第11章静定结构的内力和位移课件.ppt

1、第第11章章 静定结构的内力和位移静定结构的内力和位移 【本章教学要点】知识模块掌握程度知识要点静定结构的概念理解静定结构的确定方法和主要类型静定结构的内力重点掌握单跨梁和多跨梁弯矩图绘制的叠加法平面刚架的内力图平面桁架内力求解的结点法和截面法了解三铰拱的内力求解和合理拱轴线的确定结构的变形与位移理解结构变形与位移的概念、位移计算的目的以及产生位移与变形的原因静定结构的位移了解平面杆系结构的虚功方程熟悉结构位移计算的一般公式掌握静定结构在荷载作用下的位移计算重点掌握图乘法静定结构的特点总结掌握静定结构的基本特性【本章技能要点】技能要点掌握程度应用方向静定结构内力计算掌握静定结构强度校核合理拱轴

2、线的确定了解桥梁工程拱桥设计中轴线的选择与确定静定结构位移计算掌握静定结构刚度校核11.1 静定结构的概念 从力的求解的角度定义，静定结构指的是在外力因素作用下全部支座反力和内力都可由静力平衡条件确定的结构；从几何组成分析角度定义，静定结构指的是几何不变且无多余约束的结构。 静定结构受力分析的基本方法是用截面法取隔离体，画受力图，对受力图建立平衡方程求反力和内力。求解时，应尽可能做到一个方程只含一个未知力，从而避免解联立方程。静定结构在工程中有着广泛的应用，又是超静定结构分析的基础。因此，熟练掌握静定结构的内力计算方法，了解其力学性能，对于结构设计或者选择结构形式时的定性分析是极为重要的。 1

3、1.2 11.2 单跨静定梁单跨静定梁一、截面上内力符号的规定：一、截面上内力符号的规定： 轴力轴力截面上应力沿杆轴切线方向的截面上应力沿杆轴切线方向的合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图合力，使杆产生伸长变形为正，画轴力图要注明正负号；要注明正负号； 剪力剪力截面上应力沿杆轴法线方向的截面上应力沿杆轴法线方向的合力合力, 使杆微段有顺时针方向转动趋势的使杆微段有顺时针方向转动趋势的为正，画剪力图要注明正负号；为正，画剪力图要注明正负号； 弯矩弯矩截面上应力对截面形心的力矩截面上应力对截面形心的力矩之和之和, , 以水平梁下侧纤维受拉为正，反之以水平梁下侧纤维受拉为正，反之为负。弯矩图画在杆件

4、受拉一侧，不注符为负。弯矩图画在杆件受拉一侧，不注符号。号。NNQQMM二、用截面法求指定截面内力二、用截面法求指定截面内力先计算左截面的内力，可取截面先计算左截面的内力，可取截面1以左以左隔离体进行分析。隔离体进行分析。PPPP1.5aM Z1N Z1Q Z1PNxZ10PQPQyZZ1100PaMaPMMZZ5 . 105 . 10111M U1N U1Q U12Pa计算右截面的内力计算右截面的内力,也可取截面也可取截面1以左隔以左隔离体进行分析。在这个隔离体上有集离体进行分析。在这个隔离体上有集中力矩中力矩 2Pa，三个未知力为三个未知力为：PNxU10PQPQyUU1100PaMaPP

5、aMMUU5 . 005 . 120111P2Pa1a1.5a1.5aP计算如图所示结构截面计算如图所示结构截面 1 的内力的内力PP1.5a根据静力平衡条件求截面未知力：根据静力平衡条件求截面未知力：aM 2N 2Q2aP1.5a1.5a2PaPPP123(a)PP1.5a(d)1.5a22PaPN 2M 2Q2.,222PaMPQPNN 3PaPQ3M 3 现取截面现取截面 2 左边的隔离体进行左边的隔离体进行分析，根据三个平衡条件就可得出分析，根据三个平衡条件就可得出截面截面 2 上的三个未知力：上的三个未知力：此时应取截面此时应取截面 3 以上的隔离体进行以上的隔离体进行分析比较简单分

