2022年全国甲卷数学（理科）高考真题word文档版（含答案）.rar

2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学理科数学注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。形码。2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。本试卷上无效。3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分。在每小题给出的四个选项中，只有一分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。项是符合题目要求的。1若，则（ ）13iz 1zzzA B C D13i 13i 13i3313i332某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识为了解讲座效果，随机抽取 10 位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这 10 位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（ ）A讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差D讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差3设全集，集合，则（ ） 2, 1,0,1,2,3U 2 1,2,430ABx xx ()UAB A B C D1,30,3 2,1 2,04如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为 1，则该多面体的体积为（ ）A8 B12 C16 D205函数在区间的图像大致为（ ）33cosxxyx ,2 2A BC D6当时，函数取得最大值，则（ ）1x ( )lnbf xaxx2(2)f A B C D1112127在长方体中，已知与平面和平面所成的角均为，则（ 1111ABCDABC D1B DABCD11AAB B30）A BAB 与平面所成的角为2ABAD11ABC D30C D与平面所成的角为1ACCB1B D11BBC C458沈括的梦溪笔谈是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术” ，如图，是以 O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是 AB 的中点，D 在上， “会圆术”给出ABABCDAB的弧长的近似值 s 的计算公式：当时，（ ）AB2CDsABOA2,60OAAOBs A B C D11 3 3211 4 3293 3294 329甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为2S甲S乙和若，则（ ）V甲V乙=2SS甲乙=VV甲乙A B C D52 2105 10410椭圆的左顶点为 A，点 P，Q 均在 C 上，且关于 y 轴对称若直线2222:1(0)xyCabab的斜率之积为，则 C 的离心率为（ ）,AP AQ14A B C D3222121311设函数在区间恰有三个极值点、两个零点，则的取值范围是（ ）( )sin3f xx(0,)A B C D 5 13,3 65 19,3 613 8,6 313 19,6612已知，则（ ）3111,cos,4sin3244abcA B C Dcbabacabcacb二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分。分。13设向量，的夹角的余弦值为，且，则_ab13| 1,| 3ab (2)abb14若双曲线的渐近线与圆相切，则_2221(0)xymm22430 xyym 15从正方体的 8 个顶点中任选 4 个，则这 4 个点在同一个平面的概率为_16已知中，点 D 在边 BC 上，当取得最小值时，ABC120 ,2,2ADBADCDBDACAB_BD 三、解答题：共三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答。第每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分。分。17 （12 分）记为数列的前 n 项和已知nS na221nnSnan（1）证明：是等差数列； na（2）若成等比数列，求的最小值479,a a anS18 （12 分）在四棱锥中，底面PABCDPD ,1,2,3ABCD CDAB ADDCCBABDP（1）证明：；BDPA（2）求 PD 与平面所成的角的正弦值PAB19 （12 分）甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得 10 分，负方得 0 分，没有平局三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用 X 表示乙学校的总得分，求 X 的分布列与期望20 （12 分）设抛物线的焦点为 F，点，过 F 的直线交 C 于 M，N 两点当直线 MD 垂直2:2(0)C ypx p,0D p于 x 轴时，3MF （1）求 C 的方程；（2）设直线与 C 的另一个交点分别为 A，B，记直线的倾斜角分别为当,MD ND,MN AB, 取得最大值时，求直线 AB 的方程21 （12 分）已知函数 lenxf xxxax（I）若，求 a 的取值范围； 0f x （2）证明：若有两个零点，则 f x12,x x121x x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分。请考生在第分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 4-4：坐标系与参数方程（10 分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t 为参数） ，曲线的参数方程为xOy1C26txyt，2C（s 为参数） 26sxys ，（1）写出的普通方程；1C（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，3C2cossin0求与交点的直角坐标，及与交点的直角坐标3C1C3C2C23选修 4-5：不等式选讲（10 分）已知 a，b，c 均为正数，且，证明：22243abc（1）；23abc（2）若，则2bc113ac绝密绝密启用前启用前2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学理科数学参考答案参考答案注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码形码. .2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. .如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. .回答非选择题时，将答案写在答题卡上回答非选择题时，将答案写在答题卡上. .写在本写在本试卷上无效试卷上无效. .3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. .一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的. .1. C 2. B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13. 1114. 3315.63516. #311+ 3三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17. （1）解：因为，即，221nnSnan222nnSnnan当时，2n 21121211nnSnnan得，22112212211nnnnSnSnnannan即，12212211nnnannana 即，所以，且，1212121nnnanan11nnaa2n N*n所以是以 为公差的等差数列 na1（2）7818. （1）证明：在四边形中，作于，于，ABCDDEABECFABF因为，/ /,1,2CDAB ADCDCBAB所以四边形为等腰梯形，ABCD所以，12AEBF故，32DE 223BDDEBE所以，222ADBDAB所以，ADBD因为平面，平面，PD ABCDBD ABCD所以，PDBD又，PDADD所以平面，BD PAD又因平面，PAPAD所以； BDPA（2）.5519. （1）； 0.6（2）分布列见解析，. 