理论力学-动量定理-动能定理课件.ppt

1、12 111 动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述 112 质点的动量定理质点的动量定理 113 质点系的动量定理质点系的动量定理 114 质心运动定理质心运动定理第十一章第十一章 动量定理动量定理31、联立求解微分方程(尤其是积分问题) 非常困难。2、大量的问题中，不需要了解每一个质 点的运 动,仅需要研究质点系整体的 运动情况。11-1 11-1 动力学普遍定理概述动力学普遍定理概述对质点质点动力学问题： 建立质点运动微分方程求解。对质点系质点系动力学问题： 理论上讲，n个质点列出3n个微分方程， 联立求解它们即可。实际上的问题是：4 从本章起, 将要讲述解答动力学问题的其它方法, 而首先

2、要讨论的是动力学普遍定理动力学普遍定理(包括动量定理、动量矩定理、动能定理及由此推导出来的其它一些定理)。 它们以简明的数学形式， 表明两种量 一种是同运动特征相关的量(动量、动量矩、动能等)，一种是同力相关的量(冲量、力 矩、功等) 之间的关系，从不同侧面对物体的机械运动进行深入的研究。在一定条件下，用这些定理来解答动力学问题非常方便简捷 。 5 本章中研究质点和质点系的动量定理质点和质点系的动量定理，建立了动量的改变动量的改变与力的冲量之间的关系与力的冲量之间的关系，并研究质点系动量定理的另一重要形式质心运动定理质心运动定理。611-2 11-2 质点的动量定理质点的动量定理 一、动量一、

3、动量 1.1.质点的动量：质点的质量与速度的乘积质点的动量：质点的质量与速度的乘积 mv 称为质点的动称为质点的动量。量。 是瞬时矢量，方向与v 相同。单位是kg m/s。 动量是度量物体机械运动强弱程度的一个物理量。例例：枪弹：速度大，质量小； 船：速度小，质量大。 二、冲量二、冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量力与其作用时间的乘积称为力的冲量。72力是变矢量：（包括大小和方向的变化）元冲量元冲量：冲量冲量：F)(12ttFSdtFSd 21ttdtFS1力是常矢量：F 冲量表示力在其作用时间内对物体作用的累积效应的度量。例如，推动车子时，较大的力作用较短的时间，与较小的力作用较长的时间，

4、可得到同样的总效应。8212121 , ,ttttttzzyyxxdtFSdtFSdtFS 3合力的冲量：等于各分力冲量的矢量和 ittttttSdtFdtFdtRS212121冲量的单位：m/skg sm/skg sN2与动量单位同9三、质点的动量定理三、质点的动量定理FvmdtdFdtvdmam)( 质点的动量对时间的导数等于作用于质点的力（在某一时间间隔内，动量的增量等于力在该时间内的冲量）SddtFvmd)(SdtFvmvmtt2112质点的动量定理微分形式微分形式：（动量的微分等于力的元冲量）积分形式积分形式：10投影形式：投影形式：xxFmvdtd)(yyFmvdtd)(zzFmv

5、dtd)(2112ttxxxxdtFSmvmv2112ttyyyydtFSmvmv2112ttzzzzdtFSmvmv质点的动量守恒质点的动量守恒若，则常矢量，质点作惯性运动若，则常量，质点沿 x 轴的运动是惯性运动0F0 xFvmxmv1111-3 11-3 质点系的动量定理质点系的动量定理一、一、 质点系的质心质点系的质心 内力与外力内力与外力 1.1.质点系的质心质点系的质心 质点系的质量中心称为质心质点系的质量中心称为质心。是表征质点系质量分布情况的一个重要概念。)( imMiiCiiCrmrMMrmr 或质心质心C点的位置点的位置： 12则设,kzjyixrcccc MzmzMymy

