第10章-结构动力学基础1课件.ppt

1、10.1 一般概念一般概念动力荷载：是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的动力荷载：是指荷载的大小、方向、位置随时间迅速变化的荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明荷载；它使结构质量产生不容忽视的加速度，使结构发生明显的振动，即在平衡位置附近往返运动。显的振动，即在平衡位置附近往返运动。静力荷载：是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷静力荷载：是指荷载的大小、方向、位置不随时间变化的荷载；载； 同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢，同时考虑其对结构的影响来看，如果荷载变化极其缓慢，使结构质量产生的加速度可以忽略不计时，仍属于静力荷载使结构质量产生的加速度可以忽

2、略不计时，仍属于静力荷载动力荷载分类：周期荷载、冲击荷载、突加荷载、随机荷载动力荷载分类：周期荷载、冲击荷载、突加荷载、随机荷载（1）周期荷载：随时间周期性变化的荷载（简谐荷载和非简谐荷载）周期荷载：随时间周期性变化的荷载（简谐荷载和非简谐荷载）P(t )tPt（2）冲击荷载：作用于结构上的荷载值在很短的时间内急剧增大或减小的荷载）冲击荷载：作用于结构上的荷载值在很短的时间内急剧增大或减小的荷载P(t )ttrPP(t )tPtr动力荷载分类动力荷载分类P(t )t（4）随机荷载：不能用确定的函数表示，非确定性的荷载。）随机荷载：不能用确定的函数表示，非确定性的荷载。 如地震作用，风荷载如地震

3、作用，风荷载P(t )t二、动力计算的内容和研究方法二、动力计算的内容和研究方法 首先要确定动力计算简图，明确动力荷载的性质和规律，首先要确定动力计算简图，明确动力荷载的性质和规律，然后进行分析。无论是确定结构的然后进行分析。无论是确定结构的动力特性动力特性，或是计算，或是计算动力动力反应反应，都是从研究结构质量的运动规律入手，把质点的位移，都是从研究结构质量的运动规律入手，把质点的位移作为基本未知量，建立体系的运动方程，进行分析。作为基本未知量，建立体系的运动方程，进行分析。（3）突加荷载：在瞬间内将全部重量加于结构或移去的荷载）突加荷载：在瞬间内将全部重量加于结构或移去的荷载动力特性：动力

4、特性：是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振型）和阻是指结构的固有的振动频率，基本振动形式（主振型）和阻尼特性等。这些是结构自身的固有特性，与外部作用因素无关。尼特性等。这些是结构自身的固有特性，与外部作用因素无关。动力反应：动力反应：是指动力荷载作用下，结构产生的内力、位移、速度、加速是指动力荷载作用下，结构产生的内力、位移、速度、加速度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关，即是时度等。不仅与荷载的大小、方向、作用位置及其变化规律有关，即是时间的函数；还与结构的动力特性有关。间的函数；还与结构的动力特性有关。 与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静

5、与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。三、三、 动力计算简图和动力自由度动力计算简图和动力自由度 动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的动力计算中要引入惯性力，因此计算简图要考虑质量的分布。分布。 一个动力体系运动过程中确定其任一时刻全部质量位置一个动力体系运动过程中确定其任一时刻全部质量位置所需的独立几何参数的数目，为该体系

6、的所需的独立几何参数的数目，为该体系的动力自由度。动力自由度。 实际结构的质量都是连续分布的，是无限自由度体系，实际结构的质量都是连续分布的，是无限自由度体系，选取动力计算简图是，常将无限自由度体系化为有限自由度选取动力计算简图是，常将无限自由度体系化为有限自由度体系。体系。y(x,t)EIL _mxm_12mLm _324mLmm单自由度体系单自由度体系EIL2m3m1m ty1EIL2m3m1m5m4m ty1 ty2 ty3_3214mLmmm_548mLmm多自由度体系多自由度体系集中质量法集中质量法EIL几点注意：1）对于具有集中质量的体系，其自由度数并不一定等于集中质量数，可能比它