6、析比较简单。., 0333PaMPQN计算截面计算截面 2 的内力的内力也可取截面也可取截面 2 右边隔离体计算右边隔离体计算计算截面计算截面 3 的内力的内力三、荷载、内力之间的关系三、荷载、内力之间的关系（平衡条件的几种表达方式）（平衡条件的几种表达方式）q(x) 以向下为正d xQ Q+d Q MM+d M（1）微分关系）微分关系qdxdQQdxdMqdxMd22q d x（2）增量关系）增量关系Q Q+ Q MM+ M d xPmPQmM （3）积分关系）积分关系q(x)QA QB MAMB由d Q = qd xBAxxABdxxqQQ)(由d M = Qd xBAxxABdxxQMM

7、)(水平杆件下侧受拉为正；竖向杆件右侧受拉为正。几种典型弯矩图和剪力图几种典型弯矩图和剪力图l /2l /2ml /2l /2Pl q2P2Plm2ql2ql4Pl2m2m82ql 1、集中荷载作用点、集中荷载作用点M图有一夹角，荷载向图有一夹角，荷载向下夹角亦向下；下夹角亦向下；Q 图有一突变，荷载向图有一突变，荷载向下突变亦向下。下突变亦向下。 2、集中力矩作用点、集中力矩作用点M图有一突变，力矩图有一突变，力矩为顺时针向下突变；为顺时针向下突变；Q 图没有变化。图没有变化。 3、均布荷载作用段、均布荷载作用段M图为抛物线，荷载向图为抛物线，荷载向下曲线亦向下凸；下曲线亦向下凸；Q 图为斜

8、直线，荷载向图为斜直线，荷载向下直线由左向右下斜下直线由左向右下斜四、分段叠加法作弯矩图四、分段叠加法作弯矩图AYBYMAMBqM+qPABqMBNAYAYBNBMAMAMBAYBYqMBMAMMMMMMBMAMAMBMMM分段叠加法的理论依据：分段叠加法的理论依据：假定假定：在外荷载作用下，结构构件材料均处于线弹性阶段。ABO图中：图中：OA段即为线弹性阶段段即为线弹性阶段 AB段为非线性弹性阶段段为非线性弹性阶段3m3m4kN4kNm4kNm4kNm2kNm4kNm6kNm3m3m8kNm2kN/m4kNm2kNm4kNm4kNm6kNm4kNm2kNm（1）集中荷载作用下）集中荷载作用下

9、（2）集中力偶作用下）集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图（1）悬臂段分布荷载作用下）悬臂段分布荷载作用下（2）跨中集中力偶作用下）跨中集中力偶作用下（3）叠加得弯矩图）叠加得弯矩图分段叠加法作弯矩图的方法：分段叠加法作弯矩图的方法：（1）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的）选定外力的不连续点（集中力作用点、集中力偶作用点、分布荷载的始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；始点和终点）为控制截面，首先计算控制截面的弯矩值；（2）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯）分段求作弯矩图。当控制截面间无荷载时，弯矩图为连接控制截面弯

10、矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的矩值的直线；当控制截面间存在荷载时，弯矩图应在控制截面弯矩值作出的直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。直线上在叠加该段简支梁作用荷载时产生的弯矩值。1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF G例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。例：利用叠加法求作图示梁结构的内力图。分析分析该梁为简支梁，弯矩控制截该梁为简支梁，弯矩控制截面为：面为：C、D、F、G叠加法求作弯矩图的关键是叠加法求作弯矩图的关键是计算控制截面位置的弯矩值计算控制截面位置的弯矩值解：解： （1）先计算支座反力）先计

11、算支座反力17ARkN7BRkN（2）求控制截面弯矩值）求控制截面弯矩值取取AC部分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：取取GB部分为隔离体，可计算得：部分为隔离体，可计算得：17117CMkN717rGMkN1m 1m2m2m1m 1mq=4 kN/mABCP=8kNm=16kN.mDEF GABCDEF GABCDEF G17A ClCQCM1717ClCMQ1713P=8kNADm=16kN.mGB4267G BGQrGM77rGGMQ782315308M图（图（kN.m）1797+_Q图（图（kN）11.3 11.3 多跨静定梁多跨静定梁一、多跨静定梁的几何组成特性一、多跨静定