13E X 【解析】依题可知，的可能取值为，所以，X0,10,20,30,00.5 0.4 0.80.16P X ，100.5 0.4 0.80.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.44P X ，200.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.5 0.6 0.20.34P X .300.5 0.6 0.20.06P X 即的分布列为XX0102030P0.160.440.340.06期望. 0 0.16 10 0.4420 0.3430 0.0613E X 20. （1）； 24yx（2）.:24AB xy21. 已知函数 lnxf xxaxxe（1） (,1e（2）由题知,一个零点小于 1,一个零点大于 1 fx不妨设121xx 要证,即证121x x 121xx因为,即证121,(0,1)xx 121f xfx因为,即证 12f xf x 221f xfx即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx即证1e11e2 ln02xxxxxxx下面证明时，1x 1e11e0,ln02xxxxxxx设，11( ),eexxg xxxx则11122111111( )eee1ee1xxxxxg xxxxxxxx 111e1 e1eexxxxxxxxx设 22e1111 ,ee0 xxxxxxxxxxx所以,而 1ex1eex所以,所以1ee0 xxx( )0g x所以在单调递增( )g x(1,)即,所以( )(1)0g xg1ee0 xxxx令11( )ln,12h xxxxx2222211121(1)( )10222xxxh xxxxx所以在单调递减( )h x(1,)即,所以；( )(1)0h xh11ln02xxx综上, ,所以.1e11e2 ln02xxxxxxx121x x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，则按所做的第题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22. （1）； 2620yxy（2）的交点坐标为，的交点坐标为，31,C C1,121,232,C C1, 121, 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.（1）证明：由柯西不等式有， 222222221112abcabc所以，23abc当且仅当时，取等号，21abc所以；23abc（2）证明：因为，由（1）得，2bc0a 0b 0c 243abcac即，所以，043ac1143ac由权方和不等式知，22212111293444acacacac当且仅当，即，时取等号，124ac1a 12c 所以113ac扫码关注数学学科网服务号，及时获取扫码关注数学学科网服务号，及时获取 2022 年高考真题、答案、解析！年高考真题、答案、解析！绝密绝密启用前启用前2022 年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）理科数学理科数学参考答案参考答案注意事项：注意事项：1 1答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码科目，在规定的位置贴好条形码. .2 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑涂黑. .如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. .回答非选择题时，将回答非选择题时，将答案写在答题卡上答案写在答题卡上. .写在本试卷上无效写在本试卷上无效. .3 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. .一、选择题：本题共一、选择题：本题共 1212 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 6060 分分. .在每小题给出的四个选项在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的中，只有一项是符合题目要求的. .1. C 2. B. 3.D 4. B 5. A 6. B 7. D 8. B 9. C 10. A 11. C 12. A二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分.13. 1114. 3315.63516. #311+ 3三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答第题为必考题，每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生题为选考题，考生根据要求作答根据要求作答.（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17. （1）解：因为，即，221nnSnan222nnSnnan当时，2n 21121211nnSnnan得，22112212211nnnnSnSnnannan即，12212211nnnannana 即，所以，且，1212121nnnanan11nnaa2n N*n所以是以 为公差的等差数列 na1（2）7818. （1）证明：在四边形中，作于，于，ABCDDEABECFABF因为，/ /,1,2CDAB ADCDCBAB所以四边形为等腰梯形，ABCD所以，12AEBF故，32DE 223BDDEBE所以，222ADBDAB所以，ADBD因为平面，平面，PD ABCDBD ABCD所以，PDBD又，PDADD所以平面，BD PAD又因平面，PAPAD所以； BDPA（2）.5519. （1）； 0.6（2）分布列见解析，. 13E X 【解析】依题可知，的可能取值为，所以，X0,10,20,30,00.5 0.4 0.80.16P X ，100.5 0.4 0.80.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.44P X ，200.5 0.6 0.80.5 0.4 0.20.5 0.6 0.20.34P X .300.5 0.6 0.20.06P X 即的分布列为XX0102030P0.160.440.340.06期望. 0 0.16 10 0.4420 0.3430 0.0613E X 20. （1）； 24yx（2）.:24AB xy21. 已知函数 lnxf xxaxxe（1） (,1e（2）由题知,一个零点小于 1,一个零点大于 1 fx不妨设121xx 要证,即证121x x 121xx因为,即证121,(0,1)xx 121f xfx因为,即证 12f xf x 221f xfx即证1e1lneln0,(1,)xxxxxxxxx即证1e11e2 ln02xxxxxxx下面证明时，1x 1e11e0,ln02xxxxxxx设，11( ),eexxg xxxx则11122111111( )eee1ee1xxxxxg xxxxxxxx 111e1 e1eexxxxxxxxx设 22e1111 ,ee0 xxxxxxxxxxx所以,而 1ex1eex所以,所以1ee0 xxx( )0g x所以在单调递增( )g x(1,)即,所以( )(1)0g xg1ee0 xxxx令11( )ln,12h xxxxx2222211121(1)( )10222xxxh xxxxx所以在单调递减( )h x(1,)即,所以；( )(1)0h xh11ln02xxx综上, ,所以.1e11e2 ln02xxxxxxx121x x （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做，题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分则按所做的第一题计分选修选修 4-4：坐标系与参数方程：坐标系与参数方程22. （1）； 2620yxy（2）的交点坐标为，的交点坐标为，31,C C1,121,232,C C1, 121, 2 选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲23.（1）证明：由柯西不等式有， 222222221112abcabc所以，23abc当且仅当时，取等号，21abc所以；23abc（2）证明：因为，由（1）得，2bc0a 0b 0c 243abcac即，所以，043ac1143ac由权方和不等式知，22212111293444acacacac当且仅当，即，时取等号，124ac1a 12c 所以113ac