有限脉冲响应数字滤波器设计课件.pptx

1、第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计学习目标学习目标1.掌握线性相位掌握线性相位FIR数字滤波器的特点数字滤波器的特点2.掌握窗函数设计法掌握窗函数设计法3.了解频率抽样设计法了解频率抽样设计法4.了解了解FIR滤波器与滤波器与IIR滤波器的比较滤波器的比较第1页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计IIR滤波器的优缺点滤波器的优缺点IIR数字滤波器的优点：数字滤波器的优点： 可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波可以利用模拟滤波器设计的结果，而模拟滤波器的设计有大量图表可查，方便简单。器的设计有大量图表可查，方便简单

2、。IIR数字滤波器的缺点：数字滤波器的缺点： 相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位的非线性，将引起频率的色散，若须线性相位，则要采用全通网络进行相位校正相位，则要采用全通网络进行相位校正,使滤波器使滤波器设计变得复杂，成本也高。设计变得复杂，成本也高。第2页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计FIR滤波器优点滤波器优点*H(z)永远稳定永远稳定:设设FIR滤波器单位冲激响应滤波器单位冲激响应h(n)长度为长度为N，其系统函数，其系统函数H(z)为：为： H(z)是是z-1的的N-1次多项式次多项式，它在，它在z平面上有平面上有N-1个零点个零

3、点，原点，原点z=0是是N-1阶重极点阶重极点。 因此，因此，H(z)永远稳定。永远稳定。稳定和线性相位特性是稳定和线性相位特性是FIR滤波器突出的优点滤波器突出的优点*可以做到严格线性相位可以做到严格线性相位*可以具有任意的幅度特性可以具有任意的幅度特性10( )( )NnnH zh n z第3页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计为何要设计为何要设计FIRFIR滤波器滤波器（1）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，）语音处理，图象处理以及数据传输要求线性相位，任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性）而任意幅度。（即要求信道具有线性相位特性

4、）而FIR数数字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任字滤波器具有严格的线性相位，而且同时可以具有任意的幅度特性。意的幅度特性。（2)另外另外FIR数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，数字滤波器的单位抽样响应是有限长的，因而滤波器一定是稳定的，只要经过一定的延时，任因而滤波器一定是稳定的，只要经过一定的延时，任何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。何非因果有限长序列都变成因果的有限序列。（3)FIR可以用可以用FFT算法来实现过滤信号。算法来实现过滤信号。第4页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计FIR DF设计设计任务、任务、设计方法、设计

5、思路设计方法、设计思路设计思路设计思路: 根据设计指标，求出所选运算结构要求的根据设计指标，求出所选运算结构要求的h(n)或或H(z)： 线性卷积和快速卷积型结构，求线性卷积和快速卷积型结构，求FIR DF的的h(n). 级联和频率采样型结构，求级联和频率采样型结构，求FIR DF 的的H(z).设计方法设计方法: *窗口设计法窗口设计法 *频率采样设计法频率采样设计法 *切比雪夫等波纹逼近法切比雪夫等波纹逼近法 X *计算机辅助设计法计算机辅助设计法 X设计任务：设计任务： 选择有限长度的选择有限长度的h(n) ，使传输特性，使传输特性H(ej )满足技术指标要求满足技术指标要求第5页/共2

6、61页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计7.1 线性相位线性相位FIR数字滤波器的条件和特点数字滤波器的条件和特点 内容：内容： FIR滤波器具有线性相位的条件及幅滤波器具有线性相位的条件及幅度特性以及零点、网络结构的特点。度特性以及零点、网络结构的特点。第6页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计Hg()称为幅度特性；称为幅度特性； ( ) 称为相位特性。称为相位特性。1.线性相位滤波器线性相位滤波器 -线性相位概念线性相位概念10()( )Njj nnH eh n e(7.1.1) (7.1.2) ()()( )j

