量子力学12-2.课件.ppt

1、12.3 Lippman-Schwinger方程方程 Born近似近似12.3.1 Lippman-Schwinger方程方程一、一、 Green函数的引进函数的引进前面提到，动量为 的入射粒子对势场 的散射,可以归结为求解S-方程)2(22kEk)(rV),()(2)()(222rrVrk.),()(referikrrikr 满足下列边界条件)(r定义Green函数 ，它满足),(rrG)(),()(22rrrrGk下面证明,由上述Green函数所定义的波函数)()(),(d2)(32rrVrrGrr是方程)()(2)()(222rrVrk的一个解。证明 利用上述Green函数的定义，有)(

2、)(),()(d2)()(223222rrVrrGkrrk)()(22rrV )()() (d232rrVrrr这样方程)()(2)()(222rrVrk的解可以表成)()(),(d2)()(32)0(rrVrrGrrr0)()()0(22rk式中 是满足下列齐次方程的任何一个解)()0(r也就是说,解 还是不确定的。这种不确定性由入射波的边界条件来定。)(r对于力程为有限的势场，如假设入射粒子具有动量 ，其入射波表为 ，krkieri)()()(),(d2)(32rrVrrGrerrik此时， 可取为 ，则散射问题归结为求解下列积分方程0i),()(scrri上述方程就是Lippman-Sc

3、hwinger方程，这是一个积分方程。为确定式中的Green函数，要利用散射波边界条件)()(),(d2)(32scrrVrrGrr.),(refikrr 二、二、 Green函数的求解函数的求解对Green函数的定义式)(),()(22rrrrGk) ,(rrG由于等式右边只是 的函数,只与 和 的相对位置有关，故 可以写成的形式。) (rrG rr r r写出 的Fourier变换式) (rrG),(d)()(qGqerrGrriq并将其代入上式，利用)(2)(2rriqrriqeqe以及)(33d)2(1)(rriqqerr？322)2(1)()(qGkq可以求得即.)(1)2(1)(2

4、23kqqG因此,)(1d)2(1)()(2233rriqekqqrrG令rrR则有2022cos0023ddsind)2(1kqeqqiqR2233d)2(1)(kqeqRGRiq223d1)2(1kqqeqiRiqR)(RG222d1)2(1kqqeqiRiqR对所得公式加以分析可以发现， 是被积函数的一级极点,在数理方法中用留数定理计算出积分.kqmkkCaizzf1)(12d)(如对积分容易算出函数22)(kzzezfizR在一级极点 的留数和为kz2/)(resikRezf其中 是 在其第 个奇点 的邻域内洛浪展开中 的系数，称为留数，常写作 。)(1ka)(zfkkb1)(kbz)

5、(reskbf上式称为留数定理。这样根据留数定理，有)(res21)2(1)(2zfiiRRGikReR41221)2(12ikReiiR即,4)(rrerrGrrik将其代入式)()(),(d2)(32rrVrrGrerrik由于物理上感兴趣的是要求给出往外出射的波，故选积分路径如右图所示：计算我们所需积分，要选取适当的积分路径。得),()(d2)(32rrVrrererrrikrik这就是方程),()(2)()(222rrVrk满足边界条件referikrrikr),()( 的解.由于积分号内含有待求未知函数 ,实际上还是个积分方程，常采用逐级近似解法。)(r下节课介绍一种近似解法。上次课

6、复习上次课复习为求解波函数，定义了Green函 ，它满足),(rrG)(),()(22rrrrGk并证明了由Green函数所定义的波函数)()(),(d2)(32rrVrrGrr是方程)()(2)()(222rrVrk的一个解，从而其一般解可表成)()(),(d2)()(32)0(rrVrrGrrr0)()()0(22rk而 是满足下列齐次方程的任何一个解)()0(r)()(),(d2)(32rrVrrGrerrk i若 取为 ，则散射问题归结为求解下列积分方程0i),()(scrri上述方程就是Lippman-Schwinger方程，这是一个积分方程，需要给出Green函数。根据留数定理，有