6、MxmxiiCiiCiiC , , 在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合在均匀重力场中，质点系的质心与重心的位置重合。可采采用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置用静力学中确定重心的各种方法来确定质心的位置。但是，质心与重心是两个不同的概念，质心比重心具有更加广泛的力学意义。13内力内力：所考察的质点系内各质点之间相互作用的力。 对整个质点系来讲，内力系的主矢恒等于零，内力系对任一点（或轴）的主矩恒等于零。即：。或 0)( 0)( ; 0)()()(iixiiOiiFmFmF2. 质点系的内力与外力质点系的内力与外力外力外力：所考察的质点系以外的物体作用于该质点系中各质点的 力。

7、141.1.质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和质点系的动量：质点系中所有各质点的动量的矢量和。CiivMvmK) (求导CiirMrm质点系的质量与其质心速度的乘积就等于质点系的动量。则：CCzzCCyyCCxxzMMvKyMMvKxMMvK , , 2.刚体系统的动量刚体系统的动量：设第i个刚体则整个系统：ciivmCiivmKCiiCizizCiiCiyiyCiiCixixzmvmKymvmKxmvmK二、质点系的动量二、质点系的动量15三、质点系的动量定理三、质点系的动量定理)()()(eiiiiiFFvmdtd )0( )()()(iieiiiiiFFFvmdtd而)(ei

8、FdtKd质点系的动量定理对整个质点系：对质点系内任一质点 i， 质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外质点系动量对时间的导数等于作用在质点系上所有外力的矢量和。力的矢量和。16 质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量质点系动量的微分等于作用在质点系上所有外力元冲量的矢量和。的矢量和。 在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质在某一时间间隔内，质点系动量的改变量等于作用在质点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。点系上的所有外力在同一时间间隔内的冲量的矢量和。 积分形式积分形式)(12eiSKKeiKieSdtF微分形式微分形式)()(dd17 投影形式：投影

9、形式：)(eixxFdtdK)(eiyyFdtdK)(eizzFdtdK21)()(12tteixexxdtFSixKK21)()(12tteiyeyydtFSiyKK21)()(12tteizezzdtFSizKK18若则常矢量。若则常量。, 0)(eiF, 0)(eixFiivmKixixvmK 只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质只有外力才能改变质点系的动量，内力不能改变整个质点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。点系的动量，但可以引起系统内各质点动量的传递。 质点系的动量守恒质点系的动量守恒19 例例1 质量为M的大三角形柱体, 放于光滑水平面上, 斜面上另放一质量

10、为m的小三角形柱体,求小三角形柱体滑到底时,大三角形柱体的位移。解解：选选两物体组成的系统为研究对象。研究对象。受力分析受力分析， , 0)(exFxK水平方向常量。ravvvrv小三角块相对大三角块速度为 ，则小三角块v设大三角块速度运动分析运动分析，200)(axmvvM由水平方向动量守恒及初始静止由水平方向动量守恒及初始静止；则0)()(vvmvMrx)( bamMmSmMmSrx mmMSSmmMvvrxrx21运动分析，设经过时间后，流体AB运动到位置ab。 例例2 流体流过弯管时， 在截面A和B处的平均流速分别为 求流体对弯管产生的动压力(附加动压力)。 设流体不可压缩，流量Q(m

11、3/s)为常量， 密度为 (kg/m3）。),m/s(,21vv解：解：取截面A与B之间的流体作为研究的质点系。受力分析如图示。22)()(12aBAaBbaBABabKKKKKKK1212 )()(vtQvtQKKKKKAaBbaBaB由质点系动量定理；得RPPWvvQtKdtKdt21120)( lim23静反力静反力 ， 动反力动反力)(21PPWR)( 12vvQR计算 时，常采用投影形式 R)( 12xxxvvQR)( 12yyyvvQR与与 相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力相反的力就是管壁上受到的流体作用的动压力 RRPPWvvQtKdtKdt21120)(lim)()(1

