材料力学-11-材料力学中的能量法课件.ppt

1、南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学求解弹性体系求解弹性体系( (如杆件如杆件) )的变形可采用的方法：的变形可采用的方法：1 1、分析法分析法/ /解析法解析法平衡方程平衡方程静力平衡关系静力平衡关系几何方程几何方程变形变形几何关系几何关系物理方程物理方程应力应变关系应力应变关系 利用利用应变能应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。方法。 在求解在求解组合变形组合变形、曲杆或杆系曲杆或杆系以及以及超静定问题超静定问题时，能量时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。法是一种非常有效的方法，是结构分析

2、的基础。2 2、能量法、能量法南南 京京 工工 业业 大大 学学能量法有关的几个基本概念能量法有关的几个基本概念 3 3、功能原理：、功能原理：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能E 在数值上与外力所作的功在数值上与外力所作的功 W 相等。相等。 EW1 1、外力功、外力功: :线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功在与它相对应的位移上所作的功 W。2 2、应变能、应变能: :弹性体受外力作用下产生

3、变形而储存了能量，这个弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为被储存的能量即为应变能应变能或或变形能变形能 E。南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学FFD DlD Dl222N12222F lEWF lEAF lEAlEALDD lFlDFNF lFllEAEAD 式中式中 轴力，轴力， A 横截面面积横截面面积NF南南 京京 工工 业业 大大 学学由拉压杆件组成的杆系的应变能：由拉压杆件组成的杆系的应变能：122N111222niiinniiiiiiiiiiEWF LF LF LE AE ADF12345 结构中第结构中第i 杆的轴力杆的

4、轴力 Li结构中第结构中第i 杆的长度，杆的长度， Ai 第第i 杆的截面面积杆的截面面积式中式中 n杆系中杆件的总数杆系中杆件的总数NiF南南 京京 工工 业业 大大 学学取微段研究取微段研究：N( )d(d )FxxxEAD微段的应变能微段的应变能：整个杆件的整个杆件的拉压应变能拉压应变能受力复杂杆受力复杂杆( (轴力沿杆的轴线变化轴力沿杆的轴线变化) )的应变能的应变能qLdxxdx+D DdxdxFNFN+dFN 2N1dd22NFx dxEFxEAD2N( )d2lFxExEA南南 京京 工工 业业 大大 学学Mej jj jMeMe22p2eePP12222xGIM lM lEWM

5、GIGIljjePM lGIj式中式中 Mx 圆杆横截面上的扭矩；圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。圆杆横截面对圆心的极惯性矩。 pI南南 京京 工工 业业 大大 学学其中其中d dj j为微段两截面绕杆轴为微段两截面绕杆轴线的相对扭转角：线的相对扭转角： 积分得圆轴扭转的应变能积分得圆轴扭转的应变能1dd2xEMjPddxMxGIdjMxMx受力复杂的圆截面杆受力复杂的圆截面杆( (扭矩沿杆的轴线为变量扭矩沿杆的轴线为变量) )可取微段分析：可取微段分析： xdxLtAB南南 京京 工工 业业 大大 学学纯弯曲梁的应变能：纯弯曲梁的应变能：M lmlEIEI1mlEI纯弯曲纯

6、弯曲221222m lEIEWmEIl式中式中 M M 梁横截面上的弯矩；梁横截面上的弯矩； I I 梁横截面对中性轴的惯性矩梁横截面对中性轴的惯性矩南南 京京 工工 业业 大大 学学横力弯曲梁横力弯曲梁( (弯矩沿梁的轴线为变量弯矩沿梁的轴线为变量) )的应变能的应变能21( )dd( )d22Mx xEM xEI整梁的整梁的弯曲应变能弯曲应变能2( )dd2LLMxxEEEI按微段分析：按微段分析：南南 京京 工工 业业 大大 学学 FSdxFSOBCFS/A SS1dd21d2EFxFxG2S()1d2FxGA 由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数由于切应力在截面上并非均匀分布。引入

7、系数k, , 因因此此微段梁的应变能为：微段梁的应变能为：2S() dd2FxEkGA南南 京京 工工 业业 大大 学学整个梁的整个梁的剪切应变能剪切应变能：2S() dd2LLFxEEkGA式式中中222( ) dAASAkIb( (b为截面的宽度，为截面的宽度，S为截面对中性为截面对中性轴的静矩轴的静矩) )(2)一般实心截面的细长梁一般实心截面的细长梁: :剪切应变能远小于其弯曲剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。应变能，通常忽略不计。(1) k 由截面的几何形状决定由截面的几何形状决定: : 矩形截面矩形截面: :k = 1.2, , 圆截面圆截面: : k = 10/9, ,