7、,4)(rrerrGrrik),()(d2)(32rrVrrererrrikrk i是满足边界条件referikrrk ir),()( 的解.下面介绍一种近似解法。这样)(r 由于积分号内含有待求未知函数 ,实际上还是个积分方程，常采用逐级近似解法。12.3.2 Born近似近似),()(d2)(32rrVrrererrrikrk i,)(d2)(32rk irrikrikerVrrerer如把出射粒子与靶子的相互作用 看成微扰，则式V可作为 的一级近似解，而其右边的微扰项中 可用零级近似解 代替，即 rk ie) (r)(r这就是散射问题的Born一级近似。一、散射问题的一、散射问题的Bor

8、n一级近似解一级近似解假设 具有有限力程，则上式中的积分实际上只局限于空间一个有限区域。) (rV当 时，r).1 ()2(22122rrrrrrrrrr是一光滑的缓变函数,而且当rrrr时，但被积函数的分子中是一个随 迅速振荡的函数 ，所以有 r下面考虑式在 处的渐近行为。r,)(d2)(32rk irrikrikerVrrerer,)1(2rk iikrrrrikrrrikfeee式中 是出射粒子的动量。ffkrrkk,对于弹性散射， ，这样，由上式及.|kkkf,)(d2)(32rk irrikrk ierVrrerer可以得出 ).(d2)()(32scrVerrerrkkiikrrf

9、 ).(d2)()(32scrVerrerrkkiikrrf与下式referikrrk ir),()( 比较，得二、二、Born一级近似解下的散射截面一级近似解下的散射截面式),(d2),(32rVerfrq i且,kkqf见下图：,kkqf见下图： 是散射过程中粒子的动量转移。q由右图可以看出，2sin2kq 是散射角。可以看出，),(d2),(32rVerfrq i由)(rVVf 除了一个常数因子外,散射振幅就是相互作用 的Fourier变换。若 为中心势，则 与 角无关。 这样，我们在计算积分 时， 是同积分变量 无关的常矢量。积分同坐标系的选择无关，可选择 方向为 轴方向，采用球坐标系

10、，从而得出)(d3rVerrq iq z rqd) (d) (3cos-3-rrVerrVeiqrrq i在 为中心力场的情况下，此积分可化简为)(rV0sin) (d4qrrrVrqd) (3cos-rrVeiqr200cos-02dsin) (diqrerrVr其中，如前所述2sin2kq 而散射截面为.dsin)(4)()(02422rrqrVrqf由上式可以看出， 越大，则 越小。而对于高速入射粒子， 很大， 主要集中在小角度范围内。q)(k)(02,dsin)(2)(rrqrVrqf代入式)(d2),(32rVerfrq i得d) (3-rrVerq i0sin) (d4qrrrVr

11、q将三、三、Born近似的适用条件近似的适用条件在Born近似下)()(screrrk i|32) (| |d2rk irrikrk ierVrrere如Born近似是一个好的近似，就要求1| )(|scrk ier由于势场V 对散射波的影响在靶子邻域( )内最强，故上述条件可换成0r1| )0(|sc设V 为中心场，则要求sin) (d2032krrVerkikr32sc) (d2| )0(|rk iikrerVrer1这就是Born近似成立的条件。若入射粒子能量很低，此时1, sinikrekrkr则上式化为) (d202rrVr1?若V(r)具有有限力程（r0）,强度V0，则上式化为1|

