第二章单自由度系统自由振动)课件.ppt

1、第一章第一章 概论概论一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析第一章第一章 概论概论二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法三、 汽车上的振动问题四、简谐振动、谐波分析及频谱分析 1、简谐振动 2、谐波分析 3、频谱分析函数表示法)2sin()2sin()sin(ftAtTAtAx)2sin()cos(tAtAx )sin()sin(22tAtAx

2、 旋转矢量表示法（1）简谐振动）简谐振动cossincossini ti tetitetitcos()sin()zAtiAt()itzAe复数表示法 在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大小成正比，始终指向静平衡位置。小成正比，始终指向静平衡位置。()Im()sin()itxAeAt()()2ititxiA eA e 2()2()ititxAeAe 简谐振动的合成01212( )coscos2sinsin22af tatatbtbt01sin()2jjjaAj t01=cos()sin()2jjjaaj tbj t（

3、2 2）周期振动的谐波分析）周期振动的谐波分析( )()0, 1, 2,f tf tnTn 2T基频一个周期函数如果满足如下条件，就可以展成傅立叶级数。（1）在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点的左右极限都存在；（2）在一个周期内，具有有限个极大、极小点。002( )Taf t dtT02( )cos()Tjaf tj t dtT02( )sin()Tjbf tj t dtT22jjjAabarctanjjjab其中对方波信号0002( )2TtFf tFTtT 进行谐波分析。01,3,5,4sin( )jFj tf tj例题例题110411sinsin3sin535Fttt（3 3）

4、振动的频谱分析）振动的频谱分析 将频率特性分析方法用于振动分析，成为频谱分析。 频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法。利用此方法可以将系统传递函数从复域引到具有明显物理概念的频域来分析系统的特性。引入频谱分析的重要性在于：可将任意激励函数分解为叠加的谐波信号，即可将周期激励函数分解为叠加的频谱离散的谐波信号，可将非周期激励函数分解为叠加的频谱连续的谐波信号。对于无法用分析法求得传递函数或微分方程的振动系统，可以通过实验求出系统的频率特性，进而得到系统的传递函数或微分方程。输出和输入的傅氏变换之比等于频率响应函数 （频响函数）( )H时域模型：微分方程描述 频域模型：传递函数

5、描述 频率特性描述物理特性模态特性响应特性响应模型:位移、速度、加速度 力学模型:质量、刚度、阻尼模态模型:固有频率、模态矢量模态质量、刚度、阻尼汽车振动学汽车振动学第二章第二章 单自由度系统的振动单自由度系统的振动一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原

6、理 四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法 一、单自由度振动系统一、单自由度振动系统 1、单自由度系统及其振动微分方程建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解1、单自由度系统及其、单自由度系统及其振动微分方程建立振动微分方程建立（1）单自由度振动系统（2）单自由度系统振动方程的建立方法牛顿第二定律或达朗贝尔原理例题例题2-1建立如图所示振动系统的振动

7、微分方程。（教材例题2.10）222120badmlxcxkkxlllfmxMJ0fmx0MJ能量法例题例题2-2 半径为r、重力为mg的圆柱体在半径为R的圆柱面内滚动而不滑动，如图所示。试求圆柱体绕其平衡位置作微小振动的微分方程。（教材例题2.11）203()gRr0dTUdtT+U=常数2、等效振动系统及外界激励、等效振动系统及外界激励 在工程上为便于研究，常把一些较为复杂的振动系统进行简化，以便当作运动坐标方向上只存在一个质量和弹簧来处理，经简化后得到的质量和刚度，分别成为原系统的等效质量和等效刚度。 同样，实际振动系统不可避免地存在阻力，因而在一定时间内自由振动会逐渐衰减，直至完全消失

8、。振系中阻力有各种来源，如干摩擦、流体阻力、电磁阻力、材料内阻力等，统称阻尼。 在这些阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，易于数学处理，可以大大简化振动分析问题的数学求解，因而通常均假设系统的阻尼为粘性阻尼。对于其他比较复杂的实际阻尼，则被转化为等效粘性阻尼来处理。 通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。扭转刚度3DEAkl313BEIkl2pCGIkl（1）等效刚度拉压刚度弯曲刚度弹簧的串、并联21111kkke21kkke（2）等效质量 通常用能量法求复杂系统的等效质量，即按实际系统要转化的质量的动能