12、梁的几何组成特性 多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以区分为多跨静定梁常用于桥梁结构。从几何组成特点看，它的组成可以区分为基本部分和附属部分。基本部分和附属部分。二、分析多跨静定梁的一般步骤二、分析多跨静定梁的一般步骤 对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分对如图所示的多跨静定梁，应先从附属部分CE开始分析开始分析：将支座：将支座C 的支反的支反力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座力求出后，进行附属部分的内力分析、画内力图，然后将支座 C 的反力反向的反力反向加在基本部分加在基本部分AC 的的C 端作为荷载端作为荷载，再进行基本部分的内力分析和画内力图，再

13、进行基本部分的内力分析和画内力图，将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图将两部分的弯矩图和剪力图分别相连即得整个梁的弯矩图和剪力图 。CA E（a）（b）EACACE（c） 如图所示梁，其中如图所示梁，其中 AC 部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个部分不依赖于其它部分，独立地与大地组成一个几何不变部分，称它为几何不变部分，称它为基本部分基本部分；而；而CE部分就需要依靠基本部分部分就需要依靠基本部分AC才能保才能保证它的几何不变性，相对于证它的几何不变性，相对于AC 部分来说就称它为部分来说就称它为附属部分附属部分。11.4 静定平面刚架静定平面刚架 刚架是由梁和柱

14、以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性刚架是由梁和柱以刚性结点相连组成的，其优点是将梁柱形成一个刚性整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。整体，使结构具有较大的刚度，内力分布也比较均匀合理，便于形成大空间。(a)(b)(c)(d)(e) 下图是常见的几种刚架：图（下图是常见的几种刚架：图（a）是车站雨蓬，图（）是车站雨蓬，图（b）是多层多跨房屋，）是多层多跨房屋，图（图（c）是具有部分铰结点的刚架。）是具有部分铰结点的刚架。刚架结构优点：刚架结构优点：（1）内部有效使用空间大；）内部有效使用空间大；（2）结构整体性好、刚度大；）结构整体性好、刚度大；（3

15、）内力分布均匀，受力合理。）内力分布均匀，受力合理。一、平面刚架结构特点：一、平面刚架结构特点：1 1、悬臂刚架、悬臂刚架2、简支刚架、简支刚架3、三铰刚架、三铰刚架二、常见的静定刚架类型二、常见的静定刚架类型 分段分段：根据荷载不连续点、结点分段。根据荷载不连续点、结点分段。定形定形：根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。根据每段内的荷载情况，定出内力图的形状。求值求值：由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。由截面法或内力算式，求出各控制截面的内力值。画图画图：画画M M图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直图时，将两端弯矩竖标画在受拉侧，连以直线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩

16、图。线，再叠加上横向荷载产生的简支梁的弯矩图。Q Q，N N 图要标图要标，号；竖标大致成比例。，号；竖标大致成比例。三、三、静定平面刚架的内力计算静定平面刚架的内力计算 例例1. 试计算图试计算图(a)所示简支刚架的支座反力，并绘制所示简支刚架的支座反力，并绘制、Q和和N图。图。2m2m4mABCD40 kN20 kN/m(1)支座反力支座反力80AH20AV60BV(a)20 kN/mAB4m2080BAQBAN20 kN/mAB4mBAM160 kNm(b)(c)解解,80kNHA,20kNVAkNVB60。(2)求杆端力并画杆单元弯矩图。求杆端力并画杆单元弯矩图。00804200BAB

17、AQQXkNNNYBABA200200mkNMMMBABAB16004802420040160AB(d)M图图2m2m40kNBD60BDQBDNBDM2m2mBD40kN160kNm16040BD00BDNXkNQYBD200mkNMMBDD160040160AB160D4020kN/mAB4m2080BAQBANBAM802060Q图（图（kN)M图图 (kNm）M图图2m2m4mABCD40kN20kN/m602080802060Q图（图（kN)200BDNBANB20N图（图（kN)40160AB160D40M 图图 (kNm） 例2. 试计算下图所示悬臂刚架的支座反力，并绘制、Q和N

