弹性压杆的临界荷载课件.ppt

1、弹性压杆的临界荷载重重 点：稳定方程的建立点：稳定方程的建立 边界条件的提出边界条件的提出 等效为单个压杆等效为单个压杆 难难 点：稳定方程的建立点：稳定方程的建立 边界条件的提出边界条件的提出 刚度系数的确定刚度系数的确定一、基本假设一、基本假设 二二、材料力学中的结果、材料力学中的结果 三、简单刚架三、简单刚架等效为等效为单单压杆稳定压杆稳定的简化分析方法的简化分析方法 四、弹性压杆的稳定方程的建立，四、弹性压杆的稳定方程的建立， 临界荷载的求法临界荷载的求法 本节内容提要本节内容提要弹性压杆的临界荷载 一、基本假设一、基本假设 1. 理想的中心受压直杆理想的中心受压直杆 2. 材料在弹性

2、范围内，服从虎克定律材料在弹性范围内，服从虎克定律 3. 屈曲变形微小，屈曲变形微小， yyy 23211PKMPKM无限刚性杆的受压计算无限刚性杆的受压计算PPl jKM弹性杆的受压计算弹性杆的受压计算22LEIPlj为长度系数，为长度系数，L为相当长度。为相当长度。 欧拉公式：欧拉公式： =2.0 =1.0 =0.7 =0.5二二、材料力学中的结果、材料力学中的结果 xyM(x)Pl j推导欧拉公式推导欧拉公式 yPxMlj已知，已知， yEIxM EIPklj202yky 下端铰为什么没有水下端铰为什么没有水平约束力？平约束力？yxPl jL/2L/2 yx方程的解：方程的解： kxBk

3、xAycossin02yky A、B 为待定系数，与边界条件有关。为待定系数，与边界条件有关。 0,0, 0yLxyxyxPl jL/2L/2 yx代入方程，得：代入方程，得：0sinkL0BnkL （n=1，2，3，.，），）n=1时得：时得： 22LEIPlj三、简单刚架三、简单刚架等效为压杆稳定等效为压杆稳定的简化分析方法的简化分析方法 EIEIEIPP例1 正对称失稳时的半结构正对称失稳时的半结构P等效为单个压杆等效为单个压杆PEIEIEIPP P反对称失稳时的半结构反对称失稳时的半结构P等效为单个压杆等效为单个压杆例2 PABABP例3EI1= EIPPKNKN1PKN或或例4PPP

4、正对称失稳时的半结构正对称失稳时的半结构等效压杆等效压杆P PP例4PP反对称失稳时的半结构反对称失稳时的半结构PPKMPKM或PP例5 PPKMKM反对称失稳反对称失稳PPPKMKM正对称失稳正对称失稳PPPKMKMPPKMKM四、弹性压杆的稳定方程，临界荷载四、弹性压杆的稳定方程，临界荷载 例题例题1 1 上端无转角但可侧移，弹簧铰刚度上端无转角但可侧移，弹簧铰刚度KM ，杆的刚度为，杆的刚度为EIEI，杆长，杆长L L，求临界荷载。，求临界荷载。 PM（x）yKMA解：解：建立图示坐标系，设建立图示坐标系，设A端转角为端转角为，x处的挠度处的挠度y，B端的端的侧移为侧移为 PKMBAyx

5、yP A 取取x截面以下为研究对象，截面以下为研究对象，Mx=0 ，M（x） + KM=Py M（x） + KM=Py EIKykyM2 xMyEI 以代入方程中EIPk2 方程通解：PKkxBkxAyMsincosyxyP A 边界条件：边界条件： ）当）当x=0时，时，y=0，得：，得： 0PKAM）当）当x=0时，时， ，得：，得：Bk= y）当）当x=L时，时， ，得：，得： 0 y0cossinkLkBkLkA求解稳定方程求解稳定方程 边界条件中的边界条件中的A、B、有非零解，其系数行列式有非零解，其系数行列式D=0 00cossin1001kLkkLkkPKM0cossin2kLk