7、多，也可能比它少。一个质点两个自由度两个质点一个自由度2）体系的自由度与其超静定次数无关。3）体系的自由度决定了结构动力计算的精度。4）在几何构造分析中所说的自由度是刚体系的运动自由度，动力计算中讨论的自由度是变形体系中质量的运动自由度。 体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移（体系在没有外部动力荷载作用，而由初始位移（y 0）或初始速度（或初始速度（v 0），或两者共同作用下引起的振动，叫做），或两者共同作用下引起的振动，叫做自由振动。自由振动。一、运动微分方程一、运动微分方程根据动静法，建立质点的运动方程，可采用两种方式：根据动静法，建立质点的运动方程，可采用两种方式：（一）刚度法：（一

8、）刚度法：取质点隔离体为研究对象。取质点隔离体为研究对象。达朗伯定理：达朗伯定理： F+N+I=0建立运动方程时考虑质点所受的力有：建立运动方程时考虑质点所受的力有：（1）重力）重力 W 为静力荷载为静力荷载（2）弹性恢复力）弹性恢复力 与位移成正比，方向与位移指向相与位移成正比，方向与位移指向相反。反。k为刚度系数，其意义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需为刚度系数，其意义是使质点沿位移方向产生的单位位移时所需的在质点上所加的力的在质点上所加的力（3）阻尼力）阻尼力)()(tyyktSjw)()(tyctR)()(tymtI 与质点的速度成正比，方向与速度相反。与质点的速度成正比，方向与

9、速度相反。c为为粘滞阻尼系数。粘滞阻尼系数。（4）惯性力）惯性力 其大小为质点质量与质点加速度之积，方向与其大小为质点质量与质点加速度之积，方向与加速度方向相反。加速度方向相反。y sty(t)mmW)(tS)(tR)(tI0)()()(WtStRtIWtyyktyctymjw)()()( 可写出平衡方程：可写出平衡方程：0)()()(tkytyctym Wky st因因 ，可得出质点振动的运动微分方程：，可得出质点振动的运动微分方程：当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力。当动力位移由质点的静力平衡位置算起时，可不考虑质点的重力。（二）柔度法：（二）柔度法：取振动体系为研究

10、对象。取振动体系为研究对象。y(t)m)(tR)(tI（柔度（柔度系数）系数）1PF 按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作按动静法，体系的动力位移可看为是由于惯性力和阻尼力静力作用所引起的可得方程：用所引起的可得方程：)()()(tRtIty0)(1)()(tytyctym 柔度系数柔度系数 和刚度系数和刚度系数 k 有如下关系：有如下关系：k1mkm120)()()(2tytymcty 令令则两种方法所得方程可写成统一形式则两种方法所得方程可写成统一形式二、无阻尼自由振动二、无阻尼自由振动0)()(2tyty tCtCtycossin)(21它是二阶常系数线性齐次微分方程

11、，其通解为：它是二阶常系数线性齐次微分方程，其通解为：常数常数C1，C2由初始条件确定由初始条件确定vyyy)0()0(vCyC12设设 t=0m静力平衡位置静力平衡位置质点位移方程：质点位移方程：tvtytysincos)(（一）运动微分方程（一）运动微分方程 可知，自由振动由两部分组成：一部分是由初始位移可知，自由振动由两部分组成：一部分是由初始位移 y 引起，按余引起，按余弦规律振动；另一部分是初始速度弦规律振动；另一部分是初始速度 v 引起，按正弦规律振动。引起，按正弦规律振动。令令cossinAvAy)sin()(tAty可得：可得：表示合成运动仍为简谐运动，其中表示合成运动仍为简谐

12、运动，其中A和和为：为：vytgvyA122振幅振幅初相位初相位y-yTy0tTvvyt0Tyt0-AA（二）自振周期与频率（二）自振周期与频率自振周期自振周期2T1）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系）结构的周期、频率只与结构自身的质量、刚度（柔度）系数有关，与外因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有数有关，与外因无关，是结构自身的固有的特性，称为固有周期、固有频率；周期、固有频率；2）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数）结构的频率与质量的平方根成反比，与结构刚度系数的平方根成正比；的平方根成正比；3）结构的固有周期和频率是结构动力性能的重要标志。）结构的固有周