12、20202rV反之，若入射粒子能量很高， 将随 迅速振荡，此时ikre rsinisincossin2krkrkrkreikr上式第一项为 ，随 迅速振荡，对积分无贡献；第二项主要局限在 区域中对积分有贡献，其值约为2/ ) 2(sin kr rkrkrkrk21d sin/02) (d202rrVr1这是低能条件下的必然结果低能条件下的必然结果。化为20220202202|12|2rkrVkVk或 可以看出，如果Born近似在低能区适用，即 反之，则不一定。sin) (d2032krrVerkikr1则上述Born近似成立的条件则在高能区也适用，即下式必然满足1|20202rV2022020

13、2|rkrV 比较Born近似法和分波法，一般说来,Born近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射，因为此时只需考虑 l 较小的那些分波。12.4 全同粒子的散射全同粒子的散射全同粒子相碰撞,由于波函数的交换对称性，将出现一些很有趣的特征，比如微分截面的不可分性和散射截面的对称性等.这完全是一种量子效应。下面讨论几种特殊粒子之间的碰撞。一、无自旋的不同粒子之间的碰撞一、无自旋的不同粒子之间的碰撞以粒子与氧原子核碰撞为例。粒子 与氧原子核 的基态自旋都是0。考虑 碰撞。如下图)H(e42)(168这是质心坐标系中的图像。其中D1和D2是两个探测器, (a)图表示在方向D1获得一个

14、 粒子，而在 方向 D2 测得一个 O 核。)(b)图则正好 与O核交换了一下。设在方向测得粒子的散射振幅为 f()，微分截面为|f()|2。按照图(b)，O 核在方向的散射振幅与粒子在(-)方向的散射振幅f (-)相同，截面为| f (-) |2。因此,在方向测得粒子（不管是还是O核）的微分截面为.)()()(22ff二、无自旋的两个全同粒子之间的碰撞二、无自旋的两个全同粒子之间的碰撞以-粒子碰撞为例对于两个粒子之间的碰撞，考虑到波函数的交换对称性，在质心系中，入射波表示为,ikzikzieesciiz=z1-z2 是两个粒子相对坐标的z 分量。经散射后， ,散射波 对于两个粒子交换也是对称

15、的。sc当两个粒子交换时， ，相当于 ，即 ， 。因此 21rrrrrr ,)()(screffikrr 即散射振幅为 。因此散射截面为 )()(ff2)()()(ff),()()()(*ffff22)()(ff与不同粒子的碰撞相比，最后两项是多出来的，属于干涉项，是全同粒子波函数交换对称性带来的。2)2()2()2(ff).2(由于干涉项的存在，全同粒子散射的角分布有下列特点：在质心系中，全同粒子散射截面对于 角总是对称的。因为令 根据2,2/2)()()(ff则有三、自旋为三、自旋为1/2的全同粒子之间的碰撞的全同粒子之间的碰撞以e-e电子碰撞为例电子具有自旋 。对于两个电子交换，波函数应

16、反对称。两个电子组成的体系，自旋态可以是单态（S=0）或三重态（S=1）。2/对自旋单态，其空间波函数对于交换空间坐标应要求是对称的，因此散射振幅为)()(ff?.1,)()()(.0,)()()(2120态对于态对于SffSff对自旋三重态，其空间波函数对于交换空间坐标应要求是反对称的，因此散射振幅为)()(ff所以微分截面为设入射电子束与靶电子均未极化，即自旋方向是无规分布的。统计说来，有1/4几率处于单态，3/4几率处于三重态。因此微分截面为22)()(43)()(41ffff)(43)(41)(1022)()(ff, )()()()(21*ffff可以看出，上式即不同于不同粒子的散射截

17、面，也不同于全同无自旋粒子的散射截面。最后两项是干涉项。但同样可以证明,在质心系中散射截面对 角也是对称的。2 作业: p361 2，3方式：方式：闭卷闭卷量子力学（量子力学（2 2）考试相关说明）考试相关说明内容：内容：本学期所讲的五章内容本学期所讲的五章内容题型：题型： 1、单选题（、单选题（8小题，共小题，共20分）分）2、判断题（、判断题（5小题，共小题，共10分）分）时间：时间：本周六晚本周六晚3、简答证明题（、简答证明题（3小题，共小题，共30分）分）4、计算题（、计算题（3小题，共小题，共40分）分）量子力学量子力学II学习要点学习要点1. 电磁场中带电粒子的Schrdinger

