空间向量的标准正交分解与坐标表示、空间向量基本定课件.ppt

1、第第二二章章33.1&3.2理解理解教材新知教材新知把握把握热点考向热点考向应用创新演练应用创新演练知识点一知识点一知识点二知识点二考点一考点一考点二考点二考点三考点三31 & 3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量的标准正交分解与坐标表示 空间向量基本定理空间向量基本定理 学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李学生小李参加某大学自主招生考试，在一楼咨询处小李得知：面试地点由此向东得知：面试地点由此向东10米，后向南米，后向南15米，然后乘米，然后乘5号电梯号电梯到位于到位于6楼的楼的2号学术报告厅参加面试设号学术报告厅参加面试设e1是向东的单位向是向东的单位向量，量，e2是

2、向南的单位向量，是向南的单位向量，e3是向上的单位向量是向上的单位向量 问题问题1：e1，e2，e3有什么关系？有什么关系？ 提示：提示：两两垂直两两垂直 问题问题2：假定每层楼高为假定每层楼高为3米，请把面试地点用向量米，请把面试地点用向量p表示表示 提示：提示：p10e115e215e3. 标准正交基与向量坐标标准正交基与向量坐标 (1)标准正交基：标准正交基： 在给定的空间直角坐标系中，在给定的空间直角坐标系中，x轴，轴，y轴，轴，z轴正方向的轴正方向的 i，j，k叫叫做标准正交基做标准正交基 (2)标准正交分解：标准正交分解： 设设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量为标准正交基，对

3、空间任意向量a，存在唯一一，存在唯一一组三元有序实数组三元有序实数(x，y，z)，使得，使得a ，叫做，叫做a的标的标准正交分解准正交分解单位向量单位向量xiyjzk (3)向量的坐标表示：向量的坐标表示： 在在a的标准正交分解中三元有序实数的标准正交分解中三元有序实数 叫做空间叫做空间向量向量a的坐标，的坐标，a 叫作向量叫作向量a的坐标表示的坐标表示 (4)向量坐标与投影：向量坐标与投影： i，j，k为标准正交基，为标准正交基，axiyjzk，那么：，那么：ai ，aj ，ak .把把x，y，z分别称为向量分别称为向量a在在x轴，轴，y轴，轴，z轴正方向上的投影轴正方向上的投影 向量的坐标

4、等于它在向量的坐标等于它在 上的投影上的投影 一般地，若一般地，若b0为为b的单位向量，则称的单位向量，则称ab0为向量为向量a在向量在向量b上的投影上的投影.(x，y，z)坐标轴正方向坐标轴正方向xyz(x，y，z)|a|cosa，b空间中任给三个向量空间中任给三个向量a，b，c.问题问题1：什么情况下，向量什么情况下，向量a，b，c可以作为一个基底？可以作为一个基底？提示：提示：它们不共面时它们不共面时问题问题2：若若a，b，c是基底，则空间任一向量是基底，则空间任一向量v都可以由都可以由a，b，c表示吗？表示吗？提示：提示：可以可以 如果向量如果向量e1、e2、e3是空间三个是空间三个

5、的向量，的向量，a是空是空间任一向量，那么存在唯一一组实数间任一向量，那么存在唯一一组实数1、2、3使得使得a . 其中其中e1、e2、e3叫作这个空间的一个叫作这个空间的一个 表示向量表示向量a关于基底关于基底e1，e2，e3的分解的分解不共面不共面基底基底1e12e23e3a1e12e23e3 空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知空间向量基本定理表明，用空间三个不共面的已知向量向量a，b，c可以表示出空间任一向量；空间中的基底是可以表示出空间任一向量；空间中的基底是不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向不唯一的，空间任意三个不共面的向量均可作为空间向量的基底量的基底 一点

6、通一点通 (1)建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐建立恰当的空间直角坐标系是准确表达空间向量坐标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂标的前提，应充分利用已知图形的特点，寻找三条两两垂直的直线，并分别为直的直线，并分别为x，y，z轴进行建系轴进行建系 (2)若表示向量若表示向量 的坐标，只要写出向量的坐标，只要写出向量 关于关于i，j，k的标准正的标准正 交分解式，即可得坐标交分解式，即可得坐标AB AB 答案：答案：A 一点通一点通 (1)空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量空间向量基本定理是指用空间三个不共面的已知向量a、b、c构成的向量组构成的向量组a，b，

7、c可以线性表示出空间任意一可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是唯一的个向量，而且表示的结果是唯一的 (2)利用空间的一个基底利用空间的一个基底a，b，c可以表示出所有向量，可以表示出所有向量，注意结合图形，灵活应用三角形法则，平行四边形法则，及注意结合图形，灵活应用三角形法则，平行四边形法则，及向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有向量的数乘运算，表示要彻底，结果只含有a、b、c，不能，不能再有其他向量再有其他向量6设设p：a、b、c是三个非零向量；是三个非零向量；q：a，b，c为空间的一为空间的一个基底，则个基底，则p是是q的的 ()A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条

8、件必要不充分条件C充要条件充要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件解析：解析：若若a，b，c为非零向量，当为非零向量，当a，b，c共面时，共面时，a，b，c不能作为空间的一个基底；若不能作为空间的一个基底；若a，b，c为空间的一个基为空间的一个基底，则底，则a，b，c不共面，不共面，a，b，c三个向量均不能为零向三个向量均不能为零向量，故选量，故选B.答案：答案：B8若若a，b，c是空间的一个基底试判断是空间的一个基底试判断ab，bc，ca 能否作为该空间的一个基底能否作为该空间的一个基底 1空间任一点空间任一点P的坐标的确定：过的坐标的确定：过P作面作面xOy的垂线，垂的垂线，垂

9、足为足为P.在平面在平面xOy中，过中，过P分别作分别作x轴、轴、y轴的垂线，垂足分轴的垂线，垂足分别为别为A、C，则，则|x|PC|，|y|AP|，|z|PP|. 2空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个空间任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底，基底中的三个向量基底，基底中的三个向量e1，e2，e3都不是都不是0. 3空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯空间中任一向量可用空间中不共面的三个向量来唯一表示一表示 4点点A(a，b，c)关于关于x轴、轴、y轴、轴、z轴对称点的坐标分别轴对称点的坐标分别为为(a，b，c)、(a，b，c)、(a，b，c)；它关于；它关于xOy面、面、xOz面、面、yOz面、原点对称点的坐标分别为面、原点对称点的坐标分别为(a，b，c)、(a，b，c)、(a，b，c)、(a，b，c)