13、期和频率是结构动力性能的重要标志。ggWmkmTst2222stW1ggmmk自振频率（圆频率）自振频率（圆频率）例例2 计算结构的频率和周期计算结构的频率和周期mEIEIh11312hEI312hEIk324hEIk324mhEImkEImhT24223例例1 计算结构的频率和周期（计算结构的频率和周期（EI为常数）为常数）mhhEIh33331mhEImEImhT3223P=1（三）质点的振动规律（三）质点的振动规律质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为：质点的位移、速度、加速度和惯性力分别为：)sin()(tAty)sin()()(2tmAtymtI )sin()(2tAty )cos(

14、)(tAty (1)当体系处在平衡位置时，加速当体系处在平衡位置时，加速度及惯性力为零，而速度最大度及惯性力为零，而速度最大,0)(ty ,0)(tI,)(maxAtyAty)(max2max)(mAtI2max)(Aty 达到振幅位置时，速度为零，而位移、达到振幅位置时，速度为零，而位移、加速度及惯性力同时达到最大。加速度及惯性力同时达到最大。（2）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅）位移、加速度和惯性力同步变化，利用这一性质，可在质点振幅位置建立运动方程，所得运动方程是代数方程而不是微分方程。位置建立运动方程，所得运动方程是代数方程而不是微分方程。（3）弹性力指向永远

15、与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同。）弹性力指向永远与位移方向相反，而惯性力永与位移方向相同。例：例： 求图示梁频率求图示梁频率1A01I2A02I 此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为此梁为一个自由度体系，振动达到幅值时，两质点的振幅为 A1 A2,惯性力幅值为惯性力幅值为2220221101,AmIAmIaAaA3,21ka2由平衡方程由平衡方程0AM1m2mEI=2aaakABAB04)9(221kmm即即2194mmk二、阻尼对自由振动的影响二、阻尼对自由振动的影响 振动中的阻尼通常采用粘滞阻尼，即假定阻尼与速度成正比，且方振动中的阻尼通常采用粘滞阻尼，即假定阻尼

16、与速度成正比，且方向与质点速度方向相反。向与质点速度方向相反。有阻尼的自由振动运动微分方程：有阻尼的自由振动运动微分方程：022yyy mc2阻尼比阻尼比当当 1 时，临界阻尼情况及强阻尼情况，体系不引起振动；时，临界阻尼情况及强阻尼情况，体系不引起振动；当当 1时，称为低阻尼状态，体系呈振动运动。时，称为低阻尼状态，体系呈振动运动。当当 1，及初始条件，及初始条件00)0()0(vyyy、方程可解为：方程可解为：)sincos()(tyvtyetyrrrt或或)sin)(tAetyrt(2r1221 ,yvytgyvyArr其中其中0)()()(tkyty ctym yt0ykyk+1tAe

17、rrT2ktkAey第第k个振幅为个振幅为经过一周期相经过一周期相邻两振幅比值邻两振幅比值rrkkTTttkkeAeAeyy)(1阻尼比阻尼比 越大，振幅衰减越快；振幅按等比越大，振幅衰减越快；振幅按等比级数递减级数递减可通过试验的方法测算阻尼比可通过试验的方法测算阻尼比22ln1rrkkTyyR由自由振动试验曲线量测出任何相邻的两个由自由振动试验曲线量测出任何相邻的两个振幅，算出振幅，算出对数衰减率对数衰减率R R，则可求得阻尼比。，则可求得阻尼比。mcR22可用相隔可用相隔n 个周期的两个振幅计算个周期的两个振幅计算R，可提高，可提高 精确度精确度nTnyyRrikk2lnnR2 体系在振

18、动过程中有动力荷载体系在振动过程中有动力荷载P(t)或支座运动等外部干扰作用时，其振或支座运动等外部干扰作用时，其振动称为动称为受迫（或强迫）振动受迫（或强迫）振动。由质点的平衡可得：由质点的平衡可得：)()()()(tPtkytyctym mtPtytyty)()()(2)(2 或：或：单自由度体系单自由度体系强迫振动的振强迫振动的振动微分方程动微分方程若体系的动力荷载不在质点上作用若体系的动力荷载不在质点上作用m)(tPy(t)一、运动微分方程一、运动微分方程m)(tPy(t)m)(tS)(tR)(tI)(tPf 111f 1P1由位移方程可得：由位移方程可得：)()()()(111tPf

