2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破一 高考中的导数应用问题 【考点自测】 1若函数 f(x) 2sin x(x0 ， ) 的图像在点 P 处的切线平行于函数 g(x) 2 x? ?x3 1 的图像在点 Q 处的切线，则直线 PQ 的斜率为 ( ) A.83 B 2 C.73 D. 33 答案 A 解析 f( x) 2cos x 2,2， g( x) x 1x2( 当且仅当 x 1 时取等号 ) 当两函数的切线平行时， xp 0， xQ 1. 即 P(0,0)， Q? ?1， 83 ， 直线 PQ 的斜率为 83. 2 (2017 全国 ) 若 x 2 是函数 f(x) (x2 ax

2、 1)e x 1的极值点，则 f(x)的极小值为( ) A 1 B 2e 3 C 5e 3 D 1 答案 A 解析 函数 f(x) (x2 ax 1)ex 1， 则 f( x) (2x a)ex 1 (x2 ax 1)ex 1 ex 1 x2 (a 2)x a 1 由 x 2 是函数 f(x)的极值点，得 f( 2) e 3(4 2a 4 a 1) ( a 1)e 3 0， 所以 a 1. 所以 f(x) (x2 x 1)ex 1， f( x) ex 1( x2 x 2) 由 ex 1 0 恒成立，得当 x 2 或 x 1 时， f( x) 0，且当 x 2 时， f( x) 0；当2 x 1

3、 时， f( x) 0； 当 x 1 时， f( x) 0. 所以 x 1 是函数 f(x)的极小值点 所以函数 f(x)的极小值为 f(1) 1. 故选 A. =【 ;精品教育资源文库 】 = 3设 f(x)， g(x)在 a， b上可导，且 f( x)g( x)，则当 ag(x) B f(x)g(x) f(a) D f(x) g(b)g(x) f(b) 答案 C 解析 f( x) g( x)0， ( f(x) g(x)0 ， f(x) g(x)在 a， b上是增函数， 当 af(a) g(a)， f(x) g(a)g(x) f(a) 4若函数 f(x) 2x3 3mx2 6x 在区间 (2

4、， ) 上是增加的，则实数 m 的取值范围为_ 答案 ? ? ， 52 解析 f( x) 6x2 6mx 6， 当 x(2 ， ) 时， f( x)0 恒成立， 即 x2 mx 10 恒成立， m x 1x恒成立 令 g(x) x 1x， g( x) 1 1x2， 当 x2 时， g( x)0，即 g(x)在 (2， ) 上是 增加的， m2 12 52. 5 (2017 江苏 )已知函数 f(x) x3 2x ex 1ex，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a 1)f(2a2)0 ，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ? ? 1， 12 解析 因为 f( x) ( x)3 2( x) e

5、x 1e x x3 2x ex 1ex f(x)， 所以 f(x) x3 2x ex 1ex是奇函数 因为 f(a 1) f(2a2)0 ， 所以 f(2a2) f(a 1)，即 f(2a2) f(1 a) 因为 f( x) 3x2 2 ex e x3 x2 2 2 exe x =【 ;精品教育资源文库 】 = 3x20 ，当且仅当 x 0 时 “ ” 成立， 所以 f(x)在 R 上是增加的， 所以 2a21 a，即 2a2 a 10 ，所以 1 a 12. 题型一 利用导数研究函数性质 例 1 (2018 沈阳质检 )设 f(x) xln x ax2 (2a 1)x， a R. (1)令

6、g(x) f( x)，求 g(x)的单调区间； (2)已知 f(x)在 x 1 处取得极大值，求实数 a 的取值范围 解 (1)由 f( x) ln x 2ax 2a， 可得 g(x) ln x 2ax 2a， x(0 ， ) ， 所以 g( x) 1x 2a 1 2axx . 当 a0 ， x(0 ， ) 时， g( x) 0，函数 g(x)是增加的； 当 a 0， x ? ?0， 12a 时， g( x) 0，函数 g(x)是增加的， x ? ?12a， 时， g( x) 0，函数 g(x)是减少的 所以当 a0 时，函数 g(x)的递增区间为 (0， ) ； 当 a 0 时，函数 g(x

7、)的递增区间为 ? ?0， 12a ， 递减区间为 ? ?12a， . (2)由 (1)知， f(1) 0. 当 a0 时， f( x)是增加的， 所以当 x(0,1) 时， f( x) 0， f(x)是减少的， 当 x(1 ， ) 时， f( x) 0， f(x)是增加的， 所以 f(x)在 x 1 处取得极小值，不符合题意； 当 0 a 12，即 12a 1 时，由 (1)知 f( x)在 ? ?0， 12a 是增加的 可得当 x(0,1) 时， f( x) 0， 当 x ? ?1， 12a 时 ， f( x) 0. 所以 f(x)在 (0,1)上是减少的，在 ? ?1， 12a 上是增加

8、的 =【 ;精品教育资源文库 】 = 所以 f(x)在 x 1 处取得极小值，不符合题意； 当 a 12，即 12a 1 时， f( x)在 (0,1)上是增加的， 在 (1， ) 上是减少的， 所以当 x(0 ， ) 时， f( x)0 ， f(x)是减少的，不符合题意； 当 a 12，即 0 12a 1 时， 当 x ? ?12a， 1 时， f( x) 0， f(x)是增加的， 当 x(1 ， ) 时， f( x) 0， f(x)是减少的 所以 f(x)在 x 1 处取得极大值，符合题意 综上可知，实数 a 的取值范围为?a? a 12 . 思维升华 利用导数主要研究函数的单调性、极值、

