2019届高考数学大一轮复习第九章平面解析几何高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题学案（理科）北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题 【考点自测】 1 (2017 全国 ) 已知双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线方程为 y52 x，且与椭圆 x212y23 1 有公共焦点，则 C 的方程为 ( ) A.x28y210 1 B.x24y25 1 C.x25y24 1 D.x24y23 1 答案 B 解析 由 y 52 x，可得 ba 52 . 由椭圆 x212y23 1 的焦点为 (3,0)， ( 3,0)， 可得 a2 b2 9. 由 可得 a2 4， b2 5. 所以 C 的方程为 x24y25 1.故选 B. 2 (201

2、7 全国 ) 已知椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的左、右顶点分别为 A1， A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线 bx ay 2ab 0 相切，则 C 的离心率为 ( ) A. 63 B. 33 C. 23 D.13 答案 A 解析 由题意知，以 A1A2为直径的圆的圆心为 (0,0)，半径为 a.又直线 bx ay 2ab 0 与圆相切， 圆心到直线的距离 d 2aba2 b2 a，解得 a 3b， ba 13， e ca a2 b2a 1 ?ba2 1?132 63 . 故选 A. 3 (2017 全国 ) 已知 F 为抛物线 C： y2 4x 的焦点，过 F 作两条互相垂

3、直的直线 l1， l2，=【 ;精品教育资源文库 】 = 直线 l1与 C 交于 A， B 两点，直线 l2与 C 交于 D， E 两点，则 |AB| |DE|的最小值为 ( ) A 16 B 14 C 12 D 10 答案 A 解析 因为 F 为 y2 4x 的焦点， 所以 F(1,0) 由题意知直线 l1， l2的斜率均存在，且不为 0，设 l1的斜率为 k，则 l2的斜率为 1k，故直线l1， l2的方程分别为 y k(x 1)， y 1k(x 1) 由? y k?x 1?，y2 4x， 得 k2x2 (2k2 4)x k2 0. 显然，该方程必有两个不等实根 设 A(x1， y1)，

4、B(x2， y2)，则 x1 x2 2k2 4k2 ， x1x2 1， 所以 |AB| 1 k2| x1 x2| 1 k2 ?x1 x2?2 4x1x2 1 k2 ? ?2k2 4k22 4 4?1 k2?k2 . 同理可得 |DE| 4(1 k2) 所以 |AB| |DE| 4?1 k2?k2 4(1 k2) 4? ?1k2 1 1 k2 8 4? ?k2 1k2 8 42 16， 当且仅当 k2 1k2，即 k 1 时，取得等号 故选 A. 4 (2017 北京 )若双曲线 x2 y2m 1 的离心率为 3，则实数 m _. 答案 2 解析 由双曲线的标准方程知 a 1， b2 m， c

5、1 m， =【 ;精品教育资源文库 】 = 故双曲线的离心率 e ca 1 m 3， 1 m 3，解得 m 2. 5 (2017 山东 )在平面直角坐标系 xOy 中，双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的右支与焦点为 F的抛物线 x2 2py(p 0)交于 A， B 两点，若 |AF| |BF| 4|OF|，则该双曲线的渐近线方程为 _ 答案 y 22 x 解析 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由? x2a2y2b2 1，x2 2py，得 a2y2 2pb2y a2b2 0， 显然，方程必有两个不等实根 y1 y2 2pb2a2 .又 | AF| |BF| 4|O

6、F|， y1 p2 y2 p2 4 p2，即 y1 y2 p， 2pb2a2 p，即b2a212， ba22 ， 双曲线的渐近线方程为 y 22 x. 题型一 求圆锥曲线的标准方程 例 1 (2018 佛山模拟 )设椭圆 x2a2y2b2 1(ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，上顶点为 B.若 |BF2| |F1F2| 2，则该椭圆的方程为 ( ) A.x24y23 1 B.x23 y2 1 C.x22 y2 1 D.x24 y2 1 答案 A 解析 | BF2| |F1F2| 2， a 2c 2， a 2， c 1， b 3， =【 ;精品教育资源文库 】 = 椭圆的方程为 x24y

7、23 1. 思维升华 求圆锥曲线的标准方程是高考的必考题型，主要利用圆锥曲线的定义、简单性质，解得标准方程中的参数，从而求得方程 跟踪训练 1 已知双曲线 x2a2y2b2 1(a 0， b 0)的一个焦点为 F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆 (x 2)2 y2 3 相切，则双曲线的方程为 ( ) A.x29y213 1 B.x213y29 1 C.x23 y2 1 D x2 y23 1 答案 D 解析 双曲线 x2a2y2b2 1 的一个焦点为 F(2,0)， 则 a2 b2 4， 双曲线的渐近线方程为 y bax， 由题意得 2ba2 b2 3， 联立 解得 b 3， a 1， 所求双曲

8、线的方程为 x2 y23 1，故选 D. 题型二 圆锥曲线的简单性质 例 2 (1)(2018 届辽宁凌源二中联考 )已知圆 E： (x 3)2 (y m 4)2 1(m R)，当 m 变化时，圆 E 上的点与原点 O 的最短距离是双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的离心率，则双曲线 C 的渐近线为 ( ) A y 2 x B y 12x C y 3x D y 33 x 答案 C 解析 圆 E 的圆心到原点的距离 d 32 ?4 m?2， 由此可得，当 m 4 时，圆 E 上的点与原点 O 的最短距离是 dmin 3 1 2，即双曲线的离心率为 e ca 2， =【 ;精品教育