19、tRtIftyP即即)()(1)()(11111tPfftyftyctymP 或或mtPtytytye)()()(2)(2 )()(111tPfftPPe二、简谐荷载下的无阻尼受迫振动二、简谐荷载下的无阻尼受迫振动设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为：设单自由度体系在质点上作用简谐荷载为：tFtPsin)(扰力幅值扰力幅值荷载频率荷载频率不考虑阻尼，振动微分方程：不考虑阻尼，振动微分方程：tmFtytysin)()(2 上式中：上式中：)(tP)(tR)(tImy(t)（一）质点的位移方程（一）质点的位移方程齐次解：齐次解：tCtCtysincos)(211特解：特解：tAtysin)(2将特

20、解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定：将特解及其二阶导数代入振动微分方程中可确定：)/1 (222mFA质点位移方程为齐质点位移方程为齐次解和特解之和：次解和特解之和：tmFtCtCtysin/11sincos)(22221设零初始条件，即设零初始条件，即0)0(, 0)0(yy, 0t)/1 (/ 0 22221mFCC最后最后)sin(sin)(11)(22ttmFty质点的位移方程质点的位移方程由上式可以看出，振动是由两部分合成的；式右第一项是按荷载频率由上式可以看出，振动是由两部分合成的；式右第一项是按荷载频率的振的振动。第二项是按自振频率动。第二项是按自振频率的振动。后一部分是由荷

21、载作用引起的称为伴生的振动。后一部分是由荷载作用引起的称为伴生自由振动。实际上由于存在阻尼，伴生自由振动在短时间内即行消失，最后自由振动。实际上由于存在阻尼，伴生自由振动在短时间内即行消失，最后剩下的仅按荷载频率变化的振动，称为剩下的仅按荷载频率变化的振动，称为纯强迫振动纯强迫振动。在振动开始两种振动共。在振动开始两种振动共存阶段，称作过渡阶段，以后的纯强迫振动称为平稳阶段或存阶段，称作过渡阶段，以后的纯强迫振动称为平稳阶段或稳态强迫震动稳态强迫震动。（二）稳态强迫振动的动力反应（二）稳态强迫振动的动力反应质点的位移方程：质点的位移方程：tmFtysin)(11)(22振动频率和荷载频率相同，

22、二者完全同步振动频率和荷载频率相同，二者完全同步振幅振幅stymFty22max)(11)(2)(11动力系数动力系数动力系数动力系数：最大动位移与最大静位移的比值，是衡量动力反应大小的重要指标。：最大动位移与最大静位移的比值，是衡量动力反应大小的重要指标。1023123/ 当当/ 0时时, 1，荷载变化得很慢，可荷载变化得很慢，可当作静荷载处理当作静荷载处理当当0 / 1，并且随并且随/ 的增大而的增大而增大增大当当/ =1时时, = 。即当荷载频率接近于即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为自振频率时，振幅会无限增大。称为“共共振振”当当/ 1时时, 的绝对值随的绝对值随/ 的

23、增大而减的增大而减小，且为负值，质点的位移和扰力的指向小，且为负值，质点的位移和扰力的指向相反。相反。例例1：已知：已知m=300kg，EI=90105N.m2 ,k=48EI/l3,P=20kN,=80s-1 ； 求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。求梁中点的位移幅值及最大动力弯矩。l/2EIl/2tPsinm解：解：1)求求EIlEIlEIl1925192483331316.13451921smlEIm2)求求552. 111223)求求 ymax， MmaxmEIlPPy35333max1075. 51090192451020552. 11925mkNlPM04.31420552. 141

24、)(41max例例2： 图示简支梁跨中有一集中质量图示简支梁跨中有一集中质量m，支座，支座A处受动力矩处受动力矩Msint t 作用，作用， 求质点的动位移和求质点的动位移和A的动转角的幅值。的动转角的幅值。解：体系的动力荷载解：体系的动力荷载Msint 不是作用在不是作用在质点，因而不能直接利用质点，因而不能直接利用 统一的统一的求动位求动位移，可由建立体系的振动方程来求解。移，可由建立体系的振动方程来求解。EIl/2l/2mMsintBA111M1M21）设惯性力和动力荷载分别为单位力）设惯性力和动力荷载分别为单位力和单位力偶作用在体系上，并作出相应和单位力偶作用在体系上，并作出相应的弯矩