7、jgH eHe 系统的单位脉冲响应系统的单位脉冲响应h(n) 长度为长度为N，系统传输函数为：，系统传输函数为：第7页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（1） 幅度特性幅度特性Hg() ()()( )jjgH eHe 注意：注意：Hg()不同于不同于|H(ej)|,区别区别: *Hg()为为的实函数，是标量函数，可以包括正值、负的实函数，是标量函数，可以包括正值、负值和零值和零; * |H(ej)|总是正值，总是正值， 而且是而且是的偶对称函数和周期函数。的偶对称函数和周期函数。 两者在某些两者在某些值上相位相差值上相位相差第8页/共261页第第7

8、章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（A）H(ej)线性相位是指线性相位是指 ( )是是的线性函数的线性函数，即 ( ), :群时延群时延,为常数为常数 (7.1.3)（B） 如果如果()满足下式：满足下式： ( ) + 0, 0是起始相位是起始相位 (7.1.4) 严格地说，此时严格地说，此时()不具有线性相位，但以上两种情况不具有线性相位，但以上两种情况都满足群时延是一个常数，也称这种情况为线性相位。都满足群时延是一个常数，也称这种情况为线性相位。( )dd （2）相位特性）相位特性()()()( )jjgH eHe ( ) ： 第一类线性相位；第一类线性相位；A

9、类类 ( ) + 0 ：第二类线性相位：第二类线性相位; B类类(group delay)为群延迟函数为群延迟函数0=/2是第二类线性相位特性常用的情况，所以本章仅介绍这种情况是第二类线性相位特性常用的情况，所以本章仅介绍这种情况第9页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 线性相位线性相位FIR滤波器的时域约束条件是指满足滤波器的时域约束条件是指满足线性相位时，对线性相位时，对h(n)的约束条件。的约束条件。 一般要求是一般要求是h(n)实序列实序列。2. 线性相位线性相位FIR的时域约束条件的时域约束条件第10页/共261页第第7章章 有限脉冲响应

10、数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计由式（7.1.5）得到:1g01g0( )cos( )cos ( )sin( )sinNnNnHh nnHh nn第一类线性相位第一类线性相位FIR数字滤波器的相位函数数字滤波器的相位函数 ()= (7.1.6)（7.1.5） 1jjjg0(e)( )e()e NnnHh nH1g0( )(cosjsin)()(cosjsin) Nnh nnnH1) 第一类线性相位对第一类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件第11页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计移项并用三角公式化简得到:10( )sin ()0Nn

11、h nn1100( )cossin( )sincosNNnnh nnh nn将（将（7.1.6）式中两式相除得到：）式中两式相除得到：1010( )coscossin( )sinNnNnh nnh nn 函数函数h(n)sin(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N1)/2奇对称奇对称，是满足（7.1.7）式的一组解。 因为sin(n)关于n =奇对称，如果取=(N1)/2，则要求h(n)关于关于(N1)/2偶对称偶对称。即即（7.1.7）第12页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.1.8） 如果要求单位脉冲响应为如果要求单位脉冲响应为h

12、(n)、长度为、长度为N的的FIR数数字滤波器具有字滤波器具有第一类线性相位特性第一类线性相位特性（严格线性相位特（严格线性相位特性），则性），则h(n)应当关于应当关于n=(N1)/2点偶对称点偶对称。 当当N确定时，确定时，FIR数字滤波器的相位特性是一个确数字滤波器的相位特性是一个确知的线性函数，知的线性函数，即即()=(N1)/2。 N为奇数和偶数时为奇数和偶数时, h(n)的对称情况分别如表的对称情况分别如表7.1.1中中的情况的情况1和情况和情况2所示。所示。1( ) , 2( )(1), 01Nh nh NnnN 第13页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉

13、冲响应数字滤波器的设计表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览 第一类线性相位第一类线性相位第14页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计第二类线性相位第二类线性相位FIR数字滤波器的相位函数数字滤波器的相位函数 ()= /2 1jjj( /2)g0(e)( )e( )eNnnHh nH10( )cos ()0Nnh nn函数函数h(n)cos(n)关于求和区间的中心关于求和区间的中心(N1)/2奇对称，奇对称，是满足式（是满足式（7.1.9）的一组解，因为）的一组解，因为cos(n)关于关于n=偶对称偶对称，则要求，则要求h(n)关

14、于关于(N1)/2奇对称奇对称。（7.1.9）2) 第二类线性相位对第二类线性相位对h(n)的约束条件的约束条件第15页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计（7.1.10） 如果要求单位脉冲响应为如果要求单位脉冲响应为h(n)、长度为、长度为N的的FIR数字滤波器具有数字滤波器具有第二类线性相位特性第二类线性相位特性，则，则h(n)应当关应当关于于n=(N1)/2点奇对称点奇对称。 N为奇数和偶数时为奇数和偶数时h(n)的对称情况分别如表的对称情况分别如表7.1.1中中情况情况3和情况和情况4所示。所示。1( ) , 22( )(1), 01Nh n

15、h NnnN 第16页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计表7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的时域和频域特性一览 第二类线性相位第二类线性相位第17页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 设h(n)为实序列，将时域约束条件h(n)=h(Nn1)代入式（7.1.1），即可推导出线性相位条件对FIR数字滤波器的幅度特性Hg()的约束条件。 当N取奇数和偶数时对Hg()的约束不同，因此，对于两类线性相位特性，分四种情况讨论其幅度特性的特点。这些特点对正确设计线性相位FIR数字滤波器具有重要的指导作用3线性相位

16、线性相位FIR滤波器幅度特性滤波器幅度特性Hg()的特性的特性1()0()( )( )Njj njgnH eh n eHe 幅度特性的特点就是线性相位幅度特性的特点就是线性相位FIR滤波器的频域约束条件滤波器的频域约束条件线性相位时域约束条件线性相位时域约束条件:h(n)=h(Nn1)第18页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计式中， (N1)/2 表示取不大于(N1)/2的最大整数。仅当N为奇数时，M=(N1)/2 。 为了推导方便，引入两个参数符号：为了推导方便，引入两个参数符号： 1,2N12NM对于两类线性相位、对于两类线性相位、h(n)长度

17、长度N的奇偶分为四类：的奇偶分为四类：1) h(n)=h(N-n-1)-偶对称，偶对称，N为奇数为奇数2) h(n)=h(N-n-1) -偶对称，偶对称，N为偶数为偶数3) h(n)=-h(N-n-1) -奇对称，奇对称，N为奇数为奇数4) h(n)=-h(N-n-1) -奇对称，奇对称，N为偶数为偶数第19页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计线性相位滤波器时域特性图例线性相位滤波器时域特性图例1、N为奇数的偶对称：为奇数的偶对称：例如例如 N=11，对称中心为，对称中心为2111)10()(nhnhn0 12345 6789102、N为偶数的偶对

18、称：为偶数的偶对称：例如例如 N=10，对称中心为，对称中心为2110)9()(nhnhn012 34567 893、N为奇数的奇对称：为奇数的奇对称：例如例如 N=11，对称中心为，对称中心为2111)10()(nhnhn0 12 345 67 89 104、N为偶数的奇对称：为偶数的奇对称：例如例如 N=10，对称中心为，对称中心为2110)9()(nhnhn012 3456789第20页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计情况情况1： h(n)=h(Nn1), N为奇数为奇数h(n)=h(Nn1)和()=代入式（7.1.1）和（7.1.2），得

19、到:Hg()第21页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 因为cos(n-)关于=0, , 2三点偶对称，所以Hg()关于关于=0, , 2三点偶对称三点偶对称。 因此情况因此情况1可以实现各种（低通、高通、带通、带可以实现各种（低通、高通、带通、带阻）滤波器。阻）滤波器。 对于N=13的低通情况，Hg()的一种例图如表7.1.1中情况1所示。1g0( )( )2 ( )cos ()MnHhh nn（7.1.11）幅度特性幅度特性:第22页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计仿照情况1的推导方法得到:1jj