12、221vvQPPWR即即2412-4质心运动定理质心运动定理将 代入到质点系动量定理，得CvMK)()(eiCFvMdtd若质点系质量不变，则 或)(eiCFaM)(eiCFrM 上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。上式称为质心运动定理（或质心运动微分方程）。质点系质点系的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量的质量与加速度的乘积，等于作用于质点系上所有外力的矢量和（外力系的主矢）。和（外力系的主矢）。251. 投影形式：投影形式：。 , , )()()(eizCCzeiyCCyeixCCxFzMMaFyMMaFxMMa 。 0 , , )()(2)(eibeinCCne

13、iCFFvMMaFdtdvMMa2. 刚体系统：刚体系统：设第 i 个刚体 mi，vCi，则有)(eiCiiFam 或)(eiCiiFrm )(eiCFaM)(eiCFrM 26)(eixCiiCixiFxmam )(eiyCiiCiyiFymam )(eizCiiCiziFzmam 3. 质心运动定理是动量定理的另一种表现形式，与质点运动微分方程形式相似。对于任意一个质点系，对于任意一个质点系， 无论它作什么形式的无论它作什么形式的运动，运动， 质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动，质点系质心的运动可以看成为一个质点的运动， 并设想并设想把整个质点系的质量都集中在质心这个点上，把整个质点

14、系的质量都集中在质心这个点上， 所有外力也集中所有外力也集中作用在质心这个点上作用在质心这个点上。 只有外力才能改变质点系质心的运动只有外力才能改变质点系质心的运动, 内力不能改变质心内力不能改变质心的运动，但可以改变系统内各质点的运动。的运动，但可以改变系统内各质点的运动。27 4. 质心运动守恒定律质心运动守恒定律若，则 常矢量，质心作匀速直线运动； 若开始时系统静止，即 则常矢量,质心位置守恒。若则 常量，质心沿x方向速度不变；若存在 则 常量，质心在x 轴的位置坐标保持不变。 0)(eiFCCvoa , 00CvCr,)( 0eixFCxCxva , 000CxvCx 5质心运动定理可

15、求解两类动力学问题：质心运动定理可求解两类动力学问题：已知质点系质心的运动, 求作用于质点系的外力(包括约束反力)。已知作用于质点系的外力，求质心的运动规律。28解解: 取整个电动机作为质点系研究，分析受力， 受力图如图示运动分析：定子质心加速度a1=0，转子质心O2的加速度a2=e2，方向指向O1。例例3 电动机的外壳固定在水平基础上，定子的质量为m1, 转子质量为m2 , 转子的轴通过定子的质心O1, 但由于制造误差, 转子的质心O2到O1的距离为e 。求转子以角速度 作匀速转动时，基础作用在电动机底座上的约束反力。29teateayx sin , cos2222根据质心运动定理，有xxe

16、ixCixiNtemamFamcos ,2222)(gmgmNtemamFamyyeiyCiyi212222)( sin ,temgmgmNtemNyxsin ,cos222122可见，由于偏心引起的动反力是随时间而变化的周期函数。a1=0，a2=e230解：解：取起重船，起重杆和重物组成 的质点系为研究对象。例例4 浮动起重船, 船的重量为P1=200kN, 起重杆的重量为P2=10kN, 长l=8m，起吊物体的重量为P3=20kN 。 设开始起吊时整个系统处于静止，起重杆OA与铅直位置的夹角为1=60, 水的阻力不计, 求起重杆OA与铅直位置成角2 =30时船的位移。受力分析如图示，且初始

17、时系统静止，所以系统质心的位置坐标XC保持不变。 0)(exF31321332211321332211mmmxmxmxmmmmxmxmxm0 iixP 0iixm船的位移x，杆的位移, 2/)sin(sin2112lxx重物的位移lxx)sin(sin21130/ )sin(sin2 /)sin(sin2113211211lxPlxPxP32)sin(sin)(2221321321lPPPPPx)30sin60(sin8)2010200(220210m 318. 0计算结果为负值，表明计算结果为负值，表明船的位移水平向左。船的位移水平向左。3334 131 力的功力的功 132 动能动能 13

