信号与系统第5章-拉普拉斯变换与系统函数课件.ppt

1、引引 言言5.1拉普拉斯变换拉普拉斯变换5.2拉普拉斯变换的进一步讨论拉普拉斯变换的进一步讨论5.3单边拉普拉斯变换用于线性系统分析单边拉普拉斯变换用于线性系统分析5.4系统函数系统函数5.5模拟滤波器设计简介模拟滤波器设计简介5.6 在前面几章中，我们介绍了信号与在前面几章中，我们介绍了信号与系统分析中的时域分析技术与频域分析系统分析中的时域分析技术与频域分析技术，这两种分析工具是日常应用中最技术，这两种分析工具是日常应用中最为常用的，尤其是频域分析技术。为常用的，尤其是频域分析技术。 实际上，基于傅里叶变换的频域分实际上，基于傅里叶变换的频域分析技术使我们能够用正弦激励的稳态响析技术使我们

2、能够用正弦激励的稳态响应来了解系统对非周期信号的响应，物应来了解系统对非周期信号的响应，物理概念非常清晰，因此在信号分析、系理概念非常清晰，因此在信号分析、系统频率响应、系统带宽等问题上，成为统频率响应、系统带宽等问题上，成为不可或缺的必要分析工具。不可或缺的必要分析工具。 但是，任何一种分析工具都存在其局但是，任何一种分析工具都存在其局限性，基于傅里叶变换的频域分析技术也限性，基于傅里叶变换的频域分析技术也是如此。是如此。 具体来说，它还存在着如下的不足。具体来说，它还存在着如下的不足。（1）对于工程问题中经常遇到的两类因果）对于工程问题中经常遇到的两类因果信号，即信号，即t的指数函数的指数

3、函数e t和和t的正幂函数的正幂函数t （ 0），傅里叶变换不存在。一个典），傅里叶变换不存在。一个典型的例子是工程中极为常见的斜坡信号型的例子是工程中极为常见的斜坡信号t(t)。（2）在将输出信号频谱求反变换以得到时）在将输出信号频谱求反变换以得到时域输出时，由于傅里叶反变换涉及的是沿域输出时，由于傅里叶反变换涉及的是沿虚轴即虚轴即j 轴的无穷积分，往往遇到数学上轴的无穷积分，往往遇到数学上的困难。的困难。（3）在线性系统的瞬变响应分析问题上，）在线性系统的瞬变响应分析问题上，通常存在着非零初始条件，这时，傅里通常存在着非零初始条件，这时，傅里叶分析技术将遇到很大的困难。叶分析技术将遇到很大

4、的困难。（4）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统）在傅里叶分析的框架内，无法提供系统综合工具，也即不能用频域分析工具按给定综合工具，也即不能用频域分析工具按给定的指标要求确定系统结构与参数。的指标要求确定系统结构与参数。5.2.1 概念的引入概念的引入 在工程中遇到的实际信号通常为因果在工程中遇到的实际信号通常为因果信号，时间起点信号，时间起点t=0作为所考虑问题有意义作为所考虑问题有意义的参考起点，因此总可假设的参考起点，因此总可假设t0时的信号时的信号恒为零，这样，傅里叶变换成为恒为零，这样，傅里叶变换成为j0(j )( )edtXx tt（5-15-1） 式（式（5-1）的正确性仍以右端

5、积分的）的正确性仍以右端积分的存在为前提。存在为前提。 但对实际工程中遇到的两类指数阶但对实际工程中遇到的两类指数阶信号，即信号，即 （n0）和）和 （ 0），上述积分不可积，因此傅里叶），上述积分不可积，因此傅里叶分析技术将不再有效。分析技术将不再有效。( )ntte( )tt 究其原因，是因为上述两类信号当究其原因，是因为上述两类信号当 时，信号幅度不衰减，反而增长，时，信号幅度不衰减，反而增长，也即信号不收敛。也即信号不收敛。t 为克服这一问题，引入收敛因子为克服这一问题，引入收敛因子 （ 为实常数），构成为实常数），构成 ，这样如，这样如 取得足够大，就可使取得足够大，就可使 在在 时

6、趋于零，使时趋于零，使 满足绝对可积的条满足绝对可积的条件，从而使其存在傅里叶变换件，从而使其存在傅里叶变换et( )etx t( )etx tt ( )etx tj(j)00( )e( )eed( )edttttx tx ttx tt（5-25-2）令令 ，即，即 ， ，式（式（5-2）成为）成为js Re s Im ss0( )e( )ed( )ttx tx ttX s（5-35-3） 这样，式（这样，式（5-3）将）将x(t)变换成了复平面变换成了复平面S上的一个函数上的一个函数X(s)，称之为，称之为x(t)的拉普拉斯（的拉普拉斯（Laplace）变换。符号为）变换。符号为 。( )x

