材料力学第5版(孙训方编)第二章详解课件.ppt
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1、第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2- -1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念2- -2 内力内力截面法截面法及轴力图及轴力图2- -3 应力应力拉拉( (压压) )杆内的应力杆内的应力2- -4 拉拉( (压压) )杆的变形杆的变形胡克定律胡克定律 2- -5 拉拉( (压压) )杆内的应变能杆内的应变能 2- -6 材料在拉伸和压缩时的力学性能材料在拉伸和压缩时的力学性能 2- -7 强度条件强度条件安全因数安全因数许用应力许用应力2- -8 应力集中的概念应力集中的概念2- -1 轴向拉伸和压缩的概念轴向拉伸和压缩的概念第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 工程中有
2、很多构件,例如屋架中的杆,机械连接用的螺栓,机械或建筑支撑用的立柱,是等直杆,作用于杆上的外力的合力作用线与杆的轴线重合。在这种受力情况下,杆的主要变形形式是轴向拉伸或压缩。屋架结构简图 而受轴向外力作用的等截面直杆称为拉杆或压杆。桁架的示意图 若不考虑端部连接情况,屋桁架上的钢杆可以简化为以下拉杆或压杆第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩拉杆压杆2- -2 内力内力截面法截面法及轴力图及轴力图 材料力学中所研究的内力物体内各质点间原来相互作用的力由于物体受外力作用而改变的量。. 内力概念内力概念 根据可变形固体的连续性假设,内力在物体内为连续分布。 通常把物体内任一截面两侧相邻部分之间
3、分布内力的合力和合力偶简称为该截面上的内力(实为分布内力系的合成)。 内力求解的方法:截面法。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩. 截面法截面法轴力及轴力图轴力及轴力图FN=F第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1.1.内力求解方法内力求解方法截面法截面法 其求解步骤如下: (1)截开:假想地截开指定截面; (2)代替:用内力代替另一部分对所取分离体的作 用力; (3)平衡:根据分离体的平衡求出内力值。 横截面mm上的内力FN其作用线与杆的轴线重合(垂直于横截面并通过其形心)轴力(等直拉压杆的内力)。无论取横截面mm的左边或右边为分离体均可。 轴力的正负:按所对应的纵向变形为伸长
4、或缩短短规定 当轴力背离截面产生伸长变形为正,即拉力为正拉力为正; 当轴力指向截面产生缩短变形为负,即压力为负压力为负。轴力背离截面FN=+F2. 轴力轴力 注意:注意:用截面法求内力的过程中,在截取分离体前,作用于物体上的外力(荷载)不能任意移动或用静力等效的相当力系替代(与理论力学的不同)。 轴力指向截面FN=-F第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 杆受多个轴向外力作用时,在杆的不同截面上的轴力各不相同。为表示横截面上的轴力随横截面位置而变化的情况,用平行于杆轴线的坐标表示横截面的位置,垂直于轴线的坐标表示横截面上轴力的数值,从而绘制处轴力与横截面位置关系的图形,称为轴力图, 正值
5、的轴力画上轴线上方,负值绘制轴线下方。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩3.轴力图轴力图(FN图图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。 轴力图(FN图)显示横截面上轴力与横截面位置的关系。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩F(c)F(f)例题例题1 试作此杆的轴力图。等直杆的受力示意图第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩(a)注意:杆受多个轴向外力作用时,应以外力作用点 处的横截面作为特征截面,将梁分成若干段 来求整段梁的轴力。为求轴力方便,先求出约束力 FR=10 kN为方便,取横截面11左边为分离体,假设轴力为拉力,得FN1=10 kN(拉力)解:解:第二章第二章
6、轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩为方便取截面33右边为分离体,假设轴力为拉力。FN2=50 kN(拉力)FN3=-5 kN (压力),同理,FN4=20 kN (拉力)第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴力图(FN图)显示了各段杆横截面上的轴力。kN502NmaxN, FF思考:为何在F1,F2,F3作用着的B,C,D 截面处轴力图 发生突变?能否认为C 截面上的轴力为 55 kN? 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩例题2:试作此杆的轴力图。FFFqFR112233FFFFRF=2qlFF =RFFFl2lllFq 解:第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FF =RFF=N