6、kLPKkM0LKEIkLtgkLM 讨论：讨论： 当当KM=时，原来结构的稳定问题就是：下端固定，上端可滑动时，原来结构的稳定问题就是：下端固定，上端可滑动 0tgkL0LKEIkLtgkLMnkL 取n=1得： EIPLk22LEIPlj此时压杆的长度系数为此时压杆的长度系数为1 PKMBA当当KM=0时，原来结构的稳定问题就是：下端铰支，上端可滑动时，原来结构的稳定问题就是：下端铰支，上端可滑动 0cossin2kLkkLPKkM0coskLLnk2取取n=1得临界荷载得临界荷载 222LEIPlj此时压杆的长度系数为此时压杆的长度系数为2 例题例题2 求图示结构体系的稳定方程，求出临界

7、荷载。求图示结构体系的稳定方程，求出临界荷载。 HH/2PEIABC 解：设解：设C处的水平位移处的水平位移，A处的转角处的转角，画出失稳模态，画出失稳模态 xyy P取整体为研究对象，求得取整体为研究对象，求得A处的水平约束力处的水平约束力P/H 再取再取x截面以下为研究对象，如图。截面以下为研究对象，如图。 xyM（x）HAPxyM（x）HAP0 xHEIPyEIPy取取x截面为力矩中心截面为力矩中心022 xHkykyxHkxBkxAysincosHyHxyHxyx2,0,0,0边界条件：边界条件： xyy PHHkHkBkHkAkHBkHAA2cossin0sincos001cossi

8、n1sincos001HkHkkHkkHkH0 kHtgkHk kf(kf(k) )0.83-2.5634099610.84-2.4222202250.85-2.2436909720.86-2.0141521230.87-1.7124015020.88-1.3036762190.89-0.7267314270.90.1373320550.911.5538282610.924.2601748960.9311.357669870.9476.012762970.95-31.325414230.96-16.184870650.97-12.070931540.98-10.167493070.99-9.0

9、790556181-8.3805150061.01-7.898587089H=5m，kH=0.895*5=4.475tankH=kH，=0.7 kHkHkf tan kfkEIPk 22227 . 0LEIEIkPlj例题3 EI1= EIHHPABC解：做出失稳模态解：做出失稳模态取取BC为研究对象为研究对象MB=0，P=HCH 得得 PHHCyxyM（x）PB PHCB yxyM（x）PB M（x）yHCP取取x坐标以上为研究对象，坐标以上为研究对象，Mx=0，得：，得： xHPHPyxM202222 xHkkyky02222 xHkkykyxHy2*方程的特解： 方程的通解： xHkxB

10、kxAy2sincos0sincos,0, 0, 002, 0, 0kHBkHAyHxkHByxAyx00sincos10201kHkHkHkHtgkH2例题4 L/2L/2L/2LPEIAB等效单个压杆等效单个压杆KNP刚度法求刚度法求KN1KN解：解：1）等效压杆如图所示）等效压杆如图所示 KN可由刚度法求得可由刚度法求得 KN也可由柔度法求得也可由柔度法求得 P=1L/2LL/2柔度法求柔度法求KN34LEIKN2）建立稳定方程）建立稳定方程yHxyPAB 设设B B处的侧移为处的侧移为 ，弹簧的，弹簧的约束力约束力H=KH=KN N （向左）（向左） ，A A支座的水平约束力支座的水平

11、约束力K KN N （向右）（向右） 取x截面以下为研究对象，Mx=0，得： KNPM（x）y yEIxMxLEIPy 34xLyky 324EIPk23）方程的解）方程的解xLkkxBkxAy324sincos04cossin14sincos0013222LkkLkkLkLkkLkL稳定方程稳定方程 4122LkkLtgkL等效单个压杆等效单个压杆KNP04cossin, 0,4sincos,0, 0, 03222LkkLkBkLkAyLxLkkLBkLAyLxAyx边界条件边界条件例题例题5 5 具有三个弹簧约束的等直压杆的稳定方程。具有三个弹簧约束的等直压杆的稳定方程。 K1K2K3PE