8、圆环形截面圆环形截面: :k = 2南南 京京 工工 业业 大大 学学F例：矩形截面悬臂梁，长例：矩形截面悬臂梁，长L，截，截面高面高h，宽，宽b，k = 1.2。22() d0.62sSLFxF LEkGAGbh2233( )d22bLMxxF LEEIEbh253(1)bSELEh细长梁细长梁5Lh125303(1)bSUU整个梁的弯曲应变能：整个梁的弯曲应变能：细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！整个梁的剪切应变能：整个梁的剪切应变能：得得解：解：南南 京京 工工 业业 大大 学学ABFlxxFxM )(EIlFxEIFxxEI

9、xMUll6d2)(d2)(32022 B21vFW EIFlv33B 南南 京京 工工 业业 大大 学学ABCFx1x2ablEIlbaFbEIlaFaEIlbFxEIxlFaxEIxlFbxEIxMUbal63232d2)(d2)(d2)(22232223222202210212 C21vFW EIlbFav322C 南南 京京 工工 业业 大大 学学EIRFREIFRREIMUl8d2)sin(d2)(322022 sin)(FRM BV21 FWEIFR43BV 南南 京京 工工 业业 大大 学学例例4 4 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节

10、点A A的的 竖直位移。已知竖直位移。已知E E=200GPa,=200GPa,F F =57.6kN=57.6kN。斜杆。斜杆ABAB由两根由两根 5050 5050 5mm5mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆，横杆ACAC由两根由两根No.10No.10槽槽钢组成，每根槽钢钢组成，每根槽钢的横截面面积的横截面面积 。设各杆自重可以不计。设各杆自重可以不计。 214.8cmA 2212.74cmA F30ACB2m南南 京京 工工 业业 大大 学学解解:F1NF2NFA由节点由节点A的平衡条件求得的平衡条件求得AB杆的内力：杆的内力：1N2115

11、.2 kNFFAC杆的内力为：杆的内力为：21NNcos3099.8 kNFF杆系的应变能：杆系的应变能：1222NN12172 J22ABACF LF LUEAEA设节点设节点A的竖直位移为的竖直位移为 ，则由，则由 得：得：A12AUWP5.97 mm12AUP南南 京京 工工 业业 大大 学学 功能原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿功能原理仅能求单一荷载下，荷载作用点处沿荷载方向的位移。多荷载下的位移、单一荷载下非荷载方向的位移。多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，荷载作用点的位移、荷载作用点其它方向的位移，不能用功能原理求解。不能用功能原理求解。

12、多荷载下的位移、单多荷载下的位移、单一荷载下非荷载作用点的一荷载下非荷载作用点的位移、荷载作用点其它方位移、荷载作用点其它方向的位移，如何求解？向的位移，如何求解？南南 京京 工工 业业 大大 学学应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式南南 京京 工工 业业 大大 学学应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式南南 京京 工工 业业 大大 学学qqPP=+AAABBB Caa1212(,)()()()nnF FFFFF1212(,)()()()nnw F FFw Fw Fw F南南 京京 工工 业业 大大 学学A EIlMeA EI2lMw2eAFA EI2Fl2A EI3Flw3AqA EI6ql3

13、A EI8qlw4AA AwA AwA Aw南南 京京 工工 业业 大大 学学BAF C2l2l EI16Fl2A EI48Flw3CBAC2l2leM EI24ql3A EI384ql5w4CAC2l2lqB EI3lMEI6lMeBeA EIlMwC162eA CwA CwA Cw南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学222N12222F lF lEAEWF llEAEALDD 22p2eePP12222xGIM lM lEWMGIGIljj221222m lEIEWmEIl2S() dd2LLFxEEkGA南南 京京 工工 业业 大大 学学F11DF22DF

14、1F221DD11211DFWF22212DFWF1112121122121()211()()22FFWFFFFD DD DD D?2121221111DDFFWFF南南 京京 工工 业业 大大 学学1F1F1+F2F22FOFOFO21V1V2VV1V2F11DF22DF1F221DD11211DFWF22212DFWF1111221211()()22FFWFFD DD D南南 京京 工工 业业 大大 学学应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式FOB A基本变形下应变能的一般表达式：基本变形下应变能的一般表达式：式中式中F广义力广义力( (力或力偶力或力偶)； 广义位移广义位移( (线位移或角