9、资源文库 】 = 由此可得 ba c2 a2a 3， 双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的渐近线为 y bax 3x.故选 C. (2)(2016 天津 )设抛物线? x 2pt2，y 2pt (t 为参数， p0)的焦点为 F，准线为 l.过抛物线上一点 A 作 l 的垂线，垂足为 B.设 C? ?72p， 0 ， AF 与 BC 相交于点 E.若 |CF| 2|AF|，且 ACE的面积为 3 2，则 p 的 值为 _ 答案 6 解析 由? x 2pt2，y 2pt (p0)消去 t 可得抛物线方程为 y2 2px(p0)， F? ?p2， 0 ， 又 |CF| 2|AF|且

10、 |CF| ? ?72p p2 3p， | AB| |AF| 32p， 可得 A(p， 2p) 易知 AEB FEC， |AE|FE| |AB|FC| 12， 故 S ACE 13S ACF 133 p 2p 12 22 p2 3 2， p2 6， p0， p 6. 思维升华 圆锥曲线的简单性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线渐近线是常考题型，解决这类问 题的关键是熟练掌握各性质的定义，及相关参数间的联系掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力 =【 ;精品教育资源文库 】 = 跟踪训练 2 (2017 全国 ) 若双曲线 C： x2a2y2b2 1(a0， b0)的一条渐近线

11、被圆 (x 2)2 y2 4 所截得的弦长为 2，则 C 的离心率为 ( ) A 2 B. 3 C. 2 D.2 33 答案 A 解析 设双曲线的一条渐近线方程为 y bax， 圆的圆心为 (2,0)， 半径为 2， 由弦长为 2 得出圆心到渐近线的距离为 22 12 3. 根据点到直线的距离公式，得 |2b|a2 b2 3，解得 b2 3a2.所以 C 的离心率 e ca c2a21 b2a2 2. 故选 A. 题型三 最值、范围问题 例 3 (2017 浙江 )如图，已知抛物线 x2 y，点 A? ? 12， 14 ， B? ?32， 94 ，抛物线上的点 P(x，y)? ? 12 x 3

12、2 ，过点 B 作直线 AP 的垂线，垂足为 Q. (1)求直线 AP 斜率的取值范围； (2)求 |PA| PQ|的最大值 解 (1)由 P(x， y)，即 P(x， x2) 设直线 AP 的斜率为 k，则 kx2 14x 12 x 12， 因为 12 x 32. 所以直线 AP 斜率的取值范围为 ( 1,1) =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)联立直线 AP 与 BQ 的方程? kx y 12k 14 0，x ky 94k 32 0，解得点 Q 的横坐标是 xQ k2 4k 32?k2 1? . 因为 |PA| 1 k2? ?x 12 1 k2(k 1)， |PQ| 1 k2(xQ

13、x) ?k 1?k 1?2k2 1 ， 所以 |PA| PQ| (k 1)(k 1)3， 令 f(k) (k 1)(k 1)3， 因为 f( k) (4k 2)(k 1)2， 所以 f(k)在区间 ? ? 1， 12 上单调递增， ? ?12， 1 上单调递减因此当 k 12时， |PA| PQ|取得最大值 2716. 思维升华 圆锥曲线中的最值、范围问题解决方法一般分两种：一是代数法，从代数的角度考虑，通过建立函数、不等式等模型，利用二次函数法和基本不等式法、换元法、导数法等方法求最值；二是几何法，从圆锥曲线的简单性质的角度考虑，根据圆锥曲线的几何意义求最值与范围 跟踪训练 3 (2016

14、山东 )平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C： x2a2y2b2 1(ab0)的离心 率是32 ，抛物线 E： x2 2y 的焦点 F 是 C 的一个顶点 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设 P 是 E 上的动点，且位于第一象限， E 在点 P 处的切线 l 与 C 交于不同的两点 A， B，线段 AB 的中点为 D.直线 OD 与过 P 且垂直于 x 轴的直线交于点 M. 求证：点 M 在定直线上； 直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的面积为 S1， PDM 的面积为 S2，求 S1S2的最大值及取得最大值时点 P 的坐标 (1)解 由题意知 a2 b2a 32 ，可得 a2 4

15、b2，因为抛物线 E 的焦点为 F?0， 12 ，所以 b12，=【 ;精品教育资源文库 】 = a 1，所以椭圆 C 的方程为 x2 4y2 1. (2) 证明 设 P? ?m， m22 (m0)，由 x2 2y，可得 y x，所以直线 l 的斜率为 m，因此直线l 的方程为 y m22 m(x m) 即 y mx m22. 设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， D(x0， y0) 联立方程? x2 4y2 1，y mx m22，得 (4m2 1)x2 4m3x m4 1 0. 由 0，得 0|MN| 2， 点 P 的轨迹 C 是以 M， N 为焦点的椭圆， 2 a 4,2c 2， b a2 c2 3， 点 P 的轨迹 C 的方程为 x24y23 1. (2)设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， G(m,0)( 20，得 k2m29b2 9m2， 又 b m k3m，所以 k2m29? ?m k3m 2 9m2， 得 k2k2 6k，所以 k0. 所以 l 不过原点且与 C 有两个交