18、3 动能定理动能定理 134 功率功率 功率方程功率方程 135 势力场势力场 势能势能 机械能守恒定理机械能守恒定理 136 动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用第十三章第十三章 动能定理动能定理35 与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重要的应用，而且是沟通机械运动和其它形式运动的桥梁。动能定理建立了与运动有关的物理量动能和作用力的物理量功之间的联系，这是一种能量传递的规律。3613-1力的功力的功 力的功是力沿路程累积效应的度量。力的功是力沿路程累积效应的度量。SFFSW cos力的功是代数量。时,正功；时,功

19、为零；时,负功。单位：焦耳（）；222m1N1J1一常力的功一常力的功37二变力的功二变力的功 dsFrdF ZdzYdyXdxkdzjdyidxrdkZjYiXF,()ZdzYdyXdxrdFdsFWcos元功元功：38力在曲线路程中作功为F21MM2121cosMMMMdsFdsFW（自然形式表达式）21MMrdF（矢量式）21MMZdzYdyXdx（直角坐标表达式）39三合力的功三合力的功 质点M 受n个力 作用合力为则合力的功nFFF,21 iFRRrdFFFrdRWnMMMM )(212121rdFrdFrdFMMnMMMM 21212121nWWW 21 在任一路程上，合力的功等于

20、各分力功的代数和。iWW即40四常见力的功四常见力的功 1重力的功重力的功21)(21zzzzmgmgdzW质点系：)()(2121CCiiiizzMgzzgmWW 质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。mgZYX , 0 , 0质点：重力在三轴上的投影：412弹性力的功弹性力的功 弹簧原长，在弹性极限内 k弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位变形时所需的力。N/m , N/cm。 。0l00)(rlrkFrrr/0212100)(mMMMrdrlrkrdFW

21、drrdrrrdrrdrrrdr)(21)(2120200)( 2 )(2121lrdkdrlrkWrrrr42200)( 2 )(2121lrdkdrlrkWrrrr022011202201, )()(2lrlrlrlrk令)( 22212 kW即 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了变形有关，而与质点运动的路径无关。与质点运动的路径无关。433万有引力的功万有引力的功)11(120rrGmmW万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。 4作用于转动刚体上的力的功，作用于转动刚体上的力的功， 力偶的功力偶的功设在绕 z 轴转动的刚体上M点

22、作用有力，计算刚体转过一角度 时力所作的功。M点轨迹已知。FFbnFFFF44dFmrdFdsFWz)()(1221)( dFmWz作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。21mdW若m = 常量, 则)(12 mW注意：功的符号的确定。注意：功的符号的确定。如果作用力偶，m , 且力偶的作用面垂直转轴450dtvrdC0dtvFrdFWC正压力，摩擦力作用于瞬心C处，而瞬心的元位移NF(2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功(3) 滚动摩擦阻力偶滚动摩擦阻力偶m的功的功 5摩擦力的功摩擦力的功(1) 动滑动摩擦力的功

23、动滑动摩擦力的功2121MMMMNdsfdsFWN=常量时, W= fN S, 与质点的路径有关。RsmmW若m = 常量则46五质点系内力的功五质点系内力的功 只要只要A、B两点间距离保持不变两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零内力的元功和就等于零。 不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零不可伸长的绳索内力功之和等于零。BArdFrdFWBArdFrdF)(BArrdF)(BAdF47六理想约束反力的功六理想约束反力的功约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束约束反力元功为零或元功