15、位移线位移或角位移) ) 且且 F =C (力与位移成线性关系力与位移成线性关系)表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。移的最终值，与加载的过程无关。22111222FEWFCC南南 京京 工工 业业 大大 学学 几个概念几个概念相应位移：相应位移： 载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。载荷作用点沿载荷作用方向的位移分量。外力功：外力功： 载荷在其相应位移载荷在其相应位移上所作之功。上所作之功。广义力：广义力： 力，力偶，一对大小力，力偶，一对大小相等、方向相反的力相等、方向相反的力或转向相反的力偶等。

16、或转向相反的力偶等。广义位移广义位移： 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等。FAA D DFAA D D应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式南南 京京 工工 业业 大大 学学广义位移广义位移1 1为为1 1点沿力矢方向的线位移（点沿力矢方向的线位移（挠度挠度）；）；广义位移广义位移2 2为为2 2点按力偶转向的角位移（点按力偶转向的角位移（转角转角）；）；广义位移广义位移3 3为分布载荷为分布载荷F F3 3作用区段作用区段挠曲线覆盖的面积。挠曲线覆盖的面积。广义力及其相应的广义位移广义力及其相应的广义位移南南 京京 工工 业业 大大 学学FFL

17、L+ 力：力：F，位移：，位移： 力：力：m，位移：，位移：j jmmj j一对力一对力该对力两作用点沿力矢方向的该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移相对线位移一对力偶一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移相对角位移广义力及其相应的广义位移广义力及其相应的广义位移南南 京京 工工 业业 大大 学学应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式( (克拉贝隆原理克拉贝隆原理) )1F2FiFnF1F2FiFnF12in112233111222EWFFF南南 京京 工工 业业 大大 学学证明证明：弹性体在弹性体在 载荷作用下同时发生几种基本变形载荷作用下同时发生几

18、种基本变形 ( (即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只即组合变形）。且弹性体在变形过程中贮存的应变能只 取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。取决于外力和位移的终值，与加力顺序无关。12,nF FF因此可假设因此可假设12,nF FF 按同一比例按同一比例 从零逐渐增加到终值，从零逐渐增加到终值，即外力增加的过程为即外力增加的过程为：0(1,2, )iiFF in 材料是线弹性的，则对应的位移也以材料是线弹性的，则对应的位移也以 的比例增加，相应的比例增加，相应的位移为：的位移为：0(1,2, )iiin式中式中 ：0 01 (1 (从从0 0线性增加到线性增加到1)1)南南 京

19、京 工工 业业 大大 学学如果如果 增加增加d ，则位移的相应增量为：，则位移的相应增量为：12d,d,d,n 则外力则外力12(d),(d),(d,)nFFF在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：11d(d)ddnniiiiiiWFF积分得积分得10111d2nniiiiiiWFFE 此式称为此式称为克拉贝隆原理克拉贝隆原理。南南 京京 工工 业业 大大 学学F1F2FiD D1D D2D Di：南南 京京 工工 业业 大大 学学 外力功一般不可以用叠加法求解外力功一般不可以用叠加法求解 特殊情况：特殊情况：FFTT 一种载荷在另一种载荷引起

20、的位移上不做功一种载荷在另一种载荷引起的位移上不做功 一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移一种载荷不在另一种载荷方向上引起相应位移南南 京京 工工 业业 大大 学学FABllCABllCABllCFMM南南 京京 工工 业业 大大 学学222NxP222F lM lM lEEAEIGI222NPddd222xlliFMMExxxEAEIGI南南 京京 工工 业业 大大 学学解解:（1）计算梁的应变能计算梁的应变能(x轴从轴从A向左向左)( )eM xMFx 2222 3ee0( )2622lFM lM lMxF lVdxEIEIEIEI e22 3e,F,M62M lF lVVVEIEI

21、多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算多个外力引起的应变能不能利用叠加原理进行计算例例6 6：悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算应变悬臂梁承受集中力与集中力偶作用，计算应变能和外力所做之总功。弯曲刚度为能和外力所做之总功。弯曲刚度为EI。FMA南南 京京 工工 业业 大大 学学解解:(2) :(2) 计算外力所作之总功计算外力所作之总功EIlMEIFlwwwAAA232e3M,F,e EIlMEIFlAAAe2M,F,2e EIlMEIlFMEIlFMFwWAA226222e2e32e 梁的应变能等于外力所做总功梁的应变能等于外力所做总功FMA南南 京京 工工 业业 大大 学学例例7

