材料力学第14章课件.ppt

1、.第第1414章章 梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介梁的纵横弯曲与弹性基础梁简介.l在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横在实际工程中，经常会遇到同时承受纵向载荷与横向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向载荷的杆件，如果杆件的抗弯刚度很大，或者纵向力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力向力很小，那么在小变形情况下，可以忽略纵向力在杆件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和在杆件横截面内产生的弯矩的影响，而按照拉压和弯曲组合变形问题进行分析。弯曲组合变形问题进行分析。l如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太如果杆件的抗弯刚度不是很大，而纵向力又不是太小，则小，则纵向力产生的附

2、加弯矩的影响一般是不能忽略纵向力产生的附加弯矩的影响一般是不能忽略的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线的，而且梁的变形、弯矩与纵向力的关系也不再是线性的性的，这类问题称为，这类问题称为纵横弯曲纵横弯曲。14.1 梁的纵横弯曲梁的纵横弯曲.受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为受轴向压力与横向载荷联合作用的直杆有时也称为梁柱。梁柱。1. 轴向压力与横向载荷联合作用的梁轴向压力与横向载荷联合作用的梁22d vEIMdx alx0PvlxlalQdxvdEI)(22lxalQxClABavPPyxQaxPvl . 记记 通解分别为通解分别为2kEIPxEIlQavkdxvd222al

3、x0EIlxlalQvkdxvd)(222lxalxPlQakxBkxAvsincosalx0PlxlalQkxDkxCv)(sincoslxal.u由两端挠度为零的边界条件，可以求出由两端挠度为零的边界条件，可以求出u 由由C截面的连续条件截面的连续条件xPlQakxBkxAvsincosalx0PlxlalQkxDkxCv)(sincoslxalDtgklCA , 0PlalQaalkalktgklDPlalQaalkB)()(sin)(cos)()(sinPlalQalkalktgklDkPlQaalB)()(cos)(sin)cos(.klPKkaQBsinsinPktgklalkQD

4、)(sinkxklPkaQkdxvdPlQakxklPkaQdxdvxPlQakxklPkkaQvsinsinsincossinsinsinsinsin22alx0)(sinsin)(sin)()(cossin)(sin)()()(sinsin)(sin22xlkklPalkQkdxvdPlalQxlkklPalkQdxdvxlPlalQxlkklPkalkQvlxal.2la 22lEIPklumax12xvv对于集中力对于集中力Q作用在跨度中点的特殊情况，作用在跨度中点的特殊情况，记记 3( )48QluEI33()( )tguuuu 放大系数放大系数333()()22248QklklQl

5、tguutgPkEIu.11sinsinsininniiiiikxxvQkaQ aPkklPlQ1xlABa1vPPyxQml-amQnan11sin ()()sin ()()sinmmiiiii ni nk lxlxQk laQ laPkklPl .例例14-1试分析受轴向压力与均匀载荷共同作用的简支试分析受轴向压力与均匀载荷共同作用的简支梁的变形，并计算最大弯矩。梁的变形，并计算最大弯矩。解解：22222d vqqlEIxxPvdx)(22222lxxEIqvkdxvdxlABvPPyxqA.通解为通解为2cossin()2qxqvAkxBkxlxPPkPkqA2klklPkqBsinco

6、s12)(2) 1sinsincos1(cos2xlPqxkxklklkxPkqv221(1)8cos2qqlklk PPu由两端挠度为零的边界条件，可求出由两端挠度为零的边界条件，可求出max2lxvv.)24521cos1(3845424maxuuuEIqlv0ABxdvdx )1cos1(2822maxuuqlM22lEIPklu同前，记同前，记 ，则，则 331243qltguuEIu3( )24qluEI.xlABvPPyxABMB例例14-2图示简支梁受轴向压力并在一端有集中力偶作图示简支梁受轴向压力并在一端有集中力偶作用，试分析其变形。用，试分析其变形。解解：xEIlMvkdxv

7、db222通解为通解为xPlMkxBkxAvbcossinklPMAbsin0B利用两端挠度为零的边界条件求得利用两端挠度为零的边界条件求得.)sinsin(lxklkxPMvb于是于是0Axdvdx1311()()3222bbBx lMM ldvkdxPltgklEIuutg u 1()sinbMkPkll311()6sin22bM lEIuuu( )6bM luEI( )3bM luEI .)212sin1(3)(uuuu311( )()222uuutg u)(3)(3utguuu放大系数放大系数.利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷利用叠加原理不仅可以解决轴向压力和多个横向载荷

