式移项配方220 1 (11)abba 222222(1)(1)1 122abbaabba22221(1)(1) .2abba由非负性质可得. 没有“距离为零”或“切点重合”的启发，这里的配方时一定难度的，甚至可以说是古怪特殊的，但它只不过是证明六的逆向书写而已.第61页证明八证明八: 由基本不等式，有22111abba2222(1)(1)1.22abba等号成立当且仅当时成立.2211.abab平方即得.证明九证明九: 由柯西不等式，有22111abba2222(1) (1)1.aabb等号成立当且仅当第62页则1212| |,z zzz证明十证明十: 设 ，211zaa i221.zb

42、bi即222222(11)( 11)1.abbaabab得 .22110abab移项平方即得.证明十一证明十一: 引进二次函数2222( )(1)( 1)f xaxba xb2222(11)1xabba x221xx2(1) .x第63页2222(1)( 1)0.abab令 ，得1x 证明十二证明十二 : 如图7-3，作 ，使 ，高CD分AB，ABC1BA且高 .CDab则22,BCBDCDa221,1,BDabDAba 得 DCBAabab21ab21ba图7-3同理 AC=b.又由于 ，恰好等于1122ABCSBA CDab1,2BC AC所以 是直角三角形，有ABC221.ab第64页1

43、. 沿一圆周放置若干堆小球，每堆小球的个数都是3的整数倍，但各堆球数未必相等.现在按下列规则调整各堆球数：把各堆小球三等分，本堆留一份,其余两份分别放到左右相邻的两堆中去.如果某堆小球个数不是3的整数倍时，可从备用布袋中取出一球或两球放入，使该堆球数是3的整数倍，然后按上法继续调整，证明：经过有限次调整之后，各堆小球个数就相等.第65页 怎样才能提高我们的解题能力？这不是怎样才能提高我们的解题能力？这不是一个三言两语就能使人满意回答的问题。一一个三言两语就能使人满意回答的问题。一般地说，提高解题能力必须具备四个条件：般地说，提高解题能力必须具备四个条件： 一、一、建立明确的基本概念建立明确的基

44、本概念； 二、二、掌握熟悉的基本技能掌握熟悉的基本技能； 三、三、学会正确的思维方法学会正确的思维方法； 四、四、养成良好的解题习惯养成良好的解题习惯。 也就是我们通常所说的也就是我们通常所说的“狠抓双基，狠抓双基，培养能力培养能力”的意思。的意思。 第66页 解题能力的主要标志一般体现在分析解题能力的主要标志一般体现在分析能力、设想能力、归纳能力、摹仿能力、似能力、设想能力、归纳能力、摹仿能力、似真推理能力和逻辑推理能力等几个方面。真推理能力和逻辑推理能力等几个方面。 第67页 逻辑推理乃是数学思维的基本形式之一，逻辑推理乃是数学思维的基本形式之一，解数学题，只有在逻辑推理的协助下，才得解数

45、学题，只有在逻辑推理的协助下，才得以一步步向前推进，衡量数学解题中逻辑推以一步步向前推进，衡量数学解题中逻辑推理能力的指标有如下几个方面：理能力的指标有如下几个方面： （）准确而流畅地运用数学语言的能力；）准确而流畅地运用数学语言的能力； （）分析完毕整理出证明过程的能力；）分析完毕整理出证明过程的能力； （）鉴别证明正确与否的能力；）鉴别证明正确与否的能力； （）构造反例来纠正逻辑错误的能力。）构造反例来纠正逻辑错误的能力。第68页 我们解题时，总是设法把一个题目引我们解题时，总是设法把一个题目引为我们熟悉的类型（归纳为已经解过的题）。为我们熟悉的类型（归纳为已经解过的题）。原有的熟悉类型可

46、以为我们解决新问题服务，原有的熟悉类型可以为我们解决新问题服务，解决了一个新问题就扩大了我们熟悉的类型解决了一个新问题就扩大了我们熟悉的类型的范围。的范围。第69页1.直接套用直接套用 直接套用是指把一个数学问题直接利用已熟悉的数学概念、定理、公式、性质或某种典型方法求解.这时我们就只要依葫芦画瓢，进行摹仿，直接套用现成的定理、公式、性质或已掌握的有关结论就可以了.例例1：设 都是正数，求证 12,nxxx222211212231.nnnnxxxxxxxxxxx证法一： 由平均值不等式，有22122132232,2,xxxxxxxx第70页22111112,2.nnnnnxxxxxxxx将以上

47、各式相加，即得要证的不等式.证法二：证法二： 由柯西不等式有221212231231()nnxxxxxxxxxxxx2222112231231()().nnnnxxxxxxxxxxxx因此 222211212231.nnnnxxxxxxxxxxx第71页证法三：证法三： 式可转化为2221212231()()()0,nnxxxxxxxxx因为 12231()()()0,nxxxxxx故即需证明而因为2111()0kkkxxx111()()kkkkkkxxxxxx222121212231231() ()() () ()().nnnxxxxxxxxxxxxxxx第72页211.kkkkkxxxxx

48、211122,xxxxx于是有222233,xxxxx211.nnnxxxxx以上各式相加，即得（ ），故原不等式成立.第73页 评析 本题也可以用 非负实数矩阵中， 列元之和的几何平均不小于 行元的几何平均之和，或应用排序不等式与数学归纳法证明。此外，基本不等式的变式的灵活运用也是证明不等式中的一种重要技巧，例如，基本不等式 ，等号当且仅当 时成立.它有如下几种变式：n mnm222 ( ,)abab ab Rab(2)(0);abababba22(,);aab aR bRb(1)(3)2221()(,).2a bab a Rb R第74页1223112(2)(2)(2),nnxxxxxxx

49、xx上例证明可利用变式（1），即不等式（1）左边原不等式得证.2.设法凑用 有时一个问题并不能立即把它转化为可以直接套用熟悉的概念，定理、公式、性质或某种典型方法求解，只能参照某些近似问题的解法，结合本题的特点，对题目中的式子或图形等进行凑合，使得凑合后达到某种预期的目的.设法凑用或可套用某个概念、定理、公式、性质、某种典型的方法，能用上题条件，出现结论的形式等等，这就比直接套用进了一步.第75页 例例2：已知 为两两不相同的正整数，求证对任何正整数 ，有下列不等式成立： . 12,naaan2111nnkkkakk 证法一：证法一：由于 为两两不相同的正整数，故有 .12,naaa121 2

50、naaan 21222222123() (1 2)112nnnkkkkkkakakakaaakkk1221() (1 2) 0 .naaann 故原不等式得证.于是第76页 证法二：证法二：依条件有 ，根据例1中变式（2）21111111110 .nnnnnkkkkkkkkkkakakakkkkkaka有1111nnkkkka故原不等式得证. 评证评证证法二是利用基本不等式 的变式，即 . 显然，证明过程较简捷.222( ,)abab a bR(0)abababba第77页3.联想广用 解答某些问题时，全方位审视已知信息，联系学过的知识和解决的方式，展开一列系的联想：对题设、题断所涉及的概念进