分析力学课件.ppt
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- 分析 力学 课件
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1、 分析力学用新的观点、新的方法处理分析力学用新的观点、新的方法处理力学问题,具有更高的概括性,是力学理力学问题,具有更高的概括性,是力学理论发展的更高阶段,而这一发展是与充分论发展的更高阶段,而这一发展是与充分利用了数学分析这一有力的数学工具是分利用了数学分析这一有力的数学工具是分不开的。分析力学注重的物理量不是力和不开的。分析力学注重的物理量不是力和加速度,而是功和能。从数学上讲,处理加速度,而是功和能。从数学上讲,处理对象从矢量转变为标量,处理方法也从几对象从矢量转变为标量,处理方法也从几何方法转变为数学分析的方法。何方法转变为数学分析的方法。 本章重点本章重点: 深刻理解深刻理解约束、虚
2、位移和广义坐标的概念;约束、虚位移和广义坐标的概念;掌掌握握拉格朗日函数和哈密顿函数的写法;拉格朗日函数和哈密顿函数的写法;牢固掌握牢固掌握虚虚功原理和拉格朗日方程并能熟练应用;功原理和拉格朗日方程并能熟练应用;掌握掌握能量积能量积分的条件;能应用正则方程解决简单的力学问题;分的条件;能应用正则方程解决简单的力学问题;对哈密顿原理着重理解其思维方法;了解泊松括号对哈密顿原理着重理解其思维方法;了解泊松括号和泊松定理。和泊松定理。 虚功原理和拉格朗日方程及其应用。虚功原理和拉格朗日方程及其应用。 彼此相互影响的若干质点的一个集合,彼此相互影响的若干质点的一个集合,称为力学体系,也叫质点组。一个力
3、学体系称为力学体系,也叫质点组。一个力学体系中,存在着限制质点自由运动的条件,我们中,存在着限制质点自由运动的条件,我们把这些条件叫做约束,约束的数学表达式称把这些条件叫做约束,约束的数学表达式称为约束方程。为约束方程。 0).(tzyxzyxf一、约束的概念和分类一、约束的概念和分类1)约束约束2)约束的分类约束的分类 例如例如:当一质点和长为l的刚性杆相连时,如刚性杆的上端固定不动,取此点为坐标原点,则约束方程: 稳定约束 2222lzyx 稳定约束稳定约束如果限制系统位置的约束不是如果限制系统位置的约束不是时间时间t的函数,则约束方程中不显含时间的函数,则约束方程中不显含时间t,即:,即
4、:0).(zyxf0).(tzyxfa) 稳定约束和不稳定约束稳定约束和不稳定约束 不稳定约束不稳定约束如果约束是时间如果约束是时间t的函数,则的函数,则约束方程显含时间约束方程显含时间t,即:,即:2222)(lzyctx b) )可解约束和不可解约束可解约束和不可解约束 不可解约束不可解约束质点始终不能脱离某曲面质点始终不能脱离某曲面(或曲线)的那种约束。(或曲线)的那种约束。 可解约束可解约束如果质点虽然被约束在某一曲如果质点虽然被约束在某一曲面上,但在某一方向可以脱离这个曲面。面上,但在某一方向可以脱离这个曲面。0).(zyxf0).(tzyxfczyxf).( 如果质点是用刚性杆和定
5、点O相连,则质点所受的约束是不可解约束不可解约束,约束方程为: 2222lzyx2222lzyx 当质点被一柔软绳连在一个定点O上而作任意运动时,所受的约束是可解约束可解约束,约束方程为: 0).(zyxf0).(t zyxf 几何约束几何约束它只限制质点在空间的位置,它只限制质点在空间的位置,因而表现为质点坐标的函数。因而表现为质点坐标的函数。 运动约束运动约束除了限制质点的坐标外,还除了限制质点的坐标外,还要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。要限制质点的速度。运动约束又叫微分约束。 0).(tzyxzyxf 完整约束完整约束为几何约束)运动约束(积分后可变几何约束0).().(tzyx
6、zyxfczyxf运动约束(不可积)可解约束不完整约束不完整约束 凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同凡只受有完整约束的力学体系叫完整系。同时受有完整约束与不完整约束的力学体系,或只时受有完整约束与不完整约束的力学体系,或只受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。受有不完整约束的力学体系都叫不完整系。d) ) 完整约束和不完整约束完整约束和不完整约束 在力学体系只受几何约束的情形下,独立坐在力学体系只受几何约束的情形下,独立坐标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些标的数目叫做力学体系的自由度。用来表示这些独立变量的参数叫广义坐标(也叫拉格朗日广义独立变量的参数叫广义坐标(也叫拉格朗日广义坐