8、共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁共同作用的静定梁问题，还可以求解相应的静不定梁问题。问题。 lABPPqxABPPyxqMoMo利用上两例结果，有利用上两例结果，有333()24qltguuEIuA0311()3222M lEIuutg u0311 ()6sin22M lEIuuu300( )( )( )2436M lM lqluuuEIEIEI.由由0A，得，得203 ( )122 ( )( )qluMuu .QxClABavPPyx2. 轴向拉力与横向载荷联合作用的梁轴向拉力与横向载荷联合作用的梁受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为受轴向拉力与横向载荷联合作用的直杆称为系杆

9、系杆或或系梁系梁 。PvxlQadxvdEI22alx022()()d vQ la lxEIPvdxl lxal 与受轴向压力的情况解法类似，可得与受轴向压力的情况解法类似，可得.kPlQashkxPkshklQshkavalx0PlxlalQxlshkPkshklalQshkv)()()(lxal)(3483321maxuthuuEIQlvvx421maxuthuQlMMx.在梁柱问题中以在梁柱问题中以- P代替代替P，以，以ki代替代替k，以，以ui代替代替u，并利用下列，并利用下列关系：关系：ithktgkichkkiishkki,cos,sin就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。

10、就可以得到相应的系杆问题的微分方程或者解。 .xlABvPPyxq例例14-3 试求图示均布横向载荷作用的系杆的最大挠试求图示均布横向载荷作用的系杆的最大挠度和两端转角。度和两端转角。解解：利用例14-1的结果，得 21()(1)2qchklqx lxvchkxshkxk PshklPPqlklchPkqvvlx8) 121(222max330)(324uthuuEIqldxdvxBA.14.2 弹性基础上的无限长梁弹性基础上的无限长梁 具有密集或连续弹性支撑特点的具有密集或连续弹性支撑特点的梁梁，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。，如铁路钢轨、船舶底板梁、房屋地基梁等。弹性基础梁弹性基础

11、梁 假设：假设：梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠梁上某一点的基础反力的集度与梁在该点的挠 度成正比度成正比。 （德国科学家（德国科学家E.Wenkler于于1867年提出。）年提出。）xv(x)xyq(x).1. 微分方程及其通解微分方程及其通解 xv(x)xyq(x)()(xkvxqr( )rq xk( )v x基础支反力基础支反力 弹性基础系数，量刚为弹性基础系数，量刚为力力/长度长度2 挠度挠度 .xv(x)xyq(x)(22xMdxvdEI)(22xqdxMd)(44xqdxvdEI)()(44xkvxqdxvdEI.44EIkEIxqxvdxxvd)()(4)(4440444

12、4vdxvd引进记号引进记号对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程对于没有分布载荷作用的一段梁，上式为齐次方程)()(44xkvxqdxvdEI.( )( cossin)(cossin)xxv xeAxBxeCxDx其通解为其通解为A、B、C、D为积分常数，由边界条件确定。为积分常数，由边界条件确定。04444vdxvd(14-31) .xyPvMQ2. 无限长梁无限长梁（1）受集中载荷作用的无限长梁）受集中载荷作用的无限长梁 ( )0 xv x依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。依对称性，仅研究原点右侧的一半即可。0 DC)sincos()(xBxAexvx0 xdxdvBA )sin

13、(cos)(xxAexvx.3300 xxd vEIQdx 38EIPA 3( )(cossin)8xPv xexxEI)sin(cos)(xxAexvx2P.3( )(cossin)8xPv xexxEImax0 xvvmax0 xMM22(sincos)4xd vPMEIexxdx 2sin4xdvPexdxEI 33cos2xd vPQEIexdx 2Pk4P(14-35) .1234(cossin)sin(cossin)cosxxxxexxexexxex113( )82PPv xEIk为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数为使梁得变形和内力表示简便，引进如下函数 3( )(cossi