25、图的弯矩图M1M2l/42）质点的动位移是惯性力）质点的动位移是惯性力 I (t) 和动力荷和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为载共同作用下产生的，按叠加原理表示为EIlffEIlfEIlf16;3;482211222311tMftIftysin)()(1211tMftymfsin)(1211 将柔度系数代入上式，并整理得将柔度系数代入上式，并整理得tmPtytysin)()(2 3248mlEI式中：式中：自振频率自振频率lMMffP31112等效荷等效荷载幅值载幅值运用图乘法可得：运用图乘法可得：由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为：由质点位移方程可得，受迫振动的稳态解为：tmP

26、tysin)(11)(22tEIMlsin1623) 支座支座A 处的动转角也是由惯性力处的动转角也是由惯性力I (t)和动力荷载共同作用下产生的，按叠加和动力荷载共同作用下产生的，按叠加原理表示为：原理表示为：tMftIftAsin)()(2221tMftymfsin)(2221 将将y(t)求二阶导数代入上式，可得：求二阶导数代入上式，可得：tMfPftAsin)()(222221将柔度系数和将柔度系数和 代入可得：代入可得： lMP3质点的动位移幅值为质点的动位移幅值为其中其中为动荷载为动荷载幅值幅值M所引起的质点静位移所引起的质点静位移yst, 为动力系数。为动力系数。EIMl162E

27、IMl162tEIMltAsin111693)(2222tEIMlsin11671322tEIMlsin3支座处动转角幅值为支座处动转角幅值为其中其中为动荷载为动荷载幅值幅值M所引起的静转角，所引起的静转角， 为动力系数。为动力系数。EIMl32EIMl3上例表明，动荷载不作用上例表明，动荷载不作用在质量上时，质点的位移在质量上时，质点的位移的动力系数和支座处动转的动力系数和支座处动转角的动力系数是不同的，角的动力系数是不同的，即体系不能用统一的动力即体系不能用统一的动力系数表示系数表示三、阻尼对受迫振动的影响三、阻尼对受迫振动的影响振动微分方程：振动微分方程：tmPtytytysin)()(

28、2)(2 齐次解：齐次解：特解：特解：)sincos()(211tCtCetyrrttBtBtysincos)(212222222222221)2()()2()(2mPBmPB全解：全解：)sincos()sincos()(2121tBtBtCtCetyrrtcos,sin21ABAB)sin()(tAty21222212)2()1 (1rrtgmPrrA 与无阻尼的质点位移方程相比，多了相位与无阻尼的质点位移方程相比，多了相位差差，质点仍为简谐振动，但与荷载不同步，质点仍为简谐振动，但与荷载不同步，位移变化之后于荷载变化。位移变化之后于荷载变化。上式右第一大项是按自振频率上式右第一大项是按自

29、振频率r r的振动，由于存在阻尼，这部分很快消失。余下的的振动，由于存在阻尼，这部分很快消失。余下的第二大项是按扰力频率第二大项是按扰力频率的纯强迫振动的纯强迫振动纯强迫振动位移方程：纯强迫振动位移方程：tBtBtysincos)(21如令如令r频率比：频率比：2222)/2()/1 (1动力系数：动力系数：1） 曲线随阻尼比增大而趋于平缓，在曲线随阻尼比增大而趋于平缓，在/ =1附近附近值降低比较快。值降低比较快。2）当）当/ =1时，有阻尼情况时，有阻尼情况 振幅振幅A可写为：可写为：styA12/ 1023=0.2=0.2=0.3=0.3=0.5=0.5=0=0=1.0=1.0阻尼使动力

30、系数减小，动力系数阻尼使动力系数减小，动力系数与频率比与频率比及阻尼比有关：及阻尼比有关：此时动力系数为：此时动力系数为：21而最大动力系数不是在而最大动力系数不是在/ =1处，而处，而是在是在/ 值略小于值略小于1处处由由0)/(dd221得得2max121一、运动微分方程一、运动微分方程（一）位移方程法（柔度法）（一）位移方程法（柔度法）m1m2y1(t)y2(t) 在自由振动过程中任意时刻在自由振动过程中任意时刻 t，质量，质量m1、m2的位移的位移y1(t)、y2(t)可看做体系在当时惯性力可看做体系在当时惯性力I1、I2作用下的静力位移。作用下的静力位移。1221111)()()(t