20、jjg00(e)( )e =( )ee2 ( )cos( ()NMnnnHHh nh nn（7.1.12）g0( )2 ( )cos ()MnHh nn式中，(1)/2/21/2NN情况情况2： h(n)=h(Nn1), N为偶数为偶数幅度特性幅度特性:第23页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 而且cos(n)关于过零点奇对称，关于=0和2偶对称。所以Hg()关于关于=奇对称，关于奇对称，关于=0和和2偶对称。偶对称。 情况情况2不能实现高通和带阻滤波器。不能实现高通和带阻滤波器。 对N=12 的低通情况，Hg()如表7.1.1中情况2所示因为是

21、偶数，所以当=时cos ()cossin022NNnnn 第24页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计将时域约束条件h(n)=h(Nn1)和()= /2 代入式（7.1.1）和（7.1.2），并考虑h(N-1/2)=0，得到:情况情况3： h(n)=h(Nn1)，N为奇数为奇数第25页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计式中，N是奇数，=(N1)/2是整数。 所以，当所以，当=0，, 2时，时，sin(n)=0, 而且而且sin(n)关于过零点奇对称。因此关于过零点奇对称。因此Hg()关于关于=0, , 2

22、三点奇对称三点奇对称。 由此可见，由此可见，情况情况3只能实现带通滤波器只能实现带通滤波器。 对对N=13的带通滤波器举例，的带通滤波器举例，Hg()如表如表7.1.1中情况中情况3所示。所示。1g0( )2 ( )sin ()MnHh nn幅度特性幅度特性:第26页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 式中，式中，N是偶数，是偶数，=(N1)/2=N/21/2。所以，当。所以，当=0, 2时，时，sin(n)=0；当；当=时，时，sin(n)=(1)nN/2, 为为峰值点。而且峰值点。而且sin(n)关于过零点关于过零点=0和和2两点奇对称，两点奇

23、对称，关于峰值点关于峰值点=偶对称。因此偶对称。因此Hg()关于关于=0和和2两点奇对称，两点奇对称，关于关于=偶对称偶对称。 情况情况4不能实现低通和带阻滤波器。不能实现低通和带阻滤波器。 对对N=12的高通滤波器举例，的高通滤波器举例，Hg()如表如表7.1.1中情况中情况4所示。所示。g0( )2 ( )sin ()MnHh nn情况情况4： h(n)=h(Nn1), N为偶数为偶数用情况3的推导过程可以得到:（7.1.13）幅度特性幅度特性:第27页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计为了便于比较，将上面四种情况的h(n)及其幅度特性需要满足

24、的条件列于表7.1.1中。应当注意，对每一种情况仅画出满足幅度特性要求的一种例图。例如，情况1仅以低通的幅度特性曲线为例。当然也可以画出满足情况1的幅度约束条件（Hg()关于=0, , 2三点偶对称）的高通、带通和带阻滤波器的幅度特性曲线。所以，仅从表7.1.1就认为情况1只能设计低通滤波器是错误的。第28页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计频域特性表频域特性表)(jeH( )(1)1( )2h nh NnN )(2)()()0(2121nhnahaNN，其中，21021)()()(NnNjjnCosnaeeH( )(1)1( )22h nh Nn

25、N Typeh(n)NI 情况情况1N为为奇奇数数II 情况情况2N为为偶偶数数III 情况情况3N为为奇奇数数IV 情况情况4N为为偶偶数数211221)()(nCosnbeeHNNnjj)(2)(2nhnbN其中，12122()1()( )NNjjnH eec n Sin n)(2)(21nhncN其中，)(2)(2nhndN其中，2122()121()( )NNjjnH eed n Sinn第29页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计相位相位特性特性辅助序列辅助序列适用适用幅度特性及特点幅度特性及特点1)(0)(nh)1(nNh21)(NN为奇