7、1FFF=3NqFFF =RFx1N2FFlFxF1N2FFF =RFx1lFxF1 2NF0-201RN2lFxFFFFx2FFFq11233FF =Rx第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FFq=F/ll2llF第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FN 图FFF+-+课堂练习:试求出下列图形当中1-1、2-2、 3-3截面上的轴力. 10KN10KN6KN6KN332211FF211233(1)(2)第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩在这两道题中其实可以在这两道题中其实可以用一种用一种“整体法整体法”的眼光的眼光来看:例如第一题就是两来看:例如第一题就是两个力个力F的作
8、用效果是只拉的作用效果是只拉伸了这两个力之间的部分,伸了这两个力之间的部分,而对两个力之外的部分没而对两个力之外的部分没有作用。即可判断出截面有作用。即可判断出截面13处没有力的作用。而处没有力的作用。而2处处力均为力均为F(自己总结的(自己总结的2013.3.8)思考:思考:AB 杆、 杆材料相同, 杆截面面积大于AB杆, 若挂相同重物,哪根杆较危险? 若 ,哪根杆较危险?BABAccWW 2- -3 应力应力拉拉( (压压) )杆内的应力杆内的应力第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩A=10mm2A=100mm210KN10KN100KN100KN哪个杆先破坏?第二章第二章 轴向拉伸
9、和压缩轴向拉伸和压缩一、应力的概念一、应力的概念 应力:指受力杆件某截面上某一点处某一点处的内力分布疏密程度,即内力集度。.F1FnF3F2第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 指受力杆件(物体)某一截面的M点附近微面积A上分布内力的平均集度即平均应力, ,其方向和大小一般而言,随所取A的大小而不同。AFpm第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩平均应力定义: 该截面上M点处分布内力的集度为 ,其方向一般既不与截面垂直,也不与截面相切,称为总应力。AFAFpAddlim0第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩总应力定义:F1F2A FF Q yF Q zFNdAdFAFNNA0l
10、im dAdFAFQQA0lim 应力的国际单位为应力的国际单位为N/mN/m2 2 (帕斯卡)(帕斯卡)1N/m2=1Pa1MPa=106Pa1N/mm21GPa=109PadAdFAFpA0limM 上的平均应力上的平均应力mpAAFpm总应力 p法向分量正应力某一截面上法向分布内力在某一点处的集度切向分量切应力某一截面上切向分布内力在某一点处的集度应力单位:Pa(1 Pa = 1 N/m2,1 MPa = 106 Pa)。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩注意:注意:正应力和切应力的正负规定: )()()()(1、对正应力 :离开截面的正应力 为正; 指向截面的正应力为负。2、对
11、切应力:对截面内部一点产生顺时针力矩为正; 对截面内部一点产生逆时针力矩为负。二、拉二、拉( (压压) )杆横截面上的应力杆横截面上的应力 (1) 轴力与应力的关系:与轴力相应的只可能是正应力, 不可能是切应力(因为轴力是个法 向力); (2) 通过试验了解在横截面上的变化规律:横截面上各点处 相等时可组成通过横截面形心的法向分布内力的合力轴力FN; (3)试验的方法第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩试验现象及假设: 1. 观察等直杆表面上相邻两条横向线在杆受拉(压)后的相对位移:两横向线仍为直线,仍相互平行,且仍垂直于杆的轴线。 2. 设想横向线为杆的横截面与杆的表面的交线。平截面假
12、设原为平面的横截面在杆变形后仍为平面,对于拉(压)杆且仍相互平行,仍垂直于轴线。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 3. 推论:拉(压)杆受力后任意两个横截面之间纵向线段的伸长(缩短)变形是均匀的。根据对材料的均匀、连续假设进一步推知,拉(压)杆横截面上的内力均匀分布,亦即横截面上各点处的正应力 都相等。由合力概念知:得:等截面拉(压)杆横截面上正应力的计算公式 。AFN第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩AdAdAFAANdAdFN AdAdAFAANAFNdAdFAFNNA0lim 应力不均匀时:应力不均匀时:应力均匀时:应力均匀时:AFNAFN第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴
13、向拉伸和压缩 1. 上述正应力计算公式来自于等直杆的平截面假设;对于某些特定杆件,例如锲形变截面杆,受拉伸(压缩)时,平截面假设不成立,故原则上不宜用上式计算其横截面上的正应力。公式应用范围:公式应用范围: 2. 即使是等直杆,由于连接点的复杂性,导致在外力作用点附近,横截面上的应力情况也很复杂。而圣维南(Saint-Venant)原理指出:“力作用于杆端方式的不同,只会使与杆端距离不大于杆的横向尺寸的范围内受到影响”。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 等直杆等直杆受几个轴向外力时,由轴力图可求得其最大受几个轴向外力时,由轴力图可求得其最大轴力轴力 ,代入公式,代入公式 可得杆内最大
14、正应力为:可得杆内最大正应力为: 最大正应力最大正应力(注意课本(注意课本P15P15最后一行)最后一行)所在的横截面所在的横截面成为成为危险截面危险截面,危险截面上的正应力为最大工作应力。,危险截面上的正应力为最大工作应力。AFNmax,NFAFN,maxmax3、最大正应力:、最大正应力: 圣维南原理已被实验所证实,故AFN 最大正应力最大正应力(注意课本(注意课本P15P15最后一最后一行)行)所在的横截面成为所在的横截面成为危险截面危险截面,危险截面上的正应力为最大工作应危险截面上的正应力为最大工作应力。力。 例题2-2 试求此正方形砖柱(阶梯状)由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。
15、已知F = 50 kN。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩段柱横截面上的正应力12所以,最大工作应力为 max= 2= -1.1 MPa (压应力) 解:段柱横截面上的正应力 MPa87. 0Pa1087. 0 )m24. 0()m24. 0(N10506311N1AF(压应力)MPa1 . 1Pa101 . 1 m37. 0m37. 0N101506322N2AF(压应力)第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 例题2-3(不讲) 试求薄壁圆环在内压力作用下径向截面上的拉应力拉应力。已知:d = 200 mm,= 5 mm,p = 2 MPa。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向
16、拉伸和压缩2RNFF 而 pbddpbF)sind2(0R所以MPa 40Pa m) 102(5m) Pa)(0.2 3-661040102221()(pdpbdb 解:薄壁圆环薄壁圆环 (d )在内压力作用下,径向截面上的在内压力作用下,径向截面上的拉应力可认为沿壁厚均匀分布拉应力可认为沿壁厚均匀分布,故在求出径向截面上的法,故在求出径向截面上的法向力向力FN后用式后用式 求拉应力。求拉应力。 bFN第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 例题4 图示支架,AB杆为圆截面杆,d=30mm,BC杆为正方形截面杆,其边长a=60mm,F=10KN,试求AB杆和BC杆横截面上的正应力。FABF
17、BCMPa.AFABNABAB328MPa.AFBCNBCBC84KNFFFAB20230sin/0KNFFFABBC310330cos0CdABFa030第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FNBCFNABFF 斜截面上的内力: 变形假设:两平行的斜截面在杆受拉(压)而变形后仍相互平行。即两平行的斜截面之间的所有纵向线段伸长变形相同。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩coscoscos/0AFAFAFp推论推论:与横截面成与横截面成 角的角的斜截面上各点处轴向分布内力的集度相同,即斜截面上各点处的总应力p相等。 式中, 为拉(压)杆横截面上( =0)的正应力。 AF0第二章第二
18、章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩斜截面上的正应力(normal stress)和切应力(shearing stress): 20coscos p220sinsin p正应力和切应力的正负规定(书上P14): )()()()(第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩轴向拉压杆件的最大正应力最大正应力发生在横截面横截面上。轴向拉压杆件的最大切应力发生在与杆轴线成450截面上。在平行于杆轴线的截面平行于杆轴线的截面上上、均为零。均为零。001、max时,4520、21max时,、09030090 0090 2cos 2sin21时,045 21minF045 045 045 045 第二章第二章
19、轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩2- -4 拉拉( (压压) )杆的变形杆的变形 胡克定律胡克定律 一、拉一、拉( (压压) )杆的纵向变形杆的纵向变形 基本情况下(等直杆,两端受轴向力): 纵向总变形:纵向总变形:l = l1-l (反映绝对变形量),无法说明 沿杆长度方向上各段的变形量。单位长度的纵向伸长即:单位长度的纵向伸长即:纵向线应变纵向线应变纵向线应变:纵向线应变: (反映杆的变形程度) ll第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩1 1、轴向变形为均匀变形时(、轴向变形为均匀变形时(适于两端受轴向力的等直杆)x 截面处沿x方向的为 xx 图示一般情况下在不同截面处杆的横截面上的轴力