18、方程qAcqPti221可取为，则相应的矢势设磁场为ABrBA212. 正常Zeeman效应：,2)(212zlceBrVPH可以对能级分裂的解释。一、粒子在电磁场中的运动一、粒子在电磁场中的运动Landau能级及简并度。.2121222xpH1. 对1D谐振子引进),(21),(21ipxaipxa并采用自然单位，有2121NaaH21 nEn二、力学量本征值问题的代数解法二、力学量本征值问题的代数解法1|1|nnnana |1| nn,0)(!1nann有升降算符的概念2. 角动量的一般定义yxzxzyzyxjijjjijjjijj,yxjjji)(ijjjjyx令则有.1)(1(jmmj

19、mjjmj3. CG系数的概念若)2()1()2,1(2211212211mjmjmmjmjmmjmj则展开系数 称之为CG系数。jmmjmj2211它表示耦合表象与非耦合表象基矢之间的关系a.a.根据体系根据体系HamiltonHamilton量形式和对称性量形式和对称性b.b.满足问题的边界条件满足问题的边界条件三、变分法（步骤）三、变分法（步骤）1. 1. 确定试探波函数确定试探波函数原则：原则：c.c.应包含一个或多个变分参数应包含一个或多个变分参数2. 2. 求求HamiltonHamilton在试探波函数中的平均值在试探波函数中的平均值HHHE|3. 3. 求此平均值对变分参数求此

20、平均值对变分参数的极值的极值0)()( dHddHd4. 4. 求出求出并由此得到基态能量和波函数并由此得到基态能量和波函数1. 量子态随时间的演化对Hamilton不含时的体系，Schrdinger方程的解可写为)0()0()()(/iHtetUt若采取能量表象，则有nntiEnnect/)(四、量子跃迁四、量子跃迁2)()(tCtPnknk2. 量子跃迁几率2)(dd)(ddtCttPtwnknknk跃迁速率tHeitCkktikkkkd1)(0)1(含时微扰论的一级近似解为3. 含时微扰论跃迁几率公式为202d1)(tHetPkkttikkkk从初态 到 附近一系列可能末态跃迁速率之和为

21、kkkEE2)(2kkkHEkkkkwEEw)(d此公式称为Fermi黄金规则4. 黄金规则5. 能量-时间测不准关系,2tE意义: 能量分辨和时间分辨是不可能同时达到高精度要求的。6. 光的吸收与受激辐射tWHkkkkcos)2/ )(4)(22kkkkkkWttP)(cos222022kkkkkkEDw微扰项跃迁几率跃迁速率对非偏振自然光).(342222kkkkkkrew上式对跃迁选择定则的给出很重要。达到平衡时吸收系数与受激辐射系数的关系。,)(refeikrikz中心势作用下的波函数在 处的渐近行为是r,)(dd1)(2fnji散射截面(又称微分截面或角分布)与散射振幅的关系五、散射

22、现象的描述五、散射现象的描述总截面,dsin)(220ft1. 散射的量子力学描述了解半径为a的球体靶子及球方势垒s分波的总散射截面的表达式。2.分波法是在中心力场作用下粒子散射截面普遍计算方法散射振幅、微分截面及总截面用各分波的相移来表示的普遍表达式：)(f),(cos) 1)(12(210lilPelikl)(,)(sin1242002llilYelklt,sin) 12(4202lllk3. 光学定理)0(Im4fkt它给出向前散射振幅f(0)与总截面的关系。利用Green函数的定义式4. Lippman-Schwinger方程)()(),(d2)(32rrVrrGrerrik给出了求解

