2019届高考数学大一轮复习第十三章推理与证明算法复数13.3数学归纳法及其应用学案(理科)北师大版.doc
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1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 13.3 数学归纳法 最新考纲 考情考向分析 1.了解数学归纳法的原理 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题 . 以了解数学归纳法的原理为主,会用数学归纳法证明与数列有关或与不等式有关的等式或不等式在高考中以解答题形式出现,属高档题 . 数学归纳法 数学归纳法是用来证明某些与正整数 n 有关的数学命题的一种方法它的基本步骤是: (1)验证:当 n 取第一个值 n0(如 n0 1 或 2 等 )时,命题成立; (2)在假设当 n k(k N , k n0)时命题成立的前提下,推出当 n k 1 时,命题成立 根 据 (1)(2)可以断定命题对一切从 n0开始
2、的正整数 n 都成立 题组一 思考辨析 1判断下列结论是否正确 (请在括号中打 “” 或 “”) (1)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证当 n 1 时结论成立 ( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明 ( ) (3)用数学归纳法证明问题时,归纳假设可以不用 ( ) (4)不论是等式还是不等式,用数学归纳法证明时,由 n k 到 n k 1 时,项数都增加了一项 ( ) (5)用数学归纳法证明等式 “1 2 22 ? 2n 2 2n 3 1” ,验证 n 1 时,左边式子应为1 2 22 23.( ) (6)用数学归纳法证明凸 n 边形的内角和公式时, n0 3.( )
3、 题组二 教材改编 2在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 12n(n 3)条时,第一步检验 n 等于 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A 1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析 凸 n 边形边数最小时是三角形,故第一步检验 n 3. 3已知 an满足 an 1 a2n nan 1, n N ,且 a1 2,则 a2 _, a3 _, a4 _,猜想 an _. 答案 3 4 5 n 1 题组三 易错自纠 4用数学归纳法证明 1 a a2 ? an 1 1 an 21 a (a1 , n N ),在验证 n 1 时,等式左边的项是 ( ) A 1 B 1 a C 1 a a
4、2 D 1 a a2 a3 答案 C 解析 当 n 1 时, n 1 2, 左边 1 a1 a2 1 a a2. 5对于不等式 n2 n0,整数 p1, n N . (1)证明:当 x 1 且 x 0 时, (1 x)p1 px; (2)数列 an满足 a1 1pc , an 1 p 1p an cpa1 pn .证明: anan 1 1pc . 证明 (1) 当 p 2 时, (1 x)2 1 2x x21 2x,原不等式成立 假设当 p k(k2 , k N )时,不等式 (1 x)k1 kx 成立 则当 p k 1 时, (1 x)k 1 (1 x)(1 x)k(1 x)(1 kx) 1
5、 (k 1)x kx21 (k 1)x. 所以当 p k 1 时,原 不等式也成立 综合 可得,当 x 1,且 x0 时, 对一切整数 p1,不等式 (1 x)p1 px 均成立 (2)方法一 当 n 1 时,由题设知 a1 1pc 成立 假设当 n k(k1 , k N )时,不等式 ak 1pc 成立 由 an 1 p 1p an cpa1 pn 易知 an0, n N . 则当 n k 1 时, ak 1ak p 1p cpa pk 11p?capk 1 . 由 ak 1pc 0 得 11 p 1p?capk 1 capk . 因此 a pk 1c,即 ak 1 1pc . 所以当 n
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