7、标),通常用坐标),通常用 q 表示。表示。 例如,例如,一个力学体系由n个质点所形成,受k个几何约束,自由度:s=3n-k,把3n个不独立的坐标用s个独立参数及t表出,即:).().().(212121tqqqzztqqqyytqqqxxsiisiisii)3,2 .1(nsni 广义坐标,它不一定是长度,可以是角度或广义坐标,它不一定是长度,可以是角度或其它物理量,例如:面积、体积、电极化强度、其它物理量,例如:面积、体积、电极化强度、磁化强度等。磁化强度等。 ) .(21tqqqsiirr )3,2 . 1(nsni或写成矢量式:或写成矢量式: ).().().(212121tqqqzz
8、tqqqyytqqqxxsiisiisii)3,2 .1(nsni一、实位移与虚位移一、实位移与虚位移 实位移:质点由于运动实际上所发生的实位移:质点由于运动实际上所发生的位移(由于时间位移(由于时间 t 发生变化所致)以发生变化所致)以 dr 表之。表之。 虚位移:是想象中可能发生的位移,它虚位移:是想象中可能发生的位移,它只决定于质点在此时刻的位置和加在它上只决定于质点在此时刻的位置和加在它上面的约束,时间面的约束,时间 t 没有改变(没有改变(t=0),以,以 r 表之。表之。 在稳定约束下,实位在稳定约束下,实位移是许多虚位移里面的一移是许多虚位移里面的一个,但对不稳定约束,实个,但对
9、不稳定约束,实位移与虚位移并不一致位移与虚位移并不一致 。 一般说来,在一般说来,在任意时刻任意时刻 t,在约束所许可,在约束所许可的情况下,质点的的情况下,质点的虚位移不止一个虚位移不止一个。实位移则。实位移则不同,不同,它除它除受到约束的限制外,还要受到运动受到约束的限制外,还要受到运动规律的限制,当时间改变规律的限制,当时间改变dt后,后,实位移一般只实位移一般只能有一个能有一个。 niii10rR三、虚功原理三、虚功原理 设某力学体系受有设某力学体系受有k个几何约束,处于个几何约束,处于平平衡状态衡状态,取体系中任一质点,取体系中任一质点Pi,并设作用在,并设作用在此质点上主动力的合力
10、为此质点上主动力的合力为Fi,约束反力的合,约束反力的合力为力为Ri,因为此体系中每一质点都必须处于,因为此体系中每一质点都必须处于平衡状态,故必须有:平衡状态,故必须有:0iiRF)2 . 1(ni 质点自它的平衡位置发生一虚位移质点自它的平衡位置发生一虚位移ri 0iiiirRrF)2 . 1(nininiiiiirRrF110niii10rRniiirF10WniiiziiyiixzFyFxFW10)( niiirF10W).(21tqqqsiirr siiqq1rr )(111nisiiniiiqqWrFrF snisiiqQqq1110)(rF0Q)2 . 1(sniniiiziiy
11、iixiiqzFqyFqxFqQ11)(rF)2 . 1(s Q0Q)2 . 1(s032211xFyPyPW(1 1) coscossin2sinsin221321211llxllylysinsincos2coscos221321211llxllyly0)sinsin()cos2cos()cos2(2121211llFllPlP032211xFyPyPW(1 1) sinsincos2coscos221321211llxllyly0)sincos2()sincoscos2(22211211FllPFllPlP.0sincos20sincoscos222211211FllPQFllPlPQFP
12、tgFPPtg222221ninjjiaa11 ijjijijiaaaa ijjijjiiiiiiiiaaaaaaa)()()(2ijiiijbaab)(ijjjijiiiibabaabba),2 , 1(),(stqiirrsiiitqqdtd1rrrri)(tqq qir qqiirrsisiiiqqqtqqqq11)(rrrr10qqtqqqqqs;,1121;,21sqqq只把只把 当作变量,将当作变量,将 都当常量,所以有:都当常量,所以有:q ), 2 , 1(),(stqqiirrqir首先弄清自变量:首先弄清自变量: ),(),(tqqqtqiiiirrrrqtqqqtqqqq
