2019届高考数学大一轮复习第十二章概率随机变量及其分布第6讲离散型随机变量的均值与方差练习（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 6 讲 离散型随机变量的均值与方差 一、选择题 1.已知离散型随机变量 X 的概 率分布列为 X 1 3 5 P 0.5 m 0.2 则其方差 D(X) ( ) A.1 B.0.6 C.2.44 D.2.4 解析 由 0.5 m 0.2 1 得 m 0.3， E(X) 10.5 30.3 50.2 2.4， D(X) (1 2.4)2 0.5 (3 2.4)2 0.3 (5 2.4)2 0.2 2.44. 答案 C 2.(2017 西安调研 )某种种子每粒发芽的概率都为 0.9， 现播种了 1 000 粒 ， 对于没有发芽的种子 ， 每粒需再补种 2 粒

2、， 补种的种子数记为 X， 则 X 的数学期望为 ( ) A.100 B.200 C.300 D.400 解析 设没有发芽的种子有 粒 ， 则 B(1 000， 0.1)， 且 X 2 ， E(X) E(2 ) 2E( ) 21 0000.1 200. 答案 B 3.已知随机变量 X 服从二项分布 ， 且 E(X) 2.4， D(X) 1.44， 则二项分布的参数 n， p的值为 ( ) A.n 4， p 0.6 B.n 6， p 0.4 C.n 8， p 0.3 D.n 24， p 0.1 解析 由二项分布 X B(n， p)及 E(X) np， D(X) np (1 p)得 2.4 np，

3、 且 1.44 np(1 p)， 解得 n 6， p 0.4.故选 B. 答案 B 4.已知随机变量 X 8， 若 X B(10， 0.6)， 则 E( )， D( )分别是 ( ) A.6， 2.4 B.2， 2.4 C.2， 5.6 D.6， 5.6 解析 由已知随机变量 X 8， 所以有 8 X.因此 ， 求得 E( ) 8 E(X) 8100.6 2， D( ) ( 1)2D(X) 100.60.4 2.4. 答案 B 5.口袋中有 5 只球 ， 编号分别为 1， 2， 3， 4， 5， 从中任取 3 只球 ， 以 X 表示取出的球的最大号码 ， 则 X 的数学期望 E(X)的值是 (

4、 ) A.4 B.4.5 C.4.75 D.5 解析 由题意知 ， X 可以取 3， 4， 5， P(X 3) 1C35 110， =【 ;精品教育资源文库 】 = P(X 4) C23C35310， P(X 5)C24C3561035， 所以 E(X) 3 110 4 310 5 35 4.5. 答案 B 二、填空题 6.设 X 为随机变量 ， X B? ?n， 13 ， 若随机变量 X 的数学期望 E(X) 2， 则 P(X 2)等于 _. 解析 由 X B? ?n， 13 ， E(X) 2， 得 np 13n 2， n 6， 则 P(X 2) C26? ?132?1 134 80243.

5、 答案 80243 7.随机变量 的取值为 0， 1， 2.若 P( 0) 15， E( ) 1， 则 D( ) _. 解析 设 P( 1) a， P( 2) b， 则?15 a b 1，a 2b 1，解得?a 35，b 15，所以 D( ) (0 1)2 15 (1 1)2 35 (2 1)2 15 25. 答案 25 8.(2017 合 肥模拟 )某科技创新大赛设有一、二、三等奖 (参与活动的都有奖 )且相应奖项获奖的概率是以 a 为首项 ， 2 为公比的等比数列 ， 相应的奖金分别是 7 000 元、 5 600 元、 4 200 元 ， 则参加此次大赛获得奖金的期望是 _元 . 解析

6、由题意知 a 2a 4a 1， a 17， 获得一、二、三等奖的概率分别为 17， 27， 47， 所获奖金的期望是 E(X) 17 7 000 27 5 600 47 4 200 5 000 元 . 答案 5 000 三、解答题 9.(2017 成都诊断 )据报道 ， 全国很多省市将英语考试作为高考改革的重点 ， 一时间 “ 英=【 ;精品教育资源文库 】 = 语考试该如何改 ” 引起广泛关注 .为了解某地区学生和包括老师、家长在内的社会人士对高考英语改革的看法 ， 某媒体在该地区选择了 3 600 人进行调查 ， 就 “ 是否取消英语听力”问题进行了问卷调查统计，结果如下表： 态度 调查人

7、群 应该取消 应该保留 无所谓 在校学生 2 100 人 120 人 y 人 社会人士 600 人 x 人 z 人 已知在全体样本中随机抽取 1 人 ， 抽到持 “ 应该保留 ” 态度的人的概率为 0.05. (1)现用分层抽样的方 法在所有参与调查的人中抽取 360 人进行访谈 ， 问应在持 “ 无所谓 ” 态度的人中抽取多少人？ (2)在持 “ 应该保留 ” 态度的人中 ， 用分层抽样的方法抽取 6 人 ， 再平均分成两组进行深入交流 .求第一组中在校学生人数 的分布列和数学期望 . 解 (1)因为抽到持 “ 应该保留 ” 态度的人的概率为 0.05， 所以 120 x3 600 0.05

8、， 解得 x60. 所以持 “ 无所谓 ” 态度的人数为 3 600 2 100 120 600 60 720， 所以应在持 “ 无所谓 ” 态度的人中抽取 720 3603 600 72 人 . (2)由 (1)知持 “ 应该保留 ” 态度的一共有 180 人 ， 所以在所抽取的 6 人中 ， 在校学生为 120180 6 4 人 ， 社会人士为 60180 6 2 人 ， 于是第一组在校学生人数 1， 2， 3， P( 1) C14C22C36 15， P( 2)C24C12C36 35， P( 3) C34C02C36 15， 所以 的分布列为 1 2 3 P 15 35 15 所以 E