18、图。2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDE解：（1）计算支座反力AXAYAM0420AXaqxqaXA80460aqqaYyAqaYA1002422624202AAMaaqaqaaaqqam214qaMA2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDE（2）计算各杆端截面力，绘制各杆M图1）杆CDDCQDCNDCM2qa2CD0DCQ0DCN22qaMDC6qaDB0022qaDDBQDBNDBM0DBN0DBQ22qaMDB210qaMBD22qaBDQBDNBDM结点D2）杆DB2qa2M图qaQBD60BDN22qa210qa26qaM图2a 2a4a4a3aq6qa

19、2q2qa2ABCDExyBEQBENBEM3aE4aqB0 x0sin4aqNBEqaqaNBE4 . 25340 y0cos4aqQBEqaqaQBE2 . 35440Bm024aaqMBE28qaMBE3)杆BE2qaAB28qa8qa10qa14qa2BANBAQBAMqaNBA100BAQ22qaMBA214qa24qa22qaM图图M图图4）杆AB214qa24qa22qa22qa210qa26qa2qa228qa2qa228qa22qa210qa214qa24qa6qa2qa2q 2q2qa2CD22qa210qa26qaDB28qaBE214qa24qa22qaBA1082BM

20、图（3）绘制结构M图也可直接从悬臂端开始计算杆件弯矩图M图214qa24qa22qa22qa210qa26qa2qa228qa2a2a4a4a3aq6qa 2q2qa2ABCDEQ 图2.4qa10qaN 图3.2qa6qa8qa（4）绘制结构Q图和N图0DCQ0DCN0DBN0DBQqaQBD60BDNqaNBE4 . 2qaQBE2 . 3qaNBA100BAQ)(8 qaXA)(10qaYA拱的实例拱的实例三铰拱的特点三铰拱的特点P2HVAVBP1H三铰拱的类型、基本参数三铰拱的类型、基本参数lf101lf曲线形状：抛物线、圆、悬链线.11.5 静定拱静定拱11.5.1 概述11.5.2

21、 11.5.2 三铰拱的内力计算三铰拱的内力计算一、支座反力支座反力 与同跨度同荷载对应简支梁比较P2HAVAVBP1HBVAVBP1P2a1a2b1b2xxdDVAHP1dcl1ffyMVlPbPbVVBAAA011 122MVlPaPaVVABBB011122xHHHAB0MC0VlP dH fA110MH fHMfCC0ll1l2ccVAQoMoP1VAHP1QoHMDxy二、内力计算二、内力计算 以截面D为例截面内弯矩要和竖向力及水平力对截面内弯矩要和竖向力及水平力对D D点构成点构成的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。的力矩相平衡，设使下面的纤维受拉为正。MVxPxaH yA11M

22、MH yoQQHcossinNQH sincos三、受力特点三、受力特点（1）在竖向荷载作用下有水平反力 H;（2）由拱截面弯矩计算式可见，比相应简支梁小得多;（3）拱内有较大的轴向压力N.x-a10DMxq=2kN .mP=8kN3mx2=3m7.5kNVAHVB2y2y012345678AB例 1、三铰拱及其所受荷载如图所示拱的轴线为抛物线方程yflx lx42计算反力并绘制内力图。（1）计算支座反力VVkNAA 269831211VVkNBB 26389129HMfkNC11 6263475 .（2）内力计算yflx lxm222444123 1233tgdydxflxlxx233412

23、4412123120667.22233 4105550832,sin.,cos.MMHykN m22211323 1575315 .QQHkNkN222211230832750555000250003 cossin.kNHQN015. 9832. 05 . 7555. 03211cossin22226m6mf=4mkN11kN9kN5 . 7以截面2为例xq=2kN .mP=8kN2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.0000.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.06