26、数为奇数211),21(20),21()(NnnNhnNhna1 /20( )( )cosNnHa nn（）呈偶对称，对202N为偶数为偶数)12(2)(nNhnb21Nn /211( )( )cos ()2NnHb nn0 2( )1H zz 对呈奇对称,对， 呈偶对称；在处必有零点)(nh)1(nNh221)(N)(023N为奇数为奇数)21(2)(nNhnc211Nn(1)/21( )( )sinNnHc nn呈奇对称，对20处必有零点在1)(zzH4N为偶数为偶数)12(2)(nNhnd21Nn /211( )( )sin ()2NnHd nn0 2对， 呈奇对称对呈偶对称处必有零点在

27、1)(zzH低通低通高通高通带通带通带阻带阻低通低通带通带通带通带通高通高通带通带通四种线性相位四种线性相位FIR滤波器滤波器第30页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器偶对称单位冲激响应h(n) h(N1 n)相位响应21)(N情况1()o( N1)情况2N为奇数h(n)0N1nna(n)21NN为偶数h(n)0nN1b(n)01 22Nn2/ )1(0cos)()(NnnnaHH()o2/1 21 cos)()(NnnnbHH()2o0呈偶对称，对200 2对呈奇对称,对， 呈偶对称；第31页/共261页第第7

28、章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计四种线性相位滤波器四种线性相位滤波器 N为奇数h(n)0nN1C(n)0121NnN为偶数h(n)0N1nd(n)012Nn221)(N相位响应情况3()2o 23 N情况42/ )1(1)sin()()(NnnncHH()o22/121sin)()(NnnndHH()o2奇对称单位冲激响应 h(n)=-h(N-n-1)呈奇对称，对200 2对， 呈奇对称对呈偶对称第32页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计例例1 如果系统的单位脉冲响应为如果系统的单位脉冲响应为 01)(nh0n4 其他

29、n 求求FIR数字滤波器传输函数数字滤波器传输函数解：解：这是第一种情况的线性相位这是第一种情况的线性相位FIR数字滤波器数字滤波器该系统的频率响应为该系统的频率响应为5402()1()1sin(5/2)sin(/2)jjj njnjjjeH eeeeee H()因为因为h(n)的长度的长度N=5， 群延迟是整数，群延迟是整数，()=(N-1)/2=2。 52.501.2500223202232022324202443210()(a)(b)(c)3.7)(ejH()振幅相位群延迟呈偶对称，对20第33页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计MATLAB

30、w =-0*pi:0.1:2*pi;n = 0:4;x = 1.n;X=(exp(j*2*w).*(sin(2.5*w)./(sin(0.5*w);subplot(221)stem(n,x,.); title(Sequence x(n);xlabel(Time index n);subplot(222)plot(w/pi,abs(X);title(Magnitude of DTFT of x(n); axis(0,2,0,max(abs(X);subplot(224)plot(w/pi,angle(X),;title(Phase of DTFT of x(n);xlabel(Frequency

31、*pi in ratians);axis(0,2,min(angle(X),max(angle(X);第34页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计例例2 系统的单位脉冲响应为系统的单位脉冲响应为 01)(nh0n5 其他n 求求FIR数字滤波器传输函数数字滤波器传输函数4.53.01.50022320223202232()4202443210(a)(b)(c)(ejH()振幅相位群延迟 解：解：h(n)为偶对称且长度为偶对称且长度N=6，是第二种情况的线性相位是第二种情况的线性相位FIR数字滤波器数字滤波器该系统的频率响应为该系统的频率响应为 650