13、qdtdisisirrrrrriii)()(1122qqdtdiirr)(),2 , 1(s)(tqq一、基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程 由由n个质点所组成的力学体系个质点所组成的力学体系 ), 2 , 1(nimiiii RFr达朗伯原理达朗伯原理 或:或: ), 2 , 1(0nimiiii RFr(1)达朗伯达朗伯拉格朗日方程拉格朗日方程 niiim10)(rrFi (2 2) 用虚位移点乘用虚位移点乘(1)式,并对式,并对i求和,在理想约束求和,在理想约束的条件下,得:的条件下,得: 物理意义:表示主动力物理意义:表示主动力Fi、约束反力、约束反力Ri和因质和因质点有加速
14、度而产生的有效力(惯性力)的平衡,点有加速度而产生的有效力(惯性力)的平衡,通过这种方法将动力学问题化为静力学问题来处通过这种方法将动力学问题化为静力学问题来处理理动静法。动静法。 ), 2 , 1(0nimiiii RFr(1)推导基本形式的拉格朗日方程:推导基本形式的拉格朗日方程:siiqq1rr代入(代入(2)得:)得: 将将niiqqm10)(s1iirrF niiiqQ1rF广义力广义力 即:即: snisniiiiiqqmqq11110)()(rrrFi (3) sqPQ10)((4) 则(则(3)式变为:)式变为: niiiiqmP1rr 令:令: snisniiiiiqqmqq
15、11110)()(rrrFi (3) niiiiqmP1rr 现在计算现在计算 :niiiiqmP1rr niiiiniiiiqdtdmqmdtd11)()(rrrrniiiiniiiiqmqmdtdP11)(rrrrqqiirrqqdtdiirr)( 由于由于 是互相独立的,是互相独立的, ,所以(,所以(4)式变为:式变为: 0qqqTqTdtdPniniiiiiiTmm11221rrrT力学体系的动能力学体系的动能 niiiiniiiiqmqmdtdP11)(rrrr基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程 QqTqTdtd),2 , 1(s(5) 基本形式的拉格朗日方程中物理量基本
16、形式的拉格朗日方程中物理量 的意义:的意义:叫广义速度,可为线速度、角速度或其它;叫广义速度,可为线速度、角速度或其它; q 叫广义动量,可为线动量也可为角动量;叫广义动量,可为线动量也可为角动量; qTqT叫拉格朗日力;叫拉格朗日力; Q叫广义力(不包含约束反力叫广义力(不包含约束反力 ),其量纲),其量纲由表达式由表达式 决定。决定。 qQW 长度长度 力力 面积面积 表面张力表面张力 电荷电荷 电压电压 等等。等等。 体积体积 应力应力 严格地讲,谈到广义力时,应同时指出与严格地讲,谈到广义力时,应同时指出与它相应的广义坐标。它相应的广义坐标。q广义坐标广义坐标Q广义力广义力 对于保守系
17、,必存在势能对于保守系,必存在势能V,它是坐标的函数,它是坐标的函数V(xi ,yi, zi),且:),且: ViiF)2 . 1(niiiziiyiixzVFyVFxVF)2 . 1(ni),(),(),(tqzztqyytqxxiiiiii),2 , 1(s将所有坐标用广义坐标将所有坐标用广义坐标 表示:表示:qniiiiiiiqVqzzVqyyVqxxV1)(niiiziiyiixqzFqyFqxF1)(niiiqQ1rF广义力:广义力: 这样基本形式的拉氏方程可改写为:这样基本形式的拉氏方程可改写为:令:令:L=T-V,代表体系的动能与势能之和。则:,代表体系的动能与势能之和。则:qV
18、qTqLqTqL这样这样(6)式变为:式变为: qVqTqTdtd),2 , 1(s(6 6) 0qLqLdtd),2 , 1(s(7 7) 保守系的拉格朗日方程保守系的拉格朗日方程 L=T-V,叫做拉格朗日函数,简称拉氏函数。叫做拉格朗日函数,简称拉氏函数。例例2 (周衍柏习题(周衍柏习题5.8)一光滑细管可在竖直平)一光滑细管可在竖直平面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动,管中有面内绕通过其一端的水平轴以匀角速转动,管中有一质量一质量为为m的质点,开始时,细管取水平方向,质的质点,开始时,细管取水平方向,质点距转动轴的距离为点距转动轴的距离为a,质点相对于管的速度为,质点相对于管的速度为v
19、0,试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。试由拉格朗日方程求质点相对于管的运动规律。 解:如图所示,取管解:如图所示,取管轴为动坐标系的轴为动坐标系的x轴,自轴,自由度由度s = 1,选,选 q = x,质,质点的相对速度为:点的相对速度为: ivx 牵连速度为:牵连速度为: jrvex质点的势能:质点的势能: tmgxVsin(以通过(以通过O点的水平线为零势线)点的水平线为零势线) 质点的动能:质点的动能: )(21222xxmT拉氏函数为:拉氏函数为: tmgxxxmVTLsin)(21222tmgxmxLxmxLsin2tmgxmxmsin2 即:即: tgxxsin2 代入拉氏方