7、 tL L 由式（由式（5-2）可见，显然收敛因子）可见，显然收敛因子 中的中的 越大越正，就越能保证越大越正，就越能保证 的的傅里叶变换存在。傅里叶变换存在。 记记 的最小值为的最小值为 ，则当，则当 时，式（时，式（5-3）右端的积分收敛。）右端的积分收敛。 因此，称因此，称x(t)的拉普拉斯变换的收敛的拉普拉斯变换的收敛域为域为et( )etx t Re s Re s（5-45-4） 如果这一收敛域包含了如果这一收敛域包含了j 轴，也即轴，也即 ，则傅里叶变换，则傅里叶变换 成为拉普成为拉普 拉斯变换拉斯变换X(s)当当 轴的一个特殊情况，轴的一个特殊情况， 即即0(j )Xjsj(j

8、)( )sXX s（5-55-5）【例【例5-1】 求求 的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。解解而前已得到而前已得到显然显然( )( )x tt01( )( )edstX stts1(j )( )jXj(j )( )sXX s5.2.2 双边拉普拉斯变换双边拉普拉斯变换 在实际应用中，通常使用单边拉普在实际应用中，通常使用单边拉普拉斯变换。拉斯变换。 为了概念的完整性，这一小节对双为了概念的完整性，这一小节对双边拉普拉斯变换及其收敛域做一介绍。边拉普拉斯变换及其收敛域做一介绍。 这一知识在数字信号处理课程中讨这一知识在数字信号处理课程中讨论论z变换时将会用到。变换时将会用到。 定义：对于信号定义

9、：对于信号x(t)（ ），），称称 为为x(t)的双边拉普拉斯变换，符号同前，的双边拉普拉斯变换，符号同前，也为也为 。t ( )( )edstX sx tt（5-65-6）( )x tL L【例【例5-2】 设信号可表达为设信号可表达为 求其双边拉普拉斯变换。求其双边拉普拉斯变换。e0( )e0tttf tt【例【例5-3】 因果信号因果信号 的双边拉普拉斯的双边拉普拉斯变换与单边拉普拉斯变换相同，均为变换与单边拉普拉斯变换相同，均为 ，收敛域也相同，均为收敛域也相同，均为 ，即右半平面（，即右半平面（包括大半或小半，视包括大半或小半，视 而定）。而定）。( )e( )tf tt1( )F

10、ss Re s 【例【例5-4】 因果信号因果信号 与非因与非因果信号果信号 具有相同的双边具有相同的双边拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。拉普拉斯变换表达式，但收敛域不同。1( )e( )tf tt2( )e()tftt 101( )e( )edeedtsttstF sttts Re s 021( )e()edeedtsttstF sttts Re s 图图5-1 5-1 f f1 1( (t t) )、f f2 2( (t t) )的双边拉普拉斯变换及其收敛域的双边拉普拉斯变换及其收敛域5.2.3 拉普拉斯反变换拉普拉斯反变换 双边拉普拉斯变换的反变换表达式双边拉普拉斯变换的反变换表达式的

11、推导要用到复变函数的很多知识，这的推导要用到复变函数的很多知识，这里不予细述，感兴趣的读者可参看相关里不予细述，感兴趣的读者可参看相关书籍。书籍。 反变换的表达式为反变换的表达式为1( )( )e d2jstx tX ss（5-95-9） 式中，式中， 的取值应位于的取值应位于X(s)的收敛的收敛域内，即满足域内，即满足 。 式（式（5-9）通常称为反演公式，）通常称为反演公式，X(s)称为象函数，称为象函数，x(t)称为原函数。反变换的称为原函数。反变换的符号为符号为 。1( )X sL L 利用反演公式，可分别求出利用反演公式，可分别求出x(t)的因的因果部分与非因果部分。果部分与非因果部

12、分。 因此，反演公式同样适用于单边拉因此，反演公式同样适用于单边拉普拉斯反变换。普拉斯反变换。5.3.1 定义与说明定义与说明 式（式（5-3）已给出了单边拉普拉斯变）已给出了单边拉普拉斯变换的定义，这里重写于下：换的定义，这里重写于下：0( )( )edstX sx tt图图5-2 35-2 3个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换个不同的信号具有相同的单边拉普拉斯变换【例【例5-5】 求求 (t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。解解 取为取为“0+”时，时，取为取为“0”时，时，0( )( )ed0sttttL L，即，即( )0t 0( )( )ed1sttttL L，即，即( )1t