32、521()1sin(3 )sin(/2)jjj njnjeH eeeeh(n)的长度的长度N=6， 群延迟群延迟:()=(N-1)/2=2.50 2对呈奇对称,对， 呈偶对称；第35页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计例例3 系统的单位脉冲响应为系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-2)，求，求FIR数字滤波器数字滤波器传输函数。传输函数。0223202232022322.41.60.803.01.501.53.02.01.51.00.50(a)(b)(c)()(ejH()振幅相位群延迟22()1()2sin( )2sin( )jjjjjjj

33、jH eeeeejee 解：解： h(n)为奇对称且长度为奇对称且长度N=3，这是第三种情况的线性相位这是第三种情况的线性相位FIR数字滤波器数字滤波器该系统的频率响应为该系统的频率响应为 h(n)的长度的长度N=3， 群延迟群延迟:()=(N-1)/2=1呈奇对称，对20第36页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计例例4 系统的单位脉冲响应为系统的单位脉冲响应为h(n)=(n)-(n-1)求求FIR数字滤波器传数字滤波器传输函数。输函数。0223202232022323.22.41.60.803.01.501.53.02.01.51.00.50()

34、()(ejH振幅相位群延迟/2/2/2/2/22()1()2sin(/2)2sin(/2)jjjjjjjjH eeeeejee 解：解：h h( (n n) )为奇对称且长度为奇对称且长度N N=2=2，这是第四种情况的线性相位这是第四种情况的线性相位FIRFIR数字滤波器数字滤波器该系统的频率响应为该系统的频率响应为 h(n)的长度的长度N=2， 群延迟群延迟:()=(N-1)/2=0.50 2对， 呈奇对称对呈偶对称第37页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计将h(n)=h(N1n)代入上式, 得到:（7.1.14） 10( )( )NnnH z

35、h n z11001(1)(1)10( )( ) (1) ( )()NNnnnnNNmNmH zh n zh Nn zh m zzH z 4. 线性相位线性相位FIR数字滤波器的零点分布特点数字滤波器的零点分布特点M=N-1-n第38页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 如z=zi是H(z)的零点，其倒数1/zi也必然是其零点；又因为h(n)是实序列，H(z)的零点必定共轭成对，因此zi*和（zi-1）*也是其零点。 线性相位线性相位FIR滤波器零点必定是互为倒数的共轭对滤波器零点必定是互为倒数的共轭对，确定其中一个，另外三个零点也就确定了, 如图

36、7.1.1中。当然，也有一些特殊情况，如图7.1.1中z1、z2和z4情况。1*13333()zzzz、 和(1)1( )()NH zzH z （7.1.14） 第39页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计图7.1.1 线性相位FIR数字滤波器的零点分布第40页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 (1) zi既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的既不在实轴上，也不在单位圆上，则零点是互为倒数的两组共轭对，如图两组共轭对，如图 (a)所示。所示。 (4个个) (2) zi不在实轴上，但是在单位圆上

37、，则共轭对的倒数是它们不在实轴上，但是在单位圆上，则共轭对的倒数是它们本身，故此时零点是一组共轭对，如图本身，故此时零点是一组共轭对，如图 (b)所示。所示。 (2个个) (3) zi在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部在实轴上但不在单位圆上，只有倒数部分，无复共轭部分。故零点对如图分。故零点对如图 (c)所示。所示。 (2个个) (4) zi既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种既在实轴上又在单位圆上，此时只有一个零点，有两种可能，可能， 或位于或位于z=1， 或位于或位于z=-1，如图，如图 (d)、 (e)所示。所示。 (1个个)互为倒数的共轭对的四种可能性：互为倒

38、数的共轭对的四种可能性：第41页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计线性相位线性相位FIR滤波器的零点位置图滤波器的零点位置图 011jImzRezz1z1*11z11z221zz0RezjImz110RezjImz110RezjImz110RezjImz11221zz11zz1(a)(b)(c)(d )(e)第42页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计线性相位滤波器的零点位置分布图线性相位滤波器的零点位置分布图一般位置上：. 1*1*1iizizizz，但不在实轴上：单位圆上，. 2*1*1iiziziz