14、n)8xPv xexxEI(sincos)4xPMexx2sin4xPexEI cos2xPQex 22Pk 34PM42PQ (14-37) (14-36) .212dxd32dxd432dxd14dxd .xyMoy（2）受集中力偶作用的无限长梁）受集中力偶作用的无限长梁 ( )0 xv x依挠度的反对称性，依挠度的反对称性，仅研究原点右侧的一仅研究原点右侧的一半即可。半即可。)sincos()(xBxAexvx00 xv00 xxEI vM 02M 0A204EIMB 02( )sin4xMv xexEI.303Mvk对于复杂载荷作用的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶对于复杂载荷作用

15、的情况，可以利用以上受集中力或集中力偶作用的两种结果，应用叠加原理求解。作用的两种结果，应用叠加原理求解。 0224MEI202Mk042MMEIv 012MQEIv .xyxlqAd例例14-4如图示，集度为如图示，集度为q、分布长度为、分布长度为l 的均布载荷作的均布载荷作用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠用在无限长的弹性基础梁上。试求梁的任意一点的挠度。度。解解：)sin(cos83eEIqddv.()2cos()cos2l xxqelxexk30( )(cossin)8xqdv xeEIxyxlqAd30(cossin)8l xqdeEI.xy2mAPPPP2m2mBCD例

16、例14-5弹性基础上的无限长梁受四个等值且等间距的弹性基础上的无限长梁受四个等值且等间距的集中力作用，如图示。梁为集中力作用，如图示。梁为20b20b工字钢，已知工字钢，已知E= =40MPa40MPa，I=2500cm=2500cm4 4，W=250cm=250cm3 3，基础系数，基础系数k= =30MPa30MPa 。若集中力。若集中力P= =100kN100kN，试求，试求B B截面的变形、内力及最大应力。截面的变形、内力及最大应力。解解：1489641 . 110250010200410304mEIk.以以B点为原点，根据图中各集力到点为原点，根据图中各集力到B点的距离求得函数值如下

17、表点的距离求得函数值如下表载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.00377根据根据(14-37)式和叠加原理，并考虑到式和叠加原理，并考虑到C、D处载荷在处载荷在B截面右侧，截面右侧，其产生的转角与剪力应改变符号，于是得其产生的转角与剪力应改变符号，于是得12BPvk31.64 10 m36100 101.1(0.0244 1 0.02440.1546)2 30 10 12Pk.22BPk 载荷作用点载荷作用点AB

18、CDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.0037754.71 10326100 101.1(0.089600.08960.01168)30 10 22Pk .34BPM载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.003773100 10( 0.1548 1 0.154

19、80.00791)4 1.1 15.87kN m34P.42BPQ 载荷作用点载荷作用点ABCDx2.202.24.410.024410.0244-0.154620.089600.0896-0.011683-0.15481-0.15480.007914-0.06521-0.0652-0.003773100 10( 0.0652 1 0.06520.00377)2 50.19kN 42P .B截面的最大弯曲正应力为截面的最大弯曲正应力为从从B截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有截面的变形和内力的计算过程可以看出，只有B点的集中力点的集中力影响最大，其他三个集中力的影响都比较小。影响最大，其他

20、三个集中力的影响都比较小。max()BBMW3615.87 10250 1063.48MPa.xyPMo3. 半无限长梁半无限长梁( )0 xv x0 DC)sincos()(xBxAexvx仍然利用通解仍然利用通解(14-31)式式2020 xd vEIMdx 031(),2APMEI202EIMB 积分常数积分常数A和和B可由梁左端的静力边界条件求出，即可由梁左端的静力边界条件求出，即330 xd vEIPdx .031( )cos(cossin)2xxv xPexM exxEI02202331( )(cossin)2cos21( )(cossin)sin)( )2sin(cossin)x

21、xxxxxdvxPexxM exdxEId vM xEIM exxPexdxd vQ xEIPexPexxdx .40321040120232()2(2)1()2vPMkPMkMMPQMP 采用采用(14-36)式的函数表达式，上式还可写成式的函数表达式，上式还可写成 (14-44) 利用利用(14-44)式并应用叠加原理，就可以解决半无限长梁的较复杂式并应用叠加原理，就可以解决半无限长梁的较复杂的问题。的问题。 002(),xvPMk 2002(2)xPMk.RMoxyqq/k例例14-6在弹性基础上有一受均匀载荷作用的半无限长在弹性基础上有一受均匀载荷作用的半无限长梁，梁的左端固定，如图所

