2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2第2课时利用导数研究函数的极值最值学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数求解函数极值问题 命题点 1 根据函数图像判断极值 典例 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y (1 x)f( x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由题图可知，当 x0； 当 22 时， f( x)0. 由此可以得到函数 f(x

2、)在 x 2 处取得极大值， 在 x 2 处取得极小值 命题点 2 求函数的极值 典例 (2018 深圳调研 )设函数 f(x) ln(x 1) a(x2 x)，其中 a R.讨论函数 f(x)极值点的个数，并说明理由 解 f( x) 1x 1 a(2x 1) 2ax2 ax a 1x 1 (x 1) 令 g(x) 2ax2 ax a 1， x( 1， ) 当 a 0 时， g(x) 1， 此时 f( x)0，函数 f(x)在 ( 1， ) 上是增加的，无极值点 当 a0 时， a2 8a(1 a) a(9a 8) =【 ;精品教育资源文库 】 = a当 089时， 0， 设方程 2ax2 a

3、x a 1 0 的两根为 x1， x2(x1 14. 由 g( 1) 10，可得 10， f( x)0，函数 f(x)是增加的； 当 x( x1， x2)时， g(x)0， f( x)0，函数 f(x)是增加的 因此函数有两个极值点 当 a0，由 g( 1) 10， 可得 x10， f( x)0，函数 f(x)是增加的； 当 x( x2， ) 时， g(x)89时，函数 f(x)有两个极值点 命题点 3 根据极值求参数 典例 (1)(2017 沧州模拟 )若函数 f(x) x3 2cx2 x 有极值点，则实数 c 的取值范围为_ 答案 ? ? ， 32 ? ?32 ， 解析 f( x) 3x2

4、 4cx 1， 由 f( x) 0 有两个不同的根， 可得 ( 4c)2 120， c 32 或 c2.由 f( x) 0 在 ? ?12， 3 内有根，得 a x 1x在 ? ?12， 3 内有解，又 x 1x ? ?2， 103 ，所以 2 a0， 当 01 时， f( x)0， x 0,1， 1 都是 f(x)的 极值点 (2)(2017 湖南湘潭一中、长沙一中等六校联考 )若函数 f(x) ax22 (1 2a)x 2ln x(a0)在区间 ? ?12， 1 内有极大值，则 a 的取值范围是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.? ?1e， B (1， ) C (1,2) D

5、 (2， ) 答案 C 解析 f( x) ax (1 2a) 2x ax2 ?2a 1?x 2x (a0， x0)，若 f(x)在区间 ?12， 1 内有极大值， 即 f( x) 0 在 ? ?12， 1 内有解 则 f( x)在区间 ? ?12， 1 内先大于 0，再小于 0， 则? f?12 0，f ?1?0，a ?2a 1? 20，由 ke， 则 x 1k0，得 1e xa，则实数 a的取值范围是 _ 答案 ? ? ， 72 解析 由题意知， f( x) 3x2 x 2， 令 f( x) 0，得 3x2 x 2 0， 解得 x 1 或 x 23， 又 f(1) 72， f ? ? 23

6、15727 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = f( 1) 112 ， f(2) 7， 故 f(x)min 72， a0)的导函数 y f( x)的两个零点为 3和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为 e3，求 f(x)在 区间 5， ) 上的最大值 解 (1)f( x) ?2ax b?ex ?ax2 bx c?ex?ex?2 ax2 ?2a b?x b cex . 令 g(x) ax2 (2a b)x b c， 因为 ex0，所以 y f( x)的零点就是 g(x) ax2 (2a b)x b c的零点且 f( x)与 g(x)符号相同 又因为 a0，所以当

7、 30，即 f( x)0， 当 x0 时， g(x)5 f(0)， 所以函数 f(x)在区间 5， ) 上的最大值是 5e5. =【 ;精品教育资源文库 】 = 思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 (2)求函数在无穷区间 (或开区间 )上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值 跟踪训练 若函数 f(x) 13x3 x2 23在区间 (a， a 5)上存在最小值，则实数 a 的取值范围是( ) A 5,0) B ( 5,0) C 3,0) D ( 3,0) 答案 C 解析 由

8、题意，得 f( x) x2 2x x(x 2)， 故 f(x)在 ( ， 2)， (0， ) 上是增加的， 在 ( 2,0)上是减少的，作出其图像如图所示， 令 13x3 x2 23 23，得 x 0 或 x 3，则结合图像可知， ? 3 a 0，a 50， 解得 a 3,0) 利用导数求函数的最值 典例 (12 分 )已知函数 f(x) ln x ax(a R) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时，求函数 f(x)在 1,2上的最小值 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f( x)0， f( x)0)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0 时，

9、f( x) 1x a0，即函数 f(x)的递增区间为 (0， ) 2 分 当 a0 时，令 f( x) 1x a 0，可得 x 1a， 当 00； 当 x1a时， f( x) 1 axx 0 时，函数 f(x)的递增区间为 ? ?0， 1a ，递减区间为 ? ?1a， .5 分 (2) 当 1a1 ，即 a1 时，函数 f(x)在区间 1,2上是减少的，所以 f(x)的最小值是 f(2) ln 2 2a.6 分 当 1a2 ，即 01 时， f( x)0， f(x)在 x 1 处取得极小值故选 C. 4记函数 f(x) x 3 12 3x的最大值为 M，最小值为 m，则 M mM m的值为 (

10、 ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A.13 B.34 C.35 D.23 答案 A 解析 由已知，得? x 30 ，12 3x0 ， 解得 3 x4 ，所以函数 f(x) x 3 12 3x的定义域是 3,4求导，得 f( x) 12 x 3 32 12 3x，令 f( x) 0，得 x 134 ，当 x ? ?3， 134时， f( x)0，当 x ? ?134 ， 4 时， f( x)1， f(4) 1，所以 m f(4) 1，所以 M mM m 2 12 1 13. 5已知函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x 1 处有极值 10，则 f(2)等于 ( ) A 11 或 1

11、8 B 11 C 18 D 17 或 18 答案 C 解析 函数 f(x) x3 ax2 bx a2在 x 1 处有极值 10， f(1) 10，且 f(1) 0，又f( x) 3x2 2ax b， ? 1 a b a2 10，3 2a b 0， 解得 ? a 3，b 3 或 ? a 4，b 11. 而当? a 3，b 3 时，函数在 x 1 处无极值，故舍去 f(x) x3 4x2 11x 16， f(2) 18. 6 (2017 河北三市二联 )若函数 f(x) 13x3 ? ?1 b2 x2 2bx 在区间 3,1上不是单调函数，则函数 f(x)在 R 上的极小值为 ( ) A 2b 43 B.32b 23 C 0 D b2 16b3 答案 A 解析 f( x) x2 (2 b)x 2b (x b)(x 2)， 函数 f(x)在区间 3,1上不是单调函数， 30，得 x2， 由 f( x)0，得 bx2， 函数 f(x)的极小值为 f(2) 2b 43.