13、5.3.2 反变换反变换 前已指出，式（前已指出，式（5-9）所示的反演公）所示的反演公式对信号的因果部分与非因果部分均适式对信号的因果部分与非因果部分均适用，因此也适用于单边拉普拉斯变换的用，因此也适用于单边拉普拉斯变换的反变换。反变换。 但在这种情况下，为了表明所涉及但在这种情况下，为了表明所涉及的是因果信号，拉普拉斯反变换可写为的是因果信号，拉普拉斯反变换可写为jj1( )e d02j( )00stX sstx tt（5-115-11） 从物理意义上讲，式（从物理意义上讲，式（5-11）也可）也可理解为将理解为将x(t)视为形如视为形如 的幅度随的幅度随指数形式增长或衰减的正弦波的线性组

14、指数形式增长或衰减的正弦波的线性组合。合。jeett 但与傅里叶变换相比，但与傅里叶变换相比，X(s)不能像不能像 一样具有明确的物理意义，因此，一样具有明确的物理意义，因此，X(s)在这个正弦波线性组合中的作用难在这个正弦波线性组合中的作用难 以得到物理解释。以得到物理解释。(j )X 事实上，由于事实上，由于X(s)是一个复平面上是一个复平面上的函数，将其视为一个数学上的变换而的函数，将其视为一个数学上的变换而不强调其物理意义更易理解。不强调其物理意义更易理解。 利用复变函数理论中的围线积分、留利用复变函数理论中的围线积分、留数定理和约当（数定理和约当（Jordon）引理等知识，反）引理等

15、知识，反变换表达式（变换表达式（5-11）中原函数）中原函数x(t)的计算可的计算可简化为如下所示的留数计算。简化为如下所示的留数计算。 jk1j1( )( )e dRese2jnststkx tX ssX s0t（5-125-12） 对于因果信号对于因果信号x(t)，上式中所涉及的，上式中所涉及的留数是在留数是在X(s)的收敛边界的收敛边界 以左的半个以左的半个S平面（包括收敛边界）中平面（包括收敛边界）中 的奇点的奇点处的留数。处的留数。 实际应用中，实际应用中， 的奇点通常为极的奇点通常为极点。点。 随着极点阶数的不同，留数的计算随着极点阶数的不同，留数的计算也不同。也不同。0( )es

16、tX s( )estX s（1）若）若 是是 的一阶极点，则的一阶极点，则iss estX s Rese eiststiis sX sssssX s（5-135-13）（2）若）若 是是 的的p阶极点，则阶极点，则iss estX s 111dRese e1 !dippststiips sX sssssX sps（5-145-14）【例【例5-6】 求求 （ ）的拉普拉斯反变换。的拉普拉斯反变换。22( )31sF ss ss Re0s 【例【例5-7】 用部分分式展开求用部分分式展开求 （ ）的拉普拉斯反变换。）的拉普拉斯反变换。22( )31sF ss ss Re0s 5.3.3 两类重要

17、函数两类重要函数 在工程问题中，除少数例外，绝大在工程问题中，除少数例外，绝大多数实际使用的信号都可用两类函数表多数实际使用的信号都可用两类函数表示：示： t的指数函数；的指数函数； t的正幂。的正幂。 为此，单独设置本小节对这两类函为此，单独设置本小节对这两类函数做一介绍。数做一介绍。1t的指数函数的指数函数e t，其中，其中 为常数，可以为为常数，可以为实数、虚数或复数实数、虚数或复数 根据定义，显然有根据定义，显然有01ee edttstssL L（5-155-15）推论：推论：（1）令式（）令式（5-15）中）中 ，得阶跃信号，得阶跃信号 的变换为的变换为0( ) t1( ) tsL

18、L（5-165-16）（2）有始正弦信号）有始正弦信号 sintjj22ee111sin2j2jjjtttsssL LL L（5-175-17）（3）有始余弦信号）有始余弦信号 cos tjj22ee111cos22jjttstsssL LL L（5-185-18）（4）指数衰减正弦）指数衰减正弦 esinttjj22eeesin2j1112jjjttttsssLLLL（5-195-19）（5）指数衰减余弦）指数衰减余弦类似指数衰减正弦情况可得类似指数衰减正弦情况可得 ecostt22ecoststsL L（5-205-20） 比较（比较（2）、（）、（3）与（）与（4）、（）、（5）还可见还

19、可见e( )()tx tX sL L（5-215-21） 式（式（5-21）很容易根据定义进行证）很容易根据定义进行证明。明。 事实上，这是单边拉普拉斯变换的事实上，这是单边拉普拉斯变换的一个重要性质一个重要性质调制特性。调制特性。2t的正幂信号的正幂信号tn，n为正整数为正整数根据定义根据定义01001 ed1eednnstnstnstntttntttssnts L LL L 继续上面的分部积分运算得到继续上面的分部积分运算得到 112!nnn nntttssssL LL LL L 而斜坡信号而斜坡信号t的变换为的变换为故得故得 200011edeedstststtttttsss L L1!