22、示。试求固定端反力和任梁，梁的左端固定，如图所示。试求固定端反力和任意一点的挠度意一点的挠度 。解解：根据根据(14-44)式之第一式并应用叠加原理，式之第一式并应用叠加原理，kqMRkxv)(2)(30400,xv00 xv,qR022qM 由边界条件由边界条件.43( )(12)qv xk1(1)qk1(cossin)xqexxk.MaxyPaQaxxyPaxyMaQa例例14-7半无限长梁上作用一集中力半无限长梁上作用一集中力P，P距左端的长距左端的长度为度为a a，如图示。试求梁的挠度表示式，如图示。试求梁的挠度表示式 。解解：+=4()2aPQa)(43aPMa(14-37) .14

23、433( ) ()2() ()() ()2Pv xxaxaaxak 1( )()2Pv xxk 44332() ()() ()24PPaxaaxak MaxyPaQax(14-37) (14-44) xyMaQa4()2aPQa)(43aPMa4032()vPMk .14.3 弹性基础上的有限长梁弹性基础上的有限长梁)sincos()sincos()(xDxCexBxAexvxx1.克雷洛夫函数克雷洛夫函数 xech xsh x)()()()()(44332211xYCxYCxYCxYCxvxech xsh x.)cossin(41)(sin21)()cossin(21)(cos)(4321x

24、xshxxchxYxxshxYxxshxxchxYxxchxY142132434()()()()YYxYYxYYxYYx 21322423124244YYYYYYYY 312323334341444YYYYYYYY 0)0()0()0(, 1)0(4321YYYY克雷洛夫克雷洛夫函数函数(14-49) .2. 用初参数表示的齐次微分方程的通解用初参数表示的齐次微分方程的通解 01002020303040 xxxxvvCvCMEI vEICQEI vEIC )()()()()(4303202010 xYEIQxYEIMxYxYvxv初参数初参数 (14-53) .M0 xyPdQ0l3. 用初参

25、数法解有限长梁用初参数法解有限长梁 (1)受集中力作用的有限长梁受集中力作用的有限长梁 1( ) (),v xfxddxl)(dxf 集中力集中力P产生的附加挠度产生的附加挠度(14-54) 00010 123423( )()()()(), 0MQv xv YxYxYxYxxdEIEI00020 123423( )()()()() ()MQv xv YxYxYxYxfxdEIEI.)()()(12xvxvdxf也应满足相同的齐次微分方程，故也应满足相同的齐次微分方程，故 1 1223 344 ()C ()C ()C ()C ()fxdYxdYxdYxdYxd12221212x dx dx dx

26、 dx dx dx dx dvvvvEIvEIvEIvEIvP 10c 20c 30c 43PcEI)()(43dxYEIPdxf.(14-57) 0000 12342343( )()()()() ()x dMQv xv YxYxYxYxEIEIPYxdEI.M0 xycQ0lMc(2)受集中力偶作用的有限长梁受集中力偶作用的有限长梁 00010 123423211 1223 344( )()()()(), 0( )( ) () ()C ()C () C ()C ()MQv xv YxYxYxYxxcEIEIv xv xgxccxlgxcYxcYxcYxcYxc.12221212x cx cx

27、 dx ccx cx cx cx cvvvvEIvEIvMEIvEIv 124320cCCCMCEI 0000 12342332( )()()()() ()cx cMQv xv YxYxYxYxEIEIMYxcEI(14-60) .xyblaq(x)(3)受分布载荷作用的有限长梁受分布载荷作用的有限长梁 挠度表达式为挠度表达式为(14-53)式；式； bxa0 xa0000 123423( )()()()()MQv xv YxYxYxYxEIEI：431( ) ()xaqYxdEI.M0 xyQ0q(x)blalxb00030 123423( )()()()()MQv xv YxYxYxYxE

28、IEI：431( ) ()xaqYxdEI431( ) ()xbqYxdEI.M0 xyQ0q(x)bla可将三段挠度统一表示成可将三段挠度统一表示成 0000 1234234433( )()()()()11( ) ()( ) ()xxabx ax bMQv xv YxYxYxYxEIEIqYxdqYxdEIEI(14-63) .M0 xybQ0aq(x)cPMcdl0000 12342344333423( )()()()()11( ) ()( ) () () ()xxabx ax bcx cx dMQv xv YxYxYxYxEIEIqYxdqYxdEIEIMPYxcYxdEIEI(14-6