12、I,LP1 yx2 M1M2H 失稳模态解：失稳模态如图。上端水平位移解：失稳模态如图。上端水平位移，转角，转角2 ；下端转角；下端转角1 M1=K11 ，M2=K22 ，H= K3 取整体为研究对象，取整体为研究对象，MA=0 021HLMMPP1 yx2 M1M2H 失稳模态失稳模态A取取x截面上端为研究对象，截面上端为研究对象，Mx=0 0)(32xLKMxMyPyHPM2M(x)X截面以上隔离体截面以上隔离体0)(32xLKMxMyPyEIMx EIPk 2令 PxLKkPKkkyky 3222222PxLKPKkxBkxAy322sincos边界条件：边界条件： 当当x=0， 由由y

13、=0，得：，得： 01223PKPLKA-(1)1 y由由 ，得，得0212133KKKPLKPKkB-(2)当当x=L时时 由由 ，得：，得： y0sincos22PKkLBkLA-(3)由由 （逆时针转角），得：（逆时针转角），得：2 y0cossin23PKkLBkkLAk-(4)(1),(2),(3),(4) 是关于是关于A、B、2 的齐次方程组的齐次方程组 01cossin0sincos0101321213323PKkLkkLkPKkLkLKKKPLKPKkPKPLK稳定方程稳定方程 讨论 K2=，K3=0时，2=0，原结构问题变为 PKMBA这便是例题这便是例题1 若若K1=，K3

14、=（此时（此时=0），），K2=0，则压杆变为：，则压杆变为： PEI , L01223PKPLKA0212133KKKPLKPKkB0sincos22PKkLBkLA0cossin23PKkLBkkLAk-(1)-(2)-(3)-(4)以以=H/K3代入（代入（1）、（）、（2）式中，再联合（）式中，再联合（3）得）得0HPLA01HPkB0sincoskLBkLA00sincos1001kLkLPkPLkLtgkL 227 . 0 LEIPlj关于关于A,B,H的齐次方程组，其系数行列式的齐次方程组，其系数行列式=0PEI , L或，直接求临界荷载或，直接求临界荷载Pxy设下端的弯矩为设下

15、端的弯矩为MHMLMH取取x截面以上为研究对象截面以上为研究对象MxHPxMxLHPy)(xLEILMyky2 LEIkxLMkxBkxAy2sincosPxyHM0sincos010122kLBkLAMLEIkkBMEIkA边界条件：边界条件：0:0, 0:0yLxyyx00sincos1010122kLkLLEIkkEIkkLkLtan若若K1=，K2=0，则压杆变为：，则压杆变为： PEI , L00sincos010133kLkLPKkPLK333KkPkLKEIkkLtgkL或，直接求临界荷载或，直接求临界荷载PEI , LP3KxyyP3KMxyEIMxLKyPx 3边界条件：边界

16、条件：yLxyyx:0, 0:033KEIkkLtgkL300300C30混凝土柱受压，混凝土柱受压，L=8,10,12米米2410025. 2kNmEI 33KEIkkLtgkLkfPEA=PEI , LK3K3=118.6, 60.75, 35.2 kN/m算例：算例：P8 =1559kN, =1.41P10=1002kN, =1.41P12=674kN, =1.43300*300抗压设计值抗压设计值1287kNC30混凝土柱，混凝土柱，300*300，L=8,10,12米米-30-20-10010203000.050.10.150.20.250.30.35L=8mL=10mL=12m抗压

17、标准值：抗压标准值：1801kNsyCuAfAfNN9 . 0规范中轴心受压柱的正截面承载力，一般要求规范中轴心受压柱的正截面承载力，一般要求30/0bL为柱截面短边尺寸），为计算长度（相当长度bL0为截面面积，为混凝土抗压设计强度A3 .14cf数为可靠度等因素调整系为稳定系数， 0.9以以8、10米长，米长，300*300截面柱为例，假定配置截面柱为例，假定配置4根根22钢筋钢筋 规范计算L0 L0/bNu理论计算未考虑钢筋10米柱 14.1米 47 0.21329 kN1002 kN 标准值1801 kN 8米柱 11.28米 37.6 0.36564 kN1559 kN两端固定两端固定