20、nnntsL L（5-225-22）5.3.4 单边拉普拉斯变换的主要性质单边拉普拉斯变换的主要性质1线性性线性性若若 11( )( )f tF s 1Re s22( )( )ftF s 2Re s 则对任意常数则对任意常数a，b有有1212( )( )( )( )af tbftaF sbF s（5-235-23） 通常情况下，收敛域为通常情况下，收敛域为 ，也即也即 与与 收敛域的公共部分，但若有收敛域的公共部分，但若有 信号对消，收敛域可能会扩大。信号对消，收敛域可能会扩大。 12Remax(,)s 1( )F s2( )F s2尺度变换尺度变换若若则对则对 ，有，有从定义出发即可证明。从

21、定义出发即可证明。 ( )( )f tF s0a 1()sf atFaa（5-245-24）3延时性质延时性质若若则则( )( )f tF s000()( )estf ttu ttF s（5-255-25）【例【例5-8】 求零阶保持器（求零阶保持器（S/H）单位冲激）单位冲激响应响应h(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。【例【例5-9】 求图求图5-4（a）所示信号的拉普）所示信号的拉普拉斯变换。拉斯变换。图图5-3 5-3 零阶保持器单位冲激响应的分解零阶保持器单位冲激响应的分解图图5-4 5-4 例例5-95-9的信号及其分解的信号及其分解4调制特性调制特性若若则则( )( )f tF

22、 s( )e()tf tF s（5-265-26） 此特性在上一节（式此特性在上一节（式5-21）已经引入，）已经引入，从定义出发即可验证。从定义出发即可验证。 由于其中的常数由于其中的常数 可以为任何实数、可以为任何实数、虚数或复数，此性质非常有用。虚数或复数，此性质非常有用。【例【例5-10】 根据根据利用调制特性可直接得到利用调制特性可直接得到22cossts22ecos()tsts5时域微分特性时域微分特性若若则当则当 可变换时可变换时( )( )f tF sd ( )df ttd ( )( )(0 )df tsF sft（5-275-27） 根据定义，经分部积分操作即可证根据定义，经

23、分部积分操作即可证明此性质。明此性质。 式（式（5-27）可推广至高阶导数，这）可推广至高阶导数，这样，时域中的微分运算经变换后将被转样，时域中的微分运算经变换后将被转换为换为S域内的代数运算。域内的代数运算。 因此，这一性质在求解微分方程中因此，这一性质在求解微分方程中非常有用。非常有用。【例【例5-11】 电感器上的电压电感器上的电压 与与 电流电流 在时域中的关系为在时域中的关系为L( )utL( )it LLdditutLt 设初始电感电流为设初始电感电流为 ，则经拉，则经拉普拉斯变换后，得普拉斯变换后，得L0iLLL( )( )(0 )UssLIsLi（5-285-28） 根据上式，

24、即可得到图根据上式，即可得到图5-5（b）所）所示的示的S域电感模型。域电感模型。 容易看出，经变换后，电感电压与容易看出，经变换后，电感电压与电流在时域中的微分关系已转换成了代电流在时域中的微分关系已转换成了代数关系，并计入了初始状态，从而为电数关系，并计入了初始状态，从而为电路问题的求解带来了极大的方便。路问题的求解带来了极大的方便。图图5-5 5-5 电感电压与电流的关系电感电压与电流的关系【例【例5-12】 电容器上的电压电容器上的电压 与电流与电流 在时域中的关系为在时域中的关系为C( )utC( )it CCddutitCt 设电容器上初始电压为设电容器上初始电压为 ，则经，则经拉

25、普拉斯变换后，有拉普拉斯变换后，有 或即或即 相应的相应的S域电容模型如图域电容模型如图5-6（b）所）所示。示。C0uCCC( )( )0IssCUsCu CCC(0 )1uUsIssCs（5-295-29）图图5-6 5-6 电容电压与电流的关系电容电压与电流的关系6时域积分特性时域积分特性 时域中对输入信号时域中对输入信号f(t)的积分运算可的积分运算可表示为表示为 ，如图，如图5-7所示。所示。 ( )dtf图图5-7 5-7 时域中的积分运算时域中的积分运算 由于单边拉普拉斯变换仅关注因果由于单边拉普拉斯变换仅关注因果信号或信号的因果部分，积分运算成为信号或信号的因果部分，积分运算成