20、不同,故不同截面的变形不同。lxf沿杆长均匀分布的荷载集度为 ffl轴力图第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩)(xxffxxx微段的分离体2 2、轴向变形为非均匀变形时(、轴向变形为非均匀变形时(适于两端受轴向力的等直杆)线应变的正负规定:伸长时为正,缩短时为负。 )(xxffxxx微段的分离体fl轴力图lxf沿杆长均匀分布的荷载集度为 f 则杆沿x方向的总变形: lxxl0d x截面处的为: xxxxxxddlim0第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩二、拉杆的横向变形二、拉杆的横向变形与杆轴垂直方向的变形与杆轴垂直方向的变形 dd在基本情况下 ddd-1第二章第二章 轴向拉伸
21、和压缩轴向拉伸和压缩拉杆的横向变形及纵向变形同样适合压杆。 AFll 引进比例常数E,且注意到F = FN,有 EAlFlN胡克定律式中:E 称为弹性模量称为弹性模量(modulus of elasticity) ),由实验测定,其单位为Pa;三、胡克定律三、胡克定律( (Hookes law) ) 工程中常用材料制成的拉(压)杆,若两端受力,当应力不超过材料的某一特征值(“比例极限”)时,则:第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩该胡克定律仅适用于拉(压)杆。胡克定律的另一表达形式: AFEllN1E的第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩如低碳钢(Q235): GPa210GPa2
22、00Pa1010. 2Pa1000. 21111EFF00909020cos2sin20注意:1. 单轴应力状态受力物体内一点处取出的单元体,其三对相互垂直平面上只有一对平面上有正应力的情况。 (详见第七章)第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2. 阐明的是不适用于求其它方向的线应变。 FF000E00第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩低碳钢(Q235):n = 0.240.28。 亦即 n -四、横向变形因数四、横向变形因数( (泊松比泊松比)()(Poissons ratio) ) 单轴应力状态下,当应力不超过材料的比例极限单轴应力状态下,当应力不超过材料的比例极限时,横向
23、线应变 与纵向线应变的绝对值之比为一常数,此比值称为横向变形因数或泊松比(Poissons ratio):第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 2.横截面B, C及端面D的纵向位移与各段杆的纵向总变形是什么关系?思考:等直杆受力如图,已知杆的横截面面积A和材料的 弹性模量E。 1.列出各段杆的纵向总变形lAB,lBC,lCD以及整个杆纵向变形的表达式。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩FFFN 图F+-+EAlFlEAlFllBCCDAB) 3/( ) 3/(EAlFllllBCCDAB) 3/( ) 3/( 0 ) 3/(EAlFll
24、llllEAlFlCDBCABDBCABCABB(3) 位移(2) 变形解:(1) 轴力 例题例题( (不讲)不讲) 求例题2-3中所示薄壁圆环其直径的改变量d。已知 ,GPa210E。MPa2 mm,5 mm,200pd第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 (2) 如计算变形时忽略内压力的影响,根据胡克定律公式知,沿正应力方向(即圆周方向)的线应变为:4-96109 . 1Pa10210Pa1040EMPa40NbF 解:解:(1) 前已求出圆环径向截面上的正应力,此值小于钢的比例极限(低碳钢Q235的比例极限p200 MPa)。第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩mm038.
25、0m108 . 3m2 . 0109 . 15-4-ddd从而有圆环直径的改变量(增大)为ddddddd-)( (3) 圆环的周向应变与圆环直径的相对改变量d有如下关系:第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩 例题例题2-5 如图所示杆系,荷载 P = 100 kN,试求结点A的位移A。已知: = 30 ,l = 2 m,d = 25 mm,杆的材料(钢)的弹性模量为E = 210 GPa。 第二章第二章 轴向拉伸和压缩轴向拉伸和压缩由胡克定律得 cos22N1N21EAPlEAlFEAlFll其中 24dA(1) 求杆的轴力及伸长cos22N1NPFF2N1NFF 解:结点A的位移A系由
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