18、101033.333.30.360.36564564设计值1287材料分项系数1.4 8 826.726.70.500.5078378318/0为短柱，bL若若K1=0，K2=0，压杆变为：，压杆变为： K3PM(x)K3 P xy失稳模态K3P取下部分为研究对象，取下部分为研究对象， xMxKPy3xPKkxBkxAy3sincos边界条件：边界条件：x=0，y=0 得：得：A=0 -(1)x=L，y=得：得： LpKkLBkLA3sincos-(2)再由整体平衡：再由整体平衡：P=K3L -（3） 0000sincos0013LKPkLkL0sin3LKPkL由由 sinkL=0 ， 得：

19、得： 224LEIPlj称为称为挠曲失稳挠曲失稳 K3P挠曲失稳挠曲失稳 由由 P-K3L=0 ，得：，得：LKPlj3称为称为侧倾失稳侧倾失稳K3P侧倾失稳侧倾失稳若K2=0，K3=（此时=0），压杆变为： K1PEI , L00sincos101011kLkLKLPkPLKkLEIkLtgkL121K1PEI , L或，直接求临界荷载或，直接求临界荷载K1PxyHP1KPHyMx1KPHyEIKMKHxPyx 11边界条件：边界条件：0:, 0:0yLxyyx若K2=0，K3=0，压杆变为 K1PEI ,L 00sincos10011kLkLkPKkEIKtgkL1或，直接求临界荷载或，直

20、接求临界荷载K1PEI ,L K1P1KPyx1KPMxxMKPy1边界条件：边界条件：yLxyyx:, 0:0若K2=，K3= ，压杆变为 K1P yK1PEI, LPHM(x)yK1 xMKHxPy1PKPHxkxBkxAy1sincos边界条件：边界条件： 0,0, 00, 0yLxyLxyxyx010cossinsincos11000111PkLkkLkPLPKkLkLPkPKK1P y关于A，B，H,的齐次方程K3= ，压杆变为，压杆变为 K1K2K3PEI,LK1K2P12HP11K22K2211KHLKLKKH1122 HxxMKPy1111KPH yEIxM yxyEIHxKy

21、ky112 LEIxKKEIKyky1122112 PLxKKPKkxBkxAy112211sincosK1K2P121, 0:0yyx2, 0:yyLx011PKA012211PLKPLKkB0sincos22PKkLBkLA01cossin2211PLKPLKkLBkkLAk01cossin0sincos10001212211PLKPLKkLkkLkPKkLkLPLKPLKkPK例题例题5 5 桥墩与刚性基础失稳时将绕桥墩与刚性基础失稳时将绕C C点转动，设地基抗转刚度点转动，设地基抗转刚度KM ，试建立稳定方程。，试建立稳定方程。 PHaCEIKMCHaKMPEI解：解：1）作出计算简图

22、）作出计算简图2）失稳模态）失稳模态PPy yx OC取整体，取整体，MC=0 ，P=KM ，得：，得： PKMM（x）yPKM 取取 x 截面以下为研究对象，截面以下为研究对象，Mx=0 ， xMKPyM EIKykyM23）稳定方程）稳定方程EIkKkxBkxAyM2sincos4）稳定方程的解：）稳定方程的解：PKkxBkxAMsincos) 3(sincos,) 2(, 0) 1 (, 0PKPKkHBkHAyHxkByxaPKAayxMMM边界条件边界条件 上式关于上式关于A、B、的方程的系数行列式的方程的系数行列式D=0时发生失稳。时发生失稳。 00sincos1001kHkHka

23、PKM0tan2EIHKaHkkHkHM例题例题6 HEA= EIEIHP等效压杆等效压杆KNPEI取半结构取半结构KN/2PEI324HEIKN余下的问题就是例题余下的问题就是例题4例题例题7 EA ,L EIEIHPH等效压杆等效压杆KNPEI取半结构取半结构KN/2PEI1NKEILEAL243练习题练习题PLLEILEIbh温度均匀升高温度均匀升高t,t,线膨胀系数线膨胀系数, ,确定失稳时的临界温度确定失稳时的临界温度1、2、作业：作业：PP柱和梁长都是柱和梁长都是6米，米，C30混凝土混凝土求临界荷载，柱的长度系数求临界荷载，柱的长度系数不考虑钢筋，规范中此柱能承受的设计不考虑钢筋，规范中此柱能承受的设计压力是多少压力是多少?