26、为 0d( )dttff 对上式右端作拉普拉斯变换，有对上式右端作拉普拉斯变换，有 000000e1ddedddeddtttstststftfftsst 上式右端第上式右端第1项在项在 以及以及 时均为零，而时均为零，而0tt 0dd( )dtff tt 因此，若因此，若则有则有( )( )f tF s0( )( )dtF sfs（5-305-30） 拉普拉斯变换的这一特性把时域中的积拉普拉斯变换的这一特性把时域中的积分运算也转换成了分运算也转换成了S域中的代数运算，因此域中的代数运算，因此其功用与时域微分特性一样，在求解积分其功用与时域微分特性一样，在求解积分微分方程时非常有用。微分方程时非

27、常有用。【例【例5-13】 电容器电容器C上的电压与电容器中上的电压与电容器中电流的时域关系还可表示为电流的时域关系还可表示为 而而 CC1dtutiC 0CCC0CC0111ddd10dtttiiiCCCuiC 因此因此 对上式两端作拉普拉斯变换并应用对上式两端作拉普拉斯变换并应用时域积分特性得到时域积分特性得到 与例与例5-12所得结果相同。所得结果相同。 CCC010dtutuiC CCC01uUsIsssC5.3.5 卷积定理卷积定理1时域卷积卷积定理时域卷积卷积定理设设则则11( )( )f tF s 1Re s22( )( )ftF s 2Re s（ ）（ ）1212( )( )(

28、 )( )f tftF s F s（5-315-31） 式（式（5-31）称为时域卷积定理，其）称为时域卷积定理，其 收敛域为收敛域为 、 的公共部分，通常为的公共部分，通常为 ，但如发生，但如发生 与与 之间极点对消，收敛域有可能会扩大。之间极点对消，收敛域有可能会扩大。 1F s 2Fs 12Remax(,)s 1( )F s2( )F s 将将f2(t)视为系统的单位冲激响应，视为系统的单位冲激响应，f1(t)视为输入，则式（视为输入，则式（5-31）所示的时域卷积）所示的时域卷积定理表明，系统输出的拉普拉斯变换是输定理表明，系统输出的拉普拉斯变换是输入的拉普拉斯变换与系统单位冲激响应的

29、入的拉普拉斯变换与系统单位冲激响应的拉普拉斯变换之积。拉普拉斯变换之积。【例【例5-14】 求图求图5-8所示的半波整流波形所示的半波整流波形x(t)的拉普拉斯变换。的拉普拉斯变换。 图图5-8 5-8 半波整流波形半波整流波形x x( (t t) 图图5-9 5-9 单个半周正弦波单个半周正弦波x x1 1( (t t) )与有始周期冲激串与有始周期冲激串x x2 2( (t t) )2复卷积定理复卷积定理 与时域卷积定理相对应，还有复频与时域卷积定理相对应，还有复频域卷积定理，也称复卷积定理。域卷积定理，也称复卷积定理。若若则则11( )( )f tF s22( )( )ftF s（ ）（

30、 ） 1Re s 2Re s00j121212j11( )( )( )( )( )()d2j2jf t ftF sF sF p F spp（5-335-33） 式中，式中， 位于位于 与与 的公共的公共收敛域内。收敛域内。 由于由于 和和 的收敛域分别为的收敛域分别为 和和 ，而，而 相当于相当于 ，故在，故在p平面上，平面上， 应位于如下区域内应位于如下区域内01( )F p2()F sp1( )F p2()F sp 1Re p2Re sp2Re sp 2ReReps0 12ReReps（5-345-34） 为使上式成立，必须有为使上式成立，必须有 这就是式（这就是式（5-33）右端所示的拉

31、普）右端所示的拉普拉斯变换的收敛域。拉斯变换的收敛域。 12Re s（5-355-35）5.4.1 引言引言 与傅里叶分析不同，使用拉普拉斯与傅里叶分析不同，使用拉普拉斯变换技术分析线性系统时，所关注的不变换技术分析线性系统时，所关注的不仅是系统对输入激励信号的响应，而是仅是系统对输入激励信号的响应，而是同时考虑了系统初始状态引起的响应。同时考虑了系统初始状态引起的响应。 我们将会看到，在应用拉普拉斯变换的过程我们将会看到，在应用拉普拉斯变换的过程中，系统初始条件能被自动地引入，而且，描述中，系统初始条件能被自动地引入，而且，描述系统的时域积分系统的时域积分微分方程将被转换为微分方程将被转换为