9、最值已知 f(x)的单调性，可转化为不等式 f( x)0 或 f( x) 0 在单调区间上恒成立问题；含参函数的最值问题是高考的热点题型，解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论，此时要注意结合导函数图像的性质进行分析 跟踪训练 1 已知 a R，函数 f(x) ( x2 ax)ex (x R， e 为自然对数的底数 ) (1)当 a 2 时，求函数 f(x)的递增区间； (2)若函数 f(x)在 ( 1,1)上是增加的，求 a 的取值范围 解 (1)当 a 2 时， f(x) ( x2 2x)ex， 所以 f( x) ( 2x 2)ex ( x2 2x)ex ( x2 2)ex. 令

10、f( x)0， 即 ( x2 2)ex0，因为 ex0， 所以 x2 20，解得 20，所以 x2 (a 2)x a0 对 x( 1,1)都成立， 即 a x2 2xx 1 ?x 1?2 1x 1 =【 ;精品教育资源文库 】 = (x 1) 1x 1对 x( 1,1)都成立 令 y (x 1) 1x 1，则 y 1 1?x 1?20. 所以 y (x 1) 1x 1在 ( 1,1)上是增加的， 所以 y0. (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)若函数 f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点，求 a 的取值范围 解 (1)f( x) x2 (1 a)x a (x 1)(x a) 由

11、f( x) 0，得 x 1 或 x a(a0) 当 x 变化时， f( x)， f(x)的变化情况如下表： x ( ， 1) 1 ( 1， a) a (a， ) f( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 故函数 f(x)的递增区间是 ( ， 1)， (a， ) ； 递减区间是 ( 1， a) (2)由 (1)知 f(x)在区间 ( 2， 1)上是增加的， 在区间 ( 1,0)上是减少的， 从而函数 f(x)在区间 ( 2,0)内恰有两个零点， 当且仅当? f? 2?0，f?0?0. (1)求 f(x)的单调区间和极 值； (2)证明：若 f(x)存在零点，则 f(x)在区间 (1， e上仅

12、有一个零点 (1)解 函数的定义域为 (0， ) 由 f(x) x22 kln x(k0)，得 f( x) xkxx2 kx . 由 f( x) 0，解得 x k(负值舍去 ) f( x)与 f(x)在区间 (0， ) 上随 x 的变化情况如下表： x (0， k) k ( k， ) f( x) 0 f(x) k?1 ln k?2 所以， f(x)的递减区间是 (0， k)， 递增区间是 ( k， ) f(x)在 x k处取得极小值 f( k) k?1 ln k?2 ，无极大值 (2)证明 由 (1)知， f(x)在区间 (0， ) 上的最小值为 f( k) k?1 ln k?2 . 因为 f

13、(x)存在零点，所以 k?1 ln k?2 0 ，从 而 ke ， 当 k e 时， f(x)在区间 (1， e上是减少的且 f( e) 0， 所以 x e是 f(x)在区间 (1， e上的唯一零点； 当 ke 时， f(x)在区间 (1， e上是减少的且 f(1) 120， f( e) e k2 0)， f(1) a b 0， f(e) ae2 b(e 1) a(e2 e 1) e2 e 1， a 1， b 1. (2)证明 f(x) x2ln x x 1， f(x) (x 1)2 x2ln x x x2， 设 g(x) x2ln x x x2(x1) ， 则 g( x) 2xln x x

14、1. 由 (g( x) 2ln x 10，得 g( x)在 1， ) 上是增加的， g( x) g(1) 0， g(x)在 1， ) 上是增加的， g(x) g(1) 0. f(x)( x 1)2. (3)解 设 h(x) x2ln x x m(x 1)2 1(x1) ， 则 h( x) 2xln x x 2m(x 1) 1， 由 (2)知 x2ln x( x 1)2 x 1 x(x 1)， xln x x 1， h( x)3( x 1) 2m(x 1) (3 2m)(x 1) 当 3 2m0 ，即 m 32时， h( x)0 ， h(x)在 1， ) 上是增加的， h(x) h(1) 0 成

15、立 当 3 2m32时， h( x) 2xln x (1 2m)(x 1)， (h( x) 2ln x 3 2m， 令 (h( x) 0，得 x0 e2m 32 1， 当 x1 ， x0)时， h( x)是减少的，则 h( x) h(1) 0， h(x)在 1， x0)上是减少的， h(x) h(1) 0，即 h(x)0 不成立 综上， m 32. 思维升华 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题，一般常用分离参数的方法，但是=【 ;精品教育资源文库 】 = 如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值，或者求解其函数最值较烦琐时，可采用直接构造函数的方法求解 跟踪训练 3 已知函数 f(x) x3 2x2 x a， g(x) 2x 9x，若对任意的 x1 1,2，存在 x22,4 ，使得 f(x1) g(x2)，则实数 a 的取值范围是 _ 答案 ? ? 74， 32 解析 问题等价于 f(x)的值域是 g(x)的值域的子集， 显然， g(x)是减少的， g(x)max g(2) 12， g(x)min g(4) 234 ； 对于 f(x)，