24、03.331M 图kN.mQ 图 kNN 图 kN13.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500绘制内力图绘制内力图11.5.3 11.5.3 三铰拱的合理轴线三铰拱的合理轴线 在固定荷载作用下，使拱处于无弯矩状态的轴线称为合理轴线。由上述可知，按照压力曲线设计的拱轴线就是合理轴线。MMHy 它是由两项组成，第一项是简支梁的弯矩，而后一项与拱轴形状有关。令0HyMM 在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线的纵标值与简支梁的弯矩纵标值成比例。的弯矩纵标值成比例。 HxMxy从结构优化设计

25、观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。从结构优化设计观点出发，寻找合理轴线即拱结构的优化选型。对拱结构而言，任意截面上弯矩计算式子为：例1、设三铰拱承受沿水平方向均匀分布的竖向荷载，求其合理轴线。yxxqABqfl/2l/2ABCql2ql2解解 由式 y xMxH先列出简支梁的弯矩方程 Mxqx lx2拱的推力为：HMfqlfC28所以拱的合理轴线方程为： y xqx lxfqlflx lx28422 注注 意意*合理轴线对应的是合理轴线对应的是 一组固定荷载一组固定荷载11.6 静定平面桁架静定平面桁架 桁架是由链杆组成的格构体系，当荷载仅作用在结点上时，桁架是由链杆组成的格构体系，当

26、荷载仅作用在结点上时，杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想杆件仅承受轴向力，截面上只有均匀分布的正应力，是最理想的一种结构形式。的一种结构形式。理想桁架：理想桁架：（1 1）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；）桁架的结点都是光滑无摩擦的铰结点；（2 2）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；）各杆的轴线都是直线，并通过铰的中心；（3 3）荷载和支座反力都作用在结点上）荷载和支座反力都作用在结点上上弦杆腹杆下弦杆主应力、次应力主应力、次应力11.6.2 静定平面桁架的内力计算静定平面桁架的内力计算+8013Y60438013X100458013N01312 XN6012N4023

27、N6024N40608040080403434YY30434034X50454034N90060303535NN-100604060-905080_ _ _606040604030+-900-902015+75758075_ _ _1001N2N1N2N01N02NPN 102N1N2N3N21NN 03N 结点平面汇交力系中，某一根杆件的内力为零，称为零力杆。结点平面汇交力系中，某一根杆件的内力为零，称为零力杆。 零力杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。零力杆的内力可直接根据静力平衡条件求出。1234567891011ABCDABC一、一、 平面平面一般一般力系力系 0X 0Y 0MOy截面

28、单杆截面单杆：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相：任意隔离体中，除某一杆件外，其它所有待求内力的杆件均相交于一点（或者相互平行交于无穷远处）时，则此杆件称为该截面的截面交于一点（或者相互平行交于无穷远处）时，则此杆件称为该截面的截面单杆。截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。单杆。截面单杆的内力可直接根据隔离体矩平衡条件求出。11.6.3 11.6.3 截面法截面法AB1234512346ddd34PPPPVA5 . 1PVB5 . 1abcde(1)aNbN2d34112PP5 . 1aNbNPVPNYAa5 . 00025 . 13402dPdNMbPNb25.

29、 2例例1 1、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。、求图示平面桁架结构中指定杆件的内力。AB1234512346ddd34PPPPVA5 . 1PVB5 . 1abcde(2)cNcNB454PP5 . 1dePPPYc5 . 05 . 1PYNcc625. 045AB1234512346ddd34PPPPVA5 . 1PVB5 . 1abcdedN4B45PP5 . 1eXeYk2d2d025 . 122dPddPNdPNd25. 0 04M0kMPXe25. 2PXNee1043310(3)edNNABCDP1P212N1DABCDP1P2210NMDN220NMC一、一、结构变形与位移

30、概述 计算位移的目的：（计算位移的目的：（1）刚度验算，（）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础）超静定结构分析的基础产生位移的原因：（产生位移的原因：（1）荷载）荷载cc1t12tt （2）温度变化、材料胀缩）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差）支座沉降、制造误差以上都是绝对位移以上都是绝对位移11.7 结构的变形与位移 AVBV以上都是相对位移以上都是相对位移广义位移广义位移位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便一、虚功原理P1P2112212荷载由零增大到荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到，其作用点的位移也由零增大