39、z3.实轴上，但不在单位圆上：*11*iizziizz4.单位圆上，且在实轴上：*1*1iizizizz第43页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计由幅度响应的讨论可知由幅度响应的讨论可知: *第二种情况的线性相位滤波器由于第二种情况的线性相位滤波器由于Hg()=0， 因此必然因此必然有单根有单根 z=-1。 *第四种情况的线性相位滤波器由于第四种情况的线性相位滤波器由于Hg(0)=0, 因此必然有单因此必然有单根根 z=1。 *而第三种情况的线性相位滤波器由于而第三种情况的线性相位滤波器由于Hg(0)=Hg()=0， 因因此这两种单根此这两种单根

40、z=1 都必须有。都必须有。 了解了线性相位了解了线性相位FIR滤波器的特点，便可根据实际需要选滤波器的特点，便可根据实际需要选择合适类型的择合适类型的FIR滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条滤波器，同时设计时需遵循有关的约束条件。讨论线性相位件。讨论线性相位FIR滤波器的设计方法时，都要用到这些滤波器的设计方法时，都要用到这些特点。特点。 第44页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 例例 一个一个FIR线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数的，线性相位滤波器的单位脉冲响应是实数的， 且且n6 时时h(n)=0。 如果如果h(0)=1且系统函数在且系

41、统函数在z=0.5ej/3和和z=3 各各有一个零点，有一个零点，H(z)的表达式是什么？的表达式是什么？H1(z) =(1-0.5ej/3 z-1)(1-0.5e-j/3z-1) =1-0.5z-1+0.25z-2 解解: 因为因为n6 时时h(n)=0，且，且h(n)是实值，所以当是实值，所以当H(z)在在z=0.5ej/3 有一个复零点时，则在它的共轭位置有一个复零点时，则在它的共轭位置z=0.5e-j/3 处处一定有另一个零点。这个零点共轭对产生如下的二阶因子：一定有另一个零点。这个零点共轭对产生如下的二阶因子：第45页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数

42、字滤波器的设计 线性相位的约束条件需要在这两个零点的倒数位置上有零线性相位的约束条件需要在这两个零点的倒数位置上有零点，所以点，所以H(z)同样必须包括如下的有关因子：同样必须包括如下的有关因子： 21113/113/2421)5 . 0(1)5 . 0(1 )(zzzezezHjj 系统函数还包含一个系统函数还包含一个z=3 的零点，同样线性相位的约束条件的零点，同样线性相位的约束条件需要在需要在z=1/3 也有一个零点。也有一个零点。 于是，于是，H(z)还具有如下因子：还具有如下因子： 113311)31 ()(zzzH由此，我们有由此，我们有 112121311)31)(421)(16

43、. 04 . 01 ()(zzzzzzAzH最后，多项式中零阶项的系数为最后，多项式中零阶项的系数为A，为使，为使h(0)=1，必定有：，必定有：A=1。 第46页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数1() 112(1)201( )( )()2NNnN nnNH zh n zzhz 12(1)0( )( )NnN nnH zh n zz FIR第一类线性相位网络结构第一类线性

44、相位网络结构x(n-(N/2-1)x(n-(N-1)/2)第47页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N/21)x(n)y(n)z1z1z1z1z1z1h(0)h(1)h(2)h(N1)/2)N 偶数N 奇数1111111111() 112(1)201( )( )()2NNnN nnNH zh n zzhz 12(1)0( )( )NnN nnH zh n zz FIR第二类线性相位网络结构第二类线性相位网络结构第48页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲

45、响应数字滤波器的设计 设计设计FIR数字滤波器最简单的方法是窗函数法。数字滤波器最简单的方法是窗函数法。 一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应一般是先给定所要求的理想滤波器的频率响应Hd(ej)，要求，要求设计一个设计一个FIR滤波器频率响应滤波器频率响应,去逼近理想的频去逼近理想的频率响应率响应Hd(ej) 。10)()(NnnjjenheH7.2 利用窗函数法设计利用窗函数法设计FIR滤波器滤波器7.2.1窗函数法设计原理窗函数法设计原理hd (n)一般情况下是非因果无限长序列，一般情况下是非因果无限长序列，需对其进行需对其进行和和处理。处理。1( )()2jj nddh nHeed第

46、49页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计)()()()()()(jnnhdjdeHnhnheHd改变窗形状改变窗形状改变窗长度改变窗长度误差？误差？窗函数法设计思路：时域方法窗函数法设计思路：时域方法无限长无限长有限长有限长第50页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 设希望设计的滤波器传输函数为设希望设计的滤波器传输函数为Hd(ej), hd(n)是与其是与其对应的单位脉冲响应，因此对应的单位脉冲响应，因此 ()( )1( )()2jj nddnjj nddHeh n eh nHeed一、窗函数法设计原

47、理一、窗函数法设计原理1. 构造希望逼近的频率响应函数构造希望逼近的频率响应函数Hd(ej)第51页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计2. 求出求出hd(n)sin()1( )2()ccj aj ncdnah needna(7.2.2) 相应的单位取样响应相应的单位取样响应hd(n)为为:,()0,j acjdceHe(7.2.1)设计的理想低通滤波器传输函数设计的理想低通滤波器传输函数以设计低通滤波器为例以设计低通滤波器为例:确定确定Hd(ej) a？a-延迟常数延迟常数非因果无限长序列非因果无限长序列第52页/共261页第第7章章 有限脉冲响应

48、数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 w(n) 为窗函数，为窗函数，w(n)长度为长度为N。 如果要求设计线性相位如果要求设计线性相位FIR DF，则要求，则要求h(n) 关于关于(N-1)/2点偶对称，而点偶对称，而hd(n)关于关于n =a 点偶对称，所以要求点偶对称，所以要求a=(N-1)/2，且且w(n) 关于关于(N-1)/2点偶对称。各种常用窗函数都满足这种要点偶对称。各种常用窗函数都满足这种要求。求。 为了为了构造一个长度为构造一个长度为N的线性相位滤波器的线性相位滤波器，只有将只有将hd(n)截取一段，并保证截取的一段对截取一段，并保证截取的一段对(N-1)/2对称对称

49、。 设截取的一段用设截取的一段用h(n)表示，即表示，即 h(n)=hd(n)w (n) (7.2.3)3. 加窗得到加窗得到FIR DF单位脉冲响应单位脉冲响应h(n)sin()( )()cdnah nna第53页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计 实际实现的滤波器的单位取样响应为实际实现的滤波器的单位取样响应为h(n),长度为长度为N: 系统函数为系统函数为H(z): 传输函数传输函数: H(ej):10( )( )NnnH zh n z图图7.2.1 理想低通的单位脉冲响应及矩形窗理想低通的单位脉冲响应及矩形窗w(n)=RN(n)()( )j

50、j nnH eh n eaa第54页/共261页第第7章章 有限脉冲响应数字滤波器的设计有限脉冲响应数字滤波器的设计H(ej) 与与Hd(ej)的误差的误差: ()( )jj nddnHeh n e()( )jj nnH eh n e截断误差截断误差 傅立叶级数系数傅立叶级数系数h(n)是是H(ej)对应的单位取样响应对应的单位取样响应:设计设计FIR滤波器是根据要求找到有限项个傅立叶级数系数滤波器是根据要求找到有限项个傅立叶级数系数,以有限项傅立叶级数近似代替无限项傅立叶级数。以有限项傅立叶级数近似代替无限项傅立叶级数。 -窗函数法也称为傅立叶级数法窗函数法也称为傅立叶级数法周期函数周期函数