23、散射问题的积分方程)()(scrri此方程就是Lippman-Schwinger方程。)(),()(22rrrrGk5.利用留数定理，给出了散射问题的Born一级近似)()(d2)(32rrVrrererrrikrik对于中心力场问题，采用球坐标，可得散射振幅为kkq02dsin)(2)(rrqrVrqf其中比较Born近似法和分波法，一般说来,Born近似较适用于高能粒子散射，而分波法较适用于低能粒子散射，因为此时只需考虑l 较小的那些分波。而散射截面为.dsin)(4)()(02422rrqrVrqf下面就最后这两章上节习题课。下面就最后这两章上节习题课。6.全同粒子的散射截面（1 1）无

24、自旋的不同粒子之间的碰撞）无自旋的不同粒子之间的碰撞.)()()(22ff（2）无自旋的两个全同粒子之间的碰撞）无自旋的两个全同粒子之间的碰撞2)()()(ff),()()()(*ffff22)()(ff（3 3）自旋为）自旋为1/21/2的全同粒子之间的碰撞的全同粒子之间的碰撞.1,)()()(.0,)()()(2120态对于态对于SffSff设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取设把处于基态的氢原子放在平行板电容器中，取平行板法线方向为平行板法线方向为z轴方向、电场沿轴方向、电场沿z轴方向可视轴方向可视作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时作均匀，设电容器突然充电然后放电，电场随时

25、间变化规律是：间变化规律是：求时间充分长后，氢原子跃迁到求时间充分长后，氢原子跃迁到2s或或2p态的几率。态的几率。）tettt为常数()0()0(0)(0习题习题1解：解：按照习惯表示法,氢原子的初态（k态）的波函数是：100，末态（k态）的波函数是200或2lm态，它们的显式是如下：) 1 (1：13100areas态)2()2(321：223200arearas态【分析【分析】这是个含时微扰问题。利用公式d1)(0ttikkkkteHitCkk进行计算时，需要知道微扰项和初末态。)3(sin)(81：223211aeearapiar态)3(sin)(8123121,beearaiar-)

26、3(cos)(32123210cearaar这些公式的后面者要用来计算几率。从题意看这些公式的后面者要用来计算几率。从题意看来，原子所受的微扰是个随时间变化的涵数，来，原子所受的微扰是个随时间变化的涵数，而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不而且，电场的方向是固定的，与光照射情形不同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只同（光的电磁场是看作各向同性的），因此只能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式：能用一般的随时间变化的跃迁振幅公式： )4(d1)(0ttikkkkteHitCkk微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：微扰是指氢原子在此均匀电场中的偶极矩势能：)5(cos00erereeHt

27、t 微扰算符微扰算符H在初态在初态k （ 100）以及末态（即）以及末态（即200或或2lm） k态之间的矩阵元是：态之间的矩阵元是：dHHkkkk*derektkcos0*derekkt)cos(*0)6()(0kkteze将（6）式化入（4）先对时间进行积分；并认为充分长时间可以用t表达：100)(1)(dteezeitCkkikktkkttkktikkieezikk0)1(01)(tttikkdteezikk0)(1)7()()(0kkkkezi)0|1|(ttttieekk，而前式中利用了其次计算偶极矩阵元与无关部分其次计算偶极矩阵元与无关部分(ez)kk,按题意，按题意，要求两种跃迁

28、几率，下面分别进行：（要求两种跃迁几率，下面分别进行：（1s2s）跃迁，即从态跃迁，即从态100跃迁到跃迁到200的几率：的几率： ddrdreaerearaezarrarsin1cos)2(321)(2323100,2000020323sincos)2(321rarardddrreara)8(0知道C200,100=0，W200,100=0，即自1s向2s的跃迁不存在。将其代入式kkkkkkezitC0)()()(再考察(1s2p)的跃迁，由于2p有三种不同态，自1s跃迁到每一态都有一定几率，因而要分别计算再求总和。riarereearaez cossin)(81)(23100,211ddr