32、S域中的域中的代数方程，因而使运算与求解变得十分容易。代数方程，因而使运算与求解变得十分容易。 在求得在求得S域中的系统输出后，作反变换即可域中的系统输出后，作反变换即可得到时域输出。得到时域输出。5.4.2 拉普拉斯变换求解线性微分方程拉普拉斯变换求解线性微分方程 从数学观点看，从数学观点看，LTI系统就是其输系统就是其输入、输出关系可以用常系数积分入、输出关系可以用常系数积分微分微分方程描述的系统，而这一方程的建立则方程描述的系统，而这一方程的建立则需根据基本的物理定律。需根据基本的物理定律。 因此，拉普拉斯变换用于因此，拉普拉斯变换用于LTI系统系统分析的实质就是用拉普拉斯变换求解线分析

33、的实质就是用拉普拉斯变换求解线性微分方程。性微分方程。【例【例5-15】 系统如图系统如图5-10所示，输入为所示，输入为x(t)，求系统输出求系统输出y(t)。 图图5-10 5-10 例例5-155-15系统系统【例【例5-16】 系统如图系统如图5-11所示，开关所示，开关S由由1至至2的时刻为的时刻为 ，求系统的输出，求系统的输出 。0t ( )i t图图5-11 5-11 例例5-165-16的系统的系统 由以上两个例子可以看出，用拉普拉由以上两个例子可以看出，用拉普拉斯变换分析线性系统包括了以下斯变换分析线性系统包括了以下4个步骤。个步骤。（1）根据物理定律建立描述系统的微分方）根

34、据物理定律建立描述系统的微分方程或积分程或积分微分方程。微分方程。（2）对建立起来的方程中的每一项取拉普）对建立起来的方程中的每一项取拉普拉斯变换，得到在拉斯变换，得到在S域中描述系统的代数域中描述系统的代数方程。方程。（3）从）从S域方程中求解出系统响应的变换，域方程中求解出系统响应的变换，即象函数。即象函数。（4）对输出响应的象函数取拉普拉斯反变）对输出响应的象函数取拉普拉斯反变换，得到系统的时域输出信号。换，得到系统的时域输出信号。5.4.3 系统函数的概念系统函数的概念 现对上节中例现对上节中例5-15和例和例5-16所得的所得的S域输出作进一步考察。域输出作进一步考察。 为了方便，将

35、输出表达式（为了方便，将输出表达式（5-38）和式（和式（5-44）重写于下：）重写于下：CCC1( )( )(0 )111( )(0 )11UsX sRCuRCsX sRCuRCsRCs ( )( )1( )11sCAI sX sRCsssCsCAX sRCsRCss 从上面两个表达式的结构不难看出，从上面两个表达式的结构不难看出， 和和 均表征了系统初始条件引均表征了系统初始条件引起的激励作用，因此如果用起的激励作用，因此如果用 表示这表示这一等效激励，上面的两个式子均可表为如一等效激励，上面的两个式子均可表为如下的形式：下的形式：C(0 )RCuAseq( )Xseqeq( )( )(

36、)( )( )( )( )( )Y sH sX sXsH s X sH s Xs（5-475-47）对于式（对于式（5-38），有），有对于式（对于式（5-44），有），有C( )( )Y sUs1( )1H sRCseqC( )(0 )XsRCu( )( )Y sI s1( )1H sRCseq( )AXss 由式（由式（5-47）可见，若系统输入）可见，若系统输入x(t)改变，改变，X(s)将随之改变；若系统初始条件将随之改变；若系统初始条件发生变化，发生变化， 就将跟着变化。就将跟着变化。eq( )Xs 但但H(s)不会随系统输入及初始条件不会随系统输入及初始条件 的改变发生变化，因此的

37、改变发生变化，因此H(s)应仅由系统应仅由系统的结构与参数决定，即的结构与参数决定，即H(s)表征了系统表征了系统本身，反映了系统的全部性质。本身，反映了系统的全部性质。 在系统分析中，在系统分析中，H(s)被称为系统函被称为系统函数，其定义为数，其定义为( )( )( )Y sH sX s系统初始松弛（5-485-48） 即系统函数是系统处于零初始条件即系统函数是系统处于零初始条件时，输出信号的拉普拉斯变换时，输出信号的拉普拉斯变换Y(s)与输与输 入信号的拉普拉斯变换入信号的拉普拉斯变换X(s)之比。之比。 在系统处于零初始条件或即零状态在系统处于零初始条件或即零状态时，若输入信号为时，若

38、输入信号为 ，则其输出为系，则其输出为系统的单位冲激响应统的单位冲激响应h(t)，因此式（，因此式（5-48）表明表明( ) t( )( )( )H sY sh tL L（5-495-49） 即系统单位冲激响应即系统单位冲激响应h(t)与系统函数与系统函数H(s)构成了一对拉普拉斯变换对构成了一对拉普拉斯变换对 若若H(s)的收敛域包含了的收敛域包含了j 轴，则系统轴，则系统的频率响应的频率响应( )( )h tH s（5-505-50）j(j )( )sHH s（5-515-51） 但若但若H(s)的收敛域不包括的收敛域不包括j 轴，则上轴，则上式不成立。如对于积分器式不成立。如对于积分器