31、ItIty2222112)()()(tItIty0)()()(122211111tymtymty 0)()()(222221112tymtymty 可得两个自由度体系自由振动微分方程可得两个自由度体系自由振动微分方程：1 11 22 21 121I1I2r2r1m1m2y1(t)y2(t)m1m211 沿两个自由度方向截取包括相应质量的两个隔离体，各隔离体上作用相沿两个自由度方向截取包括相应质量的两个隔离体，各隔离体上作用相应的弹性力和惯性力，建立平衡方程。从而的振动微分方程应的弹性力和惯性力，建立平衡方程。从而的振动微分方程0)()(11trtI0)()(22trtI两个自由度体系自由振动微

32、分方程两个自由度体系自由振动微分方程（二）动力平衡方程法（刚度法）（二）动力平衡方程法（刚度法）I1I2k11k22k12k21)()()(2121111tyktyktr)()()(2221212tyktyktr0)()()(21211111tyktyktym 0)()()(22212122tyktyktym （一）体系的固有振动（一）体系的固有振动 体系中各质点按同频率、同相位的简谐振动，称为体系中各质点按同频率、同相位的简谐振动，称为固有振固有振动动，又叫同步振动。其振动频率叫结构的，又叫同步振动。其振动频率叫结构的固有频率固有频率。 n个自由度体系有个自由度体系有n个固有频率。与每个固有

33、频率相应，体个固有频率。与每个固有频率相应，体系的振动有一定的振动形式，称作结构的固有振型，又叫主振系的振动有一定的振动形式，称作结构的固有振型，又叫主振型，或简称振型。型，或简称振型。对于两个自由度体系的固有振动，微分方程式的解为：对于两个自由度体系的固有振动，微分方程式的解为：)sin()()sin()(2211tYtytYty将上式代入两个自由度体系的振动微分方程中，可得：将上式代入两个自由度体系的振动微分方程中，可得：二、固有振动及固有频率、主振型的确定二、固有振动及固有频率、主振型的确定 结构的固有频率和主振型是结构的重要动力特性，固有振动结构的固有频率和主振型是结构的重要动力特性，

34、固有振动或自由振动分析的目的就是确定结构的固有频率和主振型。或自由振动分析的目的就是确定结构的固有频率和主振型。 固有振动基本方程为关于振幅的固有振动基本方程为关于振幅的Y1 、Y2齐次方程，振幅不会全为零，则其齐次方程，振幅不会全为零，则其系数行列式必为零，可得：系数行列式必为零，可得：0)()()(2222211212112mkkkmkD0)1()1()1(222221112221112mmmmD或或（二）体系的固有频率（二）体系的固有频率或或固有振动基本方程固有振动基本方程0)1(222221211YmYm0)1(212212111YmYm0)(21211211YkYmk0)(22222

35、121YmkYk频率方程频率方程 可解得两个固有频率可解得两个固有频率1 1 和和2 2 。其中数值较小的为其中数值较小的为1 1 ，称为第一，称为第一频率或基本频率，数值较大的为频率或基本频率，数值较大的为2 2 ，称作第二频率。，称作第二频率。0)()(2122211212221112mmmm212212222111222111214)()(21mmmmmm0)(211222221211kkmkmk2121122211222211122211122212121mmkkkkmkmkmkmk频率方程展开，考虑频率方程展开，考虑 12= 21 ，令，令 ，可得：，可得：21或或上式可求得两个实根

36、，为：上式可求得两个实根，为：或或（三）体系的主振型（三）体系的主振型由固有振动由固有振动)sin()()sin()(2211tYtytYty可得可得常数)()(2121YYtyty 体系振动过程中，质点的位移大小虽然不断变化，但两个质量位置的体系振动过程中，质点的位移大小虽然不断变化，但两个质量位置的之比始终相等，即振动形式是确定不变的，故可用振幅之比表示体系的之比始终相等，即振动形式是确定不变的，故可用振幅之比表示体系的主主振型振型。 两个自由度体系有两个固有频率，每个固有频率与一个特定的振动形两个自由度体系有两个固有频率，每个固有频率与一个特定的振动形式即式即主振型主振型相对应。已求出相