29、dreaarsin123)9(sincos8002024234riardeddrreae同理可求riarereearaez cossin)(81)(23100, 121dddsin123rreaar002024234ddsincosd8riarerreaerarerearaez coscos)(321)(23100,210dddsin123rreaar002024234sincos321rardddrreaaeaa52/150354322)cos31()32( ! 4321aieCkk55 . 70100,21032)(相应的跃迁几率(自100态 210态)因aeEEkk83221C211,1

30、00=0, C21-1,100=0，2100,210100,210C则:10152222220232)1 (kkae22525 . 72220)3()2(|)(aiekkkkkkkkezitC0)()()(将三种值分别代入式得：习题习题2 2具有电荷具有电荷q的离子的离子,在其平衡位置附近作一维简谐在其平衡位置附近作一维简谐振动振动,在光的照射下发生跃迁在光的照射下发生跃迁,入射光能量密度为入射光能量密度为(),波长较长波长较长,求求: (1)跃迁选择定择。跃迁选择定择。 (2)设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态设离子处于基态，求每秒跃迁到第一激发态 的几率。的几率。【分析【分析】本题是一

31、维运动,可以假设电磁场力的方向与振动方向一致。为了确定谐振子在光照射下的跃迁选择定则，先计算跃迁速率，因为是随时间作交变的微扰，可以用专门的公式：) 1 ()(342222kkkkkkrqW式中 应理解为谐振子的矢径的矩阵元的平方和,但在一维谐振子情形， 仅有一项 ，此时2kkr2kkr2kkx)2()(342222kkkkkkxqW解解: (1)利用谐振子的无微扰能量本征函数求矩阵元) 3()0()*0(dxxxkkkk式中aaxHkaxkkk),(2 !)()0(利用谐振子定态波函数的递推公式：)4(2121)0(1)0(1)0(kkkkkx代入 (3)，利用波函数的正交归一化关系：mnn

32、mdx)0()*0()5(211211,1,)0(1kkkkkkkdxkkxkkkkk2121)0(1)0(1)*0(有由此知道，对指定的初态k来说，要使矢径矩阵元（即偶极矩阵元）不为零，则末态k和初态k的关系必需是：21, 1, 1kxxkkkkkk这时因此有-一维谐振子跃迁的选择定则是:初末态的量子数差数是1。)6(211, 1, 1kxxkkkkkk这时(2)每秒钟从基态k=0跃迁到第一激发态的几率可以 从(2)式和(7)式得到：)()211(34102222qWkk)(321010222q习题习题3 3计算氢原子的第一激发态的自发辐射系数 解: 按照爱因斯坦辐射理论,这系数是:) 1

33、(342332kkkkkkrceA第一激发态是指E2的态(四度简并的), 从第一激发态只能跃迁到基态E1 。)2(2222kkkkkkkkzyxr关于偶极矩阵元，就注意到：现在应当分别就四种跃迁计算其跃迁的几率，最后求总和，这才能代表E1E2的跃迁.(I) (200 100跃迁）按照氢原子选择定则，只有满 足以下两式101或mmmlll教材P339 距阵元才不全为零。因此不满足以上条件的跃迁是禁戒的 。r)0(ll但是我们也可以不用这个定则，直接用波涵数得出该结果：ddrdrearearaxararsin1)cossin()2(3212323100,200)3(0cossin321200223

34、33adddrerararddrdrearearayararsin1)sinsin()2(3212323100,200ddrdrearearazararsin1)cos()2(3212323100,200代入（2）和（1）得：)4(0100,200A)3(0sinsin32120022333bdddrerarar)3(0cossin3212002333cdddrerarar(II) (210 100跃迁）这种跃迁不违背定则，是可能跃迁）这种跃迁不违背定则，是可能 的。的。ddrdrearearaxararsin1)cossin(cos)(3212323100,210)5(0sincossin3