20、程:代入拉氏方程:0)(xLxLdtd齐次方程的通解:齐次方程的通解: ttBeAex1非齐次方程的特解为:非齐次方程的特解为: tgxsin222tgBeAexxxttsin2221代入初始条件:代入初始条件: 00vxaxt得:得: 204)(21gvaA204)(21gvaB故质点沿管的运动规律为:故质点沿管的运动规律为: 00222112424sin2 () ()ttvvggxaeaegt-=+-+-+方程的通解:方程的通解:作业:作业:55 56 57 q0qL0)(qLdtd qLq )(21222rrmTrmkV2rmkrrmVTL2222)(21 21qrqrmkrrmVTL2
21、222)(21 2mrL 2mrL注意注意 siiitqqdtd1rrrri21121)(21siiniiiniitqqmmrrr21Tnissiiiitqtqqqqqm11112)(221rrrrriissaqaqqa1112121012TTT21111111122()()()snsnniiiiiiiiiimq qmqmqqqttirrrrr=抖抖=+抖抖邋邋 nissiiiitqtqqqqqmT11112)(221rrrrrii012TTTTaaa,q 式中式中分别是广义速度分别是广义速度 的二次、的二次、一次和零次函数一次和零次函数系数系数 一般都是一般都是广义坐标广义坐标 及时间及时间
22、t 的函数的函数。), 2 , 1(sq 如果力学体系是稳定的,如果力学体系是稳定的,ri中不显含时间中不显含时间t,因而因而 即:即: ,a = 0,0tir0a012TTTT),(21sqqqVV 于是动能于是动能T将仅是广义速度的二次齐次函数,将仅是广义速度的二次齐次函数,即:即:T = T2 。如果如果T = T2,而且而且也不显含时间也不显含时间t,那么:,那么:qVqTqTdtd各项乘以各项乘以 ,然后对,然后对 求和得:求和得: q sssqqVqqTqqTdtd111)(sssqqTqqTdtdqqTdtd111)()( 第一项:第一项:代入上式得:代入上式得:sssqqVqq
23、TqqTqqTdtd111)( (1) 欧拉齐次函数定理:齐次函数的偏导数各乘欧拉齐次函数定理:齐次函数的偏导数各乘以相应的变量,相加起来,就等于这函数乘上它以相应的变量,相加起来,就等于这函数乘上它的次数。的次数。 动能动能T是广义速度的二次齐次函数,根据欧是广义速度的二次齐次函数,根据欧拉齐次函数定理知:拉齐次函数定理知: sTqqT12(2) 若拉氏函数中不显含时间若拉氏函数中不显含时间t,T和和V都不是时都不是时间间t 的显函数,所以:的显函数,所以:)2 , 1()(),(sqVVqqTTssdtdVqqVdtdTqqTqqT11)( (3)将(将(2 2)()(3 3)代入()代入
24、(1 1)式:)式: sTqqT12(2)ssdtdVqqVdtdTqqTqqT11)( (3)sssqqVqqTqqTqqTdtd111)( (1)dtdVdtdTTdtd)2(dtdVdtdT 如果如果拉氏函数拉氏函数L中不显含时间中不显含时间t,但约束是非稳,但约束是非稳定的,即动能是广义速度的二次非齐次函数:定的,即动能是广义速度的二次非齐次函数: T = T2+T1+T0 那末:那末: ssTTqqTqqTqqTqqT11120122)(上式代入(上式代入(1)式:)式: dtdVdtdTTTdtd)2(12得得: :sssqqVqqTqqTqqTdtd111)( (1)hVTT02
25、积分得:积分得: 由此可见,即使主动力都是保守力,拉格朗由此可见,即使主动力都是保守力,拉格朗日方程也不一定给出能量积分,除非约束是稳定日方程也不一定给出能量积分,除非约束是稳定的,因为在不稳定约束的情况下,约束反力可以的,因为在不稳定约束的情况下,约束反力可以作功,而在拉格朗日方程中并不含有约束反力,作功,而在拉格朗日方程中并不含有约束反力,这就产生了如上的差异。这就产生了如上的差异。02TT 并不代表动能,并不代表动能,h虽是常数,但并不代虽是常数,但并不代表总能量,与表总能量,与E不同,所以就物理意义来说,不不同,所以就物理意义来说,不是能量积分,因为它和能量积分类似,所以它被是能量积分
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