29、5) .xyPl例例14-8弹性基础上的有限长梁左端受集中力作用，试弹性基础上的有限长梁左端受集中力作用，试求梁的弯矩方程和剪力方程。求梁的弯矩方程和剪力方程。解解：00,M PQ0，代入式（，代入式（14-53），有），有 )()()()(432010 xYEIPxYxYvxv.0)()(lQlM再由右端边界条件再由右端边界条件 PklYlYlYlYlYlYlYPklYlYlYlYlYlYlYv24223422310422341320)()()()()()()()()()()()()()(将将(14-67)式代回式代回(14-66)式即得梁的弯矩方程和剪力方程。式即得梁的弯矩方程和剪力方程。

30、 (14-67) )()()()()()()()(1330202430320 xPYxYkxYkvxQxYPxYkxYkvxM(14-66) .例例14-9例例14-814-8中，设梁长中，设梁长l=2m=2m，抗弯刚度，抗弯刚度 EI= =30MPa30MPa，弹性地基系数弹性地基系数k= =8MPa8MPa，P= =30kN30kN。试求解梁的剪力和弯。试求解梁的剪力和弯矩。矩。解解：146640 . 110241084mEIklY1(l)Y2(l)Y3(l)Y4(l)2.0-1.56560.95581.64901.2325代入代入(14-67)式，求得式，求得.代入代入(14-66)式，

31、求得式，求得PxYxYxYxMPxYxYxYxQ)()(2679. 2)(2747. 2)()()(2679. 2)(2747. 2)(2434320222020.9558 1.6490 1.5656 1.23252.2747(1.6490)0.9558 1.23251.5656 1.6490(0.9558)2.26790.9558 1.2325(1.6490)vPPkkPPkk .xyP=30kN0.5m0.5m0.5m0.5mM/ kNm6.558.107.842.35Q/ kN0.65m7.337.964.1330.xyPl /2l /2例例14-10弹性基础上的有限长梁的中点有一集中力

32、作弹性基础上的有限长梁的中点有一集中力作用（如图），试求梁的中点与端点的挠度。用（如图），试求梁的中点与端点的挠度。解解：2, 000PQ代入代入(14-53)式，有式，有)()()()(43032010 xYEIQxYEIMxYvxv0, 0,23322dxvddxvdlx将将代入上式求得代入上式求得 .2)2()2()2()2(4)2()2()2()2()2()2()2()2(4)2()2()2(42143314220214321420PlYlYlYlYlYlYlYlYMkPlYlYlYlYlYlYlYvmax0max04sincos2sin2cosMPllshllchMvkPllshll

33、chv由由(14-49) .kPllshllchvvvlxBA2sin2cos222cos22cos40llchlchlvvA讨论：讨论：10vvA099.6%Avv即梁的抗弯刚度即梁的抗弯刚度EI很大或梁很短因而很大或梁很短因而l很小时，梁好像刚体很小时，梁好像刚体一样，各点几乎均匀沉陷，沉陷量为一样，各点几乎均匀沉陷，沉陷量为P/lk，相当于集度为，相当于集度为P/l的的均布载荷作用于整个梁上产生的基础沉陷。这类梁称为均布载荷作用于整个梁上产生的基础沉陷。这类梁称为短梁短梁。（1）当）当 时，时，0l；当；当 时，时，0.6l.（2）当）当 时，时，5l4009. 1,2044. 10ma

34、x0maxPMMkPvv对比受集中力作用的无限长梁相应的解（式对比受集中力作用的无限长梁相应的解（式(14-35)） 4,2maxmaxPMkPv不难看出，按有限长梁与无限长梁计算的最大挠度和最大弯矩不难看出，按有限长梁与无限长梁计算的最大挠度和最大弯矩分别仅相差分别仅相差 4.4% 和和 0.9%。在这种情况下，按无限长梁计算的。在这种情况下，按无限长梁计算的结果是可以满足工程要求的结果是可以满足工程要求的(误差误差5%)。 .6 . 0l56 . 0l5l根据以上讨论的结果，按照根据以上讨论的结果，按照l的值，对弹性基础梁可以这样的值，对弹性基础梁可以这样划分：划分：有限长梁：有限长梁：无限长梁：无限长梁：短梁：短梁：