9、与等效系统质量动能相等的原则来求系统的等效质量。串联弹簧的刚度12111kkk12kkk并联弹簧的刚度2221RmrmJmeq242231)()(Rkkrkkkeq例题例题2-3例题例题2-4（教材例题2.4）例题例题2-5 （教材例题2.5）3eLmm22213vsAJm bm bma例题例题2-6（教材例题2.3、2.6）求轴向轴转化的单轴系的等效刚度和等效旋转质量2121eeki kJi J 在工程实际中，往往根据在振动一周期内实际阻尼所耗散的能量与粘性阻尼所耗散的能量相等来求系统的等效粘性阻尼。系统作简谐振动时，粘性阻尼在振动的一周期内所作的功2222200cos ()TccWF xd

10、tcXtdtc X 库仑阻尼流体阻尼结构阻尼4eqmgcX83eqAceqac（3）等效阻尼)sin(tXx)cos(tXx （4）外界激励)()()()(tFtkxtxctxm 单自由度系统的振动方程的一般形式0)(tF 如果系统受到外界持续激励（即 ），就会从外界不断地获得能量，补充阻尼所消耗的能量，使系统保持等幅振动。这种由外界持续激励引起的振动即是受迫振动或强迫振动。 当外界激励为零（即 ）时，系统仅在开始时受到外界干扰即初始干扰（如初始位移或速度），靠系统本身的固有特性而进行振动，即自由振动。0)(tF 由此可见，单自由度系统的振动分析问题就是二阶常系数线性微分方程数学求解问题kxx

11、m mxkmkp 202xpx 0222psesxexstst，方程变为，则设解为 ptpxptxxpxDxBxxxxtDBptDptBpticcptccptiptcptiptcececxiipsiptiptsincos0sincossin)(cos)()sin(cos)sin(cos100000021212121）时，由初始条件确定（、，方程的通解为，其中解为单自由度系统的无阻尼自由振动是一种简谐振动固有频率是系统本身的性质，与初始条件无关速度、加速度也是简谐振动) s (21 )HZ(212 )rad/s( arctan )sin( 002020kmfTmkpfmkpxpxpxxAptAx

12、固有周期固有频率固有圆频率初相位振幅可将解写为例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随后m1的振动。惯量可以通过周期计算转动不大，有假定角运动微分方程0sin sin JmgSmgSJ l 根据固有频率的定义来求l 由等效质量和等效刚度来求，可由此得到固有频率时，势能必取得最大值，则动能为时取势能为若动能达到最大方程，可由此建立振动微分常数对振动系统：势能：动能；maxmaxmaxmax000)(UTUTUTdtdUTUTl 应用能量法来求例题：求圆轴圆盘扭振系统的振动固有频率mklaplamk

13、aklmdtdakUlmT 0)( 0)(21)(21)(21)(2122222圆频率可得 22221maxmax22222212max2max22max1max2222122212222maxmaxmaxmax )(21 2)(21)(212sin2)(21)(21)cos1 ()(21)(2121)(21)cos()sin( mcmgcbkakpUTmgcAAbkAakmgcbkakUmgcbkakmgcbkakUpAmccmTApptApAptA可得由于，则简谐振动假定摆球的微幅振动为求固有频率令令mkp2mcn2pn相对阻尼系数相对阻尼系数ptptDeBex)1()1(22 pteDt

14、Bx)( 例题 质量m=2450kg的汽车用四个悬挂弹簧支承在四个车轮上，四个弹簧由汽车重量引起的静压缩量均为st=15cm。为了能迅速地减少汽车上下振动，在四个支承处均安装了减振器，由实验测得两次振动后振幅减小到10%，即A1/A3=10，试求：1）振动的减幅系数和对数衰减率2）衰减系数和衰减振动的周期3）若要汽车不振动，减振器的临界阻尼系数正弦型激励周期激励任意激励tFkxxmsin0 xmkmkp 2tmFxpxsin02 mkxF(t)，称为频率比其中故代入原方程有将特解可设为通解pkFmkFXtFtXkmxtXxptAptDptBx20200222111 sinsin)(sin )s

