2019届高考数学大一轮复习第六章数列高考专题突破三高考中的数列问题学案（文科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破三 高考中的数列问题 【考点自测】 1 (2017 洛阳模拟 )已知等差数列 an的公差和首项都不等于 0，且 a2， a4， a8成等比数列，则 a1 a5 a9a2 a3等于 ( ) A 2 B 3 C 5 D 7 答案 B 解析 在等差数列 an中， a2， a4， a8成等比数列， a24 a2a8， ( a1 3d)2 (a1 d)(a1 7d)， d2 a1d， d0 ， d a1， a1 a5 a9a2 a3 15a15a1 3.故选 B. 2 (2018 衡水调研 )已知等差数列 an的前 n 项和为 Sn， a5 5， S5 15

2、，则数列 ? ?1anan 1的前 100 项和为 ( ) A.100101 B.99101 C.99100 D.101100 答案 A 解析 设等差数列 an的首项为 a1，公差为 d. a5 5， S5 15， ? a1 4d 5，5a1 5 ?5 1?2 d 15， ? a1 1，d 1， an a1 (n 1)d n. 1anan 1 1n?n 1? 1n 1n 1， 数列 ? ?1anan 1的前 100 项和为 ? ?1 12 ? ?12 13 ? ?1100 1101 1 1101 100101. 3若 a， b 是函数 f(x) x2 px q(p 0， q 0)的两个不同的零

3、点，且 a， b， 2 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 p q 的值等于 ( ) A 6 B 7 C 8 D 9 答案 D 解析 由题意知 a b p， ab q， p 0， q 0， a 0， b 0.在 a， b， 2 这三个数的6 种排序中，成等差数列的情况有： a， b， 2； b， a， 2； 2， a， b； 2， b， a；成等比数列的情况有： a， 2， b； b， 2， a. =【 ;精品教育资源文库 】 = ? ab 4，2b a 2 或 ? ab 4，2a b 2， 解得 ? a 4，b 1 或 ? a 1，b 4. p 5， q 4， p

4、q 9，故选 D. 4 (2017 江西高安中学等九校联考 )已知数列 an是等比数列，数列 bn是等差数列，若a1 a6 a11 3 3， b1 b6 b11 7 ，则 tan b3 b91 a4 a8的值是 ( ) A 1 B. 22 C 22 D 3 答案 D 解析 an是等比数列， bn是等差数列，且 a1 a6 a11 3 3， b1 b6 b11 7 ， a36( 3)3,3b6 7 ， a6 3， b6 73 ， tan b3 b91 a4 a8 tan 2b61 a26 tan2 731 ? 3?2 tan? ? 73 tan? ? 2 3 tan 3 3. 5 (2018 保

5、定模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，对任意 n N 都有 Sn 23an 13，若 10， n N . (1)若 a2， a3， a2 a3成等差数列，求数列 an的通项公式； (2)设双曲线 x2 y2a2n 1 的离心率为 en，且 e2 2，求 e21 e22 e2n. 解 (1)由已知， Sn 1 qSn 1，得 Sn 2 qSn 1 1，两式相减得 an 2 qan 1， n1. 又由 S2 qS1 1 得 a2 qa1， 故 an 1 qan对所有 n1 都成立 所以数列 an是首项为 1，公比为 q 的等比数列， 从而 an qn 1. 由 a2， a3， a2 a3

6、成等差数列，可得 2a3 a2 a2 a3， 所以 a3 2a2，故 q 2. 所以 an 2n 1(n N ) (2)由 (1)可知， an qn 1， 所以双曲线 x2 y2a2n 1 的离心率 en 1 a2n 1 q2?n 1?. 由 e2 1 q2 2，解得 q 3， 所以 e21 e22 e2n (1 1) (1 q2) 1 q2(n 1) n 1 q2 q2(n 1) n q2n 1q2 1 n12(3n 1) 思维升华 等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标，为最终解决问题设置中间问题，例如求和需要先求出通项、求通项需要先求出首项和公差 (公比 )等

7、，确定解题的顺序 (2)注意细节：在等差数列与等比数列综合问题中 ，如果等比数列的公比不能确定，则要看其是否有等于 1 的可能，在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一个公式表示等，这些细节对解题的影响也是巨大的 跟踪训练 1 (2018 沧州模拟 )已知首项为 32的等比数列 an不是递减数列，其前 n 项和为Sn(n N )，且 S3 a3， S5 a5， S4 a4成等差数列 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)求数列 an的通项公式； (2)设 Tn Sn 1Sn(n N )，求数列 Tn的最大项的值与最小项的值 解 (1)设等比数列 an的公比为 q， 因为 S3 a3， S

8、5 a5， S4 a4成等差数列， 所以 S5 a5 S3 a3 S4 a4 S5 a5，即 4a5 a3， 于是 q2 a5a3 14. 又 an不是递减数列且 a1 32，所以 q 12. 故等比数列 an的通项公式为 an 32 ? ? 12 n 1 ( 1)n 1 32n. (2)由 (1)得 Sn 1 ? ? 12 n? 1 12n， n为奇数，1 12n， n为偶数 .当 n 为奇数时， Sn随 n 的增大而减小， 所以 1Sn 1Sn S2 1S2 34 43 712. 综上，对于 n N ，总有 712 Sn 1Sn 56. 所以数列 Tn的最大项的值为 56，最小项的值为 7