22、7 图示等截面悬臂梁，图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力已知。在自由端受集中力F 和和集中力偶集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响两种不同的加载次序，略去剪力的影响。解解：(1)(1)集中力集中力F和集中力偶和集中力偶m同时由同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。零开始按比例逐渐增加至最终值。32( )32BFLmLEIEI梁自由端的转角为：梁自由端的转角为：22BFLmLEIEI (方向与方向与m一致一致)F mL自由端的垂直位移为：自由端的垂直位移为：梁的应变能梁的应变能2

23、3221122622BBF LFmLm LUFmEIEIEI南南 京京 工工 业业 大大 学学(2) (2) 先作用先作用F, ,加载时做功为加载时做功为：3123FLFEI 再加力偶矩再加力偶矩m，外力所作的功为，外力所作的功为：2122mLmLFmEIEI梁的总应变能：梁的总应变能：2322622F LFmLm LUEIEIEI 从这两种不同的加载次序来看，从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始梁的应变能仅与载荷的始态和终态有关，而与加载次序无关。态和终态有关，而与加载次序无关。F mL南南 京京 工工 业业 大大 学学(3) (3) AB 梁的应变能也可通过截面上的内力来计算

24、。梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。 ( )( )( )FmM xMxMxFxm 代入应变能的内力表达式：代入应变能的内力表达式：220( )d()d22LLM x xFx mUxEIEI2 322622F LFmLm LEIEIEI 弯矩方程：弯矩方程：F mL南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学A AD DF F1 12 2D D11D D211 1A AD DF F2 22 2D D12D D221 1ijD D i 代表位置，代表位置，j 代表载荷代表载荷 同一弹性体的两种受力状态同一弹性体的两种受力状态11121DFW22221DFW南南 京京 工

25、工 业业 大大 学学121212D D D DFF功的互等定理功的互等定理若若F1=F21221D D D D位移互等定理位移互等定理先加 F1，后加 F2：A AD DF F2 22 2D D22D D11F1 1D D121 1先加 F2，后加 F1：1212221112121DDDFFFW2121112222121DDDFFFWA AD DF2 22 2D D22D D21F1 1D D111 1南南 京京 工工 业业 大大 学学A AD DF F1 12 2D D11D D211 1A AD DF F2 22 2D D12D D221 1ijD D i 代表位置，代表位置，j 代表载荷

26、代表载荷线弹性体线弹性体上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲上甲力在乙力引起的位移上作的功，等于乙力在甲力引起的位移上作的功。一般地，力引起的位移上作的功。一般地，第一组力在第二组力引起第一组力在第二组力引起的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相的相应位移上所作的功，等于第二组力在第一组力引起的相应位移上所作的功。应位移上所作的功。112221FFDD功的互等定理功的互等定理南南 京京 工工 业业 大大 学学 关于功的互等定理的说明：关于功的互等定理的说明： 成立的成立的前提是对于前提是对于线弹性体线弹性体； 两组外力两组外力之间，功的互等定理也成立；之间，功的互等定理也

27、成立；A AD DFMA AD DFA AD DFFM 关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的关键在于搞清楚两个（组）广义外力在对方作用点处引起的广义位移广义位移；南南 京京 工工 业业 大大 学学1112221121122WFFFD DDClapeyron原理原理11221122FFD D11122211211211112222FFFFD DDD11122211222111112222FFFFD DDD111122222111()()22FFD DDD112221FFDDA AD DF1 1B BD D1F2 2C CD D2A AD DF F2 22 2D D22D D11F

28、1 1D D121 1南南 京京 工工 业业 大大 学学AiiA D南南 京京 工工 业业 大大 学学抗弯刚度为抗弯刚度为EI的简支梁承受均布载荷的简支梁承受均布载荷q，已知其跨中挠度，已知其跨中挠度 ，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中，如图所示。试用功的互等定理求该梁承受跨中载荷载荷F时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。时，梁挠曲线与原始轴线所围成的面积。 CqlwEI45=384解：设第一组力为解：设第一组力为F，梁上各点的挠度为，梁上各点的挠度为w(x)。挠曲线与原始轴线围成的面积挠曲线与原始轴线围成的面积 dwlAw xx第二组力第二组力q作用时，它在梁跨中引起的挠度为作用时，