37、对应。已求出1 1 、2 2 后，可利用振动基本方程来求出各后，可利用振动基本方程来求出各振幅比值，从而确定振幅比值，从而确定主振型主振型。1由由2由由111211212211121) 1 (1) 1 (211kmkmmYY111221212211122)2(1)2(221kmkmmYY（四）主振型的正交性（四）主振型的正交性 柔度系数的副系数柔度系数的副系数 12= 21及刚度系数的副系数及刚度系数的副系数k12=k21是有正负号的，是有正负号的，因此，求出的振幅比及相对振幅值也可有正号或负号。因此，求出的振幅比及相对振幅值也可有正号或负号。 关于正负号的规则是，在计算开始时，先规定位移关于

38、正负号的规则是，在计算开始时，先规定位移y1(t)及及y2(t)的正方的正方向，求柔度系数的单位力及求刚度系数的单位位移均按位移向，求柔度系数的单位力及求刚度系数的单位位移均按位移yi(t)的正向施的正向施加，则求得的柔度系数加，则求得的柔度系数 ij或刚度系数或刚度系数kij指向与指向与yi(t)正向相同者为正，反之正向相同者为正，反之为负。为负。 主振动是简谐自由振动，位移和惯性力同时达到幅值。主振动是简谐自由振动，位移和惯性力同时达到幅值。 第一主振型可看做相应惯性力幅值第一主振型可看做相应惯性力幅值1 12 2m m1 1Y Y 1 1(1)(1)和和1 12 2m m2 2Y Y 2

39、 2(1)(1)作用所产生作用所产生的静力位移。的静力位移。 第二主振型可看作相应惯性力幅值第二主振型可看作相应惯性力幅值2 22 2m m1 1Y Y 1 1(2)(2)和和2 22 2m m2 2Y Y2 2(2)(2) 作用所产生的作用所产生的静力位移。静力位移。m1m2)1(2)2(2222)1(1)2(1221)2(2)1(2212)2(1)1(1211)()()()(YYmYYmYYmYYm整理得：整理得：0)()2(2)1(22)2(1)1(112221YYmYYm21因因 ，则存在：，则存在：0)2(2)1(22)2(1)1(11YYmYYm主振型的正交条件主振型的正交条件)1

40、(1221Ym)1(2221Ym)1(1Y)1(2Y)2(1122Ym)2(2222Ym)2(1Y)2(2Ym1m2对两个状态应用虚功互等定理，有对两个状态应用虚功互等定理，有第一主振型第一主振型第二主振型第二主振型m1m2同一多自由度体系，各主振型之间存在正交性，相互不影响同一多自由度体系，各主振型之间存在正交性，相互不影响例例1 求图示结构自振频率和振型。求图示结构自振频率和振型。mml/2l/2l/2EIk=3EI /l3ABED解：体系为静定结构，有两个自由度解：体系为静定结构，有两个自由度1）求柔度系数，由图乘法和弹簧内）求柔度系数，由图乘法和弹簧内力虚功计算，得力虚功计算，得l /

41、21/21l /411/2M1M2EIlEIlEIl9611,9610,9620321123223112）求自振频率，代入两个自由度体）求自振频率，代入两个自由度体系自由振动的系自由振动的频率方程，频率方程，得得令：令：3396mlEI则：则：0)10(1111)20()(D展开并解得：展开并解得：917. 2,083.27210)19610(96119611)19620()1(2333232mEIlEIlEIlmEIlD3131883.196mlEImlEI可得相应的频率：可得相应的频率：3）求振型并绘振型图）求振型并绘振型图644. 011201112211121) 1 (1) 1 (21