35、2120022344100,210bdddrerayrar)5(0coscossin32120022344adddrerarar20022344100,210cossin321dddrerazrar)5(322)23()32( ! 432155 . 754caaa代入（1）得：)6(3234323421015332255 . 7332100,200aceaceAkkkk前式中的共振频率kk用k=2,k=1代入，并使用氢原子能级公式：3424224211 , 283)222(1)(1eeeEE代入（6）式得：)7(3232833463108222101533432100,200ceeeceA(I

36、II) 211 100跃迁，仿照前一计算：ddrdreareearaxariarsin1)cossin(sin)(812323100,210200302344cossin81deddrerairar)8(32cos31cos32! 481570354aaaaddrdreareearayariarsin1)sinsin(sin)(812323100,210200302344sinsin81deddrerairar)8(32)(cos31cos32! 481570354baiiaaddrdreareearazariarsin1)cos(sin)(812323100,210因而有：210152101

37、4210142100,2112100,2112100,2112100,211323232aaazyxr)8(0cossin81200202344cdeddrerairar代入（1）有：)9(3234631082100,211331 , 22100,211cerceA(IV)21-1 100跃迁：) 的值A，不影响ai32y 只是 (相同，即(8c) 、(8b) 、(8a)计算所得数值与 e 更换换 e 中的有差异差异即部分的 矩阵阵元的计算上，只关于这种跃迁，在偶极571,10021i -i1 -211 -21是)10(3263108100, 121ceA按题意, 从第一激发态跃迁到基态的几率

38、, 应当包括第一激发态的四种简并200,211,21-1,210 分别跃迁到100 的总几率,所以应当将(7)、(9)、(10)求总和，于是有：100, 121100,211100,210100,20012AAAAAsp根据前一题计算所得到的自发辐射系数A2p1s，以及相应的发射频率21的值，我们可以求得赖曼系数中第一条线的强度I21(21)，211222121)( sppAnI这里n2p是辐射前处在2p态上的氢原子数目，其它能级间有跃迁时，Ikk(kk)的计算也按上述步骤。63107863108631086310832323232cececece83142652246310782328332

39、cenecenpp2/设有一个自旋是 的粒子，相应的磁矩是=gs，粒子置于旋转磁场中，磁场是：粒子与磁场的作用能是： 。又设粒子原先处于 的态，试讨论跃迁几率。)常数(sincos000BBtBBtBBzyxBsgB2/【分析】本题是一个具有自旋的体系，所受的微扰【分析】本题是一个具有自旋的体系，所受的微扰是随时间变化的，但不同于光照射，因此不能使用是随时间变化的，但不同于光照射，因此不能使用光照跃迁公式，也要用最普遍的随时间变化的跃迁光照跃迁公式，也要用最普遍的随时间变化的跃迁公式。计算中的算符可用角动量表象。公式。计算中的算符可用角动量表象。 习题习题4 4解： 微扰算符)sincos(0

40、00zyxsBtsBtsBgBsgHzyxsgBstgBstgBsincos000zyxBgtBgtBg2sin2cos2000BeBeBBgtiti002BtitBtitBBg)sin(cos)sin(cos200其次，设法来表示体系的初末状态，因为有自旋，所以波函数适宜用旋量式，按照题意，粒子的自旋初态是正的自旋，因此若设定轨道运动 ，则)(rk01)(),(rsrkzk末态方面，由于自旋只可能有两种，因而只会有两种指定的末态。此外，因为微扰是磁场，它引起的附加能量只与自旋有关，与轨道运动无关，轨道波函数是不变的，所以，所述两种末态波函数是：)3(01)(),(arsrkzk)3(10)(