24、之和为零的约束称为理想约束。 2活动铰支座、固定铰支座和向心轴承活动铰支座、固定铰支座和向心轴承)( 0)(rdNrdNWN3刚体沿固定面作纯滚动刚体沿固定面作纯滚动1光滑固定面约束光滑固定面约束484联接刚体的光滑铰链（中间铰）联接刚体的光滑铰链（中间铰）5柔索约束（不可伸长的绳索）柔索约束（不可伸长的绳索）拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。rdNrdNWN)(0rdNrdN4913-2动动 能能 物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱的又一种度量。221mvT 瞬时量,与速度方向无关的正标量,具有与功相同的量纲,单位也是J。221iivmT二质点系的动能二质点系的动能 一质

25、点的动能一质点的动能 50221PIT（P为速度瞬心）2MdIICP2222221 21)(2121CCCIvMdMI22222121)(2121CiiiMvMvvmvmT222221)(2121ziiiiIrmvmT1平动刚体平动刚体2定轴转动刚体定轴转动刚体3平面运动刚体平面运动刚体三刚体的动能三刚体的动能5113-3动能定理动能定理1质点的动能定理：质点的动能定理：)21()(2)( 2mvdvvdmdtvvmdtd而Wmvd)21(2因此动能定理的微分形式动能定理的微分形式将上式沿路径积分，可得21MMWmvmv21222121动能定理的积分形式动能定理的积分形式两边点乘以，有dtvr

26、drdFdtvvmdtdFvmdtdFam)( 52对质点系中的一质点 ：iMiiiWvmd)21(2即 质点系动能定理的微分形式质点系动能定理的微分形式iWdT21MMWTT12质点系动能定理的积分形式质点系动能定理的积分形式在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式)(12)( ; FFWTTWdTiiiiiiWvmdWvmd)21( )21(22对整个质点系，有2质点系的动能定理质点系的动能定理将上式沿路径 积分，可得53例例1 图示系统中,均质圆盘A、B各重P，半径均为R, 两盘中心线为水平线, 盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重Q。问下落距离h时重物的速度与加速度。

27、(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动，初始时系统静止)54解解：取系统为研究对象)/( )(RhQhmWF01T222221 2121BCAOIvgQIT)78(16232121221222222PQgvRgPvgQRgPBA)2(BARRv55)(12FWTT由PQhgQRMvhQRMPQgv78)/(4 )(0)78(162上式求导得：)( )(21678dtdhvdtdhQRMdtdvvgPQPQgQRMa78)/(856动能定理的应用练习题动能定理的应用练习题 1图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到水平

28、位置OA，在铅直位置时的角速度至少应为多大？解解：研究OA杆)(212 . 12221)(kPWF)22 . 14 . 2(03000212 . 18 . 93022) J (4 .38857, 8 .284 . 2303121202021T02T由)(12FWTTrad/s67. 3 4 .3888 .280020582行星齿轮传动机构, 放在水平面内。 动齿轮半径r ,重P, 视为均质圆盘；曲柄重Q, 长l , 作用一力偶, 矩为M(常量), 曲柄由静止开始转动； 求曲柄的角速度 (以转角 的函数表示) 和角加速度。解解：取整个系统为研究对象MWF)(01T21221222 2 21213

29、21grPvgPgQlT5921221222 2 2121321grPvgPgQlTrlrvlv111 , 222222221292 )( 4 )(26lgPQrlgrPlgPgQlT根据动能定理，得MlgPQ0129222PQgMl9232将式对t 求导数，得2)92(6lPQgM603两根均质直杆组成的机构及尺寸如图示；OA杆质量是AB杆质量的两倍，各处摩擦不计，如机构在图示位置从静止释放，求当OA杆转到铅垂位置时，AB杆B 端的速度。mgmgmgWF35. 1 )15. 06 . 0(29 . 02)(01T2222219 . 023121mvmTv9 . 0解解：取整个系统为研究对象6