39、，其，其频率响应为频率响应为( )( )h tt1(j )( )jH而系统函数而系统函数 这时式（这时式（5-51）所示的关系并不成）所示的关系并不成立。立。 初学者在这一点上很容易出错，因初学者在这一点上很容易出错，因此一定要予以注意。此一定要予以注意。1( )H ss5.4.4 电路的电路的S域模型域模型 在在5.4.2节中曾指出，对于比较复杂的系节中曾指出，对于比较复杂的系统，往往涉及列写联立微分方程组的情况，统，往往涉及列写联立微分方程组的情况，这时，如能把系统的时域结构转换成这时，如能把系统的时域结构转换成S域结域结构，也即构成系统的构，也即构成系统的S域模型，就可据此在域模型，就可

40、据此在S域中直接列写出描述系统行为的联立代数方域中直接列写出描述系统行为的联立代数方程组，从而避免先列写出联立微分方程组后程组，从而避免先列写出联立微分方程组后再作变换的再作变换的 麻烦。麻烦。 在多回路电路的瞬态响应分析中，这一方在多回路电路的瞬态响应分析中，这一方 法通常十分有效。法通常十分有效。 对于由集中参数元件对于由集中参数元件R、L、C构成的电路，构成的电路，为要得到电路的为要得到电路的S域模型，首先要对这域模型，首先要对这3种电路种电路 元件得到其元件得到其S域模型，也即要将各元件时域电压域模型，也即要将各元件时域电压电流关系变换为电流关系变换为S域的关系，然后据此得到各元域的关

41、系，然后据此得到各元件在件在S域中的结构。域中的结构。（1）电感器）电感器L 其时域电压电流关系为其时域电压电流关系为LLd( )( )ditutLt 两边取拉普拉斯变换得两边取拉普拉斯变换得 上式也可写成上式也可写成LLL( )( )(0 )UssLIsLi（5-525-52）LLL(0 )1( )( )iIsUssLs（5-535-53）（2）电容器）电容器C 其时域电压电流关系为其时域电压电流关系为 类似得到类似得到S域的电压电流关系域的电压电流关系CCd( )( )dutitCtCCC( )( )(0 )IssCUsCu（5-545-54）或或 对式（对式（5-52）式（）式（5-55

42、），都可），都可根据其电压电流关系构成一个根据其电压电流关系构成一个S域模型。域模型。CCC(0 )1( )( )uUsIssCs（5-555-55） 图图5-12所示为电阻器、电感器和电容器所示为电阻器、电感器和电容器的的S域元件模型，其中图域元件模型，其中图5-12（a）已在）已在5.3.4节中的例节中的例5-11、例、例5-12见过，其中由初始条见过，其中由初始条件引起的等效源为电压源，而图件引起的等效源为电压源，而图5-12（b）则是这里所给出的则是这里所给出的S域模型，其中等效源为域模型，其中等效源为电流源。电流源。图图5-12 5-12 电阻器、电感器和电容器的电阻器、电感器和电容

43、器的S S域元件模型域元件模型 对于电阻器对于电阻器R，则由于其电压电流具，则由于其电压电流具有线性关系有线性关系 因此，其因此，其S域模型与时域模型相同，域模型与时域模型相同，仍为仍为R。RR( )( )utRit 电路遵循的基本物理定律即基尔霍电路遵循的基本物理定律即基尔霍夫电流定律和基尔霍夫电压定律在夫电流定律和基尔霍夫电压定律在S域中域中的形式不变。的形式不变。 其原因为，这两个定律中涉及的量其原因为，这两个定律中涉及的量是流入任一节点的各个电流之和及任一是流入任一节点的各个电流之和及任一回路中各支路电压之和。回路中各支路电压之和。 根据拉普拉斯变换的线性性质，这根据拉普拉斯变换的线性

44、性质，这两个定律的形式不会改变，即仍然有两个定律的形式不会改变，即仍然有 类似地，戴维宁定理和诺顿定理也类似地，戴维宁定理和诺顿定理也可直接用于电路的可直接用于电路的S域模型。域模型。1( )0nkkIs1( )0nkkUs（5-565-56） 根据以上的分析可知，在电路分析中采根据以上的分析可知，在电路分析中采用用S域模型将比采用时域模型更为合理，一域模型将比采用时域模型更为合理，一是可以避免列写积分是可以避免列写积分微分方程或联立微分微分方程或联立微分方程组而后进行变换的麻烦，二是可以在方程组而后进行变换的麻烦，二是可以在S域内对电路结构进行选择或作等效变换，使域内对电路结构进行选择或作等