42、mmYY当当1 1= 27.083= 27.083 时时，553. 111201212211122)2(1)2(22mmYY当当2 2= 2.917= 2.917 时时，3231737.596mlEImlEI10.64411.553第一振型第一振型第二振型第二振型10.5 10.5 简谐荷载作用下的受迫振动简谐荷载作用下的受迫振动tYytYysinsin22111m2mEItPsin1tPsin21y2y11ym 22ym 1P2PP1P2tsin1)(11ym 112111222)(22ym tymymytymymyPPsin)()(sin)()(22222112121221211111 运

43、动方程运动方程设特解为设特解为21212212111/)/ 1(PYmYm22222221211/)/ 1(PYmYm解方程解方程, ,得得022011DDYDDY其中其中222222122211/1/mmDPPtymymytymymyPPsin)()(sin)()(22222112121221211111 tYytYysinsin2211运动方程运动方程设特解为设特解为21212212111/)/ 1(PYmYm22222221211/)/ 1(PYmYm解方程解方程, ,得得022011DDYDDY其中其中222222122211/1/mmDPP222112121112/1PPmmD222

44、221112221110/1/1mmmmD1.1.在平稳阶段在平稳阶段, ,作简谐振动作简谐振动, ,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时0PPYY2211PYmYm12212212111) 1(PYmYm22222212112) 1(3.3.当当 时时0021YY21212212111/)/ 1(PYmYm22222221211/)/ 1(PYmYm解方程解方程, ,得得022011DDYDDY其中其中222222122211/1/mmDPP222112121112/1PPmmD222221112221110/1/1mmmmD1.1.在平稳阶段在平稳阶段, ,作简谐振动作

45、简谐振动, ,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时0PPYY2211PYmYm12212212111) 1(PYmYm22222212112) 1(3.3.当当 时时0021YY4.4.当当 或或 时时2121YYn自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。222112121112/1PPmmD222221112221110/1/1mmmmD1.1.在平稳阶段在平稳阶段, ,作简谐振动作简谐振动, ,振动振动 频率与荷载同。频率与荷载同。2.2.当当 时时0PPYY2211PYmYm12212212111) 1(PYmYm22222212112) 1(3.3.当当 时时

46、0021YY4.4.当当 或或 时时2121YYn自由度体系有自由度体系有n个共振区。个共振区。5.5.求稳态振幅可列幅值方程求稳态振幅可列幅值方程111)(ymtI tYmsin211tIsin12111YmI -惯性力幅值惯性力幅值2222YmI 1m2m1P2P1A2A1I2IPIIY12121111PIIY222212121m2mEItPsin3/l3/l3/l例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。例：求图示体系的稳态振幅、动弯矩幅值图。,21mmm3415. 3mlEI已知：已知：1I2IP1y2y1A2A解：解：2121111)(IIPY2221212)(IIPY2111/mIY

47、 2222/mIY 0)/ 1(1221212111PIIm0)/ 1(2122222121PImIEIl321124867EIl32211486800165. 00144. 00693. 021PII00144. 00693. 00144. 021PIIPI2936. 01PI2689. 02EIPlY/02517. 031EIPlY/02306. 032P2689.0P2936.1Pl3173.0Pl2035.0 同一截面位移和弯矩同一截面位移和弯矩不存在统一的动力系数。不存在统一的动力系数。利用对称性可简化计算利用对称性可简化计算mtPsinmtPsin2tPsin2tPsin2tPsi

48、n2对称荷载对称荷载tPsin213/ lEIl /03087. 031132/394.32mlEI32/662.11mlEI5625. 1EIPlyst/015435. 03EIPlY/024117. 03反对称荷载反对称荷载tPsin219/ lEIl /00206. 031132/003.486mlEI32/662.11mlEI0246. 1EIPlyst/0103. 03EIPlY/00106. 03反1对11YYYEIPl /025177. 03反2对22YYYEIPl /023057. 03m2/llEI2/l12/l4/l24324221(111lllEIEIllll485)232221331125/48/1mlEIm33/098. 35/48mlEImlEI例题例题1 101111PRZr例题例题2 2lm2/lcEI 2/l11Z11Z12i2i4i4i4i4i1l/8/8l/8/8ir8118/1lRPilZ64/1PMZMM119l/64l/32l/165l/321l/22322121621(111llllllEI)23164922123216221llllllEIl /00716. 033/8179.11mlEI例题例题3 3mkEIk1kEIkkEIl2/1483kEIl21483111121m