30、1得代入到 )(1222 65FWTTmvTm/s98. 3 35. 10652vmgmv6213-4功率功率 功率方程功率方程一功率一功率：力在单位时间内所作的功（它是衡量机器工作能力的一个重要指标）。功率是代数量，并有瞬时性。dtWN作用力的功率：vFvFdtrdFdtWN力矩的功率：30nMMdtdMdtWNzzz功率的单位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。63二功率方程二功率方程：由 的两边同除以dt 得WdT无用有用输入即NNNNdtdTdtWdtdT 分析：起动阶段（加速）：即制动阶段（减速）：即稳定阶段（匀速）：即0dtdT0dtdT0dtdT无用有用输入NNN无用有用输

31、入NNN无用有用输入NNN64机器稳定运行时， 机械效率0/dtdT%100输入有用NN是评定机器质量优劣的重要指标之一。一般情况下 。6513-5势力场、势能、机械能守恒定律势力场、势能、机械能守恒定律一势力场一势力场1力场力场：若质点在某空间内的任何位置都受到一个大小和方向完全由所在位置确定的力的作用，则此空间称为力场。重力场、万有引力场、弹性力场都是势力场。质点在势力场中受到的场力称为有势力(保守力),如重力、弹力等。2势力场势力场： 在力场中, 如果作用于质点的场力作功只决定于质点的始末位置，与运动路径无关，这种力场称为势力场。66二势能二势能在势力场中, 质点从位置M 运动到任选位置

32、M0, 有势力所作的功称为质点在位置M 相对于位置M0的势能，用V 表示。00MMMMZdzYdyXdxrdFVM0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。势能具有相对性。dVZdzYdyXdx),(zyxVV 是坐标的单值连续函数。67等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。等势面：质点位于该面上任何地方，势能都相等。dzzVdyyVdxxVdV , , zVZyVYxVX质点系的势能： ioiMMiiiiiinnndzZdyYdxXzyxzyxV)(),(111682. 弹性力场弹性力场：取弹簧的自然位置为零势能点PhzzPV)(0hPzzPVCC)(0221kV )(0rrmGmV21

33、1.重力场重力场质点：质点系：3. 万有引力场万有引力场：取与引力中心相距无穷远处为零势能位置69有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。有势力的功等于质点系在运动的始末位置的势能之差。在M1位置：10101WrdFVMM20202WrdFVMMM2位置：21201012VVWWWM1M2：三有势力的功三有势力的功70对非保守系统，设非保守力的功为W12 , 则有121122)()(WVTVT四机械能守恒定律四机械能守恒定律机械能：系统的动能与势能的代数和机械能：系统的动能与势能的代数和。这样的系统成为保守系统这样的系统成为保守系统。 设质点系只受到有势力(或同时受到不作功的非有势力)

34、211212VVWTT机械能守恒定律机械能守恒定律常量2211 VTVT作用，则71例例1 长为l，质量为m的均质直杆，初瞬时直立于光滑的桌面上。当杆无初速度地倾倒后，求质心的速度（用杆的倾角和质心的位置表达）。解解：由于水平方向不受外力，且初始静止，故质心C铅垂下降。由于约束反力不作功, 主动力为有势力，因此可用机械能守恒定律求解。mglVT2, 011初瞬时：72sin2 , sin2 cos12 lylyly即又由机械能守恒定律：)2(2124120222ylmgymmlmgl将代入上式，化简后得sin2ly ygy22sin31sin6222222212412121ymmlymITC)

35、2(2ylmgV任一瞬时：7313-6动力学普遍定理及综合应用动力学普遍定理及综合应用 动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理动力学普遍定理包括质点和质点系的动量定理、动量矩定理和动能定理。和动能定理。动量定理和动量矩定理是矢量形式，动能定理是标量形式，他们都可应用研究机械运动，而动能定理还可以研究其它形式的运动能量转化问题。 动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学动力学普遍定理提供了解决动力学问题的一般方法。动力学普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义：普遍定理的综合应用，大体上包括两方面的含义： 一是能根据问题的已知条件和待求量，选择适当的定理求解，包括各种