31、到11，对线弹性体系，对线弹性体系P与与成正比。成正比。P11P1元功：元功：再加再加P2， P2在自身引起的位移在自身引起的位移22上作的功为：上作的功为：在在12过程中，过程中，P1的值不变，的值不变，12与与P1无关无关dTOABdPdT1111121PdTT2222221PT12112 PT11.8 单位载荷法 1、实功与虚功、实功与虚功 实功实功是力在自身引起的位移上所作的功。如是力在自身引起的位移上所作的功。如 T11，T22， 实功恒为正。实功恒为正。 虚功虚功是力在其它原因产生的位移上作的功。如是力在其它原因产生的位移上作的功。如T12， 如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功

32、为负。如力与位移同向，虚功为正，反向时，虚功为负。P1P2112212荷载由零增大到荷载由零增大到P1，其作用点的位移也由零增大到，其作用点的位移也由零增大到11，对线弹性体系，对线弹性体系P与与成正比。成正比。P11P1元功：元功：再加再加P2， P2在自身引起的位移在自身引起的位移22上作的功为：上作的功为：在在12过程中，过程中，P1的值不变，的值不变，12与与P1无关无关dTOABKj位移发生的位置位移发生的位置产生位移的原因产生位移的原因dPdT1111121PdTT2222221PT12112 PT2、广义力与广义位移、广义力与广义位移 作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，

33、称为广义力作功的两方面因素：力、位移。与力有关的因素，称为广义力S。与位移。与位移有关的因素，称为广义位移有关的因素，称为广义位移。 广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：广义力与广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。即：T=S1）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量）广义力是单个力，则广义位移是该力的作用点的位移在力作用方向上的分量Pm2）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角）广义力是一个力偶，则广义位移是它所作用的截面的转角。3）若广义力是等值、反向的一对力）若广义力是等值、反向的一对力PPPttABBA这里这里是与广义力相应的广义位移。

34、是与广义力相应的广义位移。表示表示AB两点间距的改变，即两点间距的改变，即AB两点的相对位移。两点的相对位移。4）若广义力是一对等值、反向的力偶）若广义力是一对等值、反向的力偶 mABmm A B这里这里是与广义力相应的广义位移。是与广义力相应的广义位移。表示表示AB两截面的相对转角。两截面的相对转角。BAPPT)(BAP PBAmmT)(BAm mabABC1c?P=1ABCab1R二、虚力原理二、虚力原理已知已知1c求求虚功方程虚功方程设虚力状态设虚力状态abR0bPaR110cR1111cab小结：小结： （1）形式是虚功方程，实质是几何方程；）形式是虚功方程，实质是几何方程；（2）在拟

35、求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相）在拟求位移方向虚设一单位力，利用平衡条件求出与已知位移相 应的支座反力。应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系；（3）特点是用静力平衡条件解决几何问题。）特点是用静力平衡条件解决几何问题。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。单位荷载其虚功正好等于拟求位移。虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移三、结构位移计算的一般公式三、结构位移计算的一般公式 变形体的位移计算变形体的位移计算推导位移计算公式的两种途径推导位移计算公式的两种途径由变形体虚功原理来推导；由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导由刚体虚功原理来推导局部到整体局部到

36、整体。（1）局部变形时的位移计算公式）局部变形时的位移计算公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsddRdsR1（1）三种变形：）三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段ds设为变形体，分析局部变形设为变形体，分析局部变形所引起的位移。所引起的位移。dsRdsddsddsddsdddRiiddsddsddRds 1Q,N,M（2）微段两端相对位移：）微段两端相对位移：续基本思路：设续基本思路：设,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面B左右两端的相对位移的左右两端的相对位移的形式出现，形式出现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原

37、理求位移。（3）应用刚体虚功原理求位移）应用刚体虚功原理求位移d 即前例的结论。即前例的结论。dQdNdMdQNM或或ds)QNM(d（2）结构位移计算的一般公式）结构位移计算的一般公式iids)QNM(d一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：ds)QNM(d如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：ds)QNM(若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：kkcRds)QNM(kkcRds)QNM(适用范围与特点：适用范围与特点：2） 形式上是虚功方程，实质是几