9、12. 题型二 数列的通项与求和 例 2 (2018 邢台模拟 )已知等差数列 an的公差为 2，前 n 项和为 Sn，且 S1， S2， S4成等比数列 (1)求数列 an的通项公式； (2)令 bn ( 1)n 1 4nanan 1，求数列 bn的前 n 项和 Tn. =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)因为 S1 a1， S2 2a1 212 2 2a1 2， S4 4a1 432 2 4a1 12， 由题意得 (2a1 2)2 a1(4a1 12)， 解得 a1 1，所以 an 2n 1. (2)bn ( 1)n 1 4nanan 1 ( 1)n 1 4n?2n 1?2n 1?

10、 ( 1)n 1? ?12n 1 12n 1 . 当 n 为偶数时， Tn ? ?1 13 ? ?13 15 ? ?12n 3 12n 1 ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n2n 1. 当 n 为奇数时， Tn ? ?1 13 ? ?13 15 ? ?12n 3 12n 1 ? ?12n 1 12n 1 1 12n 1 2n 22n 1. 所以 Tn? 2n 22n 1， n为奇数，2n2n 1， n为偶数 .(或 Tn 2n 1 ? 1?n 12n 1 ) 思维升华 (1)一般求数列的通项往往要构造数列，此时从要证的结论出发，这是很重要的解题信息 (2)根据数列的特点选择合适

11、的求和方法，常用的求和 方法有错位相减法、分组转化法、裂项相消法等 跟踪训练 (2018 大连模拟 )已知数列 an的前 n 项和为 Sn，且 a1 12， an 1 n 12n an(n N ) (1)证明：数列 ? ?ann 是等比数列； (2)求数列 an的通项公式与前 n 项和 Sn. (1)证明 a1 12， an 1 n 12n an， 当 n N 时， ann0 ， =【 ;精品教育资源文库 】 = 又 a11 12， an 1n 1 ann 12(n N )为常数， ? ?ann 是以 12为首项， 12为公比的等比数列 (2)解 由 ? ?ann 是以 12为首项， 12为公

12、比的等比数列， 得 ann 12 ? ?12 n 1， an n ? ?12 n. Sn 1 12 2 ? ?12 2 3 ? ?12 3 n ? ?12 n， 12Sn 1 ?122 2?123 (n 1)?12n n?12n 1， 两式相减得 12Sn 12 ? ?12 2 ? ?12 3 ? ?12 n n ? ?12 n 112 ?12n 11 12 n ? ?12 n 1， Sn 2 ? ?12 n 1 n ? ?12 n 2 (n 2) ? ?12 n. 综上， an n ? ?12 n， Sn 2 (n 2) ? ?12 n. 题型三 数列与其他知识的交汇 命题点 1 数列与函数

13、的交汇 例 3 (2018 长春模拟 )设等差数列 an的公差为 d，点 (an， bn)在函数 f(x) 2x的图像上 (n N ) (1)若 a1 2，点 (a8,4b7)在函数 f(x)的图像上，求数列 an的前 n 项和 Sn； (2)若 a1 1，函数 f(x)的图像在点 (a2， b2)处的切线在 x 轴上的截距为 2 1ln 2，求数列 ? ?anbn的前 n 项和 Tn. 解 (1)由已知，得 b7 72a ， b8 82a 4b7， 有 82a 4 72a 72a 2， 解得 d a8 a7 2， 所以 Sn na1 n?n 1?2 d 2n n(n 1) n2 3n. (2

14、)f( x) 2xln 2， f( a2) 22a ln 2， 故函数 f(x) 2x在 (a2， b2)处的切线方程为 y 2a2 2a2ln 2(x a2)， =【 ;精品教育资源文库 】 = 它在 x 轴上的截距为 a2 1ln 2. 由题意，得 a2 1ln 2 2 1ln 2， 解得 a2 2， 所以 d a2 a1 1. 从而 an n， bn 2n， anbn n2n. 所以 Tn 12 222 323 n 12n 1 n2n， 2Tn 11 22 322 n2n 1. 两式相减，得 2Tn Tn 1 12 122 12n 1 n2n 2 12n 1 n2n 2n 1 n 22n

15、 . 所以 Tn 2n 1 n 22n . 命题点 2 数列与不等式的交汇 例 4 (2016 天津 )已知 an是各项均为正数的等差数列，公差为 d，对任意的 n N ， bn是an和 an 1的等比中项 (1)设 cn b2n 1 b2n， n N ，求证：数列 cn是等差数列； (2)设 a1 d， Tn 2nk 1 ( 1)kb2k， n N ，求证： nk 1 1Tk12d2. 证明 (1)由题意得 b2n anan 1， cn b2n 1 b2n an 1an 2 anan 1 2dan 1. 因此 cn 1 cn 2d(an 2 an 1) 2d2， 所以 cn是等差数列 (2)Tn ( b21 b22) ( b23 b24) ( b22n 1 b22n) 2d(a2 a4 a2n) 2d n?a2 a2n?2 2d2n(n