45、效变换，使之与所采用的电路分析方法相适应。之与所采用的电路分析方法相适应。 例如，例如，L、C元件的元件的S域电压源模型域电压源模型便于列写电路的回路方程，而其电流源便于列写电路的回路方程，而其电流源模型则便于列写节点方程。模型则便于列写节点方程。【例【例5-17】 图图5-13所示电路起始于稳态，所示电路起始于稳态，在在t=0时开关断开。求调谐回路中电感两时开关断开。求调谐回路中电感两端的电压端的电压uL(t)。图图5-13 5-13 单调谐回路中的电感电压单调谐回路中的电感电压图图5-14 5-14 图图5-135-13电路的初始等效电路电路的初始等效电路图图5-15 5-15 t t0

46、0时图时图5-135-13电路的电路的S S域模型域模型5.5.1 系统函数的代数结构与零极点系统函数的代数结构与零极点 5.4.3节已经引入了系统函数节已经引入了系统函数H(s)概念，概念，其定义为其定义为( )( )( )Y sH sX s系统初始松弛 即系统函数是系统初始条件为零时，输出即系统函数是系统初始条件为零时，输出信号与输入信号两者的拉普拉斯变换之比。信号与输入信号两者的拉普拉斯变换之比。 根据定义不难看出，根据定义不难看出，H(s)也间接地反映了也间接地反映了系统输出信号与输入信号在时域上的联系。系统输出信号与输入信号在时域上的联系。 因此，系统函数是一个有量纲的量，因此，系统

47、函数是一个有量纲的量，物理含义视具体物理问题而定。物理含义视具体物理问题而定。 另一方面，系统函数并不能反映出系另一方面，系统函数并不能反映出系统的物理结构，因为对同一个物理问题来统的物理结构，因为对同一个物理问题来说，相同的系统函数也可以用不同的物理说，相同的系统函数也可以用不同的物理结构来实现。结构来实现。 但是，只要系统函数相同，这些不但是，只要系统函数相同，这些不同的物理结构所构成的系统就具有相同同的物理结构所构成的系统就具有相同的输入输出关系。的输入输出关系。 因此，系统函数完全表征了系统本因此，系统函数完全表征了系统本身的性质。身的性质。 还需指出的是，系统函数的概念只还需指出的是

48、，系统函数的概念只适用于适用于LTI系统，不适用于时变系统及非系统，不适用于时变系统及非线性系统。线性系统。 对于任一对于任一LTI系统，输入信号系统，输入信号x(t)与与输出信号输出信号y(t)之间的关系可用常系数线性之间的关系可用常系数线性微分方程描述，即微分方程描述，即( )(1)()(1)011011nnmmnnmma ya yayab xb xbxb（5-575-57） 因此，因此，LTI系统的系统函数具有如下系统的系统函数具有如下的有理分式函数代数结构的有理分式函数代数结构10111011( )( )( )mmmmnnnnb sb sbsbN sH sD sa sa sasa（5-

49、585-58） 式中，式中，N(s)为为s的的m阶多项式，阶多项式，称为分子多项式；称为分子多项式；D(s)为为s的的n阶多阶多项式，称为分母多项式。项式，称为分母多项式。 对于实际系统而言，所有系数对于实际系统而言，所有系数 、 均均为实数，且通常有为实数，且通常有 ，而式（，而式（5-58）表示的系统被称为）表示的系统被称为n阶系统。阶系统。(0,1, )kakn(0,1,)kbkmmn 对式（对式（5-58）的分子多项式）的分子多项式N(s)和分和分母多项式母多项式D(s)进行因式分解，式（进行因式分解，式（5-58）成为成为0101()( )( )( )()miinjjszbN sH

50、sD sasp（5-595-59） 式中，式中， 是分子多项式是分子多项式N(s)的根，的根， 是分母多项式是分母多项式D(s)的根。的根。 在有多个根相同时，也即出现重根在有多个根相同时，也即出现重根或高阶根时，式（或高阶根时，式（5-59）中分子、分母）中分子、分母中相应的因子项会发生归并。中相应的因子项会发生归并。(1,2,)iz im(j1,2, )jpn 在在 时，时， ，因此称，因此称 为系统函数为系统函数H(s)的零的零 点；在点；在 时，时， ，因此称，因此称 为系统函数为系统函数H(s)的极点。的极点。 在在N(s)或或D(s)有重根时，称有重根时，称H(s) 有高阶零点或高