38、何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论：（1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。（2）变形原因：荷载与非荷载。）变形原因：荷载与非荷载。（3）结构类型：各种杆件结构。）结构类型：各种杆件结构。（4）材料种类：各种变形固体材料。）材料种类：各种变形固体材料。1） 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。位移计算公式也是变形体虚功原理的一种表达式。kkcRds)QNM(1c2cdsds1t2tKK 11R2RdsddsdddsdsdsMdsNdsQ外

39、虚功：外虚功：kkecR1W内虚功：内虚功：dsQNMWi变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和变形体虚功原理：各微段内力在应变上所作的内虚功总和Wi ，等于荷载在位等于荷载在位移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和移上以及支座反力在支座位移上所作的外虚功总和We 。即：即：dsQNMcRkk1（3）位移计算的一般步骤）位移计算的一般步骤:1c2c1t2tKK 11R2R实际变形状态虚力状态kkcRds)QNM(建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力kR.Q.N.M表达式表达式;用位移公

40、式计算所求位移，注意正负号问题。用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。kR.Q.N.M四、荷载作用下的位移计算四、荷载作用下的位移计算研究对象：静定结构、线性弹性材料。研究对象：静定结构、线性弹性材料。ds)QNM(重点在于解决荷载作用下应变重点在于解决荷载作用下应变 的表达式。的表达式。、一、计算步骤一、计算步骤（1）在荷载作用下建立）在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应变应变 过程推导应变表达式。过程推导应变表达式。PPPQ.N.M（2）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知）由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学知GAQkEANEIMPPPk-

41、为截面形状系数为截面形状系数1.29101AA(3) 荷载作用下的位移计算公式荷载作用下的位移计算公式dsGAQQkdsEANNdsEIMMPPP二、各类结构的位移计算公式二、各类结构的位移计算公式（1 1）梁与刚架）梁与刚架dsEIMMP（2 2）桁架）桁架EAlNNdsEANNdsEANNPPP（3 3）拱）拱dsEANNdsEIMMPPq2l2lACBAV(a) 实际状态实际状态xP=1ACB2l2l(b) 虚设状态虚设状态AC段段2lx00NP0MP0QP0NxM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Qx例例1. 试计算悬臂梁试计算悬臂梁A点的竖向位移点的竖

42、向位移CEI,AV。1）列出两种状态）列出两种状态的内力方程：的内力方程：AC段段2lx00NP0MP0QP0N xM1QCB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Q2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算将上面各式代入位移公式分段积分计算AVAC段段2lx0在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。CB段段lx2lllPP2l2ldxGAQQkdxEIMMl2lPM2l2lEIdx2lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44CB段段lx2l0NP2P2lx2qM2lxqQP0N xM1Ql2lPM2l2lEIdx2

43、lx2qxdxEIMM EI384ql7192l7EI2q44 l2lPQ2l2lGA20ql3GAdx2lxq12 . 1dxGAQQkGA20ql3EI384ql724QM设为矩形截面设为矩形截面 k=1.23）讨论）讨论比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。比较剪切变形与弯曲变形对位移的影响。GAqlEIqlQM20338472424223. 83847203GAlEIEIqlGAqlMQ设材料的泊松比设材料的泊松比 , 由材料力学公式由材料力学公式 。 313812GE设矩形截面的宽度为设矩形截面的宽度为b、高度为、高度为h，则有，则有,12bhI ,bhA3代入上式代入上式22283.