15、in( cossin 振动。之和，一般不再是简谐频率不相等的简谐运动有，若代入，即得，将初始条件完整解)sin(sin1100 )sin(sin11cossin sin11cossin 20002000002021ptptkFxxxptptkFptxptpxxxxtkFptDptBxxx2220)2()1 (1XXpQ21titetfticsincos)(ticccekxxcxm)()()(tftxHccieHikicmkH)(2111)(2222)2()1 (1)(kH212arctan223222222222)2(12arctan)2()1 ()2(1)(22)(22 0)()( Hpip

16、pipHxpxpxpxpxkxxckxxcxmxxkxxcxmssssss 可写为即有运动方程taxssin)sin()2()1 ()2(1)(2222tatx例 小车重 490 公斤，可以简化为用弹簧支在轮子上的一个重量，弹簧系数50 公斤厘米，轮子的重量与变形都略去不计 。路面成正弦波形，可以表示为y=Ysin(2x / L)，其中Y=4 cm，L=10 米。试求小车在以水平速度v=36 公里小时行驶时，车身上下振动的振幅，设阻尼可以略去不计cm 6 . 61021412 2sin2sinm/s 10rad/s 1049098050 22YtYLvtYytvtxmkp为故小车强迫振动的振幅

17、，所以小车的固有频率实际传递的力幅与不平衡力幅的比值称为力传递率)sin()90sin()sin()(tFtXctkXxckxtfT222)2(1)()(kXXckXFT22220)2()1 ()2(1FFTa被动隔离隔振系数2222)2()1 ()2(1aXb22222212arctan)2()1 (sin sin0)()( YZtmYxmkzzczmtYxxxzxxkxxcxmsssss 则为，并设基座的振动规律令有运动方程TttnTttnTttnnntdtntfTbtdtntfTadttfTaTtnbtnaatf000000sin)(2 cos)(2 )(2 2 )sincos(2)(0

18、10其中任意周期激扰力傅里叶级数222122222012arctan )2()1 ()sin()cos(2pnpnpnpnktnbtnakaxnnnnnn其中的强迫响应之和：弦激励激励的强迫响应为各正由叠加原理可知，周期解可根据叠加原理进行求激振力处的位移处。，将不平衡质量集中到简化的发动机振动模型tlRmtRmmtftlRtRxtlRtRxmmmpp2coscos)()( 2coscossin2)cos1 ( 2222212222221 2, 1,12arctan)4()41 ()2cos()()2()1 ()cos()(222222222221221jjjktlRRmktRmmxi卷积积分

19、)sincos(/00/0tpppxxtpxexpt有阻尼弹簧质量系统对初始条件的响应初始条件 情况下单位脉冲引起的响应mxx1, 000tpemptxthpt/sin1)()(脉冲响应函数)(sin1)()(/)(/tpemptxthtp单位脉冲输入在t=时作用在系统上dtpefmptxtpt)(sin)(1)(/)(0/dfthtxt0)()()(dfthdx)()( 杜哈美积分，也称为卷积积分法或叠加积分法dtpfmptxt)(sin)(1)(0无阻尼系统求单自由度无阻尼振系对如图所示直线方程激振函数激励的响应当 时10tt )1 ()(11tFf)sin1cos1 ()(111ptpt

20、ttptkFtx当 时1tt 0)(f)(sinsincos()(111ptttpptptkFtxdttftfdeFtfdtetfFtiti)()()(21)( )()( 应满足绝对可积条件：傅氏变换对的基本形式傅氏积分法。，可得对比，输出应为根据线性叠加原理，其。，其输出应为取其中一段)()()()(21)( )()(21)()()(21)(21)(21)( FHXdeXtxdeFHtxedFHedFdeFtftititititi换对。应函数构成一个傅氏变频率响应函数和脉冲响，由此可知，函数根据傅氏变换脉冲响应就是脉冲响应函数的响应单位脉冲输入dtethHdeHdeXthHFHXdeFhxftitititi)()( )(21)(21)()()()()(1)()(t)(t)(t)(t) deXtxpkipkHiFdteFdtetfFtititi)(21)( 11FFHX)(11)()()( 202000对上式进行傅氏变换响应的傅氏变换频率响应函数无阻尼单自由度振系的激励下的响应：尼单自由度振系在阶跃用傅氏积分法计算无阻depikti201121F)cos1 ()(21)(21121F00ptkFdeppikti