29、它在梁跨中引起的挠度为wC 。 45384CwFwFlAqEI d( )CwlFwq x w xqA由功的互等定理由功的互等定理南南 京京 工工 业业 大大 学学 装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理装有尾顶针的工件可简化为静不定梁。试利用互等定理求求C处的约束力。处的约束力。ABCFal解：解除解：解除C处约束的工件可处约束的工件可简化为悬臂梁，简化为悬臂梁，F、FC作为作为第一组力。悬臂梁在第一组力。悬臂梁在C处加处加单位力单位力1作为第二组力。作为第二组力。FCABC1alwBwC2323()326Bla aala awEIEIEI33ClwEI第一组力在第二组力引起的位移上

30、所作的功等于第一组力在第二组力引起的位移上所作的功等于第二组第二组力在第一组力引起的位移上所作的功为零（力在第一组力引起的位移上所作的功为零（C为铰支）为铰支）。0BCCFwF w2332CFaFlal南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学BOA虚位移实位移Ojr Ar Br Br Ar jddxdsrd, j, xsr 回顾刚体虚功原理回顾刚体虚功原理南南 京京 工工 业业 大大 学学：力在虚位移中作的功rFWkFjFiFFziyiixiiiiirx iy jz k()0 xiiyiiziiWFxFyFz0iiWFr 拉格朗日拉格朗日-意大利数学家，研究变分法意

31、大利数学家，研究变分法,第一位提出虚位移原理。第一位提出虚位移原理。南南 京京 工工 业业 大大 学学q(x)A A变形体的虚位移变形体的虚位移满足位移边界条件满足位移边界条件及及变形变形连续条件连续条件的任意的任意微小微小位移位移A AA AA AA A以上哪个是可能位移？以上哪个是可能位移？ 虚位移不是由作功的力引虚位移不是由作功的力引起的，而是其它因素起的，而是其它因素（如（如其它力、支座移动、温度其它力、支座移动、温度改变等）改变等）引起的引起的南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学0 ieWW 南南 京京 工工 业业 大大 学学 1 2 3 4AlBF4

32、F1F2F3RARBiiiBAiiieFRRFW 414100 南南 京京 工工 业业 大大 学学dxMM+dMd2 d2 F4F1F2F3RAAlRBBdxQMQ+dQM+dM2d)d(2d MMMdx 南南 京京 工工 业业 大大 学学dxdxQMQ+dQM+dMd2 d2 d2 d2 2d)d(2dQQQ F4F1F2F3RAAlRBBdx 南南 京京 工工 业业 大大 学学QMdd 2d)d(2d MMM2d)d(2dQQQ 0)dd(41 liiiQMF 南南 京京 工工 业业 大大 学学 liiiMFQMF)dddd(nN41 南南 京京 工工 业业 大大 学学ABF1 F2C南南

33、 京京 工工 业业 大大 学学图图( (a) )： lEIxxMU 22d图图( (b) )： lEIxxMU 202dABF1 F2(a)CxAB(b)F =10CxF =10AB(c)CxABF1F2(d)CF =10 x图图( (c) )： UUU 101图图( (d) )： lEIxxMxMU 222d lEIxxMxMUU 0d d lEIxxMxM F1F2 南南 京京 工工 业业 大大 学学 d lEIxxMxM xM xM广义位移广义位移 实际载荷实际载荷引起的弯矩引起的弯矩 单位广义力单位广义力引起的弯矩引起的弯矩 式中式中 lllEIxxMxMGIxxTxTEAxxFxF

34、p NNddd 南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学例 题RABF南南 京京 工工 业业 大大 学学例 题RAB1RAB1南南 京京 工工 业业 大大 学学OR例 题FPFNFQMRABFOsinMFR南南 京京 工工 业业 大大 学学例 题RAB1OR1MNFQF1sinMR 南南 京京 工工 业业 大大 学学例 题OR1MNFQFRAB11 (cos )MRR 南南 京京 工工 业业 大大 学学例 题RABFORAB1sinMFR1sinMR BySMMsEIDd 2 232300sin11sin222FRFREIEId34FREI南南 京京 工工 业业 大