44、 11213823. 823. 8lhlhGAlEIMQ%32. 7,51%;83. 1,101MQMQlhlh时当时当2P2PPm/NqP4qlP 1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5N2P2P例例2 计算屋架顶点的竖向位移。计算屋架顶点的竖向位移。0.25l0.25l0.25l0.25lADCEFGB1111.51.5-4.74-4.42-0.954.51.53.0PN10.50.5-1.58-1.58001.51.5NEAlNNPCADDCDE材料杆件PNNlAEAlNNPEAlNNP钢筋砼钢CEAEEG

45、ccAEPl97. 1ccAEPl81. 3ssAEPl63. 0ssAEPl13. 1ssccCEAEAPl13. 181. 32ABCDEFGP74. 458. 1l263. 0P42. 458. 1l263. 0cAcAccAEPl84. 1P95. 00l088. 0cA75. 00P50. 10l278. 0sA0P50. 450. 1l278. 0sA3P00. 350. 1l222. 0sA2ssAEPl50. 011.9 图乘法kidsEIMMkiCEIdxMMEI1PEIydxEIMM0wyEI01wxtgEI01wBAkdxxMtgEI1BAkMdxxtgMEIi1是直线直

46、线kidxEIMM直杆直杆MiMi=xtgyxMkdxxy0 x0注注：y0=x0tg表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。表示对各杆和各杆段分别图乘再相加。图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：a）EI=常数；常数；b）直杆；）直杆；c）两个弯矩图）两个弯矩图 至少有一个是直线。至少有一个是直线。竖标竖标y0取在直线图形中，对应另一图形的形心处。取在直线图形中，对应另一图形的形心处。面积面积与竖标与竖标y0在杆的同侧，在杆的同侧， y0 取正号，否则取负号。取正号，否则取负号。几种常见图形的面积和形心的位置：几种常见图形的面积和形心的位置：(a+l)/3(b+l)/3=hl/2labhl/2l/2

47、h二次抛物线二次抛物线=2hl/3h3l/4l/45l/83l/8二次抛物线二次抛物线=hl/3二次抛物线二次抛物线=2hl/34l/5l/5hh三次抛物线三次抛物线=hl/4(n+1)l/(n+2)l/(n+2)hn次抛物线次抛物线=hl/(n+1)顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点顶点当图乘法的适用条件不满足时的处理当图乘法的适用条件不满足时的处理方法：方法：a）曲杆或）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积）时，只能用积分法求位移；分法求位移；b）当）当EI分段为常数或分段为常数或Pl/2l/2EIABm=11/2Pl/4EIPllPlEIB162142112ql2/2MMPMPP=1l

48、MlqABEIqlllqlEIB843231142例：求梁例：求梁B点转角位移。点转角位移。例：求梁例：求梁B点竖向线位移。点竖向线位移。3l/4M、MP均非直线时，应分段图乘再叠加。均非直线时，应分段图乘再叠加。PPaaa例：求图示梁中点的挠度。例：求图示梁中点的挠度。PaPaMPP=13a/4MEIPaPaaaaPaEIaa24232222232213432a/2a/2PaaaEI343211Pl/2l/2C例：求图示梁例：求图示梁C点的挠度。点的挠度。MPPlCP=1l/2Ml/6l6EIPl123=PlEIC212=DEIPl4853Pl65llEIyC22210w5Pl/6？非标准图

49、形乘直线形非标准图形乘直线形 a）直线形乘直线形）直线形乘直线形abdcl/3l/3l/312y1y2bcadbdacl226dc323bl2dc332al2yydxMMki2211wwMiMk各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，各种直线形乘直线形，都可以用该公式处理。如竖标在基线同侧乘积取正，否则取负。否则取负。S = 9/6（262 +2 43+6 3+42） =111（1）32649S = 9/6（262+203+6302） = 9S=9/6（262243+6342） =15S = 9/6（262+2436342） = 332364（3）9（2）32649（

50、4）2369labdch+bah232dchl226bcadbdaclSb)非标准抛物线乘直线形非标准抛物线乘直线形 E=3.3 1010 N/ m2 I=1/12 1002.53cm4=1.3 10-6 m4 折减抗弯刚度折减抗弯刚度 0.85EI=0.85 1.3010-63.31010 = 3.6465 104 N m2例：例： 预应力钢筋混凝土墙板单预应力钢筋混凝土墙板单点起吊过程中的计算简图。点起吊过程中的计算简图。已知：板宽已知：板宽1m，厚，厚2.5cm，混凝土，混凝土容重为容重为25000N/m3，求，求C点的挠度。点的挠度。q=625 N/m2.2m0.8mABC解：解：q=