41、),(brsrkzk 在能量方面，若一开始粒子就在磁场之中，则除轨道运动能量外应考察自旋轨道相互作用)4(2)0(BgEEkk)0(kE但 是轨道能量，同理，末态的总能量是：)5(2)0(aBgEEkk)5(2)0(bBgEEkk 根据（3）的两个式子，配合（1）和（2），可算得矩阵元。先对第一种跃迁进行计算，即kk情形，假定 是归一化的：)(rkdsrHsrHzkzkkk),(),(*drrBeBeBBgkktiti)()(010, 12*0010, 120tieBBg)6(2Bg再根据与时间有关的微扰跃迁振幅公式tkktikkdtHeitCkk0)()7(1)(此式中)(1kkkkEE将此

42、结果连同(6)代入(7), 得:gBittBgitCkk21)2(1)(跃迁几率)8(41)()(2222tBgtCtPkkkk0)2()2(1)0()0(BgEBgEkk这是指粒子处在原状态的几率, 是与时间平方成正比的. 再计算第二种跃迁迁几率, 即kk的情形 dsrHsrHzkzkkk),(),(* drrBeBeBBgkktiti)()(011, 02*0011, 020tieBBg)9(20tieBg同样可以用(7)来计算跃迁振幅,此式中的频率跃变(实际上是能量跃迁)(1kkkkEE gBBgEBgEkk)2()2(1)0()0(代入(7)式(k更改为k”) tttgBitiigBt

43、kkdtegiBdteBgeitC00)(002)2(1)(跃迁几率)10()2(4)()2(sin)(2022202 gBtBggBtgBBgtPkk若将（10）式展开到t2项再和（8）式相加，近似地验证了跃迁几率的守恒性质。 tttgBitiigBtkkdtegiBdteBgeitC00)(002)2(1)(最后一式是虚指数积分,近似地用函数表示（时间很长以后）2)(220)(0)()2(sin)(21)(igBtgBikkegBtgBgBgBiegBtC 试用玻恩近似计算库仑散射的微分截面(),库仑势为 , 入射粒子质量为, 速度为v,为实数.rrV)() 1 (2sin2,|sin)(

44、|4)(20222kqqrdrrrVqrrV)(将 代入上式,)2(|sin|4)(204222qrdrq 其中不确定rrqrqqrdr00|cos1sin习题习题5 5解 散射的玻恩近似公式为用下述方法可以确定上述积分值,) 3(1limsinlimsin220000qqqqrdreqrdrr将(3)式代入(2)式, 得)4(2sin42sin44)(4422444224422kq不确定rrqrqqrdr00|cos1sin考虑两个质量为 m 的高能全同粒子散射, 相互作用力势为 , 其中A与是大于0的常数,分别在以下情况用玻恩近似公式计算散射微分截面(): (1) 粒子自旋 s=0 ; (

45、2) 粒子自旋 s=1/2 ;并且散射是非极化的; (3) 粒子自旋 s=1/2 ;并且这两个粒子的自旋均指向 z轴正方向.reArVr)()0(sin220ababbxdxeax提示提示:习题习题6 6解解 在中心力场 V(r) 中, 出射球面波振幅) 1 (sin)(2)(02gqrdrrrVqf其中)2(2sin2,2kqm将 代入(1)式, 并利用提示积分公式和(2)式, 算出reArVr)()3()2sin4(2)(2222kAf)4()2cos4(2)(2222kAf(1) s=0 的全同粒子散射2| )()(|)(ff)5()2cos412sin41(42222222422kkA22| )()(|43| )()(|41)(ffff(2) s=1/2 的全同粒子非极化散射-无规分布)6()2cos412sin41(3)2cos412sin41(22222222222222422kkkkA (3) s=1/2 的全同粒子极化散射, 散射体系处于 总自旋 s=1, ms=1 的态)7()2cos412sin41(4| )()(|)(22222224222kkAff感谢各位一年来对我教学工作的配合！祝大家量子力学考试祝大家量子力学考试取得好成绩！取得好成绩！