36、守恒情况的判断，相应守恒定理的应用。避开那些无关的未知量，直接求得需求的结果。74 二是对比较复杂的问题，能根据需要选用两、三个定理联合求解。求解过程中求解过程中,要正确进行运动分析要正确进行运动分析, 提供正确的运动学补充方程。提供正确的运动学补充方程。举例说明动力学普遍定理的综合应用：举例说明动力学普遍定理的综合应用：75 例例1 两根均质杆AC和BC各重为P，长为l，在C处光滑铰接，置于光滑水平面上；设两杆轴线始终在铅垂面内，初始静止，C点高度为h，求铰C到达地面时的速度。解解：由于不求系统的内力，可以不拆开。 研究对象：整体分析受力：， 0)(exF76讨论 动量守恒定理动能定理求解。

37、 计算动能时，利用平面运动的运动学关系。且初始静止，所以水平方向质心位置守恒。PhhPWF22)(01T222223123121lgPlgPT代入动能定理：ghvPhvgPCC3 03122231 CCvgPTlv77 例例2 均质圆盘A：m，r；滑块B：m；杆AB：质量不计，平行于斜面。斜面倾角，摩擦系数f，圆盘作纯滚动，系统初始静止。求：滑块的加速度。解：选系统为研究对象)cossin2( cos sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0mrmvmvTT78)cossin2( cos sin 2)(fSmgmgSfSmgWF22222121212121 0m

38、rmvmvTT运动学关系：rv 2245mvT 由动能定理：)cossin2(0452fmgSmv对求导，得gfa)cos52sin54(79例例3 重150N的均质圆盘与重60N、长24cm的均质杆AB在B处用铰链连接。 系统由图示位置无初速地释放。求求系统经过最低位置B点时的速度及支座A的约束反力。解解：（：（1）取圆盘为研究对象）取圆盘为研究对象; 0)(FmB0 0BBBI00B，圆盘平动。80（2）用动能定理求速度）用动能定理求速度。 取系统研究。初始时T1=0 ， 最低位置时：22222121BAvgGIT221222163213121BBBvgGGvgGvgG)30sin)(2(

39、)30sin()30sin22(2121)(llGGllGllGWF)(12FWTT)30sin)(2(06321221llGGvgGGB代入数据，得m/s 58. 1Bv81（3）用动量矩定理求杆的角加速度）用动量矩定理求杆的角加速度 。)31(312221221lgGlgGvlgGlgGLA由于0)()(eAAFmdtdL所以 0 。盘质心加速度：盘质心加速度：)0( 22CnCCalaa)0( 2BnBBalaarad/s 58. 624. 058. 1lvB杆质心杆质心 C的加速度：的加速度：82（4）由质心运动定理求支座反力。）由质心运动定理求支座反力。; 021ABcixiXagG

40、agGam代入数据，得N401 , 0AAYX2122212GGYlgGlgGamAiyi研究整个系统。 相对质心动量矩守恒定理相对质心动量矩守恒定理+动能定理动能定理+动量矩定理动量矩定理+质心运动定理。质心运动定理。 可用对积分形式的动能定理求导计算可用对积分形式的动能定理求导计算 ，但要注意需取杆，但要注意需取杆AB在在 一般位置进行分析一般位置进行分析。83mLmvKC61)6(12122LmmLILOO291mL22218121mLITO223mRLO2243mRT mRKmvK 221mRLC2224121mRmvT 例例4 基本量计算基本量计算 (动量动量,动量矩动量矩,动能动能)84解解：取杆为研究对象， 由动量矩定理：2312lPlgPlg 2/3由质心运动定理：OCxXagP0PYPYlgPagPOOCy41 2例例5 均质杆OA，重P，长l，绳子突然剪断。求求该瞬时，角加速度及O处反力。（初瞬时杆的角速度0=0 ）85