35、大 学学例 题RAB11 (cos )MRR RABFOsinMFRBxSMMsEIDd22 201sinsin22dFRFRREI2301cos2cos4FREI32FREI南南 京京 工工 业业 大大 学学2.2.分段建立弯矩方程分段建立弯矩方程实际载荷状态与单位载荷状实际载荷状态与单位载荷状态分段与坐标应相同态分段与坐标应相同圆弧段用极坐标方便圆弧段用极坐标方便例例: 弯曲刚度弯曲刚度EI，求，求A点铅垂位移点铅垂位移D DFABCR xao分析步骤：分析步骤：1.1.配置单位载荷状态配置单位载荷状态1ABCR xao南南 京京 工工 业业 大大 学学解：解： AB段：段：()M xFx

36、 ()M xx BC段：段：( )(sin)MF aR ( )sinMaR 200()()( )( )aAM x M x dxMMRdEIEI D D 22001(sin)aFx xdxF aRRdEI 3232(2)324FaRaRaREI FABCR xao1ABCR xao南南 京京 工工 业业 大大 学学AqBCll/2ql/2ql/222)(2qxxqlxM )(0lx 南南 京京 工工 业业 大大 学学AAB11/21/2CxxxM21)( )2(0lx qBCll/2ql/2ql/2)(3845)d22(22)d()(4220 EIqlxqxxqlEIxEIxxMxMfl/lc南

37、南 京京 工工 业业 大大 学学ql/2AAB11/l1/lx11)( xlxM)(0lx qCll/2EIqlxqxxqllxEIEIxxMxMllA24)d221)(1)d()(320 ql/2南南 京京 工工 业业 大大 学学BACqF=qaa2a南南 京京 工工 业业 大大 学学BAABCa2a1xCqF=qaa2aRAx1/22qaRA 22)(2qxxqaxM 2)(xxM 南南 京京 工工 业业 大大 学学xqaxM )(xxM )()(32)d)()d2)(22(140202 EIqaxxqaxxxqxxqaEIfaac)(32)d)()d2)(22(140202 EIqaxx

38、qaxxxqxxqaEIfaacBAABCa2aCqF=qaa2aRA1/2xx1南南 京京 工工 业业 大大 学学BA1xxABCa2axCqF=qaa2aRAx1/222)(2qxxqaxM axxM2)( xqaxM )(1)( xMEIqaxqaxxaxqxxqaEIaac65)(1)d()d2)(22(130202 南南 京京 工工 业业 大大 学学aaaAqBC例：已知例：已知EI，求，求 A左左、 A右右x2x1qRARBRAx3ABC1解：解：322ABqaqaRR2112233()()22()2qqaM xxM xxqaM xx (1) 求求 A左，左，配置单位载荷配置单位载

39、荷123()0()0()1M xM xM x EIqadxqaxEIdxxMxMEIaa4)211 )()(130330333左南南 京京 工工 业业 大大 学学(2) 求求 A右右21233()0()1()xM xM xaxM xa 312AqaEI 右右ABC11/AAA 左左 右右左左右右ABC1x2x1x3南南 京京 工工 业业 大大 学学BAORFF(a)南南 京京 工工 业业 大大 学学BARPFj jdj j(b)BARP1(c)EIFRREIFRREIMMAB302203d)cos(12d)()(2 j jj jj jj jj j)cos(1)(j jj j FRM)cos(1

40、)(j jj j FMsdOO南南 京京 工工 业业 大大 学学xxMxMEIl)d()(1 xEAFFldNN xGITTlpd xxMxMl)d()( lM南南 京京 工工 业业 大大 学学CA MEI)d(tand1xMxxMaEIxxaMEId)tan(1lxEIMMdlxMMEId1Ad1tan ()CaAx AEI1(tan )CaxAEICMtanxaMM南南 京京 工工 业业 大大 学学M(x)lx)(xMxcCCMAx南南 京京 工工 业业 大大 学学balh三角形三角形CClh顶点顶点二次抛物线二次抛物线3bl 3al 2hl 85l83llh 32南南 京京 工工 业业

41、大大 学学lh顶点顶点cN 次抛物线次抛物线lh顶点顶点c二次抛物线二次抛物线3hl 1 nhllnn2)1( 2 nl南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学 M) )图图 南南 京京 工工 业业 大大 学学MM南南 京京 工工 业业 大大 学学M2112222323224141123621 53322310 5231271 537622121271263CCCCCCFaFaAaaaaaMFaFaAaaaaaMFaAAaMMFaAAaMM ,.,.,.,南南 京京 工工 业业 大大 学学南南 京京 工工 业业 大大 学学例 题 2 刚架受力如图所示，已知：刚架受力