9、( ) 1 15 2 35 3 15 2. 10.(2017 郑州一模 )在 “ 出彩中国人 ” 的一期比赛中 ， 有 6 位歌手 (1 6)登台演出 ， 由现场百家大众媒体投票选出最受欢迎的出彩之星 ， 各家媒体独立地在投票器上选出 3 位出彩候选人 ， 其中媒体甲是 1 号歌手的歌迷 ， 他必选 1 号 ， 另在 2 号至 6 号中随机的选=【 ;精品教育资源文库 】 = 2 名；媒体乙不欣赏 2 号歌手 ， 他必不选 2 号；媒体丙对 6 位歌手的演唱没有偏爱 ， 因此在 1 至 6 号歌手中随机的选出 3 名 . (1)求媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率； (2)X

10、表示 3 号歌手得到媒体甲、乙、丙的票数之和 ， 求 X 的分布列及数 学期望 . 解 (1)设 A 表示事件： “ 媒体甲选中 3 号歌手 ” ， B 表示事件： “ 媒体乙选中 3 号歌手 ” ，C 表示事件： “ 媒体丙选中 3 号歌手 ” ， 则 P(A) C14C2525， P(B)C24C3535， 媒体甲选中 3 号且媒体乙未选中 3 号歌手的概率为 P(AB ) 25 ? ?1 35 425. (2)P(C) C25C3612， 由已知得 X 的可能取值为 0， 1， 2， 3， P(X 0) P(A B C ) ? ?1 25 ? ?1 35 ?1 12 325. P(X 1

11、) P(AB C ) P(A BC ) P(A B C) 25 ? ?1 35 ? ?1 12 ? ?1 25 35 ? ?1 12 ? ?1 25 ? ?1 35 12 1950， P(X 2) P(ABC ) P(AB C) P(A BC) 25 35 ? ?1 12 25 ? ?1 35 12 ? ?1 25 35 12 1950， P(X 3) P(ABC) 25 35 12 325， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 325 1950 1950 325 E(X) 0 325 1 1950 2 1950 3 325 32. 11.从装有除颜色外完全相同的 3 个白球和 m 个黑球

12、的布袋中随机摸取一球 ， 有放回地摸取 5 次 ， 设摸得白球数为 X， 已知 E(X) 3， 则 D(X) ( ) A.85 B.65 C.45 D.25 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解析 由题意 ， X B? ?5， 3m 3 ， 又 E(X) 5 3m 3 3， m 2， 则 X B? ?5， 35 ， 故 D(X) 5 35 ? ?1 35 65. 答案 B 12. (2017 南昌 调研 )袋中装有大小完全相同 ， 标号分别为 1， 2， 3，?， 9 的九个球 .现从袋中随机取出 3个球 .设 为这 3 个球 的标号相邻的组数 (例如：若取出球的标号为 3，4， 5， 则有两

13、组相邻的标号 3， 4 和 4， 5， 此时 的值是 2)， 则随机变量 的均值 E( )为 ( ) A.16 B.13 C.12 D.23 解析 依题意得 ， 的所有可能取值是 0， 1， 2. 且 P( 0) C37C39512， P( 1)C27 A22C39 12， P( 2) C17C39112， 因此 E( ) 0512 112 211223. 答案 D 13.马老师从课本上抄录一个随机变量 的分布列如下表： x 1 2 3 p( x) ？ ！ ？ 请小牛同学计算 的均值 .尽管 “ ！ ” 处完 全无法看清 ， 且两个 “ ？ ” 处字迹模糊 ， 但能断定这两个 “ ？ ” 处的

14、数值相同 .据此 ， 小牛给出了正确答案 E( ) _. 解析 设 “ ？ ” 处的数值为 x， 则 “ ！ ” 处的数值为 1 2x， 则 E( ) 1 x 2(1 2x) 3x x 2 4x 3x 2. 答案 2 14.计划在某水库建一座至多安装 3 台发电机的水电站 .过去 50 年的水文资料显示 ， 水库年入流量 X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和 ， 单位：亿立方米 )都在 40 以上 .其中 ， 不足 80 的年份有 10 年 ， 不低于 80 且不超过 120 的年份有 35 年 ， 超过 120 的年份有 5 年 .将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率 ， 并假设

15、各年的年入流量相互独立 . (1)求未来 4 年中 ， 至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率； (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行 ， 但每年发电机最多可运行台数受年入流量 X 限制 ， 并有如下关系： =【 ;精品教育资源文库 】 = 年入流量 X 40120 发电机最多可运行台数 1 2 3 若某台发电机运行 ， 则该台年利润为 5 000 万元；若某台发电机未运行 ， 则该台年亏损800 万元 .欲使水电站年总利润的均值达到最大 ， 应安装发电机多少台？ 解 (1)依题意， p1 P(40120) 550 0.1. 由二项分布 ， 在未来 4 年中至多有 1 年的年入流量超过 120 的概率为 p C04(1 p3)4 C14(1 p3)3p3 ? ?9104 4 ? ?9103 ? ?110 0.947 7. (2)记水电站年总利润为 Y(单位：万元 ). 安装 1 台发电机的情形 . 由于水库年入流量总大于 40， 故一台发电机运行的概率为 1， 对应的年利润 Y 5 000， E(Y) 5 000&#