42、如图所示，已知：横杆弯曲刚度为横杆弯曲刚度为2EI，竖杆弯曲，竖杆弯曲刚度为刚度为EI，拉伸刚度为拉伸刚度为EA，载载荷集度荷集度q，长度长度l。 求：求：1. B点的水平位移点的水平位移; 2. 分析轴力对分析轴力对B处水处水 平位移的影响。平位移的影响。 采用图乘法：采用图乘法： 怎样加单位力？怎样加单位力？ 哪些图形可以相乘？哪些图形可以相乘？ 要画哪些内力图？要画哪些内力图？ 怎样相乘？怎样相乘？ FP=qlqACBll南南 京京 工工 业业 大大 学学载荷系统载荷系统 解：解：1计算弯矩引起的位移计算弯矩引起的位移 首先，在首先，在B处沿水平方向施加单位力，建立单位力处沿水平方向施加

43、单位力，建立单位力系统。系统。FP=qlqACBllACBll单位力系统单位力系统1南南 京京 工工 业业 大大 学学C2C1 解：解：1计算弯矩引起的位移计算弯矩引起的位移 绘制刚架在载荷作用下绘制刚架在载荷作用下的弯矩图。的弯矩图。载荷系统载荷系统FP=qlqACBllqACBFP=qlACBMqMP 为了计算曲线弯矩图面积和确定形为了计算曲线弯矩图面积和确定形心位置方便，应用叠加原理将集中载荷心位置方便，应用叠加原理将集中载荷和均布载荷的弯矩图分别画出。和均布载荷的弯矩图分别画出。 ql2ql2C3南南 京京 工工 业业 大大 学学ACBll单位力系统单位力系统1 解：解：1计算弯矩引起

44、的位移计算弯矩引起的位移 画出单位力系统的弯矩图。画出单位力系统的弯矩图。ACBll111南南 京京 工工 业业 大大 学学 解：解：1计算弯矩引起的位移计算弯矩引起的位移将载荷系统弯矩图与单位力系统的弯矩图相乘。将载荷系统弯矩图与单位力系统的弯矩图相乘。C2C1BACll1FP=qlACBMPql2ql22EIEI南南 京京 工工 业业 大大 学学BACll1qACBMqC3 解：解：1计算弯矩引起的位移计算弯矩引起的位移将载荷系统弯矩图与单位力系统的弯矩图相乘。将载荷系统弯矩图与单位力系统的弯矩图相乘。南南 京京 工工 业业 大大 学学将轴力与弯矩引起的位移进行比较，则有将轴力与弯矩引起的

45、位移进行比较，则有对于矩形截面，有对于矩形截面，有 解：解：3结果与比较结果与比较南南 京京 工工 业业 大大 学学 当当l/h10时，上述比值为时，上述比值为0.06，即轴力引起的，即轴力引起的位移小于弯矩引起位移的位移小于弯矩引起位移的0.1。 由此可见，在细长杆的情形下，忽略轴力的影由此可见，在细长杆的情形下，忽略轴力的影响不会对计算结果产生明显的误差。响不会对计算结果产生明显的误差。 南南 京京 工工 业业 大大 学学CqFC4lC11C221CM2CM82ql825l/ 南南 京京 工工 业业 大大 学学2428323221qllql llMC 325485CqCF)(3845325

46、2424321 EIqllqlEIEIMEIMfCCC4lC11C221CM2CM82ql825l/ 南南 京京 工工 业业 大大 学学FCABalq南南 京京 工工 业业 大大 学学FCABaalqMql2/8Fa0)212322322(132 aql-aFaaFalEIvC)(83alaqlF 1ABalCM南南 京京 工工 业业 大大 学学 直接计算法直接计算法 ( (积分法、叠加法等积分法、叠加法等) ) 利用功能原理利用功能原理 VW 不适宜解决复杂问题不适宜解决复杂问题只能求解作用有单个广义力时，该广义力的只能求解作用有单个广义力时，该广义力的相应位移相应位移单位载荷法：单位载荷法：变形体在已知载荷作用下，求任变形体在已知载荷作用下，求任意一点沿任一方向的位移意一点沿任一方向的位移南南 京京 工工 业业 大大 学学113/113离开教育人将一无是处离开教育人将一无是处康德康德